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1、人教A版（2019）选择性必修一第一章空间向量与立体几何章节测试题学校：姓名：班级：考号：一、选择题1 .尸是正四面体ABCD的面ABC内一动点,E为棱AD中点,记DP与平面BCE成角为定值。,若点尸的轨迹为一段抛物线,则tan=（）A28.与C.与D.222 .已知正四棱柱ABCD-AgCQ中,AA1=245,则CO与平面BDG所成角的正弦值等于（）A.-B巫C正D.133333 .如图,在底面为正方形的四棱锥P-A3CQ中,已知BA，平面ABCZ）,且BA=AB.若点M为PO中点,则直线CM与PB所成角的大小为（）PA.60oB.45oC.30oD.90o4 .如图三棱柱ABC-ABCl中
2、,G是棱AA的中点,若BA=a，BC=b，BA=，则CG=（）C15 .如图,在正方体ABCo-A1BGA中,不能互相垂直的两条直线是（）A.A18和AGB.A1B和G。C.CQ和BCD.A/和8G6 .如图,在平行六面体45CD-AHlCQ中，A8+4）_=（）CDBD-DB17 .阅读材料:空间直角坐标系O-斗中,过点P(%,%,z0)且一个法向量为=(,A,C)的平面的方程为a(x-/)+()，-%)+C(Z-z0)=0,阅读上面材料,解决下面问题:已知平面的方程为x-y+2z=l,点Q(3,T,1卜则点。到平面。距离为()A52/6Bc5ZD6102348 .已知三棱锥O-ABC中,点
3、M,N分别为A3。的中点,且OA=aOB=b，OC=C，则NM =()A.g,+c-）B.g（+坂+c）C.g（a-b+c二、多项选择题9 .若=(39-5,4)与=(x,2%,-2)的夹角为钝角,则X的取值可能为()A.lB.2C.3D.410 .已知A,8,C三点不共线,对平面ABC外的任一点。,下列条件中不熊确定点M,A,8,C共面的是()OM=OA+OB+OCOM=IOA-OB-OCCOM=OA+-OB+-OCDOM=-OA+-OB+-OC2333311 .如图,正方体ABC。-AMCQ的棱长为1,正方形ABCo的中心为O,棱Ca,BC的1ROEBC=一2B;=显JAFoE&C.异面直
4、线OA与E尸所成角余弦值为叵6D.点F到直线OA的距离为亚412 .在如图所示的空间直角坐标系中，48CD-AqGA是棱长为1的正方体，则()A.平面ABgA的一个法向量为(0,1,0)C.平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1)B.平面BcD的一个法向量为(1,1,1)D.平面A8CQ的一个法向量为(0,1,1)三、填空题13 .己知空间向量)=(2,1,2)*=(1,2,2),则归-。卜.14 .如图,正四棱柱ABC。-ABCQ中,设AD=I,OA=3,点P在线段CG上,且C1P=2PC,则直线AP与平面PBD所成角的正弦值是.15 .如图,在三棱锥0-ABC中，。是BC的中点,若0底=
5、兄，08=。，OC=C，则AD等于16 .如图，平行六面体A8CO-ABGR各条棱长均为1,ZBAA,=ZDAA1=60,ZBAD=90,则线段Aa的长度为.四、解答题17 .如图,在四棱锥尸ABCD中,七为棱AO上一点，pej_A。,丛_LPe四边形BCOE为矩形,且BC=3,PE=BE=AP户=LPC,PAlI平面BEF.4(1)求证:PA_l平面PCQ；(2)求二面角bABO的大小.18 .如图,在平行六面体488-A1BCQ中,N,瓦尸分别是AA/民CQ的中点,侧面DCClDi_L平面ABCz),ZA8g=60o,AZ=4MB=DD1=8,ZBD=120o（1）求证:M7/平面GCE；
6、（2）试求二面角B-M7-C的余弦值.19 .如图,在四棱锥p_A8C。中,平面PW_L平面ABCQ,E为AO的中点、,PA工AD，BECD，BEAD，PA=AE=BE=2，CD=3P（1）求点A到平面PCD的距离；（2）求直线PE与平面P3C所成角的余弦值；（3）在线段PE上是否存在点M,使得OM平面P8C?若存在,求出点M的位置;若不存在,说明理由.20 .如图,四棱柱A8Cr-A4GR中,M是棱OA上的一点,A41J.平面ABCD,AB/DCABAD=AB=2AD=2DC.（1）若M是。A的中点,证明：平面AWgJ_平面AM与；（2）若。M=2MD,求平面AMB与平面AC与所成锐二面角的
7、余弦值.21 .如图，在四棱锥尸-ABCD中，PA_L平面ABC3,底面ABC。是边长为2的正方形，PA=23,G为Co的中点，E,R是棱尸。上两点（尸在E的上方），且族=2.（1）若8/平面AEG,求）；（2）当点尸到平面AEC的距离取得最大值时，求直线AG与平面AEC所成角的正弦值.22 .如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCo是平行四边形，尸CZ）是边长为2的等边三角形，平面PCZ）_L平面ABCO,AC=PCfAClPC,S为CQ的中点.（1）求证：AC-LCD.（2）若M是PB的中点，求直线与平面ACP所成角的正弦值.参考答案1.答案：B解析：由题意设四面体ABa)的棱长为2,设
8、。为5。的中点，以。为坐标原点,以OA为X轴,以。8为y轴,过。垂直于面ABC的直线为Z轴,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则可得。8=0。=1，04=4、2=石，取。4的三等分点6下如图，ABD和A4CD都是等边三角形,E为A。的中点,.BELADCEA.AD,8e0。石=石，.，平面8。2，4。=(芈,0,平为平面BCE的一个法向量,因为。尸与平面BCE所成角为定值0,则6,_2_由题意可得卜+可x2+23x+3J(GX1) +3 +83x2+3y2-2y3x + 9 -忸+39-2 底+ 9因为尸的轨迹为一段抛物线且tan。为定值,则sin 也为定值,段噂十可得W=此时加邛,则I
9、ane =Sine _ 0 cos 2故选:B.2.答案：A解析：建立如图所示空间直角坐标系,不妨设AB = AD = =2则DC=(0,1,0),DB=(1,1,0),DC1=(0,1,2)设平面BDCl的法向量为n=(x,Xz),则“一+)一,令Z=L则y=-2,x=2,所以=(2,-2,l)nDC=y+2z=0设CD与平面BDCl所成角为,则Sine=备纥=2.1+113故选：A.3 .答案：C解析：如图所示：以A为坐标原点,以AB,AO,AP为单位向量建立空间直角坐标系AfZ,设 M = I,则 A(0,0,0),C(IJO),M0,1 lj,P(0,0,l),B(l,0,0),故 P
10、8 = (l,0,7),MC =故f）告1+=73T 2，由异面直线夹角的范围是（。,90。,故直线CM与PB所成角的大小为30。.故选：C.4 .答案：B解析：由已知可得A4,=81-8A=C-，因为G为棱AA的中点,则CG=CA+AG=BA-BC+-AA.=a-b+-(c-a=-a-b+-c212、/22故选:B.5 .答案：C解析：在正方体ABCrA1gGA中,以点。为坐标原点，DAQC,OR所在直线分别为XJ,z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,z设该正方体的棱长为1,则A(1,0,0),8(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A(LO,1),B1(l,l,l),C1(0
11、,lj),D1(0,0,l).对于A选项,AB=(OJT),AG=(Tu),则ABSG=11=0,故ABJAG；对于B选项,)G=(0,l,l),43DC;=11=0,故ABIGO,B对；对于C选项,Cg=(1,0,1),CB1ZX7,=1,故C1D和BC不垂直,C错；对于D选项,G耳=(LO,0),13G4=0,故A8hgG,D对，故选:C.6 .答案：B解析：连接AC、A1C，可得A8+AD=AC，又CG=A41,所以A3+AD-CC=AC-AAi=AC故选:B.7 .答案：A解析:平面的法向量=(1,-1,2%在平面上任取一点A(T(U),则QA=5O)M=耶=今=乎,/76OA正确.8
12、 .答案：D解析：NM=NO+OM=-OC+-OA-OB222=g(f故选：D.9.答案：ABC解析：根据题意,若a=(35,4)与。=(x,2x,-2)共线,则有=X2x2无解,即两个向量不会共线，若=(3x,-5,4)与匕=(犬,2乂-2)的夹角为钝角,必有=3x2-10x-80，解可得：_2”4,分析选项:X=123符合，3故选:ABC.10 .答案：ABC解析：设OM=xOA+yOB+zOC，若点M与点A,B,C共面,则x+y+z=l,逐一检验各选项,可知只有选项D确定点M,A,B,C共面.故选:ABC.11 .答案：ABD解析：故以O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系。-孙z.8(
13、1,O),OKoX1,；),C(0,1,0),呜,1,1),R(0,0,1),0石.比=13，；,小.(TO,0)=；,选项A正确；(1V1113OFOE=0,-,1I2人222)43IOF卜440目=*,所以COS(O。=孚，X22根据三角函数两角正余弦关系解得:sin(OF,OE)=半，Sa=；IOFllO啊(OF，。)?冬冬半邛,选项B正确;IOQI卜4,尸卜COS(Oz),EF)=V，选项C错误;X22点尸到直线OQl的距离为:|。F卜inOF,OR),3而InrC八OFODl4330/x70而8S_L平面A8与A，故A正确；CD=(-1,0,0),且(1,1,1)(T,0,0)=Th
14、0,.(1,1,1)不是平面BcZ)的法向量，故B不正确；B1C=(0,1,-1),CD1=(-1,0,1),(1,1,1)(0,1,-1)=0,(l,l,l)(-l,O,l)=O,又BlC,CR=C,.(1,1,1)是平面BCA的一个法向量，故C正确；BC1=(OJJ),且(0,1,l)(0Jl)=2工0,.(0,1,1)不是平面ABCQ的法向量，故D不正确.13 .答案：&解析：因为空间向量)=(2,1,2),=。,2,2),则b-=(1,2,2)-(2,1,2)=(-1,1,0),因此卜_a=(-I)2+12+02=2.故答案为：y/214 .答案：lJ-y233解析：以。为坐标原点,D
15、AQCOR所在直线分别为Xj,z轴,建立空间直角坐标系，则A(Lo,3)，P(0,1,1)，5(1，1，。)，0(0,0,0),设平面尸80的法向量为m=(,y,z),则mOP=(x,y,z)(OJl)=y+z=0mDB=(x,y,z)(1,1,0)=x+y=Om令y=1,贝IJX=z=l,n=(-1,1,1),设直线AP与平面PBO所成角大小为则 Sin =2y2WAPlJl+1+1XJl+1+4y/3X5/63故答案为：2亚315.答案：-a+-b+-c22解析：由图可得AD=A。+OA+8/5=O/i+OQ+L(OeOQ)=a+，B+L.2、722故答案为：-4+工人+10.2216 .
16、答案：5解析：取A5,ADfe为一个基底，ABAD=O9AB-AAi=fADAAi=-f/.IAC11=J(AB+D+AAij2=JAB2+AD2+A412+2(BAD+ADAAi+AAiA)=5故答案为：下.17 .答案：（1）见解析解析：（1）连接AC交BE于点G,连接/G,因为PA/平面BEE平面PACC平面3EE=EG,PAU平面外。，所以尸A/FG，乂网小所以短=黄=券=焉W又DE=3,所以AE=LAD=4因为PE_LAD，所以PA=yPE2+AE2=2,PD=yPE2+DE2=23所以必2+叨2=4。2,所以丛_LPD,又PA工PC，PDPC=PPCU平面PCD,所以EAJ_平面P
17、CD（2）因为pa_l平面PC。,CDu平面PeR所以尸AJ_8,又AOj_CD，尸AAO=A,附,4）U平面所以8_l平面PAD,又Mu平面以。,所以尸EJ_C,又PEj_AO，A。8=。4。,CoU平面ABCQ所以PEj_平面ABCD.如图建系，Zi则A(1,O,O),8(0,遥,0)，。(一3,0,0),F一；设平面AB尸的一个法向量为ZW=(%,%z),则卜尸=0J-+y+手z=0=z=2,取y=,得Zn=(GL2),abm=oH+岛=oIAa又平面ABD的一个法向量为n=(0,0,1)，所以cos(m,=俞彳=刁方二母,且二面角产一Ag一。为锐角,故二面角F-AB-O的大小为4.41
18、8 .答案：(1)见解析(2)23583583(1)证明:取CG的中点为G连接EG,FG,NE,CD1M1B.在ACRC和ZA18中,因为F,G,N,E分别是CQ,CC1,AA1,AB的中点,MFGDC,NE/AB,HfG=；DC,NE=；AB,又在平行六面体ABCo-ABcA中，AA8C且AA=8C,所以,四边形AiBCDy为平行四边形,则ABDC且AB=DC所以FG=NE,/GNE,因此四边形NEGF为平行四边形,所以NF/EG，又因NFU平面GCE,EGU平面ClCE,所以NFH平面ClCE.(2)在平行六面体ABCD-AqCQ中,侧面OCCQ为平行四边形，又因为NAB4=60。，AB=
19、DD=CO=8,则四边形OCGA为菱形，取。的中点为。,连接OA,0B,OG,CD,在平行六面体43CD-A4GA中，ABCD,BB1CC,由等角定理结合图形可知NDCG=NAB旦=60,因为CG=CD,所以,ZCGD为等边三角形，因为。为Co的中点,则OG1CD,因为DCC1D1_L平面ABCQ,平面DCClDIn平面ABCD=CDQGU平面DCC1D1,.OC1I5FffiABCD,在平行四边形ABC。中,AD=8=oc=BC=4，NBA。=120。,则ZAz)O=60。，所以,ADO为等边三角形,则。4=4,且ZAOD=60易知ZBCO=120。,且OC=BC，则ZCOB=ZCBO=30
20、,所以,ZAOB=90，以点。为坐标原点,0A,OB,OG所在直线分别为Xj,z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则B(0,43,0),c(-2,2,0)，G(,O,43),F(2,-23,43),A(4,0,0),A(6,-23,4v(5,-3,23),设平面CN尸的法向量为机=(,y,zj,C户=(44J),CN=(7,-332码,=G，可得加=(6,5,4),mCN=7x1-33y1+23z1=OHVywCF=4x1-43,y1+43z1=()设平面BNF的法向量为=(W,Z2)，8N=卜,-5I23),BF=(2,-6543),iBN=5x2-53y2+2邪z=0w,r-za(r-VL
21、,取/=2相,可得=234,5,nBF=2x2-63y243z2=0-)/ mn 468sH然丽=2T 后23583583由图可知,二面角B-M7-C为锐角,故二面角8-版-C的余弦值为空6叵.58319 .答案：(1)遗7(3)当点M为PE的中点时,有OM平面PBC解析：(1)作&_L平面ABCR又3_LAD，所以以反，EO的方向分别为X轴J轴的正方向,建立如下图所示的空间直角坐标系E-xyz：P因为平面PAD_L平面ABCZZ平面PADQ平面ABCD=AD,且以J_AD，PAu平面以R所以PA_L平面488，又因为七为AO的中点，24=4石=庇=2，且37/。，8石_1人力，。二1，所以由
22、题意有A(0,2,0),尸(0,-2,2),)(0,2,0),C(l,2,0),所以有QA=(0,0,-2),PC=(1,4,-2),PD=(0,4,-2),不妨设平面PC。的法向量为=(,%zj,所以i 二 ,即 1 PD = Ox1+4y1-2zl=O4y1-2z1=0取y=1,解得nl=(0,1,2),所以点A到平面PCD的距离为公背=l=三l=(2)如图所示:由题意有 E(0,0,0),尸(0,-2,2), 3(2,0,0), C(L2,0), 所以有 PE = (O2-2), PC = (1,4,-2), PB = ( 2,2,-2 % 不妨设平面PBC的法向量为n2 =(A,y2,
23、z2) 所以有Wf ,即叩外飞=。，n2 PB = O 2x2+2y2-2z2 = 0取 W =2,解得% =(2,1,3),不妨设直线PE与平面P8C所成角为e,eog，_ 2_所以直线PE与平面PBC所成角的正弦值为八 PEn2s HH02 + 2l + (-2)32+22+(-2)222+l2+32所以直线PE与平面PBC所成角的余弦值为cos。= 1-sin2 =券.(3)如图所示:由题意有E(0,0,0),P(0,-2,2),0(0,2,0),所以OE=(O,-2,0),砂=(0,-2,2),由题意不妨设EM=EP(O1),所以OM=DJE+EW=OK+;IEP=(O,-2,0)+4
24、(0,-2,2)=(0,-2-2/1,2%),又由(2)可知平面PBC的法向量为2=(2,1,3),若DM平面PBC,则DMn2=O,即一22+6=O,解得=2所以当点M为PE的中点时,有DM平面PBC.20 .答案：(1)见解析(2)在15解析：(1)因为An，平面ABC。,所以AAL4B,又AB_L4)，故BAJ_平面AAiDiDiMAIU平面AAiDlD,故BA1MAi,因为An=DW,所以ZAMD=45。，同理NAMA=45。，所以MAjLAM，又AMIBA=A,所以MA_L平面AMB,又MAU平面AM4，所以平面AMB平面AMM.(2)设AD=I,则OA=2,0M=2M=g,以A为原
25、点,A小AAl，AD分别为X轴J轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系A-切.则A(0,0,0),8(2,0,0),4(2,2,0),C(1,O,1),M(,g,l)Afi=(2,0,0),A=(,g,l),AB=(2,2,0),4C=(1,0,1),记平面AMB的法向量为勺,记平面ACq的法向量为%，IABit=0xn/、由平面ABCz）=CD,PSU平面PC。，所以PSj平面ABCD又ACU平面ABCO,所以尸S_LACi.因为尸C_LAC,PCPS=P,PC,尸SU平面PCQ,所以AC_L平面PCD.又CDu平面尸C。，所以ACJ_CO.（2）结合（1）可知尸S,CAfCo所在直线两两垂直.
26、如图，以C为原点，CA,CO所在直线分别为X轴、y轴，过点C且平行于PS的直线为Z轴建立空间直角坐标系.所以C(0,0,0),A(2,0,0),P(0,-l,3),D(0,-2,0),8(2,2,0).所以AC=(2,0,0),PC=(0,l,-3).又M是PB的中点，所以M11,也.I22J所以及M=fl,立.I22J设平面RlC的法向量为=(x,y,z),rllnAC=0,-2x=0,则,即LPC=O,j-3z=0.取z=l,则犬=0,y=币,所以=(O设直线Mo与平面BAC所成的角为,则Sin=|cos(DM,n)|=0+双+亚223336i+2x37T2228所以直线MD与平面ACP所成角的正弦值为亚.8
