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1、人教B版（2019）必修四第十章复数章节测试题学校：姓名：班级：考号：一、选择题1若z=T+2i厕=（）zz-4A.-l+3iB.-i-3iC.i+3iDl-3i2 .1748年,瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系,并写出以下公式eh=cosx+isin（xR4为虚数单位）,这个公式在复变论中占有非常重要的地位,被誉为，数学中的天桥，.根据此公式,下面四个结果中不成立的是（）/A2O22A.ei+l=0B-+i=1C.eix+e-u2-2ek-ek2I22J113 .已知-3+2i（i是虚数单位）是关于X的方程f+n+=0（机,R）的一个根,则m-n=（）A.-7B.-llC.-1
2、9D.i3-4i4 .设复数Z满足（l+i）z=3+i,则卜卜（）A2B.2C22d55 .已知为实数,若复数z=（）+3+i）i为纯虚数,则复数Z的虚部为（）A.lB2iC.+D.26 .若复数Z满足*=i,则z=（）2-zA.iB.-jC.2iD.-2i7 .如果复数Z=*,H-2-（w-l）i是纯虚数,zcR,i是虚数单位,则（）人.加工1且相。-2B.w=lC./n=-2D.m=1或机=-28.若z=7+/,则=()zz-1A-l+3iB-l-3iC+回D_四3333二、多项选择题9.已知复数z=l-i,z1=2-,Z3=2+2i在复平面内对应的点分别为A,B,C,且。为复平面内的坐标
3、原点，则下列说法正确的是（）A.z1+z2的虚部为-2i8 .z2-N?为纯虚数C.OA.LOCD.以。4,OB,OC的长度为三边长的三角形为钝角三角形10.1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数与三角函数的关系，并给出公式ei=cos+isin（i为虚数单位，e为自然对数的底数），这个公式被誉为“数学中的天桥”.据此公式，下列说法正确的是（）A.ex表示的复数在复平面中对应的点位于第一象限B.ei+l=02711.下面是关于复数z=（i为虚数单位）的命题，其中真命题为（）-1+1A.zI=2B.z2=2iC.z的共加复数为T+iD.z的虚部为-112.任何一个复数Z=。+历（其中,bR,
4、i为虚数单位）都可以表示成z=8s+isin6）的形式，通常称之为复数Z的三角形式，法国数学家棣莫弗发现：对于Z=r（cose+isin夕），z=r（cos夕+isin。）=rn（cosnisinn）（nN*）,我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（）A.z2=z2B.当r=1,0=fz3=13C.当r=l,。=色时，z=-i322D.当r=1,6=四时，若为偶数，则复数z为纯虚数4三、填空题13.已知qr,且复数丝二是纯虚数,则。=.1+i14 .已知i是虚数单位,设平行四边形ABC。在复平面内4为原点,3Q两点对应的复数分别是3+2i,2-4i,则点C对应的复数是.1
5、5 .欧拉是科学史上最多才一位杰出的数学家,他发明的公式为e=cosx+isin,i虚数单位,将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,这个公式也被誉为“数学中的天桥”根据此公式忖-2|的最大值为.16 .己知复数ZB满足=1,闫=1,若Z+N2=1+J5i（i为虚数单位）,则,-2=.四、解答题17 .设虚数Z满足2z+3=6B+2（1）求证：目为定值；（2）是否存在实数匕使三十七为实数？若存在,求出Z的值;若不存在,说明理由.kZ18 .已知z=一!+走i.22（1）三是Z的共规复数，求六+5+的值；（2）求24产的值.19 .设复数z=2+i在复平面内对应的向量为A8
6、,复数Zz=7+而在复平面内对应的向量为BE,复数Z3=-2+i在复平面内对应的向量为EC,且A,E,C三点共线.（1）求实数2的值；（2）求8。的坐标；（3）已知点0（3,5）,若A,B,C,。四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标.20 .已知虚数Z=4cos9+3sin6i,z2=2-3sini,其中i为虚数单位，6R,Zl,Z2是实系数一元二次方程Z2+S+=O的两根.（1）求实数?，的值；（2）z-z1+z-z2=33,求IZl的取值范围.21 .已知复数z=（m+3）-（m+l）i在复平面内对应的点在第一象限，i是虚数单位.（1）求实数机的取值范围；（2）当m=-2时，求复数
7、Z的三角表示式；（3）若在复平面内，向量OZ对应（2）中的复数z,把OZ绕点。按顺时针方向旋转60得到OZL求向量0Z,对应的复数4（结果用代数形式表示）.22 .已知4区2-4日+Z+1=0是关于X的实系数一元二次方程.（1）若。是方程的一个根，且Ial=1,求实数Z的值；（2）若为,是该方程的两个实根，且AwZ,求使五+三的值为整数的所有女的值.参考答案1 .答案：A解析：因为z=T+2i,所以z54=(一l+2i)(-l-2i)-4=l+4-4=l,所以j+i=+i=-l+3i,zz-4故选：A.2 .答案：D解析:对于A,当X=%时,因为*=cos+isin=-l，所以8第+1=0,故
8、选项A正确;对于B,20222022/、2022兀.兀)*cos+ism=e333=e674,=cos674+isin674=1，故选项B正确；对于C,由e=cosX+isinXeu=cos(-x)+isin(-x)=cosx-isinx,所以eiA+e-k=2cosx,得出卜+euj=2cosx2,故选项C正确；对于D,由C的分析得eix-e-=2isin,推不出-24e-e4x2,故选项D错误.故选:D.3 .答案：A解析：因为-3+2i是关于X的方程/+如+=0(机,衣可的一个根,所以-3-2也是方程的根.根据根与系数的关系可得厂3+27(：3-2i)不(-3+2)+(-3-21)=-w
9、即得户=，6=m所以6_=6_13=-7故选：A.4 .答案：D解析：因为(l+i)z=3+i,所以Z=含=g(3+i)(l-i)=2-i,因此IZI=J故选：D.5 .答案：D解析：由已知1二,解得Q=1,故Z=2i,其虚部为2,+10故选：D.6 .答案：C解析：21三=i,则Z =2- z-2 + 2i (-2 + 2i)(l-i) 4i . ZA .l + i (l + i)(l-i)故选:C./7?2 + /?-2 = 0 AnZF, C,解得机二一2.m-07 .答案：C解析：由复数2=+m_2-（根-l）i是纯虚数,得,故选：C.8 .答案：C解析z=-l-3i，zz=(1+y3
10、i)(-lV3i)=1+3=4Z-l3i1B=11zz-1333故选：C.9 .答案：BCD解析：对于A,因为z+Z2=3-2i,所以4+Z2的虚部为2,所以A错误；对于B,因为Z2-Z3=-3i,所以Z2-Z3为纯虚数，所以B正确；对于C,因为04=(1,-1),OC=(2,2),所以OA.OC=O,所以。4_L0C,所以C正确；对于D,由已知可得O4=z1=2,OB=z2=5,OC=z3=22,KOA2OB2=78=OC2,所以OA2+OB2-OC20,所以NC为钝角，所以D正确.10 .答案：BCD解析：对于A,e3i=cos3+isin3因为二30,cos3d)(x-yi)X kx+
11、一k 3 y工O，.M = L故存在实数2,使-=-为实数,此时k = 5 k z18.答案：(1) O(2) 1解析:由题意知八十率,一2 一 .z+z + l =12 2-fi+=o(2) . z3 =-li2 2.1-Z三=1-(?)674=1-1=0a19.答案：(1)2=-2(6?解析：(1)复数Z=2+i在复平面内对应的向量A8=(2,l),复数z2=-+i在复平面内对应的向量BE=(-1,2)，复数Z3=-2+i在复平面内对应的向量EC=(-2,1),AE=AB+BE=(2,l)+(-l,)=(1,2+1).因为A,E,。三点共线，所以存在实数4,使得AE=REC,I7所以(1,
12、4+1)=-2,1),解得Z=-一,=一一22(2) BC = BE+EC =3-1,-+(-2,1)=2（3）因为A,B,C,。四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以AO=8。,设A（x,y）,则AD=（3-xt5-y）.由（2）得所以，1,I2JX=6解得11，y=-故点A的坐标为（6,220 .答案：(1)w=-4,=解析：(1)由题意，zl=z2,即4cose+3sin6i=2+3sin6i,故cos=一,2根据根与系数的关系有n=-(zl+z2)=-(2+3sini+2-3sini)=-4,n=z1z2=(2+3sinOi)(2-3sinOi)=4+9sin*=4+9x1-(2)由(1
13、)知Sine=1-cos2=，2故不妨设Z=2+gi,z2=2-i.22设z=+6i(,bR),z,z1,z2在复平面内对应的点分别为Z,Z1,Z2,则z-z+z-Z2=35的几何意义即为复平面内ZQ与与2.空,Z22,的距离之和为，因为ZI与Z,的距离为止地=3L2I2J所以点Z(a,O)在线段Z1Z2上.故当Z为(2,0)时,IZl取得最小值2；当Z为Zl或Z2时，IZl取得最大值=亨.故IZl的取值范围为(2,孚21 .答案：(1)(-3,-1)(2)z=2(cos45o+isin45)122解析：(1)因为复数z=(m+3)-(m+l)i在复平面内对应的点在第一象限,/W+30所以，解
14、得-3用0(2)当加=一2时，z=l+i,所以r=l7H=及，cos6=sin。=-4=在22所以9=45。，所以z=(cos450+isin450).(3)(代数运算)根据题意得z=l+i在复平面内对应的向量。Z=(l,l),将其顺时针旋转60后得到向量0Z,则oz,对应的复数Zl=-=上I=Il+上史i.,cos60o+isin601+后222【多种解法】(3)(三角运算)根据题意得z=l+i在复平面内对应的向量OZ=(1,1),将其顺时针旋转60后得到向量oz,则Z1二&(COS45。+01145。),何8s(45j0o)+isin(45j0o)=3(cos5L5o).cos60o+is
15、in60olv7v)又因为COSl5。=恒史，Sinl5。=叵史，44所以Z =7，上卫一包W二122.答案：(1)A=T或&=一或女=g(2)-5,-3,-2解析：(1)因为4米2_4日+2+1=0是关于X的实系数一元二次方程，所以A0,因为。是方程4x2-4心+女+1=0的一个根,且为=1,当R时，则=1或=-1,若=l,代入方程得4左一4Z+Z+l=0,解得=一1；若。=一1,代入方程得4Z+4左+Z+1=O,解得k=_g；当。为虚数时，不妨设二z,则彳也是方程以2-4Ax+Z+l=0的一个根，故z。=詈，又因为同=1,即z=l,故z=l,k+1所以*=1,解得=；,4k3又A=i)2-44%gi)=-i6Z0,所以A=；综上：4=_1或Z=或女=.%+1(2)由韦达定理可知，Xi+x2=H%巧=F-，0,4k所以Xlx2二,+名_(百+3)2-2V：2_(为+,)22=4%2-软+4-4_2_TX2X1X1X2XiX2X1X2k+1Z+14+1因为+=T+2为整数，kz,X2X1K+1所以2+1必为T的因式，则2+1的值可能为T-2,TL2,4,则实数Z的值可能为-5,3,2,1,3,又因为,X2是该方程的两个实根，所以4=(4Z)2-4x4A(+l)=T6R0,则AvO,所以2的所有取值为-5,-3,-2.
