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1、人教B版（2019）必修四第十一章立体几何初步章节测试题学校：姓名：班级：考号：一、选择题1 .在梯形ABCD中，NABC=-，ADHBaBC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AO所2在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为（）A.（5+）B.（4+逐）兀C.（5+2）D.（3+）2 .已知是边长为3的等边三角形,三棱锥尸ABC全部顶点都在表面积为16兀的球。的球面上,则三棱锥PABC的体积的最大值为（）A.3B.3gC.吨D.也2423.正四面体尸-ABC的棱长为4,点M、N分别是棱PA、PC的中点，则点A到平面6MN的距离为（）A.3B.拽C.2D.1134 .“方斗”常作
2、为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台.在综合实践活动中，某小组在超市中测量出一“方斗”的上底面内侧边长为8dm,下底面内侧边长为2dm,侧棱长为6dm.将“方斗”内的大米铺平（即与下底面平行），测得铺平后的大米所在的四边形边长为6dm.已知11kg大米的体积约为gdn,则方斗内剩余的大米质量约为（）（参考数据：21.4,31.7,结果保留整数）A.30kgB.36kgC.45kgD.52kg5 .已知正方体ABC。-1gCQ的外接球表面积为27,点E为棱B4的中点，且。石，平面a,点C平面a,则平面a截正方体ABCO-A1BIGA所得的截面图形的面积为（）A812812厂81n81
3、48486 .如图，大正方形的中心与小正方形的中心重合，且大正方形边长为3立，小正方形边长为2,截去图中阴影部分后，翻折得到正四棱锥P-瓦G/7（A,B,C,。四点重合于点P）,则此四棱锥的体积为（）DCa23r25r434533337 .如图，正方体ABCo-AgGA的棱长为,E是棱AB的中点，尸是侧面AAIA。内一点，若EF平面BDRBI,且E/长度的最大值为从最小值为,则二()A.7B.6C.5D.38 .在空间直角坐标系。-孙Z中,已知圆A:。-2)2+(丫-1)2=1在平面_0)内,C(0,f,2)(R).若4OAC的面积为S,以C为顶点,圆A为底面的几何体的体积为V,则匕的最大值为
4、()S5r25r,25n5A.TrB.TrC.itD.Tr1()1553二、多项选择题9 .已知AC为圆锥S。底面圆O的直径(S为顶点,。为圆心)，点B为圆O上异于AC的动点,so=,OC=否则下列结论正确的为()A.圆锥S。的侧面积为2氐B.nS43的取值范围为(号)C.若AB=BC，E为线段AB上的动点,则(5E+CE)min=J10+2i?D.过该圆锥顶点S的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为代10 .已知正方体ABCD-AiBiClDl中,。为B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是（）AAM。三点共线B.A,M。,A四点共面CAOC,M四点共面DBBQM四
5、点共面11 .在棱长为2的正方体ABCO-ABGA中，E为BBl的中点，尸为四边形DCGA内一点（包含边界），若PA平面AEe则下列结论正确的是（）A.PAl1BDxB.三棱锥BTAB的体积为定值C.线段PA长度的最小值为岑D.NAP。的最小值是45。12 .如图，正三棱锥PABC的底面边长是侧棱长的0倍，EfF,“分别是AB,ACrBC的中点，。为尸”的中点，且即，A”=O，则下列结论中正确的是（）A平面Rw平面ABCB.平面PEF_L平面FAHC.平面P尸_平面ABCD.平面平面PBC三、填空题13 .刍薨,中国古代算数中的一种几何形体，九章算术中记载:“刍薨者,下有袤有广，而上有袤无广.
6、刍,草也.薨,屋盖也翻译为“底面有长有宽为矩形,顶部只有长没有宽为一条棱.刍薨字面意思为茅草屋顶.”如图为一个刍薨的三视图,其中正视图为等腰梯形,侧视图为等腰三角形,则该茅草屋顶的面积为.HHE正视图侧视图俯视图14 .己知正方体AAgGA的棱长为2,E,尸分别为C的中点,则过R,E,F三点的平面截该正方体所得截面图形的周长为.15 .九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题：“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问：积及为米几何？其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图,米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米
7、的体积约为1.6立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有斛.（精确到个位）16 .图1阴影部分是由长方体ABCQ和抛物线），=炉围成,图2阴影部分是由半径为33半圆。和直径为3的圆P围成的,这两个阴影部分高度相同,利用祖眶原理,可得出图1阴影部分绕y轴旋转而成的几何体的体积为.图1图2四、解答题17 .如图,在四棱锥尸_钻8,Ea_l底面正方形ABC。,E为侧棱PO的中点/为AB的中点,R4=AB=2(1)求四棱锥尸-ABCD体积；(2)证明：AE平面PFC;(3)证明：平面尸FC平面PCD18 .在三棱锥尸一ABC中,底面ABC是边长为2代的等边三角形,点尸在底面ABC上的射影为棱BC的中点
8、0,且PB与底面ABC所成角为四,点M为线段尸。上一动点.(1)求证：BClAM；(2)是否存在点M使得二面角G的余弦值为诙,若存在,求出点M的位置;若不存在,请10说明理由.19 .如图，四棱锥尸-ABCD中，尸AB为正三角形，ABC。为正方形，平面PAB_L5FffiABCD,E、b分别为A。、3P中点.(1)证明：EF平面PCD；(2)求直线阶与平面PAC所成角的正弦值.20 .如图，在直角梯形ABC。中，ABHCD,ABADf且4B=A。=,。=】，现以2AQ为一边向梯形外作正方形ADEE,然后沿边Ao将正方形4)Eb折叠，使ED-LDCfM为田的中点，如图2：图1图2(1)求证：8C
9、_L平面BDE：；(2)求点。到平面BEC的距离.21 .如图，在四棱锥P-AbCQ中，底面ABCD是正方形；侧棱PDJ底面ABCz),PD=DC.(1)证明：平面BAC_L平面PBO；(2)点H在棱PC上，当二面角”-08C的余弦值为工时，求史.3CP22 .在三棱柱ABC-AIqG中，侧面正方形34CC的中心为点M,A，平面BBGC,且84=,A3=G,点E满足4石=几4C(OKX1).(2)求点C到平面44G的距离；(3)若平面ABC与平面8CE的夹角的正弦值为竽，求；I的值.参考答案1.答案：A解析：在梯形ABCO中，ZABC=-,ADHBCBC=IAD=IAB=2,2/.将梯形ABC
10、D绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是:一个底面半径为AB=I,高为BC=2的圆柱减去一个底面半径为AB=1，高为3C4）=2-1=1的圆锥，二.几何体的表面积为：S=l2+2兀XIx2+兀Xlx&TF=（5+J）兀.故选：A.2 .答案：C解析：球。的半径为R,则4兀/?2=16兀,解得：R=2，由已知可得：S=4X3?=苧,其中AE=IAO=6球心。到平面ABC的距离为2-32=1，故三棱锥P-ABC的高的最大值为3,体积最大值为:S故选：C.3 .答案：B46解析：正四面体尸-ABC中，取ZXABC的中心为H,则C“_L平面故AM=PM=2,BM=2,其中跳7=2BM=逑
11、，由勾股定理得C=33故点N到平面的的距离为3半=手又SAABM=；SAABP=；X4=26,痂I/_1C261.A2642故VV-AM8=A,W.-=-23-=JZA0*又BM=BN=26,MN=-AC=2,2取MN的中点T,连接87,则BT_LMN,则bt=yJbn2-NT2=12-1=,故SMV=JMNHMI=gx2x=T,设点A到平面BMN的距离为d,痂晨,42pH,42故与S&BMN，d=，Klj,解得d=书.故选：B.4 .答案：B解析：如图，平面4层C2A为大米铺平后所在的平面连接AC,AG，4C2分别取ABCDf4CQ的中心O,01（它们分别在AC,AG上），连接。1，则0。1
12、与平面42层。2。2的交点。2必在AzG上且为42打。2。2的中心在正四棱台的对角面ACGA中，AC=82dm,AG=2忘dm,AA=6dm,2C,=62dm,易得A2,C2分别为AA，CG的三等分点，Oq=3dm,q=2dm,所以VABIGDiM与C四=IX62 + 22 + 6222 j22 =1；点(dm ) .又因为Ikg大米的体积约为gdm，所以方斗内剩余的大米质量约为若&；=260乏36.436(1).故选区解析：设该正方体外接球的半径为R,依题意，4K=27,解得解=红，故4R=-f则i48=2H=3L解得AB=3.2分别取棱AB,BC的中点F,G,连接R7,1F,C1G,AG,
13、根据正方体的性质可知：四边形GAFG为等腰梯形，建立如图所示空间直角坐标系,产(g,0,3),C1(3,3,(),E3,0,j,O(0,3,3).OE=(3,3,一、4/二(|,。，3、,AG=(3,3,0),99则oEA/=/-/=0,DECx=9-9=0,所以0E_LAI尸，DEA1C1,又AFQAG=A，所以OE_L平面GAFG,即截面为等腰梯形GAFG.由题可知/G=glG=芈，AF=CTG=手,所以等腰梯形GALG的高为券，故截面图形的面积为也3x还=肛.故选D.2I2J48A解析：如图，取BC的中点M,连接尸M,连接AC交G尸于N,CF=2 cos。由题意知设NFCB=。()。三，
14、在直角三角形CFM中,所以日cos = sin -14.在直角三角形CFN中，=sinf-6l,即一二sin(二一6、CF14JCF14J=cos-sin,化简得sin9=工CoS6，223结合sin26+cos?6=1,0d,所以CF=A2-=BCN=yCF2-FN2=2.2cos。过点P作POj平面EFG”，连接OM如图，则正四棱锥尸R汨的高PO=JPN2NO2=JCN2-NO2=石,所以正四棱锥P-EFGH的体积V=；SGFEH5O=223=3.故选C.解析：如图，过点尸作HG。乌，交AD于点G,交AIDl于点H,则G_L底面ABCD连接EG,AFf则易得Er?=前2+JFG2=AE?+
15、AG?+/G?=AE?+a/S所平面BDDlBi,FG平面BDD画,EFFG=F,.平面EpG平面，又GEU平ffiEFG,.GE平面BDD月,又.平面ABCD平面BOR4=3。，GEU平面ABCD,GEHBD,石为AB中点，.G为40中点，则为中点.尸在线段G”上，.AF.=AG=-,AF=AH=min?max工=修面专吟|图当.亭Sa=2f则Z;=亚。=#,/.ba=6f故选2解析：因为圆A:。-2)2+(广1)2=1的方程,所以4(2,1).故。4=巧了=石，C(Oj,2)到。-盯平面的投影为C(Oj),过C作OA垂线交与点。,故。是AOAC的高,O4:x-2y=0,所以C到直线OA的距
16、离为d,d=ti=嘲,M三球小因为圆A的底面半径为1,所以圆4底面积S=7ix=兀,又C(0,2),2所以V=LS=2兀.上=-,当f=O时,屈产取得最小值为近,故(上=迈.33S收7S)max15故选：B.9 .答案：AC解析：对选项A：母线长SC=J-+(石=2,侧面积为S=ul=2后,正确;对选项B：SAB中,JsA=SB=2,0ABJ平面PBC,又因为ODU平面日%,所以平面瓦DJ_平面尸BC故D正确；故选：ABD.13.答案：325解析：如图:瓦尸在平面ABCQ内的垂足分别为,则QG=FG=4,H为AB的中点,则G=2,于是FH=4FG?+GH?=2下，FA=yFH2+HA1=204
17、=26点G在ZM边上的垂足为P,则AP=2EP=Vm2-AP2=25,.S八ARp=LABFH=LX4义2小=4小,ZsAbr2OS梯形.=；（9+所）松=；（8+4”26=126,所以茅草屋顶的面积为2乂（4乔+126）=32正.故答案为：32褥14 .答案：2用+6解析：如图延长直线ER分别交DQDA的延长线于点H,G,连接OQ,分别交AA,CC1,于点/J,连接/EJF厕五边形D1IEFJ为所得截面，G又正方体ABCD-AMGR的棱长为2,E,F分别为AB,BC的中点，所以GE=EF=FH=应，平面OC平面ABl,所以平面0G与以上两个平面的交线/E/D,cr,GIGEGIAI所以=-,
18、=-,一=-GDlGH3IDl2ZA12在Rt中AQ=2,所以=马叵3在RtZVAE中AE=I,所以出=巫.3同理可得AJ=3叵/=巫.133则五边形/周长为肛+/+卬+/+石/=+芈+半+虚=2后+71.15 .答案：22解析：根据可设四分之一圆锥的底面圆半径为八gpl2r=8,Wr=-R;根据锥体的体积公式可得四分之一圆锥的体积为V=11x5=当立方尺;又1斛米的体积约为1.6立方尺,所以共驾X-LB22斛.31.6故答案为：22.16 .答案：也或13.5兀2解析：图一绕)，轴旋转一周可得一圆柱挖去中间的部分，将图二以小圆的直径为轴旋转一周可得一个半球挖去一个小球，将两个几何体放在同一水
19、平面上,用与圆柱下底面距离为0zCLz3ICL33(2)取PC中点G,连结EG,FG,因为、尸分别为P。、AB的中点，所以EGCD,EG=-CD,AF/-CD,AF=-CD222所以EGAb,EG=A/，所以四边形AEGF为平行n边形，所以AE尸G.又AE(Z平面PFC,bGU平面PFC,所以AE平面PFC;(3) PA_l底面正方形ABCna)U平面ABCn,8_1尸4,又。_14。，。40人。=儿小(=平面以。,4)U平面玄。,所以Co_L平面以。,AEu平面布D所以C_LAEt又AE_LPPO=O,8U平面PCDPDU平面PCD,所以AEJ_平面PCD.由（2）知AEllFG、所以FGJ
20、平面PCQ,而PGU平面PFC,所以平面PPCJ_平面PCD.18 .答案：（1）证明见解析（2）存在,且点M为尸。的中点解析：（1）证明：连接AO,g43C为等边三角形,。为3。的中点,则AOJ_a?，因为点尸在底面ABC上的射影为点。,则POJ平面ABC,BCU平面ABC,_LPO,AOnpO=O,A。、POU平面APO,.BC_L平面AP0,AMU平面APO,BC1M（2）因为PO_L平面A8C，AO_LBC,以点。为坐标原点，。8、AO.OP所在直线分别为）、y、Z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，因为POJ_平面A8C,所以,PB与底面ABC所成的角为NPBC=-,3则A(O,-3,
21、0)、(3,)P(0,0,3),设点M(0,0,c),其中0c3,AQ=(6,3,0),”=(0,3,3),设平面布8的法向量为相=(不14),r,llmAB=J3x,+3y,=O如Lfl(L则1%，取4=G，则根=GT)，mAP=3yi+3z,=07AM=(0,3,设平面ABM的法向量为=(工2，%，22)，m,lnAB=J3x+3y9=OXfrr1,(r则彳,Zy2=-C,WlJ=(3c,-c,3),nAM=3y2+cz2=O由已知可得Icos=J-p=T=之%可得4(?一48c+63=O，1网“V54c29100c3,解得c=|，即点M(0,0,)因此,当点M为P。的中点时,二面角G的余
22、弦值为题.1019、(1)答案：见解析解析：连接BD,ABC。是正方形，E是AC的中点，E是30的中点，尸是BP的中点，EFHPD,Er(Z平面尸CD,PDU平面P8O,.EF平面PCD.(2)答案：叵7解析：建立如图所示空间直角坐标系。-旧，设AB=2,/I、lX则B(M,0),p(3,),A(O,-1,O),C(0,l,2),BP=(3,-l,),P=(3,l,),AC=(0,2,2),设平面Pac的法向量=(X,XZ),则IGv+y=,a=-3w=(l,-3,3),设BP与平面PAC所成角为O,则sin=cos(BP,n=./27720.答案：(1)证明见解析3解析：(1)证明：在正方形
23、AD所中，ED.LAD,因为LOC,ADDC=D,ADfOCU平面ABCQ,所以瓦_L平面A3CQ,8CU平面ABC。，.EDA.BC,又在直角梯形ABeD中，AB=AD=IfCo=2,故BD=应,ZBZX;=45,由余弦定理BC?=82+。2-28q.OCCOS45。=2,所以BC=,在48CQ中，BD=BC=近,8=2,所以8。2+8。2=。2,故BC_L8),因为互仆8。=。，ED,BDU平面BDE,所以3。_1_平面3。七.(2)解法一：由(1)知3C_L平面BOE,因为BCU平面BCE,所以平面BDE上平面BCE,过点。作所的垂线交班于点G,平面BDE平面BCE=BE,DGU平面BD
24、E，则。G_L平面BEC,所以点O到平面BEC的距离等于线段DG的长度,区）_L平面A5CD,8。在平面ABCD内，.EDtBD,在三角形花中，Sbde=BDDE=BEDG,所以DG=BD.DE二立，BE3所以点O到平面BEC的距离等于半.解法二：由（1）8C_L平面3坦，BEU平面所以3CL5E,因为。E=l,AB=AD=-CD=Xf2所以BD=BBC=C,BE=百,所以SARnr=LBD.BC=Lx&6=1,4DL/L22Sabec=;BCBE=$64i=冬设点。到平面BCE的距离为近根据%cE=%rc）,由（1）可知即，平面ABCO，即gSabec/=Nabcd，DE,IX害h=:xlx
25、l,解得力=即点D到平面BCE的距离为当.21.答案：（1）证明见解析解析：(1)连结AC,侧棱_L底面4BC。，ACu平面A8CO,.P_LaC.又底面43CQ是正方形，/.4C_L8D.而且PZr80=0,PD,BDU平面P8O.AC_L平面尸80.又ACU平面PAC,.平面P4C_L平面PBn(2)过H作HEj。交。于,过E作所J.BD于F,连接HR在平面尸DC中，PDDC,HEtDC,:.EHIIPD,因为PD_L底面ABC。，EH_L平面A5CO,又3U平面ABC。，HEVBD,又EF工BD,EFEH=E,EF,EHU平面HEF,.3O_L平面EE,又加U平面“F,.BDYHF,：.
26、ZEFH为二面角H-DB-C的平面角.故CoSNEFH=-,贝JtanZEFH=22.3设CH=4CP,贝JE=4PD,CE=CD,ED=(-)CD.在Rt。庄1中，NFDE=45。,aEF=-(I-A)CD.在Rt”E尸中,.4=2.所以，当二面角”一。8-C的余弦值为L时，33CP322.答案：（1）证明见解析巫5(3)=-=3解析：(1)因为l=g,AE=;AG，点E是AG的中点,又.M是BG的中点所以48ME,48仁面36,MEuisqEC,所以48面4CE.(2)在三棱柱ABC4/G中，IWABCWiWABG,所以点E到平面ABC的距离等于点A到平面ABC的距离.又因为正方形84CC
27、,所以BGLBC,且AM，平面,以M为原点，M&Mg,MAI的方向分别为X,y,z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知Mg=LMAI=JAB；MB；=,则A(0A(OJO),8(1,o,o),G(To,0),44=(0,1,-a),AG=(,o,-旬,设平面44G的法向量为万=(x,y,z),则一“广,nAiCl=-X-2z=O令z=l,可得法向量为=卜忘,应)，又CA=(0,1,凉)，所以E到平面ABC的距离d=空4=巴士1=冬回.fi55(3)因为42=4AC；,所以AQ=44。；=卜40,仞)，则M=MAI+4心=(一4，&一仞)，MB；=(0,1,0),设面BCE的法向量为m=（r,y,z）,mME=-x+(2-2lz=07,令Z=入,nMB1=y=0可得法向量为加二（五-&,0,4,所以8S（梳劝=2（几一1）+232-2552(l-2)2+225(32-4+2),因为平面ABC与平面BiCE所成角的正弦值为迈,532-2所以小（3分一4九+2）42=i,可得3万-42+1=0,所以3或;1=1.
