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1、第三讲方阵问题知识导航学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。如果行数与列数都相等，那么正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。核心公式：1 .方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）2 .方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数4）+13 .方阵外一层总人数比内一层总人数多24 .去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数X2-1例1:学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人？解析：方阵问题的核心是求最外层每边人数。根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数=四周人数4+l,可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人
2、数就可以求了。方阵最外层每边人数：604+l=16（人）整个方阵共有学生人数：16X16=2561人）。【稳固1】某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人.问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？解析：根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数;四周人数4+l,可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。解：方阵最外层每边人数：604+l=16（人）整个方阵共有学生人数：16X16:256（人）答：方阵最外层每边有16人，此方阵中共有256人。【稳固2】晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？解
3、析：方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个.知道最外面一层每边放14个，就可以求第二层及第三层每边个数.知道各层每边的个数，就可以求出各层总数。解法L最外边一层棋子个数：（14-1）X4=52（个）第二层棋子个数：（14-2-1）4=44（个）第三层棋子个数：（14-2X2T）X4=36（个）.摆这个方阵共用棋子：52+44+36=132（个）解法2：还可以这样想：中空方阵总个数=（每边个数一层数）X层数X4进行计算。（14-3）34=132（个）答：摆这个方阵共需132个围棋子。【稳固3】一个正方形的队列横竖各减少一排共27人，求这个正方形队列原来有多少人？解析：依据：去掉一行、一列的总人数
4、=去掉的每边人数X21可知每边的人数是：（27+1）2=141人）原人数是：14x14=196（人）答：略。【稳固4】小红用棋子摆成一个正方形实心方阵用棋子100枚，最外边的一层共多少枚棋子？解析：这要用到方阵的公式逆运算，100必然是一个数的平方数因为IoXlO=IoO（人），并且是实心的方阵，所以最外层有10人。例2：参加中学生运动会团体操比赛的运发动排成了一个正方形队列。如果要使这个正方形队列减少一行和一列，那么要减少33人。问参加团体操表演的运发动有多少人？解析：如下列图表示的是一个五行五列的正方形队列。从图中可以看出正方形的每行、每列人数相等；最外层每边人数是5,去一行、一列那么一共
5、要去9人，因而我们可以得到如下公式：去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数X21解:方阵问题的核心是求最外层每边人数。原题中去掉一行、一列的人数是33,那么去掉的一行（或一列）人数=（33+l）2=17人方阵的总人数为最外层每边人数的平方，所以总人数为17x17=289（人）【稳固】参加军训的学生进行队列表演，他们排成了一个七行七列的正方形队列,如果去掉一行一列，请问：要去掉多少名学生？还剩下多少名学生？ABCDEFGHIJKLMNOP解析：如上图表示的是一个4行4列的实心正方形队列，从图中可以看出正方形队列的特点：（1）正方形队列每行、每列的人数相等，因此总人数=每行人数X每列人数。（2）去
6、掉横竖各一排时，有且只有1人是同时属于被减去的一行和一列的，如图中点A所示。因此去掉的总人数=原每行人数X2L或去掉的总人数=减少后每行人数X2+1。此题中所求，即去掉的人数=7X21=13（人）或去掉的人数=（7-1）X2+l=13（人）还剩的人数=（7-1）X（7-1）=36（人）或还剩的人数=7X713=4913=36（人）答：如果去掉一行一列，要去掉13名学生，还剩下36名学生。例3：解放军战士排成一个每边12人的中空方阵，共四层，求总人数？解法1：这样想：把中空方阵的总人数，看作中实方阵总人数减去空心方阵人数。（1）中实方阵总人数：12X12=144（人）（2）第四层每边人数：12-
7、2X（4-1）=6（人）（3）空心方阵人数：（6-2）X（6-2）=16（人）（4）中空方阵人数：14476=128（人）答：总人数是128人。小结：中空方阵总人数二外边人数X外边人数-（内边人数-2）X（内边人数-2）解法2：这样想：把中空方阵分成四个相等的长方形。（1）每个长方形的长=外边人数-层数12-4=8（人）（2）每个长方形的宽是层数：4人总人数：844=128（八）答：总人数是128人。小结：中空方阵总人数=（每边人数-层数）X层数X4【稳固】学校开展联欢会，要在正方形操场四周插彩旗。四个角上都插一面，每边插7面。一共要准备多少面旗子？解析：依据求外层个数的公式：（边数T）4（7
8、-l）4=24（面）答：略。例4：一个街心花园如右图所示.它由四个大小相等的等边三角形组成.从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有9棵花.问大三角形边上栽有多少棵花？整个花园中共栽多少棵花？A解析:从条件中可以知道大三角形的边长是小三角形边长的2倍.又知道每个小三角形的边上均匀栽9株，那么大三角形边上栽的棵数为：92-l=171棵）。又知道这个大三角形三个顶点上栽的-棵花是相邻的两条边公有的，所以大三角形三条边上共栽花：（17-1）3=48（棵）。.再看图中画斜线的小三角形三个顶点正好在大三角形的边上.再计算大三角形栽花棵数时已经计算过一次，所以小三角形每条边上栽花棵数为：9-2=7（
9、棵）解：大三角形三条边上共栽花：（9x2-1-I）x3=481棵）中间画斜线小三角形三条边上栽花：（9-2）3=21（棵）整个花坛共栽花：48+21=69（棵）答：大三角形边上共栽花48棵，整个花坛共栽花69棵。【稳固】同学们做早操，排成一个正方形的方阵，从前、后、左、右数，小明都是笫5个，这个方阵共有多少人？o解析：如图，实心圆表示小明的位置，可以知道，Q这个队列每行都是9人。X解：每行每列数：52-l=9（八）共有:9x9=81（人）例5：小明用围棋子摆了一个五层中空方阵，一共用了200枚棋子，请问：最外边一层每边有多少枚棋子？解析1:利用“相邻两层之间，每层的总数相差8”的特点，可知最外
10、层共有棋子数：（200+8+82+83+84）5=56（个）最外层每边的棋子数：564+l=15（个）解析2：如练习中的图，把棋子分成相等的四局部。每一局部的棋子数：2004=50（个）每一局部每排的棋子数：505=10（个）最外层每边的棋子数：10+5=15（个）综合列式为：20045+5=15（个）答：最外边一层每边有15枚棋子。【稳固】游行队伍中，手持鲜花的少先队员在一辆彩车的四周围成每边三层的方阵，最外边一层每边12人，请问：彩车周围的少先队员共有多少人？解析1:请同学们自己画一个图，下列图是一个三层中空方阵的示意图，不难发现,有如下特点：（1）外层每边点的个数都比相邻内层的每边点的个
11、数多2；（2）每相邻两层之间，点的总数相差8个。最外层队员的总数：12x4-4=44（人）三层共有队员的总数：44+（44-8）+（44-82）-44+3628二108（人）解析2：如下列图可分成相等的四局部，每一局部的人数：（12-3）3=93=27（人）三层共有队员数：27X4=108（人）答：彩车周围的少先队员共有108人。这个问题还有别的解法，请同学们自己试着做一下。课后作业1、假设千名同学排成中实方阵那么多12人，假设要将这个方阵改摆成纵横两个方向各增加1人的方阵那么还差9人排满，请问：原有学生多少人？解析：由于纵横两个方向各增加1人，因此不但将剩余12人摆上，而且还差9人，说明一横
12、行与一竖行的人数总和是12+9=21人。又由于纵横两个方向各增加1人，因此只有1人同属于横行与纵行，在数每边上的人数时，总被多数一次，因此可以用21人先加上被重复数过的1人，再除以2,也就得到每边人数。列式为（21+1）2=11人。求出每边人数，就可求出假设排满后的人数，列式为IlXIl=121人，用121人减去差的9人就是原来人数，列式为1219=112人。也可以根据原来的方阵再加上12,请你试一试。答：原有学生112人。2、有一队士兵排成一个中实方阵，最外一层有100人，请问：方阵中一共有士兵多少人？解析：要想求出方阵中一共有多少士兵，就应先求出方阵的最外层每边有多少人。方阵最外一层有10
13、0人，用1004=25人，每边是不是25人呢？不是的，因为平均分成4份后，还需要再加上1,才正好是每边上的人数，列式应该为1004+l=26人。因此方阵中一共有26X26=676人。答：一共有676人。说明：这道题关键是求出每边人数。在求每边人数时，不要认为和“知道了正方形周长，求边长”一样，还必须要加上1。3、小刚用假设千枚棋子摆成一个中实方阵，最外层每边摆6枚，请问：要摆成这样一个中实方阵至少需要多少枚棋子？最外一层的棋子总数是多少？a解析：如图，最外一层每边摆6枚，根据方阵每行每列个数相等特点，因此一共有66=36枚棋子。最外一层每边有6枚，如果用6X4=24枚，就认为是最外一层棋子数的
14、答案的话，那就错了。因为正方形每个顶点上的棋子分属于一行一列，这样棋子在计算总数时就被多数了一次，这样的顶点一共有4个，需要把多数的减去，才能得到正确的结果。歹U式是6X44=20枚。说明：这道题还可以这样想：数每边棋子时，可以按上图先划分成4个相等的块，这样每边就有5枚7,因此用5X4=20枚，也可以得到正确答案。按照划分块的方法不同，至少还有两种方法，请同学们试一试。4、一队学生站成20行20列方阵，如果去掉4行4列，那么要减少多少人？解析L把去掉4行4列转化为一行一列的去掉，就可用例6的结论：去掉一行一列的总人数=原每行人数X2-1反复利用4次这个公式，只要注意“原每行人数”的变化，即可
15、列式为：去掉4行4列的总人数=20X2-1+(20-1)2-l(20-2)2-1+(20-3)21=40-1=38-1+36-1+34-1=144（八）解析2：我们还可以这样想：原来是一个7行7列的方阵，假设去掉4行4列后，仍剩下一个小正方形方阵，因此去掉4行4列的总人数=原正方形方阵每边人数一4,即去掉的总人数=20X20-(20-4)X(20-4)=400-256=144(人)答：去掉4行4列，要减少144人。5、正方形舞厅四周均匀的装彩灯，如果四个角都装一盏且每边装12盏，那么这个舞厅四周共装彩灯多少盏？解析(1):自己画图可以看出，角上的四盏灯各属于两行，所以彩灯总数应为：12X4-4
16、=44(盏)(2)：还可以把彩灯分成相等的四局部，因此彩灯总数为：(12-1)4=44(盏)答：这个舞厅四周共装彩灯44盏。6、“六一”儿童节前夕，在校园雕塑的周围，用204盆鲜花围成了一个每边三层的方阵，请你求出最外面一层每边有鲜花多少盆？解析：分析思路参见例6,最外层每边人数=总数4层数+层数20443+3=20(盆)答：最外面一层每边有鲜花20盆7、四年级一班参加运动会入场式，排成一个方阵，最外层一周的人数为20人，请问：方阵最外层每边的人数是多少?这个方阵共有多少人？解析：根据四周人数与每边人数的关系可知：每边人数二四周人数4+l,可以求出这个方阵最外层每边的人数，那么这个方阵队列的总
17、人数就可以求出来了。解：(1)方阵最外层每边的人数：204+l=5+l=6(人)(2)整个方阵共有学生人数：6X6=36(人)答：方阵最外层每边的人数是6人，这个方阵共有36人。8、明明用围棋子摆成一个三层中空方阵，如果最外层每边有围棋子15个，明明摆这个方阵最里层一周共有多少枚棋子?摆这个三层空心方阵共用了多少枚棋子？解析：(1)方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个，知道最外面一层，每边放15个，可以求出最里层每边的个数，就可以求出最里层一周放棋子的总数。(2)根据最外层每边放棋子的个数减去这个中空方阵的层数，再乘以层数，再乘以4,计算出这个中空方阵共用棋子多少个。解：(1)最里层一周棋子
18、的个数是：(15-2-2-1)4=40(个)(2)这个空心方阵共用的棋子数是：(15-3)34=144(个)答：这个方阵最里层一周有40个棋子;摆这个中空方阵共用144个棋子。9、假设干战士排成一个四层中空方阵，只知道最外一层每边有12人，请你求出总人数。解析：我们可以采用先求出每层人数再求总人数的方法进行。解：由于最外层每边有12人，因此最外层一共有X4=44人，又根据方阵相邻两层，外层比内层人数多8的特点，因此第二层有44-8=36人，第三层有368=28人，第四层有288=20人。因此一共有44+36+28+20=128人。还可以这样想，把四层中空方阵划分如例5的形状，我们发现每个长方形
19、可以看成四排战士，每排有8人组成。因此一个长方形有8X4=32人，一共有4个长方形，32X4=128人。当然还可以先把中空方阵看成中实方阵，然后再减去补上的小中实方阵人数，也可以求出一共有多少人，看成中实方阵后，最外一层每边12人，因此一共有12X12=144人。又因为在方阵中相邻两个正方形每边人数相差2,因此第二层每边有122=10人，第三层每边有102=8人，第四层每边有82=6人，第五层每边有62=4人。因此小的中实方阵有4X4=16人。144-16=128人就表示一共有战士的人数。答：一共有128人。10、有假设干盆鲜花摆成一个中空方阵，最外层共摆48盆，最内层共摆24盆，请问：共摆了
20、多少盆鲜花？解析：由于方阵中相邻两个正方形每边相差8,因此第二层应摆鲜花488=40盆，第三层有花408=32盆，第四层有花328=24盆。这样通过枚举方法求出一共有四层花，及中间两层花的总数。因此一共摆了48+40+32+24=144盆。答：一共摆了144盆。11、有杨树和柳树以隔株相间的种法，种成7行7列的方阵，问这个方阵最外一层有杨树和柳树各多少棵?方阵中共有杨树，柳树各多少棵？解析：根据条件柳树和杨树的种法有如下两种，假设黑点表示杨树，白点表示柳树观察图（D（2）不管是柳树种在方阵最外层的角上还是杨树种在方阵最外层的角上，方阵中除最里边一层外其它层杨树和柳树都是相同的。因而杨树和柳树的
21、棵数相等。即最外层杨，柳树分别为（7-1）42=12（棵）。oooo ooo oooo ooo oooo ooo oooo图(2)OOOOOOOOOOOOOOOOOooooooo图(1)当柳树种在方阵最外层的角上时，最内层的一棵是柳树;当杨树种在方阵最外层的角上时，最内层的一棵是杨树，即在方阵中，杨树和柳树总数相差1棵。解：（1）最外层杨柳树的棵数分别为：（7-1）42=12（棵）（2）当杨树种在最外层角上时，杨树比柳树多1棵：杨树：（77+l）2=25（棵）柳树：7X7-25=24（棵）（3）当柳树种在最外层角上时，柳树比杨树多1树柳树（77+l）2=25（棵）杨树7X7-25=24（棵）答：在两种方法中，方阵最外层都有杨树12棵，柳树12棵，方阵中总共有杨树25棵，柳树24棵，或者有杨树24棵，柳树25棵。
