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1、北师大版(2019)选择性必修二第二章导数及其应用章节测试题学校：姓名：班级：考号：一、选择题1 .已知定义在R上的函数力的导函数为(G),若(x)-2)=e2+2,则不等式/(InX)x+2的解集是()A.(,e2)B.(0,2)C.(-oo,e2)D.(-oo,2)2 .定义在R上的可导函数小)满足1)=1,且2/(x)l,当XW-py时,不等式/(2CoSX)+2sin?的解集为()at)b-t)CMD(蓊)3 .己知奇函数八幻满足/(T)=L则Iimf9T)+f(D=()AsO2xA.-lB.lC.lD-I224 .已知函数/(x)是定义在(0,+)上的可导函数,/(1)=2,且f(x
2、)+1f,(x)1的解集为()A.(0,l)B.(l,+oo)C.(l,2)D.(2,+)5 .已知Ac(1,+),efl=90lnll,e=IOblnlO,?=llcln9，则。力的大小关系为()abccabbcacba6 .若函数F(X)=丁+/一5%-2在区间(利,利+5)内有最小值,则实数团的取值范围是()A.(-4,l)B.(-4,0)C.-3,l)D.(-3J)7 .设函数/(x)的定义域为R,其导函数为广(X),且满足/(x)/(X)+1,/(0)=2023,则不等式e-(%)er+2022(其中e为自然对数的底数)的解集是()A.(2022,+)B.(-,2023)C.(0,2
3、022)D.(-,0)8 .某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一件产品，成本增加100元，1)40()r-r2()400,总收入-总成本)最大时，年产量应为()A.100件B.150件C.200件D.300件二、多项选择题9.已知定义在R上的奇函数F(X)满足/(3T)=/(T+x),且当冗0,l时，/(x)=-2x,则下列说法正确的是()A.函数力的一个周期为4B.当xl,2时，函数/(x)的解析式为/(x)=2(2T)-(2)3C.当xT,0时，函数/(x)的最大值为半D.函数/(x)在区间0,2023内有IOll个零点10 .已知定义在R上的函数“X)满足2(%)r(x)
4、,在下列不等关系中,一定成立的是()A.e2(l)(2)B.e2l)e2c-4(2)D(e)O,若/=0,则不等式2f()O的解集是.16 .已知/是函数+的一个零点，且XoW*,则/+的最小值为四、解答题17 .已知函数/()=办2_(q+2)x+lnx.当=2时,求曲线y=/3在(IJ(I)处的切线方程；求函数/*)的单调区间.18 .已知函数/(X)=+yX2-X+-.(1)若/(X)在(g,2)上存在单调减区间,求实数7的取值范围；(2)若/(力在区间(加,+)上有极小值,求实数机的取值范围.19 .已知函数/(x)=J02-(+l)x+lnx,QO讨论函数“力的单调性；(2)当=时,
5、设g()=/(%)+(3-m)工一(工+1)111%,(加2，函数8(力有两个极值点X、W(XVW)求m的取值范围；若3%x2x1+x2的取值范围.20 .已知/(x)=2e。(1-X),其中w(1)求/(x)在X=I处的切线方程;(2) (x) + 3-x0+8)上恒成立,求。的取值范围.21 .如图，城市A正东方向的B地有一大型企业，4,8之间有一条IoOkm的普通公路相连.现准备在A,B之间选择一点O(。不与A,B两点重合)修建一条高速公路CD,并同时将03段普通公路进行提质.已知C4_LAB,且C4=40km,高速公路CQ的建造费用为40万元km,普通公路的提质费用为24万元/km,设
6、(1)求公路CO与08的费用之和y关于X的函数关系式；(2)如何选择点。的位置，可以使总费用)，最小，并求出其最小值.22 .某个体户计划销售A,3两种商品，据调查统计，当投资额为x(xO)万元时，从销售A,B商品中所获得的收益分别为/(%)(单位：万元)与g(x)(单位：万元)，其中/(x)=o(x-l)+2(a0),g(x)=61n(x+b)S0).已知投资额为O万元时，从销售A,B商品中所获得的收益均为O万元.(1)试求出小8的值；(2)如果该个体户准备投入5万元销售这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其收益的最大值(精确到0.1,参考数据：ln3l.l)
7、.参考答案1 .答案：A解析:设g()=/(x)-er+2,51lJ(x)=(x)-ev.因为/(x)所以/(无)一10,即g(x)x+2等价于不等式/(hu)-x+24,即g(hr)4.因为/(2)=e2+2,所以g(2)=(2)-e?+2=4,所以g(lnr)g(2)因为g(x)在R上单调递减,所以Inx2,解得O%。，.g(x)在定义域R上是增函数，且g=AIw=0，.,.g(2cosx)=/(2cosx)-sx-=/(2cosx)+2sin2,/(2CoSX)+2sin2鼻一g0可转化成g(2cosx)(l),得到2cosxL又一图,1.22J可以得到.x4一捐).故选:D.3 .答案
8、：B解析：因为/(X)是奇函数,所以lim/(y-l)(l)=1Hm/(-lx)-(-l)=11-vo2x2&t。x22故选:B.4 .答案：A解析：由力+；/(力1可得3(x)-l)+r(x)0,设g(x)=e3*(f(X)T,则/(x)=e33()T+r(x),.gG)1,可得e(x)-l)e3=e3(l)T=g(l),.00,/(x)单调递增,故比较力工的大小关系,只需比较/()伍)(c)的大小关系,即比较91nll,IOlnlO,llln9的大小关系，ont己g(jv)=(2O-X)InX,1则g(x)=Inx+LXt己(X)=Inx+型-1,则A,(x)=-70,XXX所以MX)在(
9、1,+8)上单调递减，2033又(8)=In8H1=In8Ine-0,vf822所以,当X(8,+00)时,(冗)VO,g(X)单调递减，所以g(ll)Vg(IO)vg(9),即91nllVlOlnlOVllln9,所以f(a)/(/?)/(c),所以/?o,解得i；令r)o,解得一,所以/(外在区间18,-|)内单调递增,在区间fl)内单调递减,在区间(1,+OO)内单调递增，所以函数的极小值=/=-5.若/(幻在区间O,加+5)内有最小值,则极小值即最小值，所以ZnVIVzn+5,解得-4mV1,令*)=-5,可得_/+d_5x+3=0,可得(1)2(x+3)=0,解得尢=-3或1,由题得
10、加3,综上3/7?ru)+,EPr()-+o,.go=八幻一瞥+1ex+2022O/一12022=/(O)-1=，ere即g(x)g(0),.,.xL300X20000,0X400,所以总利润P(X)=R(X)-C(X)=彳260000100%,X400.,300-x,0x400,P(X)=400.令P(X)=0,得x=300.当0x400时，P(x)max=25(XX),当x400时，P(X)V20000.易知当年产量为300件时，总利润最大.9 .答案：AC解析：由/(3-X)=/(-l+x)得2-x)=(力，又因为F(X)为奇函数,G)=-(r),/(2-x)=-(-x),/(4-x)=
11、-(2-x)=(-x),所以力的周期为4,选项A正确；当xl,2时，2-0,1,所以/(H=(2t)=(2T)3-2(2t),选项B错误;当x0,l时，/(x)=x3-2x,z(x)=3x2-2,令广(力=0,得X=A时函数有最小值，又因为/(x)为奇函数，故X=g时,函数/(x)在区间-1,0有最大值，/卜CH周=*选项C正确；因为函数关于X=I对称，/(0)=/(2)=/(-2),一个周期内两个零点，3,2023有505个周期，共IOlO个零点，总计1012个零点，选项D错误.故选AC10 .答案：AD解析：因2/(%)/(力,所以r(x)-2(x)0令g(x)=绰,则g，(X)=r()二
12、J),ee-因为r(x)-2f(x)0,所以g(x)g(2),即粤以2,即e2f(l)f(2),故A正确,B错；e-eg(e)g(2卜即41身2,即e)Ve2e-4(2),故C错,D正确.ee故选:AD.11 .答案：BC解析：由/*)的图象可知，x=g是广(X)的零点，但不一定是/(X)的零点，所以A错误；在12,和(2,+)上单调递增，在(-8,-2)和(；,2)上单调递减，所以x=2为/*)的极小值点，所以B,C均正确；/(-2)是函数f(x)的极小值，但不一定是最小值，所以D错误.12 .答案：ABC解析：因为直线CO的斜率为52=-2,所以直线Co的方程为y-0=-2(x-4),即4
13、-3y=-2x+8,故A正确.因为/(x)的图象过点A(0,0)及。(4,0),所以F(X)有两个零点0,4,故可设/(x)=MX-4)(Ax+相)(其中A0),贝IJ/()=(%-4)+(+加)(2工一4).又怎8=4,kCD=-2,所以/(0)=4,r(4)=-2,所以m=-1,k=L,所以f(x)=L(x-4)(x-8),故B正确.由选项B可知，88/(x)+(8-x)=0,所以函数/(x)的图象关于点(4,0)对称，故C正确.当4x6时，x-40,x-8O当且仅当=0时取得等号,故/(x)为增函数，对于“2)+(2)0n2)-(2)=(p2),所以2以-a2=0-2,0,故答案为：2,
14、0.14 .答案：f(x)=2x解析：因为F(X)为奇函数，所以/(X)=-f(-x)即sinx+(a+l)x2-ax=sin(-x)+(a+l)x2+ax,解得a=-l则/(x)=SinX+X,所以切点(O,O),/(X)=cosx+l,所以切线斜率k=f(0)=2,切线方程为/(x)=2x,故答案为：f(x)=2.15 .答案:(-2,0)(2,+)解析：构造函数g()=f力淇中/3)为奇函数且XW0，贝Ig(r)=(r)2/(-x)=-x2(x)=-g(X)，所以,函数g(x)为奇函数,且g(2)=0,g(-2)=-g(2)=0,当X0时，g(x)=x2(x)+2xf(-)=-,z(x)
15、+2(x)0,所以,函数g()在(O,+oo)上是单调递增函数，因为函数g(x)为奇函数,故函数g(x)在(-oo,0)上是严格增函数,故力(X)O=g(j)O,当xO=g(-2),可得一2O=g,可得x2综上所述,不等式x2f(x)O的解集为(-2,0)-(2,+oo).故答案为：(一2,0)一(2,+oo).316 .答案：4解析：由己知可得孙瓦+人言=0，/拉不妨设直线/：2Hr+y-言=0,则点A3,份是直线/上的一点，原点。到直线I的距离d=产4+1则|。4|=Ja/ Nd =设 g() =ex4x + l,x14，e，g(x) =er(4x-3)(4x + l)2g(x) =4xl
16、口上递减,在R,e递增 4 L4可得g0)min =g(:所以/+/的最小值为J43故答案为：.417 .答案：(1)x-y-3=0(2)见解析解析：(1)当=2时,/(x)=2%2一4x+lnx,0,r(x)=4I+J所以1)=1,又/=2-4=_2,所以曲线y=()在点(IJ)处的切线方程为y+2=x-l,即x-3=0.(2)rV二(+2)也=(1)(2D*0),XX当O,令fx)=O得X=；,由/(X)0得Oxg,由f,x)g,所以f(X)的单调递增区间为(Oq),单调递减区间为(；,+)当0,令f(x)=O得X=,x2=a2当02时,由得OvrL,由r(X)VO得2a2a所以/co的单
17、调递增区间为(0，)和仕收】,单调递减区间为化n；2a)(2a)当=2时，/=色二丈o,所以/(幻的单调增区间为(),),无单调减区间;X当。2时,由/)0得0尤,由/。)。得，%!，a2a2所以/(X)的单调增区间为m和d,oo),单调递减区间为P,；318.答案：（1）m-2(2)m2解析：(I)函数/(x)=,3+22一1+，求导得/,()=%2+znr-1,326因为函数/(幻在上存在单调减区间,则不等式f+grT()在(；上有解，1111313即zL-x在己,2)上成立,而函数丁=上7在(上,2)上递减,显然-士上-不工于是X2X22X23m,23所以实数m的取值范围是，当时，/U)
18、0，当XX当时，f(x)即函数/(X)在(-CO,%)/，+00)上单调递增,在(西，工2)上单调递减，因此函数f(x)在X2处取得,当m0时,不等式成立，当机0时,解得()加-,JH1Jm,所以实数m的取值范围是?1；(2,21n3解析：(1)函数/(x)=g2-(+l)x+ln%的定义域为(O,E),广(+l)+(R(I).当0,由/0可得0%，,由尸(力0可得1L此时函数的增区间为(0,1)、(：,+),减区间为1J；当=时,/，(同=区止对且广(力不恒为零,此时函数力的增区间为(o,+oo);X当时,0!0可得0%1,由r(x)0MWX1,此时函数/(x)的增区间为(0,：)、(1,+
19、00卜减区间为9,11.综上所述,当0“0因为函数g()有两个极值点,则/(冗)=X-InX-2有两个变号的零点，所以,直线y=%与函数(X)=XTnX的图象有两个交点(非切点)，z(x)=l-=-,Oxl时,(力1时,(x)0,函数(x)单调递增,则(刈的极小值为=1,如下图所示:由图可知,当根1时,直线y=m与函数MX)=XTnX的图象有两个交点(非切点),因此,团1；由于/(x)=X-InX-m的两个变号零点分别为王、匹,得=XTn石，=2-InX2所以马-斗=ln,令也=(1,3,玉玉Inr把X=Z代入X2-=ln三中可得I,所以+(z+)m,x1xi_tint12t-t-令P(O=H
20、Z(则(37令 (f) = f淇中 1 0,所以,函数次)在(,3上单调递增,则次)e()=o,则po,所以,函数p(r)p(3)=21n3,设唔“,则心黑,其中，“构造函数W-冬,其中CS需F常芋当A=(2-2f-40时,即当02时,K(f)O且太(，)不恒为零，所以,函数Mf)在(L+co)上为增函数,则MfAMI)=O,合乎题意；当l,K(f)0,所以,函数Mf)在(1,)上为增函数,则&(f)&=0,合乎题意；当2时,则A=(2-24f-40,设方程r+(2-2)r+l=0的两根为4、q，且乙0trru、,*则，所以,必有0乙1心，,tt21当fj时,A()0,此时函数Mf)单调递减,
21、则2&)刈1)=。，不合乎要求.(f+l)%2综上,O2,所以，t-,故2+巧21n320.答案：(1)2ax+y-2a=0(2)(0,1解析：(1)z(x)=2ax(x-1)-2tze,x=2ael-x(x-2)故(1)=-2。,又/(I)=0,故.(X)在(1,0)处的切线方程为:y-0=-2”(x-l),即：20r+y2。=0；(2)一方面,由)+13-0在g,+8)上恒成立，则当X=I,有/(1)+L-I=L10,解得04laa另一方面,我们证明若00时，由l-xOOeI-IOOel-I()，则有/(x)-2417)=2(1-刈(占一10恒成立，即f(x)2(l)恒成立,故只需证2(l
22、-x)+JX3一%20,其中W(oj,i,+oo只需证2/(1)+d-QCN0,将上式左边看作关于的函数,令g()=2(l)/一m+V下面证明:当a(0,l,x,l,此时g(O)=X30,(1)=2(1-x)-xx3=(x-1)(x+2)0又g()为关于a的开口向下的二次函数,(0,l,故g()mhlNming(0),g(l)0,若;1,此时g()为关于的开口向上的二次函数,对称轴为可大若对称轴77J，又L，解得S0,所以g(叽=g()(ii)若对称轴”71,又1xl,解得1x4(1)225则有0T,注意到此时g()=2(l)-M+d对应的判别式=x2-8x3(1-x)=x2(8x2-8x+1
23、)=8x2(工-3O恒成立.综上,当(,l,x,+coig()0故的取值范围为(.21 .答案：(1)y=40x2+1600-24x+2400,20xl(2)当Ao=30km时，总费用y最小，为3680万元解析：(1)由勾股定理，得Cz)=Jx2+1600,20x100,所以y=40x2+1600+24(100-x)=40x2+16-24X+2400,20x100.(2)由得y=/49_24_4(卜24立1600,20xl.x2+16002+1600令y0,W20x0,得30x100,所以函数y=40+moo-24X+2400在20,30)上单调递减，在(30,100)上单调递增，故当x=30
24、时，函数y=40+160024%+2400取得最小值,即ylllin=4050-2430+2400=3680,所以当AO=30km时，总费用y最小，为3680万元.22 .答案：(1)。=2,b=(2)12.6万元解析：(1)由题意，ff(0)=a+2=0,g(0)=61nb=0,所以。=2,b=.(2)由(1),得/(x)=2x,g(x)=61n(x+l).设投入B商品的资金为x(0x5)万元，销售A,B两种商品所获得的总收益为SQ)(单位：万元)，则投入A商品的资金为(5-幻万元，故总”攵益S(X)=f(5一x)+g(x)=2(5-x)+6In(X+1)=6In(X+1)-2x+l0(0x5),所以s(x)=42.令sx)=(),得x=2.x+1当0x0fS(X)单调递增;当2x5时，s)0,S(X)单调递减.所以x=2是S(X)在区间0,5上的唯一极大值点，此时S(X)取得最大值，为5(2)=61n3+612.6,且5-=3,因此该个体户可对A商品投入3万元，对3商品投入2万元，这样获得的收益最大，约为12.6万元.
