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1、人教A版（2019）选择性必修一第三章圆锥曲线的方程章节测试题学校：姓名：班级：考号：一、选择题1.设抛物线y2=4的焦点为F,直线/：%=一2为抛物线上一点,知_1/，时为垂足,如果直线M尸的斜率为#,那么IP目等于（）A.B2C.1Dl44442 .己知椭圆W+*.=（ab0）的右焦点为尸（3,0）,过点F的直线交椭圆于A两点.a2b-若AB的中点坐标为则E的方程为（）A.1+Z=iB.-+Z=iC.-+Z=iD.-+Z=i4536362727181893 .已知椭圆c：+f=1的左、右顶点分别是A,B,O是坐标原点,P在椭圆。上,且82IOpI=6,则的面积是（）A.22B.4C.42D
2、.84.双曲线C:二-/=1的左焦点为R过点尸的直线/与双曲线C交于A,B两点,若过3JA乃和点M（,0）的圆的圆心在y轴上,则直线/的斜率为（）A.也B.i2C.iD.g225.已知耳心是椭圆GL+L=1（b0）的左,右焦点,A是C的左顶点,点P在过Aa2b2且斜率为正的直线上,0耳工为等腰三角形,/6入P=120。,则C的离心率为（）A.2B.ic.lD.132346.加斯帕尔蒙日（如图甲）是1819世纪法国著名的几何学家,他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上,其圆心是椭圆的中心,这个圆被称为“蒙日圆”（图乙），则椭圆u+E=的蒙日圆的半径为（）A.3B
3、.4C.5D.6227 .不过原点的直线/:y=h；+皿左0,力0）交于a2b2A,B两点,M为AB的中点,O为坐标原点,若直线OM的斜率小于3,则E的离心率的取值k范围为（）A.（l,2）B.（2,+）C.（2,2）D.（2,）8 .已知耳，B是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且/耳尸6=60。,IPKI=3|尸周则c的离心率为（）A互B.巫C.7D1322二、多项选择题9 .已知抛物线C：2=4x的焦点为E准线/与X轴交于点M过M的直线/与抛物线C相交于A（X,y）,3（w,%）两点，点。是点A关于轴的对称点,则下列说法正确的是（）A.y1y2=-4B.4A耳+忸目的最小值为10C.B,
4、F,D三点共线D.MBMDO10 .过己知圆内一个定点作圆C与已知圆相切,则圆心。的轨迹不可能是（）A.圆B.椭圆C.线段D.射线11 .已知曲线：尸=16%,直线/过点尸（4,0）交于A,8两点,下列命题正确的有（）A.若A点横坐标为8,则IA却=24B.若P（2,3）,则+F的最小值为6C.原点。在AB上的投影的轨迹与直线工+指y-6=O有且只有一个公共点D.若AF=2FB,则以线段B为直径的圆的面积是81兀2212.已知椭圆加：二+=1（4/?0）的左、右焦点分别为6，尸2，若椭圆”与坐标轴分别交于AlC。四点,且从小工,AfCQ这六点中,可以找到三点构成一个等边三角形，则下列选项中可以
5、是椭圆M的离心率的有()A.BB.ic.也D.-2223三、填空题13 .过双曲线=l(O,bO)上的任意一点P,作双曲线渐近线的平行线,分别交a2b2渐近线于点MN若OMONJ,则双曲线离心率的取值范围是.414 .已知双曲线C的左顶点为4,右焦点为F,离心率为e,动点3在双曲线C的右支上且不与右顶点重合,若NBEA=e/84/恒成立,则双曲线C的渐近线方程为.15 .己知产为抛物线C:;/=2px(p0)的焦点,MN都是抛物线上的点,0为坐标原点，若40FN的外接圆与抛物线C的准线/相切,且该圆的面积为2兀,点q(_K,o,则丝4I2)IMQl的最小值为.16 .已知抛物线C：2=4y的焦
6、点为E平行轴的直线/与圆:Y+(y_1)2=1交于A,B两点(点A在点8的上方)，/与C交于点R则AAPF周长的取值范围是四、解答题17 .已知直线4_LX轴,垂足为/轴负半轴上的点瓦点E关于原点。的对称点为七且IEFI=4,直线Z1112,垂足为A,线段AF的垂直平分线与直线I2交于点民记点B的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)已知点尸(2,4),不过点P的直线/与曲线C交于MN两点,以线段MN为直径的圆恒过点P,点P关于Jr轴的对称点为。,若AQMN的面积是64忘,求直线/的斜率.18 .已知点A(2,l)在椭圆=+f=i(hO)上,且该椭圆的离心率为也.直线/交椭a2b272圆于
7、RQ两点,直线APAQ的斜率之和为零,求椭圆的标准方程；若cosNPAQ=；,求4PAQ的面积.19 .己知焦点在X轴的抛物线C经过点（2,-4）.（1）求抛物线C的标准方程.（2）过焦点尸作直线/,交抛物线。于A,B两点,若线段AB中点的纵坐标为-1,求直线/的方程.20 .已知椭圆的两焦点为6（-1,0）,E（LO）/为椭圆上一点,且2|周=IP制+1尸周（1）求椭圆C的标准方程；（2）斜率为k=1的直线过椭圆C的右焦点,交椭圆A,B两点,求AB线段的长.2221 .已知抛物线C:y2=2px（p为常数,P0）的焦点F与椭圆+1=1的右焦点重合,过点F的直线与抛物线交于AyB两点.（1）求
8、抛物线C的标准方程；（2）若直线AB的斜率为1,求A6.22 .己知椭圆：+=1（m0,加工加卜点A,3分别是椭圆与轴的交点（点A在点B的上方），过点。（0,1）且斜率为2的直线/交椭圆于E,G两点.若椭圆焦点在X轴上,且其离心率是走,求实数7的值；2若=Z=1,求公BEG的面积；（3）设直线AE与直线y=2交于点”,证明：氏GN三点共线.参考答案1 .答案：C解析：抛物线y?=4x的焦点为F(l,0)5M(-2,%),P(,yJ,由M尸的斜率为立得:=立,解得治=X，3-2-13,由于PMJj且P为抛物线上,所以y=-右,3=4X,3 - 4zmP和3 - 4=X*得解+3 - 4=P- 2
9、故选:C.2 .答案：D解析:设 4%,%)，8(,为)，所以27l+2L =a2 b2b+F,运用点差法,所以直线AB的斜率为攵=4,设直线方程为y=4(x-3),联立直线与椭圆的方程(储+6)/_6从x+9/-a=。,所以aX1+X2=2=2；又因为。2一匕2=9,解得=9，/=3 .答案：A解析：设P(W),因点尸在椭圆上,且IoPI=Lm2+n2=5则有,病2，消去见得到3/=3,所以|川二1，1=11 82又A(-22,0),B(2g,0),故PAB的面积是S=42X1=2应.故选：A.4 .答案：A解析：由题意可知:尸(-2,0),设Aa,y),5(x2,%)A的中点为尸,过点A,
10、3,M的圆的圆心坐标为G(Oj),则IG=yt2+7=r由题意知:直线AB的斜率存在且不为0,设直线AB的方程为:x=my-2,x=tny-2联立方程组f,化简整理可得,=1(/M2-3)/-4+l=0,则用2一3:0,4=16一4(/-3)=12疗+120,4w1i=E=E故AB的中点尸的纵坐标V=江&=L,横坐标X=my-2=-，2”-3tn-3则尸6 2mfn2-3ym2-3J1由圆的性质可知:圆心与弦中点连线的斜率垂直于弦所在的直线,2mt所以即G=%-3=一例,化简整理可得:t二学一,-4-0-3m-3则圆心G(V)到直线AB的距离d=162+1223(+ n2)-3)-M2-3|l
11、+n2r2=d2 +-AB ,即户+ 7(2)(m52)23(2l)2+n2-3)2(8疗Y将代入可得：64/7730 +叫2,E1+1+/aMnrr36w2+3630+疗J即7+7=丁+-，(m2-3)(m2-3)(苏-3)整理可得:“一5.+6=0,则(-2)(,n2-3)=0,因为/-3(),所以-2=0,解得m=,.=土也.m2故选:A.5 .答案：D解析:分析:先根据条件得PK=2c,再利用正弦定理得,c关系,即得离心率.解析:因为APKg为等腰三角形,N4死尸=12()。,所以PE=Kg=2c,由AP斜率为B得,tanNPAF,=,SinZPAF,=，=,COSZPAF2=隼,62
12、613213AF2 sin APF2由正弦定理得空=史上空，2c=屈=而=2Byi2115TB-2B故选D.6 .答案：C16 9解析：由蒙日圆的定义,可知椭圆。：工+.=1的两条切线=4、丁=3的交点(4,3)在圆上，所以蒙日圆的半径r=77=5故选：C.7 .答案：B解析：设点A(APy),5(,%)则有王一江=1W-K=I/b2a2b2两式作差解得：立二立=亡,八2Lt-即g+x2）（X一马）=（%+%）（%一。2）/b2设M（F，%），因为 +%2 =2%，%+% =2% (W代入整理得%号即=，由题意知互fc3b23a2又因为从=C2_白2,解得：c24a2We24e2故选：B.8
13、.答案：A解析：因为|?制=3俨图,由双曲线的定义可得|PITPEl=2|尸阊=2，所以%=,PE=3;因为NK尸鸟=60。,由余弦定理可得4c?=9储+储一2X3cos60。，整理可得公2=7储,所以/=.,即e=也.a242故选：A.9 .答案：CD解析：设直线/:X=冲-1,联立方程组r=4,z1Zl八同何+%=4加即直线3。过点E选项C正确；对于D选项，8=（毛+1,%），=&+1，一凹），aMMD=x1x2+x2+l-y1y2=l+4n2-2+1+4=W40*三DJE三正确答案是C.D10 .答案：CD解析：如图,设已知圆的圆心为A,半径为R,圆内的定点为8,动圆的半径为.若点A与点
14、8不重合,由于两圆相内切,则IAq=Rf,由于=忸C,因为IAq=RTBq,即ICAI+cb=R,所以动点。到两个定点Af距离和为常数R,又因为3为圆内的定点,所以IABl2)2+y2=4(y0),联立x+3y-6=0.、2/V，/y2-23y+3=0,=23)-4l3=0(x-2)-+=4(y0)17解得y=J,所以直线X+百y6=0与(x-2)2+y2=4(y0)只有一个交点,故C正确;对于D,设直线/的方程为x=)+4,、fx=(y+4C联必2得y-16y-64=0,y=6x所以Y+必=16/,Xy2=-64因为通=(4-p-y),丽=。-42，网)而入R=2F瓦所以-M=2%,所以y+
15、必=-2%+必=一=,所以%=-16,，y=-2y2=32/所以My2=-512/=-64,解得1=也，4则y+y2=16r=4在，凹必=一64所以回-%|=(乂+%丫一分防=(42)2-4(-64)=12忘,IABI=炉下帆-卜18,所以以线段48为直径的圆的面积是5=/=2芷=8也,故D正确.故选：BCD.12 .答案：AB解析：不妨设A,B为长轴端点CQ为短轴端点,已知A,B关于原点对称,K,F1关于原点对称,CQ关于原点对称,相应的三角形只取其中一个即可；首先ZkABC可能是等边三角形,因为OC08,所以ZCABo力0）的渐近线方程为:加0=0,a2b-即y=2,设点P(XO,%),可
16、得:=2(工_/),by一%=u-)联立方程组2b 2a，解得:Mby=-a同理可得:NI网佻-仪、I2b2a）所以OMoN=为2一.及：.一从疗二片,4b2402因为立一4=1，所以b2x-a2y0i=a2b2,a2b2所以。MON=公里,由题意可得:生，444所以忙L故离心率e=Z且,又因为双曲线的离心率el,/2aa22所以双曲线离心率的取值范围为故答案为：（1,亚I214 .答案：y=y3解析：如图:因为ABFANBAF=e恒成立,取特殊位置BFlx轴时,此时NBFA = 90，所以NBAF在RtABF中,tanNBAF=AF双曲线C:*一方=l(40,b0)中,4/=+(;，y =
17、Q,a将X=C代入双曲线方程得U_=1,整理可得:a2b1取点B（G位于第一象限,所以6Fa）b2人J tanZBAFb2CAFa+c(+c)a(a+c)a所以tanN84Z7=tan=e-eJ当e2时，e-11，tan(史。tan45o=1,此时不符合题意,故不成立,e)Sle2W-ltan45o=1,此时不符合题意,故不成立,当e=2时,tantan45o=1=e-l所以c=2,即=2,可得S=年=4,所以从=34,aaa2所以乂=3,2=.73,a2a所以双曲线的渐近线方程为y=土瓜,故答案为：y=+y3x-15 .答案：叵或Le22解析：依题意作下图：ORV的外接圆与抛物线C的准线/相
18、切,外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，又圆心在。尸的中垂线上,中垂线的方程为=K,准线方程为=-K,.K+=3,p=2,42242并且点。是准线与X轴的交点；抛物线C的方程为:y2=4x,过M作MFJJ得MF=MF,=cosNFMQ=cosNMQF,阿IVV.修葛最小即NMQF最大,显然当QM与抛物线相切时NM2r最大，设直线QM的方程为y=Z(x+D，联立y2=4x得:k2x2+(2公-4卜+公=0,令A=(2/_4丫-4/=0,解得A=1,即NMQF=；,.CoSZMQF=孝，故花的最小值为2故答案为:走.216.答案：(3,4)抛物线C的焦点尸(0,1),准线为=过点。作QMJJ,垂
19、足为点M由抛物线的定义得H=IZ)M圆的圆心为点正,半径长为1,则相的周长L=IADI+目+1A同=IADI+OM+1=IAM+1,当直线/与圆相切时,则点A、8重合,此时4(1,1),MM=2；当直线)过点尸时,则点A、D、尸三点共线,则AM=FM+A川=2+l=3由于A、D、尸不能共线,则2A3,所以,3AM+14,即3L+320，y=Sx所以y+必=8?yy2=一8,所以IMN=yjnr+1y1-y2-a112+1Jy；-4y%=2+1。64裙+32几，又点Q(2,-4),点Q到直线/的距离为d=,2+1所以SQMN=f7V.6=24n-n64772+32n,又以线段MN为直径的圆恒过点
20、尸,所以PM.PN=O，所以(再-2)(x2-2)+(y-4)(%-4)=工工2-2(石+-)+%-2(弘+%)+20=0,22又Y_yY-必乂XLTy所以-%；%+%-4(y1+%)+20=0，所以噜“_(+咤-2%y?+丫防-4(%+%)+20=0，所以2一1662_2-32m+20=0,所以5-6)2=16/+326+16,即(一6)2=16(m+1)2,所以一6=4(加+1),所以=4m+10或n=-Am+2又直线/不经过点尸,所以-4利+2,所以=4m+10,此时满足0,所以S=g2+4m-J64+32=32J(w+1)2+4=64,解得加=1或加=一3,所以直线/的斜率为1或-L3
21、63辿25由题意可得a2 =6 / = 3, ? =3a2411/H所以椭圆方程为+=1；63不妨设直线A尸的倾斜角为锐角且为夕，则直线AQ的倾斜角为-e,所以NPAQ=兀-2，因COSZ.PAQ=,cos2=-=cos2。一Sin?1ta解得tan=土近，33l+tan8又为锐角,所以tan。=于是得直线ARy-I=五(X-2),AQ:y-1=-2(x-2),r29联立方程组63消去y得：5f+(4应-16)x+12-8五=0，y-=y2(x-2)因为方程有一根为2,所以小=6-4号=_3-4近,F5P5同理可得XQ=6+y,为=32,所以2。:-丁-2=0”2|=叱点4到直线PQ的距离21
22、522,55d=a所以APAQ的面积为L3X逑=3也；25525综上,椭圆方程为二+f=UZXPAQ的面积为L3x迈=雇.632552519.答案：(1)=8x;(2)4x+y-8=0.解析：(1)由题意可设抛物线方程为：=2px(p0),抛物线过点(2,T),.16=4=p=4,.,.y2=Sx;(2)设/的方程为x=my+2,A(,yJ,3(x2,y2),2_8%则由y2-8/ny16=0,=Mnr+640,X=my+2所以Y+必=8根，由题意1=-1=+%=-2,乂+%=8加=-2=加=一(,即直线/的方程为4x+y-8=0.20 .答案：(1)上+匕=143解析：(1)耳(To),及(
23、1,0),寓闾=2,|尸制+IpEl=2|可国=4=2,=2.,.2=a2-C2=3所以椭圆。的标准方程为三+21=43(2)斜率为&=1的直线过椭圆C的右焦点用(1,0),所以直线方程为:y=x-l,联立椭圆C的方程f+f=i得:+(XT)=i，化简得：7f8x-8=0,43设 AG，%),，则，故=J+J(+%2)2_4%J=,21 .答案：(1)=8x(2)16解析：(1)因为椭圆卷+91的右焦为(2,所以尸(2,所以旦=2,即p=4,2所以抛物线C的标准方程=8x;(2)由(1)可知,直线AB的方程为y=x-2,联立方程2,得-72+4=0,y=Sx设A(XPyJ,8(x2,m),所以
24、X+=12,x1x2=4,所以AB=1+12x1-9I=应*(x1+x2)2-4x1x2=屈Jl44-16=16-22.答案：(1)m=22(氏1)3证明见解析解析：(1)依题意,QZ=e2=L解得m=2(负数舍去).加22(2)Z=I的直线经过(0,1),则直线方程为：y=x+l;2m=1,则椭圆的方程为：X2+2_=1.2y=+设E(%,y),G(2,%)联立直线和椭圆方程：，/,消去丁得至U3f+2x7=0,%+=12解得M=-1,赴=L则y=0,%=3故e(t，0)，尸，33于是阿=卜T)+(*)=孚依题意知,8为椭圆的下顶点,即仇0,_J),由点到直离为：y.的C142l+22+22
25、beg2323(3)设E(%,yJ,G(x2,%)联立直线和椭圆方程:得到(m2k22)x2+2knrx-m2=O，由E(%,y),4(0,)得到直线AE方程为：y=上4引，线的距离,b(0,-2)到y=x+l的距y=kxjt-2,iX1,b+=1x2,Cl为说明B,G,H三点共线,只用证原G=怎，即证：A下用作差法说明它们相等：丫2+应_2+6_%+忘_(2+忘)(.-0_%+马(2J)XX(2V)州-母而.1.1为十2kx-,+1+I+/2X=Axl+l,y2=+l,力、二=-=+X2X2X2(3+2)(y-)=(3+2)(g+l-扬=。+?)k-xX八于是上式变为：2+匕也-(3+24+叵=(+l“再22(2-)XK-夜y/2(3+22)(yl-2)百，+l(11A+(2+22UI再X2)(七斐L即h(2一空a又6(/,%)，6(0,-应)_-2kn由韦达定理,a”/父+2,于是生也=2Z=L+L-ZTZ2W2%ZM=诉/(1、故(&+1)+(2+2=0,命题得证.IX2JIBI=Jl+MJ(y+%)2-4%必=Jl+M
