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1、专题06圆的方程考点预测1 .圆的标准方程(x-a)2+(y-h)2r2f其中(0,)为圆心，一为半径.2 .点和圆的位置关系如果圆的标准方程为(x-a)2+(y-份2=/，圆心为eg,3，半径为，则有(1)若点M(,%)在圆上TCMI=FO(Xoa)?+(y0-b)2=r2(2)若点如为)在圆外OlCMIr=(%-a)?+(%-)r2(3)若点(x0,%)在圆内OICM|o(x0-a1+(y0-Z?)22+石2-4厂0时，方程/+丁+6+尸=0叫做圆的一般方程一,一一为圆心,I22)1.Z)2+e2-4尸为半径2诠释：-22,、LLD?(EYD2+E2-4F由方程f+y2+瓜+&+尸=0得X
2、+y+=2JI2)4DFDE(1)当。2+严-4/=0时，方程只有实数解1=-5,y=-,.它表示一个点(一不,).(2)当。2+炉-4厂0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形.(3)当。2十七2-4厂0时，可以看出方程表示以(一2,_1为圆心，Lg+EF为半径的圆.122J24 .用待定系数法求圆的方程的步骤求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程.(2)根据已知条件，建立关于。、b、或。、E、尸的方程组.(3)解方程组，求出、。、r或。、E、尸的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程.5 .轨迹方程求符合某
3、种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量匹之间的方程.(1)当动点满足的几何条件易于“坐标化时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法).(2)求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等.(3)求轨迹方程的步骤：建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标；列出关于x,y的方程；把方程化为最简形式；除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)；作答.例I.(2021广东佛山市南海区南
4、海执信中学高二阶段练习)已知两个定点A(-2,0),3(1,0),如果动点尸满足=2P耳(1)求点尸的轨迹方程并说明该轨迹是什么图形；(2)若直线Ly=匕+1分别与点/的轨迹和圆*+2)2+(y-4)2=4都有公共点，求实数人的取值范围.【解析】(I)设P(XM,由IPd=2PB,则J(+2)2+y2=2j(7)2+y2,化简得：(-2)2+y2=4:.P的轨迹是以(2,0)为圆心，半径为2的圆.,1-2-31(2)直线/与圆(x+2)2+(y-4)2=4相切或相交，即圆心到直线的距离不大于半径：4=!一广，七2,解2+l得卷，直线/与圆(x-2)2+V=4相切或相交，即圆心到直线的距离不大于
5、半径：d=gHL2,解得A,综上，直线/：)，=履+1分别与P的轨迹和圆Q+2)2+(y-4)2=4都有公共点时，实数丘18,一总.例2.(2021山东平邑高二期中)已知圆M：X2+y2-2nx-6y+2m+9=0.(1)求?的取值范围；(2)已知点A(2,l)在圆M上，若圆N过点P(l,-),且与圆M相切于点A,求圆N的标准方程.【解析】(1)将X?+P?-2，?IX-6y+2m+9=0变形为(JV-+(y-3)2=m2-2m,由根2一2机0,得z2,所以m的取值范围是(7,0)_(2,+).(2)将点A(2,l)t入圆M:丁+/一2侬一6y+2m+9=0,可得帆=4,所以圆M的方程为/+y
6、2-8-6y+17=0,化为标准方程可得(x4)?+(y=8,故圆M的圆心为(4,3),半径为2五，设圆N的标准方程为(X4+(y,圆心为N(a,b),因为圆N与圆M相切于点A,所以A、M.N三点共线，故直线AM的方程为柒=三I,即y=x-,3-14-2把N(a,b)代入得力=。1，又由IANl=IPNI=/可得，r2=(-2)2+(-l)2=(fl-l)2+(+2)2，联立，解得=l,Zj=O所以r=a(1-2)2+(0-1)2=2,故圆N的标准方程为(X-1):+/=2.例3.(2021重庆巴蜀中学高二阶段练习)在直角坐标系宜8中，直线/：x-3y-4=0,以。为圆心的圆与直线/相切.(1
7、)求圆。的方程;(2)设点N(M,%)为直线y=-x+3上一动点，若在圆。上存在点尸，使得NaVF=45。，求与的取值范围.【解析】(I)原点到直线/的距离为0-0-4+3所以圆。的方程为/+y2=4.OP2(2)如图直线材与圆。相切，设“版则Sina=Er加根据图象可知，N越靠近。点，ON越小，Sina越大，由sin45=OV=22,ON2设N(x,3r),由距离公式/+(3一力2=8,解得X=三立，3-币3722例4.(2021江苏丹阳高二期中)已知圆C过坐标原点O和点A,2J),且圆心。在X轴上.(1)求圆C的方程：(2)设点M(-10,0).过点M的直线/与圆C相交于P,。两点，求当a
8、PCQ的面积最大时直线/的方程；a若点丁是圆C上任意一点，试问：在平面上是否存在点N,使得7MI=可川h若存在，求出点N的坐标,若不存在，请说明理由.【解析】(1)因为圆C过坐标原点。(0,0)和点A,2JJ),且圆心C在轴上，设圆心C(G0),则J(-6)2+(2G)2=7,解得。=4所以圆心C(4,0),半径r=4故圆。的方程为(x-4)2+y2=i6(2)设圆心到直线的距离为“，则PQ=2-Q2=2ji6-d?.，SvWQ=gIPQd=J16-/.16-，；+小=&,当且仅当16-/=/，即d=2j时等号成立，设直线/的方程为=my-o,则圆心到直线的距离d=7彳=2企，解得加=典yjm
9、+12所以直线/的方程为x=)，一10,即x+半,y+10=0或X芈y+10=0假设存在N(皿)，T(x,y)t由网I77，知|所=?叫代入得(X+10)2+y2=-(x-zn)2+(y-)J化简整理得5/+5丁_(18”?+80)X-ISny+9w29-400=0又点T在圆上，.x2-8x+y2=0,则(186+40)工+18町一962-92+400=018n+40=0所以8=0解得=0,但机无解，-9w2-9+400=0所以不存在点M使得7M=3过关测试一、单选题1. (2021广东深圳实验学校高中部高二阶段练习)若圆G：*-1)2+y2=9和圆G：*+3)2+(y+2)2=9关于直线/对
10、称，则直线/的方程是()A.y=-2x-3B.y=-2x+3【答案】A【分析】由题意可知直线/即为线段GG的中垂线，求出线段GC2的中点坐标和GG所在直线的斜率，从而可求的直线/的斜率，即可得出答案.【详解】解：因为圆G：(x-l)2+y2=9和圆C2：(x+3)2+(y+2)2=9关于直线/对称,所以直线/即为线段GG的中垂线，C1(1,0),C2(-3,-2),则线段C1C2的中点坐标为(-1,-1),M=zz7=:,所以直线/的斜率A=-2,所以直线/的方程是y+l=-2(x+l),即y=-2x-3.故选：A.2. (2021广东广州奥林匹克中学高二阶段练习)己知在平面直角坐标系中，A,
11、B两点的坐标分别为(U),(0,4),若经过A,B两点的圆与X轴正半轴相切，则该圆的方程为(A. -8x-5y + 4 = 0B. x2 + -8x-5y + 16 = 0C.x2+y2+4x-5y+4=0D.x2+y2-4x-5y+4=0【答案】D【分析】先求出A8的中垂线，进而设出圆心CG,|),然后根据圆与X轴正半轴相切确定出半径，并且O,最后根据圆心到A的距离为半径求得答案.【详解】由题意，AB的中垂线为y=,则设圆心为c(4,又因为圆C与X轴正半轴相切，所以半径r=MO.于是，r=CA=J/+(g1)=弓=2.所以圆的方程为：(X一2+(y_g)=-x2+j2-4x-5y+4=0.故
12、选：D.3. (2021.四川省绵阳南山中学高二阶段练习(理)圆(x-lf+(y+2)2=2关于直线y+l=0对称的圆的方程为()A.(x+1)?+(y-3)2=2B.(-l)2+(y+3)2=2C.(+3)2+(j-2)2=2D.(x-3)2+(j+2)2=2【答案】C【分析】圆关于直线的对称圆问题，第一步求圆心关于直线的对称点，半径不变，第二步直接写出圆的方程.【详解】圆(x-l/+(y+2)2=2的圆心(1,-2)半径为应，由/：4-丁+1=。得M=I设对称点的坐标为(肛)，利用+2/ + /7 + 1=0/n - w + 5 = 077两圆心的连线弓宜线垂直,两圆心的中点在直线上列方程
13、求解，C,化简得m+n-2,八+1=022tn=-3解得T所以对称圆的方程为(N)X-F.故选:C.4. (2021.福建省福州第一中学高二期中)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点AB的距离之比为定值2(ll)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系Xoy中,Pj1A(-2,0),(4,0),点夕满足,设点尸的轨迹为C,则下列说法错误的是()dZA.轨迹C的方程为(x+4)4y2=16PD1B.在X轴上存在异于AB的两点RE,使得H=ZC.在C上存在点M,使得IMa=2|八例D.当4伐。三点不共线时，射线P。是NAP4的角平分线【答案】C【分析】根据题意，设点
14、坐标，结合两点之间的距离公式以及角平分线的性质，一一判断即可.【详解】/、PAlJ(x+2)2+y21.对于选项A,设P(x,y),由筋=5，得1j2=5,化简得(x+4)+y-=16,因此A正确;PD1/、/、对于选项B,你设在X轴上存在异于AI的两点，E,使得前=5，设。(机O),E(n,0),则苗)?+)=L化简得3x2+3V-(8m23+4一2=0y(x-m)2+y22E(x+4)2+y2=16,所以3/+3丁+24x=0,ZM =-6H = -12(舍),Srn-In=-244m2一2=0PD1即在X轴上存在异于的两点D,E,三=p故B正确,对于选项C,若在C上存在点M，使得IMOl
15、=2M4|,设M(x,y),则77=2J(X+2)：/,KW-2+y2+yX+y=O,与(x+4)2+y2=16联立，方程组无解，故在C卜不存在点使得MO=2MA,因此C错;对于选项D,当A,B,尸三点不共线时，周=；=犒，可知射线Po是NAm的角平分线，故D正确.故选：C.5. (2021.重庆巴蜀中学高二阶段练习)若点(U)在圆/+产+2僦-2y+2=0外，则的取值范围是()A.alB.aD.a0,同时结合小+炉一4尸0即可求得实数4的取值范围.【详解】因为点(U)在圆外，所以F+12+24-2+20,即2z-2,所以1,又因为/+y2+20r-2y+2=0为圆，所以小+炉=4苏+4-80
16、,即444,解得或2的对称圆为圆8,其中2,故圆8的圆心为(2,-2),半径为,由于此时圆心A与圆心B的距离为4,等于两圆的半径之和，所以两圆外切，此时E点的对称点为耳，且P4=IP4，所以IPFIPEI=IPFI-I尸41,在P点运动过程中，当巴BtA,片，/五点共线时，11.居在圆8左侧,点尸在圆A右侧时，IPPI-1。|最大，最大值为EF=46+3A+AF=l+4+3=88. (2021江苏高二单元测试)设有一组圆Gx)2+(yd)2=4(AR),下列命题不正确的是()A.不论人如何变化，圆心CA始终在-条直线上B.不存在圆G,经过点(3,0)C.存在定直线始终与圆C*相切D.若圆G上总
17、存在两点到原点的距离为1,则&(孝,手)【答案】D【分析】对于A,考查圆心C&的横纵坐标关系即可判断；对于B,把x=3,y=0代入圆G方程，由关于2的方程根的情况作出判断：对C,判断圆心G到直线x-y2=0距离与半彳仝的关系即可；对于D,圆G与以原点为圆心的单位圆相交即可判断作答.【详解】对于A选项：圆心G(E&)的轨迹为直线)=x,即不论女如何变化，圆心C*始终在条直线上，A正确；对于B选项：圆Q中，x=3,y=0时-，(3-)2+2=422-6A+5=O,*=(-6)2-425=历求出答案.【详解】因为圆心在H.线y=2x匕所以设回心为C(,2),而圆与X=O相切，则圆的半役，=,于是圆的
18、方程为(x-4)2+(y-2a)2=a2.圆心到直线Xy=0距离d=,则+=白2n/=4n0=2,故圆的方程为：(x-2+(y-4)2=4或。+2)2+()，+4)2=4故选：CD.11. (2021.江苏南京高二期中)在平面直角坐标系XS，中，圆C经过点(-26,0),(0,2),则()A.圆。的半径大于2B.圆心C不可能在第一象限C.当圆心C在X轴上时，圆C的周长为4乃D.当圆心C在第四象限时，圆C截y轴所得的弦长大于8【答案】BD【分析】对于选项A,结合两点间的距离公式求出IMM的长度，进而结合圆内最长的弦为直径即可判断；对于选项B,结合圆的对称性可知圆心在MN的中垂线上，进而求出根据M
19、N的中垂线所经过象限即可判断；对于选项C,结合圆的几何性质求出圆心进而求得半径即可判断；对于选项D,分析可得圆心的纵坐标小厂-2,进而可判断截y轴所得的弦长.【详解】由题意可设M(26,0),V(0,2),对于选项A,MN=J(-2我2+22=4,则圆C的半径2,故选项A错误；对于选项B,MN的中垂线方程为Jx+y+2=0,可知该直线不过第一象限，且圆心C在该直线上，所以圆心C不可能在第一象限，故选项B正确；对于选项C,当圆心C在X轴上时，可令直线氐+y+2=0中的F=O,解得X=一手，即。(-手,。，则其半径为26-迈=逑,所以周长为2仃=地九，故选项C错误；333对于选项D,因为直线岳+y
20、+2=0过定点(0,-2),且圆心C在第四象限，所以圆心的纵坐标小于-2,则圆C截y轴所得的弦长大于8,故选项D正确；故选：BD.12. (2021福建唳门双十中学高二期中)已知尸，。为圆O:f+k=4以上两点，点A(U)I(2,0),C(3,0),则下列说法中正确的是()A.若PQ=2,则PQ中点W的轨迹方程为f+丁=3B.4P中点轨迹方程为(X-I)JV=1C. CP的中点轨迹方程为+ y =ID.AP的中垂线与OP的交点轨迹为圆【答案】ABC【分析】根据已知可得APOQ是等边三角形，可得OM_LP。，且IoM=5即可判断A；设P(%),8尸中点为(x,y),利用相关点法求BP中点轨迹方程
21、可判断B,同选项B的方法可判断C由中垂线的性质以及椭圆的定义可判断D,进而可得正确选项.【详解】由圆0:/+=4可得圆心O(0,0),半径r=2,对于A：因为IPQl=Io耳=IoQl=2,所以APOQ是边长为2的等边三角形,若PQ中点为M,则OM_LPQ,且0=6,所以点M的轨迹是以0(0,0)为圆心，半径为J的圆,所以点M的轨迹方程为f+V=3,故选项A正确;Xha+221%=2x-2对于B：设P(M,%), 8P中点为(x,y),则，所以f09V=及l%=2y2因为P(%)在圆O:f+y2=4上，所以+%2=4,所以(2-2p+(2y)2=4,所以(x-l)2+丁=1即8尸中点轨迹方程为
22、(X-if+丁=1,故选项B正确；对于C：设P(%), b的中点(,y),则，Xq =2x-3NO = 2y因为尸(%为)在圆。*+y2=4上,所以+%2=4,所以(2x-3p+(2yO4=l,所以点M的轨迹是以。，A为焦点，长轴长为2的椭圆,故选项D不正确；故选：ABC.三、填空题13. (2021全国高二期中(文)已知4(0,1),B(2,l),C(3,4),则，A6C外接圆的方程为【答案】(x-lf+(y-3)2=5【分析】利用待定系数法进行求解即可.【详解】设ABC外接圆的方程为(x-4+(y-协2=产,因为A(O,1),3(2,1),C(3,4),所以有：(O-)2+(l-b)2=产
23、且(2-)2+(-力2=/且-ay+。一与2=/，解得：=3,rX =5=5因此.ABC外接圆的方程为5-琰+(丁一3)2=5,故答案为：(x-lf+(y-3)2=514. (2021全国高二课时练习)方程H-I=J3-(x-2)2所表示的曲线的长度是.【答案】2舟【分析】将方程变形为(l-2)0(3-1)2=3,曲线表示为两个半圆，根据弧长公式求得曲线长.【详解】由IyIT=J3-(X-2)2,得y-lO,所以yi或y-l.将原式变形可得(x-2)2+(3-1)2=3,所以曲线为两个半圆，半径为L所以曲线的长度为C=2;TXG=2摄.故答案为：25t15. (2021全国高二课时练习)对任意
24、实数m，圆/+V-2比一4冲+6机-2=0恒过定点，则其坐标为【答案】(U)、(聂)【分析】将圆的方程聿新按加合并同类项，由此列方程组，解方程组求得定点坐标.【详解】x+2y_3=0x=22解得4或X+y-2=0y=l故填：（1,1）、IJR【点睛】本小题主要考查圆过定点问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查二元二次方程组的解法，属于基础题.16. （2021全国高二课时练习）过直线2x+y+4=0与圆2+y2+2x-4y+l=0的交点,且面积最小的圆的方程为.【答案】（若J+。用W【分析】联立圆与直线的方程，求出两个交点，当两个交点之间的弦长作为直径的时候，圆的面积最小，求出此时的圆的方程
25、【详解】由直线2x+y+4=0得：y=-2x-4,把式代入圆的方程中，得5x2+26x+33=0,解得：*=段，七二一3,代入到y=-2、-4中，解得乂=|，K=2,所以两交点为A卜日,）8（-3,2）要使圆的面积最小，只需线段AB作为圆的直径,.设AB的中点为0（?,）即为所求得圆的圆心则=J2-=e=d所以。252513 6 5,5,设半径为r,则r = OA = J- + -6 2 55此时圆的方程为故答案为:卜+同+卜阁=J17. （2021.福建福州三中高二期中）若平面内两定点48间的距离为2,动点P满足篙=应，则|尸牛+|叫2的最小值为.【答案】36-24忘#-24忘+36【分析】
26、建立直角坐标系，设出P的坐标，求出轨迹方程，然后推出俨中+忸印的表达式，转化求解最小值即可.【详解】以经过A,B的直线为X轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系.则A(-1,O),8(1,0),设P(XM,由兴=应，则卜=所以两边平方并整理得(1-3)2+y2=8,所以P点的轨迹是以(3,0)为圆心，2挺为半径的圆，所以y2=8-(-3)2,3-22x3+22则有IPAF+PB2=2(x2+)+2=2x2+18-2(x-3)2=12x36-242,则IpAI2+p82的最小值为3624&.故答案为：36-242四、解答题18. (2021.海南.海口一中高二期中)已知点M(L3),圆C(
27、x-2)2+(y+l)2=4.(1)若直线！过点M,且被圆C截得的弦长为2布，求直线/的方程；(2)设O为坐标原点，点N在圆C上运动，线段MN的中点为P,求点P的轨迹方程.【答案】(I)x=l11gl5x8y-39=03(2)(X-)2+(y-l)2=1【分析】(I)山内线/被圆C截得的弦长为2曲，求得圆心到IT.线/的距离为=1,分直线/的斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解.fx=2x-l(2)设点P(x,y),N(,),根据线段MN的中点为P,求得勺C,结合N在圆C上，代入即可求yi=2y-3解.(1)解：由题意，圆Ua-2+()，+1)2=4,可
28、得圆心C(2,T),半径r=2,因为直线/被圆C截得的弦长为2石，则圆心到直线/的距离为d1，当直线/的斜率不存在时，此时直线/的方程为X=I,满足题意；当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y-3=&(x-l),即辰-y-k+3=0,则|21+3-=,解得左=_，pi5x+8y-39=0,综上可得，所求直线的方程为X=I或15x+8y-39=0.(2)解：设点P(x,y),N(XQi)因为点M(l,3),线段MN的中点为尸，可得X +1=X22i2 = y2x1 = 2x-ly =2)，- 3又因为N在圆C上，可得(2x7-2)2+(2y-3+l)2=4,即(x|尸+(ylf=1,即点P的轨
29、迹方程为(-)2+(-i)2=.19.(2021河南范县第一中学高二阶段练习)已知圆C过点A(3,-2),8(-3,6).(1)求周长最小时圆C的标准方程;(2)求圆心。在直线4-5y-1=0上时圆C的一般方程.【答案】(1) /+0,-2)2=25.(2) 2j2+8x+2y-33=O.【分析】(1)当AB为圆C的直径时，圆C的半径最小，从而周长最小.求出圆心和半径可得圆的方程;(2)设圆的一般方程为产了+6+小，+尸=0.代入已知条件，求解方程组可得圆的方程.(1)解：当AB为圆。的直径时，圆C的半径最小，从而周长最小.即AB的中点(0,2)为圆心，半径=5,此时圆C的标准方程为/+G,-
30、2)2=25.(2)解：设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.0 = 8E = 2F = -339+4+3D-2E+F=0根据题意得，9+36-3D+6E+F=O,解得D5E111=O22圆的般方程为/+y2+8+2y-33=0.20. (2021.福建南安.高二阶段练习)在平面直角坐标系Xo)，中，已知A3C的顶点坐标分别是(0,0),B(3,3),c(l,-5),记SABe外接圆为圆M.(1)求圆M的方程；(2)在圆M上是否存在点尸，使得归靖-|必=12?若存在，求点尸的个数；若不存在，说明理由.【答案】(1) X2+y2-6x=0：(2)存在；点P有两个.【分析】(1)设出圆的
31、一般方程，根据48,C三点均在圆上，列出方程组，即可求得圆方程；(2)根据题意，设出点尸的坐标，根据点P满足的条件以及点尸在圆上，将问题转化为直线与圆的位置关系，即可求解.(2)设“5C外接圆M的方程为炉+V+6+a+F=O,D =-6，解得E = O F = OF=O符4（0,0）,3（3,3）,。（1,-6）代入上述方程得：D+E+6=0D-5E+6=0则圆M的方程为V+炉-6x=0.(3)设点F的坐标为(,y),因为归邳2_归r=12,所以-3)2+(y-3)2-d-y2=i2,化简得：+y-=o.因为圆M的圆心M(3,0)到直线工+)，-1=0的距离为=后工=&+y2=4,圆心坐标为(
32、3,0),半径为2.(2)解：由于直线/过原点，FLARM都在直线/上，设M（x,y），则可知GMAB,二G，w（8=-1，即.）.2.=一1,整理可得：+y2=tx-3XIk2j4当动直线与圆相切时，设直线方程：y=ktX+6x+5-0得(攵2+卜2_61+5=0,y=kx.=36-20(At2+1)=0,解得：Jt2=切点的横坐标为X=T岛=g,由惧I的性质可得：M横坐标的取值范围为0,3,部分圆弧E尸（不包括E,F）,53而直线L：y=A（x-4）过定点。（4,0）,I-J3当直线L与圆C相切时，得=旦=3解得J=“F7T24IL切点在曲线C匕可得当雇卜小3时，白线与圆弧有公共点,综上所述：攵e(-,-f,+jl,直线L与曲线C没有公共点.
