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1、3.1.2 用二分法 求方程的近似解,1、函数的零点的定义:,结论:,使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点,2、如何判断函数y=f(x)在区间a,b上是否有零点?,(1)函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,(2)f(a)f(b)0,思考:区间(a,b)上零点是否是唯一的?,思考二:如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,那么当 f(a)f(b)0时,函数y=f(x)在区间(a,b)内一定没有零点吗?,函数 在下列哪个区间内有零点?(),上节回忆,C,小练习:,问题:你会解下列方程吗?2x-6=0;2x2-3x+1=0;,求方程根的问题 相
2、应函数的零点问题,你会求方程lnx+2x-6=0的近似解吗?,思路,那你会解这个方程吗?lnx+2x-6=0,我们已经知道它有且只有一个解在(2,3)之间,似曾相识,如何找到零点近似值?,问,可以转化为函数 在区间(2,3)内零点的近似值。,求方程 的近似解的问题,在已知存在零点的区间确定函数的零点的近似值,实际上就是如何缩小零点所在的范围,或是如何得到一个更小的区间,使得零点还在里面,从而得到零点的近似值。,思考:如何缩小零点所在的区间?,看商品,猜价格,游戏规则:给出一件商品,请你猜出它的准确价格,我们给的提示只有“高了”和“低了”。给出的商品价格在100 200之间的整数,如果你能在规定
3、的次数之内猜中价格,这件商品就是你的了。,探究:你猜这件商品的价格,是如何想的?在误差范围内如何做才能以最快的速度猜中?,这能提供求确定 函数零点的思路吗,?,思路:用区间两个端点的中点,将区间一分为二,对于一个已知零点所在区间a,b,取其中点 c,计算f(c),如果f(c)=0,那么 c 就是函数的零点;如果不为0,通过比较中点与两个端点函数值的正负情况,即可判断零点是在(a,c)内,还是在(c,b)内,从而将范围缩小了一半,以此方法重复进行,问题,在区间(2,3)内零点的近似值.,(2.5,2.75),(2.5,2.5625),2.5,2.75,2.625,2.5625,(2.5,2.62
4、5),-0.084,0.512,0.215,0.066,1,0.5,0.25,0.125,0.0625,(2.5,3),区间长度,区间,2.53125,-0.009,(?,?),思考:通过这种方法,是否可以得到任意精确度的近似值?(如精确度为0.01),精确度为0.01,即零点值与近似值的差的绝对值要小于或等于0.01,(2,3),(2.5,3),(2.5,2.75),(2.5,2.5625),(2.53125,2.5625),(2.53125,2.546875),(2.53125,2.5390625),2.5,2.75,2.625,2.5625,2.53125,2.546875,(2.5,2
5、.625),2.5390625,2.53515625,-0.084,0.512,0.215,0.066,-0.009,0.029,0.010,0.001,1,0.5,0.25,0.125,0.0625,0.03125,0.015625,0.0078125,(精确度为0.01),所以我们可将此区间内的任意一点作为函数零点的近似值,特别地,可以将区间端点作为零点的近似值.,由于,如图,所以,所以方程的近似解为,结论,1.通过这样的方法,我们可以得到任意精确度的零点近似值,2.给定一个精确度,即要求误差不超过某个数如001时,可以通过有限次不断地重复上述缩小零点所在区间的方法步骤,而使最终所得的零点
6、所在的小区间内的任意一点,与零点的误差都不超过给定的精确度,即都可以作为零点的近似值,3.本题中,如在精确度为001的要求下,我们可以将区间(2.53125,2.5390625)内的任意点及端点作为此函数在区间(2,3)内的零点近似值,4.若再将近似值保留两为小数,那么253,254都可以作为在精确度为001的要求下的函数在(2,3)内的零点的近似值一般地,为便于计算机操作,常取区间端点作为零点的近似值,即253125,对于在区间 上连续不断且 的函数,通过不断地把函数 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.,二分法概念,问题5:你能归纳出
7、“给定精确度,用二分法求函数零点近似值的步骤”吗?,二分法的实质:就是将函数零点所在的区间不断地一分为二,使新得到的区间不断变小,两个端点逐步逼近零点,3.计算;,(1)若,则 就是函数的零点;,1.确定区间,验证,给定精确度;,2.求区间 的中点;,(2)若,则令(此时零点).,(3)若,则令(此时零点).,4.判断是否达到精确度:即若,则得到零点 近似值(或);否则重复24.,给定精确度,用二分法求函数 零点近似值的步骤如下:,0,1,2,3,4,6,5,7,8,-6,-2,3,10,21,40,75,142,273,列表,尝试:借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解(精确
8、度0.1).,先确定零点的范围;再用二分法去求方程的近似解,绘制函数图像,取(1,1.5)的中点x2=1.25,f(1.25)=-0.87,因为f(1.25)f(1.5)0,所以x0(1.25,1.5),同理可得,x0(1.375,1.5),x0(1.375,1.4375),由于,|1.375-1.4375|=0.0625 0.1,所以,原方程的近似解可取为1.4375,转化思想,逼近思想,小结,二分法,数形结合,1.寻找解所在的区间,2.不断二分解所在的区间,3.根据精确度得出近似解,用二分法求方程的近似解,基本知识:1.二分法的定义;2.用 二分法求解方程的近似解的步骤.,通过本节课的学习,你学会了哪些知识?,定区间,找中点,,中值计算两边看;,同号去,异号算,,零点落在异号间;,周而复始怎么办?,精确度上来判断.,二分法求方程近似解的口诀:,练习,借助计算器用二分法求的近似解(精确度0.1).,方程的近似解为,