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1、基于拟粒子群优化和曲面细分的自由曲面轮廓度误差精密评定温秀兰赵艺兵王东霞朱晓春薛小强南京工程学院自动化学院摘要虽然对自由曲面进行高精度加工近来已取得明显成效，但是实现其精密检测仍是一个难题。为了解决目前国际标准没有针对自由曲面校验提出具体检测指标，借鉴有关形状公差国际标准及同时考虑自由曲面复杂性和非有理对称性，提出自由曲面轮廓度评定参数，并建立用非均匀有理B样条(NURBS)表示自由曲面的数学模型。自由曲面校验及其轮廓度误差校验中的关键问题是实现设计坐标系和测量坐标系之间定位以寻找设计模型上与被被测点对应的最近点，为此提出采用拟随机粒子群优化算法搜索坐标变换参数实现设计坐标系与测量坐标系之间定
2、位，并研究采用曲面细分方法通过在NURBS设计模型上逐渐缩小参数u和V范围来寻找最近点。为了证实所提出方法的有效性，仿真实例的设计模型由NURBS产生，测量数据通过将设计模型变换任意位置和方向而产生；实际零件基于该设计模型加工得到，并用三坐标测量仪对其进行检测。采用所提出的方法对仿真实例和实际零件轮廓度误差进行计算，结果证实由所提出的方法计算的自由曲面轮廓度误差的精度比由三坐标测量仪给出的结果高10%22队将拟粒子群优化算法与曲面细分方法相结合用于自由曲面零件形状误差评定，解决了自由曲面零件轮廓度误差评定精度较低的难题。关键词:轮廓度评定自由曲面拟粒子群优化曲面细分1 .简介自由曲面（又称雕塑
3、曲面）被广泛应用于汽车，飞行器，涡轮机叶片，生物医学，直升机螺旋桨等诸多方面。对CAD和制造环境的自由曲面建模加工的研究也已经开始大量进行。由于自由曲面的复杂性及非旋转对称性，在实际测量中很难找到能精确有效地校验其廓度误差的方法。因此，对自由曲面零件的检测变得越来越挑剔。由于三坐标测量仪（CMM）可以在较小的测量不确定度下测量出对应宽范围目标的曲面坐标，核对面积与形状，所以它们已经被全面应用到自由曲面的测量中去。通过将CMM得出的数据和设计模型进行对比就能够确定人造曲面是否在容差范围内。对于自由曲面来说，我们比较的是测量得出的相应点集与设计图面之间的差异。无论如何，设计模型是在设计坐标系（DC
4、S）中建立起来的，而实际零件是在测量坐标系（MCS）中完成的。我们有必要将这两者放在一个公共坐标系中，这个公共坐标系被称为“定位”。“定位”是指位置的测定以及DCS中与MCS有关量的定位。在自由曲面的廓度误差校验中要解决的关键问题就是定位以及寻找设计模型上的最近点所对应的被测点。因此，大量关于如何定位的方法应运而生。在传统方法上，我们通过呈现理想位置，使用特殊工具，固定设备以及其他特殊产品专用定位设备来完成定位。这类过程往往耗费高，而且设计和生产新的固定装置也需要耗费大量的时间和精力。在近些年的实践中，我们开始通过数学方法将DCS与MCS置于同一线上从而完成定位。这种数学方法即就是使用一些处理
5、非线性方程得来的初始数据作为变量，在三个坐标轴上进行三次旋转角度和三个平移量来观察定位的变化。MENG等人提出了一种通过奇异方程法来确定量度和变化矩阵T的代表点的方法。随着技术和方法的不断优化，许多如神经元网络，遗传演算法（GA）,粒子群演算法（PSo）等等的优化方法作为解决定位问题的方法被提了出来。同时，两个曲面之间的对应关系取决于两个曲面最近点位置的选择。迭代最近点过程（ICP）适用于处理回归过程中的三维变化矩阵，由ICP得来的参数空间包含了许多最小值。在实际应用中，两个曲面在进行ICP前必须是很靠近的，才能进行比较。预处理及用户交互所需的目的性和精确性以及稳定性都不能得到保证。而且，为了
6、确定设计模型与被测点的最近点，我们也必须解出非线性方程的解，这样的过程非常耗时，也容易受到对对应点最初猜想的影响，并且不能保证在任何情况下都能找到一个结局方案。在这篇论文中，针对没有特殊标准来核实自由曲面廓度的这一问题，我们提出了用阔度误差参数解决的这一办法，同时也提出了用拟粒子群优化法(QPSO)来完成自动定位以寻求DCS和MCS之间的对应关系。曲面再分法用于寻找设计模型到每一个被测点的最近点。本篇论文组织结构如下：构建自由曲面设计以及提出自由曲面廓度误差参数。然后，用QPSo完成自由曲面定位，用曲面再分法计算出设计模型上对应于被测点的最近点。最后，通过模式示例以及实际测度来证实所提出方法的
7、有效性,并总结概述结论。2 .自由曲面以及它的廓度误差2.1自由曲面的NURBS描述NUBRS是一种在电脑平面艺术中被广泛用来生成和描绘控制解析结构(用数学公式界定曲面)和模型结构的曲线的数学方法，这种曲线具有很强的稳定性和严密性。它们被广泛应用于CAD领域，制造业，机械制造学中，它们同时也是许多企业广泛应用的标准中的一部分，比如说IGES,STEP,ACIS和PHIGS。NUBRS允许以简洁的形式呈现几何图形，而且可以使用电脑程序高效操纵，并且可以用来进行简单的人际互动。在NUBRS中可以由U和V两个参数空间描述自由曲面，定义如下：玄文RjWijNi,p(u)Nj,q3S(U9V)=YyCC
8、%M,p()Nj,gW)/=0y=o(1)玄玄PKpg(MV),WijMp(U)Njq(V)r=0J=O公式中的Pij代表控制点，Wij代表权值，Ni.p(u)和Njq(v)是定义在独立节距U和V上方向U和V上的角度P和q的非均匀有理B样条的基础方程,n+1和m+1分别是控制点在X和y轴上对应的数值。2. 2自由曲面的廓度误差在工业生产中中，很有必要仔细检查复杂的自由曲面零件来确保加工产品的高质量。无论如何，现实中对自由曲面检验的标准还是不够充分的，因为误差评定的测量方法和参数空间不明确。近年来，在IS017450中提出了新一代产品检验的GPS。考虑到规则的几何图形之后，ISOGPS标准可以用
9、来检验直线，平面，圆以及柱面。拟合操作适用于根据一些专用准则使典型特征与非典型特征相匹配。当廓度公差适用于复杂型面或复杂曲面时，我们无法找到完全符合的专用检验标准。假设p,i,j(x,i,j,yW,ZQ是设计模型上对应于被测点qi,j(xwi.j,yi.j,zi,j)的最近点，i=l,2,.,A,j=l,2,.，B,A和B是被测点在X和y方向上对应的数值。q,j和pw间的距离可表述如下：%=土同TJm)2+(Z；J-%)2.(3)如果在Z轴方向上点q.j位于p7之上，那么di,j是正量，反之则小门为负量。距离间的这一标志代表着被测点与和它对应的设计点之间的位置关系。d1.j值的正负在加工件的检
10、验方面具有实际意义：得出一个正值意味着被测点是远离设计点的；因此，在加工件的这个位置上必定还存在着额外材料。得到一个负值意味着被测点是在设计面里的，而且在这个位置上存在过切。考虑到自由曲面的复杂性和非旋转对称性，我们参考ISO标准中关于公差的部分得知，可以用峰谷线廓度误差和均方根误差来检验自由曲面。(1)峰谷线廓度误差(民)&,j的最大正值(d)减去d,j的最大负值(dv)即为EPtUEPV=4d.(4)(2)均方根误差(Eq成,定义如下：(5)3.用QPSO完成自由曲面定位3.1 自由曲面定位在利用CMM对以CAD模型为基础的实际部件惊醒定向检测的过程中，要根据DCS建立部件的设计模型并由M
11、CS得到测量数据。我们可以通过变化矩阵描述测面与设计模型间的关系，表述如下：Tayy,tx,ty,tz)coscossinasincos-cosasincossinsinasin夕Siny+cosacos,a.(6)-snpSInaCOS/00cosasincossinasintxcosasinJ3sin-sinacostvCOSaCOStz01其中，,B和丫分别代表x,y和Z轴上测面的旋转角度；工工,和tz分别代表x,y和Z轴方向上的平移。曲面定位旨在尽可能地将测面与设计模型靠近。因此，我们将目标函数g定义为设计模型上的点与CAD模型定向检测被测点间距离的总和：AB、g(a,*t,ly,tj
12、=minEElTm-九I,(7)=17=1J其中，P-(xlj,山山ZiJI)T是CAD设计模型上对应于被测点(Lj=(Xi,j,y,filj,z”/1尸的点。所以，定位的过程又可以称为是寻找(,B,tx,ty,tz)的一个估计值的过程，该估计值可以使目标函数g(,B,tx,ty,tz)达到最小值。3.2 QPSO在自由曲面定位中的应用拟随机序列在数值积分和随即搜索优化法中有很强的适用性。众所周知的拟随机序列代表有霍尔顿，哈默斯利，福尔，索博尔，尼德赖特。从概念上来讲，霍尔顿序列是十分具有吸引力的，因为它可以通过简单的计算程序被轻松快速地推算出来。因此，本论文选定使用霍尔顿拟随机序列来取定PS
13、o方法下的初始位置和粒子速率，这种方法称为拟粒子群演算法。3.2.1霍尔顿序列霍尔顿序列并非只有一个，它取决于作为建立起矢量分量的基础的一系列质数。使用最小质数是一个比较典型且高效的方法。假设b是一个质数。K是任意整数且k0,则可以写出这样一个由质数b描述的表达式：k=hjbj+%_*+结+&,(8)其中，hiw0,l,.,bTi=0,L.，j.定义b的倒根函数Ik)为:b(k)=k恒十+%”m.(9)注意，对于每一个整数k0,都有M(k)0,1。霍尔顿序列中的第k个要素是通过由k估计出的倒根函数得来的。特殊的来说，如果b,.，btl是h序列中的不同质数，长度In的h维霍尔顿序列由x,.,涓决
14、定的。对序列中第k个要素的表述如下：XA=咻/T)，(ZT)F，(10)其中k=l,.,m3.2.2QPSO在自由曲面定位中的应用QPSO演算法的第一步是利用霍尔顿拟随机序列来设定初始的M粒子群(M指粒子规模)，在每一次循环中有d个未知参数进行优化(d是指优化变量的维度)。变化矩阵可由六个参数排列(,B,Y，trL)得来，(,B,Y，tx,ty,tj被视为一个粒子。使目标函数g(,丫，t,ty,tz)达到最小值的最佳粒子可视为完成测面与设计模型间定位的转换参数。用QPSO完成定位的流程如下：（1）输入自由曲面的设计点与被测点。（2）用霍尔顿拟随机序列设定所有粒子的初始位置和初始速率。（3）根据
15、公式（7）计算出所有粒子所对应的目标函数值。目标函数值越小，与其对应的粒子就越优。（4）改变速率。由于因子收缩法（CFA）可以确保基于数学理论基础上的搜索程序的整合性，并且可以找出更优化的解决方案，因此因子收缩法常备用来修改速率。根据CFA法不断循环改变粒子群中每个粒子（Si）的速率和位置参数：+l=Kw+CM/S；+（U）2K=尸=,（12）2-y2-4其中：H代表第t次循环中第i个粒子的速率W代表第t次循环中第i个粒子的位置S功代表O和1中统一的随机数字，j=L2,.,d.代表粒子i先前的最优位置”代表群的最优位置CI代表在位置上，决定对每个粒子的拉力大小的加速度因素02代表在“位置上，决
16、定对每个粒子的拉力大小的加速度因素K代表紧缩要素，当G和C2同时满足9=C+C2（5）改变位置。位置的改变由如下的条件完成：s；+i=s：+W，（13）其中，At是时间步长，通常我们将其设定为一单位。（6）计算出所有粒子的目标函数值。（7）改变先前的最优位置，如果当前的粒子目标函数值小于过去的值,用当前位置替换4。（8）改变群最优位置。如果当前的粒子目标函数值小于过去的“值，用当前位置替换（9）回到第四步，直到满足最大化循环。（10）输出转换参数（,B,t,ty,tz）04,用曲面细分法寻找最近点考虑到实际部件的生产加工中包括了所有类型的加工误差，在定位完成后，被测点并不能完全与NURBS设计
17、模型上的点相契合。为了精确计算出自由曲面的廓度误差并且提高估计精度，我们有必要设计模型上对应于每一个被测点的实际最近点。曲面细分法通过在NURBS模型的参数U和V的递减范围中进行搜索，可以找到最近点。这一方法可以称作是一个循序渐进的过程。（1）输入被测点qi,jo（2）设定参数U和V的初始范围作为整体范围，即，uw0,1,VE0,1,参数U和V的范围取值W均等于1。（3）将范围W划分为n个等大的小区间，区间宽度6等于w/n。（4）从参数U和V的范围中找出被测点qw的最近点d并假设最近点坐落于参数值（Uo,Vo）点。（5）将曲面切割成n个等大的小区间，并使每个区间的宽度6=n.（6）在参数U和V
18、的递减范围内寻找最近点：uEu0-,Uo+,Vv0-,V0+,并且取得新的参数值（Uo,V。）。（7）如果进行两次连续的曲面分割，分别得到的最近点分布地足够近，且满足先前设定的准确性要求，则停止。负责，继续第（5）步。5.结果和讨论为了证明上述方法的有效性，我们决定引进仿真实例以及实际部件。5.1 仿真实例设计模型是由三坐标测量仪生成的。在表1中我们给出了控制点的坐标和权值。表L控制点的坐标和权值PointCoordinateWeightWx/fnmmmz/nunPuYo-4501Pa-40-2701Pu-40-901P1.4-40901PsTO2701-40455.2000IPu-20Y55
19、.20001PC-20-2726.0000IP23-20-918.20001Pm-20913.00001s-202710.40001Pf-204515.6000IPJj0YS01%0-2726,0000P330-920.80003P“0926.00001P202713.00001P*0450I/J20Y57.80001PC20-2726.0000IPc20-933.80001p”20926.0000IP220275.20001Pf2045520001PC40-4501Pu40-270IP3340q01P”40901%40270IPd40457.80001U和V方向的度P和q均为3,节点向量U=
20、0,0,0,0.3333,0.6667,1.0000,1,0000,LOoO0,节点向量V=0,0,0,0.2500,0.5000,0.7500,1.0000,1.0000,1.0000O设计模型的图解如图1所示。在三维空间内将设计模型转换到任意位置和方向便可得到测量数据分点。当转换参数(,B,tx,ty,tz)设定为(0,0.2,0,10,-2,6)时，测面如图2所示。EEnapPJOOD图LNURBS设计模型图2.测面在使用QPSo法使参数(,tx,ty,L)达到最优化的过程中，将最大进化代数设定为300。图3演示了优化过程。Evolution generation /EIn/MUPA U
21、O=JUry e3fqo图3.优化过程由（50得至1的参数（。,6,丫4*,1丫,匕）为（7.2693335*1（）9,0.20000000,-1.1407580XlO9,10.000000,-2.0000000,6.0000000）0由QPSO得到的优化值几乎和设计值相同。由图3我们可以看出，QPSO法可以高效找出转换参数，并且可以精确而且迅速地完成设计模型与测量模型间的定位。接下来，我们用曲面细分法找到了设计模型对应于每一个被测点的实际最近点。峰谷线廓度误差和均方根误差分别为0032166nm和0.011693nm0廓度误差大约为0,因为测量数据是直接由设计模型转换而来的，而且生产误差也是
22、模拟而来的。仿真实例充分证明了本文提出的方法可以精确且迅速地估算出自由曲面的廓度误差。5.2实际部件以上述仿真实例中的设计模型为根据，由PLITZHitechLV-800多工序自动数学控制机床生产部件，生产过程如图4所示。图4.部件生产过程将部件装置在NC454CMM机器上，由RationalDMISCAD+软件进行测量,如图5所示：图5.CAD模型的直接检测测量数据如表2所示:表2.测量数据和最短距离No.-CrdinateDistanced/mmNo.-Q)ordinateDistanced/mmx/mmy/mmz/mmx/mmy/mmz/mm121.8371-30.4953-10.482
23、5-0.219251-3.133931.0312-15.2676-0.3268222.8366-21.4676-7.2205-0.222352-2.729022.3099-10.30280.0632323.4203-15.0176-6.7404-0.170253-2.129715.3921410650.1307423.6722-9.3540-6.8241-0.223154-1.44616.7929-3.57450.1545523.5992-3.6311-6.9274-0.255655-0.8323-0.8252-3.09710.1582623.31652.3996-7.1852-0.27465
24、6-0.5197-6.1146-3.64040.2483722.73088.93263633-0.1914576147-9.1930-3.67600.2608821.687015.6519-11.0298-0.167258-1.1107-12.2291-3.28870.3442920.275422.2980-15.07750.205659-2.0012-18.2071-3.0370-0.10051019.112330.9285-18.42640.118060-2.4001-28.3379-7.7809-0.3208Il12.614931.0545-17.2612-0.120161-6.8729
25、-28.7936-7.9075-0.41461213.677422,3275-12.49600.10806245%4-18.9057-3.3406-0.27031315.139915.5954-7.39500.098963-5.7322-12.8591-3.88660.21401416.22398.5319-4.0503-0.128764-5.0598-9.1915-4.75880.19291516.76521.7545-2.6511-0.188265-4.9441-5.6213-5.06570.13071616.9803-4.0704-2.4593-C.175766-5.2390-0.332
26、5-4.74500.10711717.0011-9.3289-2.3647-0.132767-5.74957.0925-5.13710.13371816.6972-14.4779-2.2695-0.093168-6.363015.4178-7.27610.115619)6.0659-20.7103-2.8542-0.178869-6.845522.2825-10.8200-0.08192015.0130-29.9208-7.2815-0.196270-7.113930.9332-14.8671-0.41632110.7454-29.4408-6.4789-0.155871-11.049330.
27、8082-14.5278-0.54602211.7529-20.0069-1.29649.099872-10.930422.2556-11.7533-0.12102312.3331-13.9811-0.58410.074573-10.472615.4608-8.91760.10672412.6386-9.3133-0.6512-0.079574-9.88307.7041-7.05980.11432512.6791-4.483-0.7220-0.083575-9.47440.5588-6.47580.06912612.53281.1310-0.8627-0.079176-9.4950-4.888
28、3-6.41760.07542712.04578.1035-2.31200.126077-9.8541-9.2512-5.77610.14392810.981215.5586-5.92740.157078-10.5720-13.5863-4.58540.2386299.693322.3377-11.32240.119079-11.4498-19.8925-3.6689-0.1405308.670I31.1080-16.6924-0.152680-11.2763-29.4796-7.9023-0.4090314.733531.1226-16.1881-0.207781-16.6798-30.17
29、25-9.2397-0.3207325.619022.3362-10.56480.123282-16.9165-20.8379-5.74750.0840336.668715.4599-5.36200.189583-16.1030-14.2743-6.76550.2003347.45697.4427-1.83470.290384-15.3955-9.2855-8.02950.1393357.85960.3015-0.37130.286985-14.9418-4.2625-8.79080.0640368.063I-5.0412-0.23790.216286-14.78931.4704-9.1030
30、0.0573378.0090-9.2747-0.21220.234987-15.01368.3677-9.83560.0486387.6439-13.3297-0.27600.290888-15.486515.5307-11.41510.0350396.9741-19.0947-1.30490.212789-15.982322.266573.477I-0.1750406.4910-28.7960-6.9445-0.213390-16.179330.7768-14.8271-0.5324412.0826-28.3788-7.4710-0.261791-24.131030.8117-16.9469
31、-0.5674422.7264-18.2483-2.29430.183392-24.000122.2638-17.0105-0.3495433.3221-12.5340-1.84520.411793-23.582915.5543-15.8735-0.2322443.5453-9.2343-1.86820.398294-23.24988.9550-14.7504-0.1750453.7208-5.7504-1.76470.347895-23.21992.4005-14.0425-0.1714463.6661-0.6450-1.57120.252396-23.5099-3.6315-13.6167
32、-0.1546473.06426.8819-2.45590.192097-23.9825-9.3295-12.9487-C.1520482.246715.4045-5.44960.155998-24.6158-15.0185-11.9442-0.1430491.438222.3307-10.22730.075999-25.2675-21.6988-11.2294-0.1625500.810131.0948-15.7103-0.2634100-24.9294-30.7686-13.5374-0.3044QPSO适用于在既得的测量数据和CAD定向设计数据间进行定位。转换参数(,tx,ty,tz)进
33、行QPSO优化后为(0.068737,0.448625,359.870050,0.028193,-0.008607,0.15961Do设计模型上对应于每一个被测点的实际最近点是通过平面分割法得来的。本文也计算出了每一个被测点距离设计模型上实际最近点的最短距离，如表2所示。廓度误差计算结果如表3所示。为了做以比较，表3中亦给出了由CMM软件计算出的最大正距离和最大负距离。峰谷线廓度误差由公式(5)计算得出，其结果为0.9791mm。从表3可以看出，由本文所述方法计算出的峰谷线廓度误差值小于由CMM软件所计算出的峰谷线廓度误差值，这是因为CMM软件执行的是循环运算,而且它对初始值十分敏感。许多实例
34、证实,由本文所述的方法计算出来的自由曲面廓度误差的估算精度往往高出CMM软件估算精度1020个百分点。表3,实际部件的计算结果LargestLargesiPeak-valleyRootmeanMethodpositivenegctiveprofilesquareerror4/mmvmmpv/mmEnnmmProposedmethod0.4117-0.56740.979I0.2244CMMsoftware0.55940.63371.193I一6.结论(1)由于在自由曲面廓度检测方面没有专用标准，为了解决这一问题，我们提出了自由曲面廓度评定参数这一概念。(2)提出用QPSO法来完成MCS和DCS间的定位。这一方法具有运算简便，稳定性高，高效和高准确性的特点。(3)提出用曲面细分法来寻找设计模型到相应被测点的最近点。这个距离的意义是很明确的，它可以为自由曲面零部件的加工,尺寸减缩以及形状误差提供指导。(4)零部件的设计和加工是基于其CAD设计模型的基础上完成的。本文所述方法可以适用于仿真实例和零部件的廓度误差估算。实验结果证实，由本文所述的方法计算出来的自由曲面廓度误差的估算精度往往高出CMM软件估算精度10-20个百分点。在高精度自由曲面部件的形状误差估算方面，上述方法尤为适用。
