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1、段由为此+R；，与3鸟的并联，利用旦/g=上的关系，可得到aba+bR-3凡RX32凡“LRLR；3RR13%-凡3R-Rll,R!1+Rui_3R+Rl3R#l3.+RL2-10在题210图（a）中，=45V,mv2=20V,us4=20V,mv5=50V：N=R3=15Q,=20,凡=50,4=8C：在题2/0图（b）中=20V,mv5=30V,is2=8A,4=17A,K=5Q,/?3=10Q,R5=10。利用电源的等效变换求题210图（a）和（b）中电压血。（b）题2-10图解：（1）将题2-10图（a）所示各电压源与电阻的申联组合变换为电流源与电阻的并联组合如题解2-10图（a）所示
2、，其中Mvl 45 . _ .%r1 =A = 3A, I=Rl 15出 R2.W5420 a 4 .%L4=- =A = 0.4A, L5 = “R 50t5 & = % = 1A 20=A = 6.25 A8等效电流源为4 = 0 + LT, + =（3 +1 -。4 + 6.25）A = 9.85A内阻为R = RJ IR2I IRyI IRJ IR5 =Illll+ + + + -15 20 15 50 8注：当多个电阻并联求等效电阻时，可找出其最小公倍数。如RLR5的最小公倍数为600,就可写出R =C =40 30 40 12 75+H600 600 600 600 6006004
3、0 + 30 + 40 + 12 + 75 = 197U.=Ri=9.85V=30Vaht197（2）将题2-10图（b）所示各电压源与电阻的串联组合变换为电流源与电阻的并联组合如题解2-10图（b）所示，其中w.20.忆30._.ic,=A=4A,=A=3As,R15&/0等效电流源为A=。+心一心+%=(4+8-17+3)A=-2A等效电阻为R=RiIIRJIRs=21=2.5故2-11利用电源的等效变换，求题211图所示电路的电流i。题2-11图解：将并联的电压源支路变换为等效电流源；串联的电流源支路变换为电压源，如题解2-11图（a）所示。并联的各电流源合并为一个电流源后再变换为电压源
4、。两个电压源串联后成为题解2-11图（b）、（c）所示的等效电路。从题解211图（C）可得到25i.=A=0.25A5+5Ri=R4=1o题解2-12图解：保留控制电压与所在电阻R3,将左侧电压源电路变换为电压源、电阻支路；右侧的受控电流源变换为受控电压源支路如题解2-12图所示。在回路中可写出KVL方程为5=3%+2%ux=10m5,M3=0.1,从图中可看出=3%，故ua=30.1mj=0.3S2-13题2-13图所示电路中=凡，鸟=2凡，CCVS的电压=4隼1,利用电源的等效变换求电压/。解：将受控电压源支路变换为受控电流源如题解2-13图所示，可得=(+2)2(Z+/?,)=3不由KV
5、L,可得RilalO代入式.有-=w,v-wo解得M10=0.75%题2-13图2-14试求题2-14图（a）和（b）的输入电阻题2-14图解：（1）题2-14图（a）中VCVS的控制量=i,i即为流过受控源本身的电流，故VCVS可看为一个电阻，阻值为-/遇（此电压与i方向非关联，故为负电阻）。故从a,b端看入的电阻为Ratt=&+（-Rl）+/?）=7?!（1-z）+R2（2）从题2-14图（b）中可直接写出心与彳的关系为%=跖+为）故Ruh=丛=&+Q+殳1I读者也可试将CCCS与R2的并联组合等效变换为CCVS与R2的串联组合.直接求出a、b端的输入电阻。2-15试求题2-15图（a）和
6、（b）的输入电阻R。火| r25LC（a）解：（1）如题2-15图（a）所示， 的电流为i =由于彳=K ,代入式就得到Rli而Ri = IL =-I _1从与表达式可看出它为与与旦12 1 + 0O u - OY-O- 1（b）题2-15图在1、1端子两端施加电压u,可看出流人1端子=4 + （1 +例R?=+ （1 + /?）6R1 R1R2I 1 +夕一 R+凡（1 +。）的并联，面a则是与电阻与Cees并联的电阻。 1 + 0事实上，CCCS与与并联，具有相同的电压，但其电流则是与中电流的P倍，故CCCS相当阻值为人的电阻，而用/旦=。+（2）如题2/5图（b）所示，由于与中无电流，因
7、此=门。将VGVS与凡的串联组合变换为VCCS与Rl的并联组合，如题解2-15图（b）所示。将VCCS的值写为丝=A,R&R其方向与端电压非关联，故VCCS相当于负电阻-3,而表2-1列出了若干含受控源电路的等效电阻。解：由于a、b端子右边的电路是个平衡电桥，可以将c、d端短接而a、b端右侧相当的电阻为 = 1llIxlH1+11+1原电路再进行电源等效变换如题解216图（a）、（b）、（c）和（d）所示。从题216图（d）可知,(C)题解2-16图电阻电路的一般分析一、重点和难点1 .KCL和KVL独立方程数的概念等效变换法是化简分析电路的有效方法，但它改变了原电路的结构，不便于系统分析。而
8、一般分析法就是一种不要求改变电路结构的方法、首先，选择一组合适的电路变量(电流或电压)，根据KCL和KVL及元件的电压、电流关系(VCR)建立该组变量的独立方程组，即电路方程，然后，从方程组中解出电路变量。采用一般分析法求解电路，必须确定一个具有n个结点和b条支路的电路的KCL和KVL独立方程的数目。2 .回路电流法(网孔电流法)回路电流法是选回路电流为电路变量列写电路方程求解电路的方法,它适合于回路数较少的电路，适合于平面电路和非平面电路。如果在平面电路中，以网孔电流为电路变量列写电路方程求解电路的方法，称为网孔电流法。根据回路电流法(网孔电流法)的步骤简便正确地列写电路的问路电流(网孔电流
9、)方程是本章的重点内容之一，而独立回路的确定以及含无伴独立电流源和无伴受控电流源电路的回路电流方程的列写是学习中的难点。3 .结点电压法结点电压法是选结点电压为电路变量列写电路方程求解电路的方法,它适合于结点数较少的电路。根据结点电压法的步骤简便、正确地列写电路的结点电压方程是本章的一个重点，而含无伴独立电压源和无伴受控电压源电路的结点电压方程的列写是学习中的难点。二、学习方法指导1. KCL和KVL独立方程数(1) KCL方程的独立方程数一个a个结点和b条支路的电路，其独立的KCL方程数为(-1),即求解电路问题时，只需选取(-1)个结点来列出KCL方程。(2) KVL方程的独立方程数一个n
10、个结点b条支路的电路，其独立的KVL方程数为其基本回路数，即：b-(n-)o求解电路问题时，需选取个独立回路来列出KVL方程。2 .支路电流法以支路电流为电路变量列写电路方程求解电路的方法称为支路电流法。列写支路电流方程的一般步骤为：选定各支路电流的参考方向。根据KCL对（-1）个独立结点列写电流方程。选取个独立回路，指定回路绕行方向，按照式（31）所示列写规则对回路歹IJ写KVL方程。R=%（3-D式中，R/为回路中第k条支路的电阻上的电压，和式遍及回路中所有的支路，且当i*参考方向与回路方向一致时，前面取号；不一致时，取“一”号，仆为第k条支路的电源电压，包括电压源电压和等效电压源电压。当
11、与回路方向一致时，前面取“一”号；反之，前面取号。3 .网孔电流法在平面电路中，选网孔电流为电路变量，根据KVL列写电路方程求解电路的方法称为网孔电流法。（1）网孔电流方程的列写列写网孔电流方程的一般步骤如下所示：指定网孔电流参考方向。按照式（3-2）所示列写规则对网孔列写KVL方程。R乩k+Rj=i5（32）式中，RM为第k个网孔的自阻，即为第k个网孔和第j个阿孔间的互阻。自阻总为正，互阻的正、负则视两个网孔电流在共有支路上参考方向是否相同而定，方向相同时为正，方向相反时为负。若两个网孔间没有共有支路，或有共有支路但其电阻为零，则互阻为零。张和编分别为第k和第j个网孔电流。处为第k个网孔的总
12、电压源的电压，各电压源的方向与网孔电流方向一致时取一值，不一致时取“+”值。（2）无伴电流源支路的处理没有并联电阻的电流源称为无伴电流源。权据无伴电流源在电路中所处位置，有两种处理方法。当无伴电流源仅处于一个网孔时，让网孔电流等于无伴电流源电流。当无伴电流源处于两个网孔的公共支路上时，可采用附加变量法，即：将无伴电流源端电压设为未知量，同时，增加一个网孔电流方程。（3）受控源支路的处理当电路中含受控源支路时，可先把受控源当作独立源，然后按常规方法列写网孔电流方程，最后，将受控源的控制量用网孔电流表示，代入方程，并将方程整理为标准形式。4 .回路电流法以回路电流为电路变量，根据KVL列写电路方程
13、求解电路的方法称为回路电流法。（1）回路电流方程的列写列写回路电流方程的一般步骤如下所示：选择一个树，确定一组独立回路，并指定回路电流的参考方向。按照式（3-3）所示列写规则对回路列写KVL方程。凡4+R乩=j（3-3）式中，均为第k个回路的自阻，降为第k个回路和第j个回路间的互阻。自阻总为正，互阴的正负则视两个回路电流在共有支路上参考方向是否相同而定，方向相同时为正，方向相反时为负。若两个回路间没有共有支路，或有共有支路但其电阻为零，则互阻为零。tt/,分别为第k和第j个回路电流。出为第k个回路的总电压源的电压，各电压源的方向与回路电流方向一致时取“一”值，不一致时取值。孤中还包括电流源和电
14、阻并联组合经等效变换形成的电压源电压。（2）无伴电流源支路的处理有两种处理方法：选择独立回路，当无伴电流源仅处于一个回路时，让回路电流等于无伴电流源电流。采用附加变量法，即：将无伴电流源端电压设为未知量，同时，增加一个回路电流的附加方程。（3）受控源支路的处理当电路中含受控源支路时，可先把受控源当作独立源，然后按常规方法列写回路电流方程，最后，将受控源的控制量用回路电流表示代入方程，并将方程整理为标准形式。5 .结点电压法在电路中任意选择某一结点为参考结点，其他结点与此参考结点之间的电压称为结点电压。以结点电压为电路变量，根据KCL列写电路方程求解电路的方法称为结点电压法。（1）结点电压方程的
15、列写列写结点电压方程的一般步骤如下所示：任意选择一个结点为参考结点，标定其余（-1）个独立结点。对（-1）个独立结点，以结点电压为未知量，按照式（34）列写规则列写其KCL方程。GM法+Efikj%=x（3-4）式中，GM为第k个结点的自导，G写为第k个结点和第j个结点间的互导。自导总为正，它等于连接于各结点支路电导之和。互导总是负的，它等于连接于结点间支路电导的负值。心和4.分别为第k和第j个结点电压。&炊为第k个结点的注入电流，注入电流等于流向结点的电流源电流的代数和，流入结点者前面取号，流出结点者前面取“一”号。注入电流源还包括电压源和电阻串联组合经等效变换形成的电流源。（2）无伴电压源
16、支路的处理无电阻与之串联的电压源称为无伴电压源。当无伴电压源作为一条支路连接于两个结点之间时，该支路的电阻为零，即电导等于无限大，支路电流不能通过支路电压表示，此时在列写结点电压方程时，需要采用以下两种处理方法：采用附加变量法：以电压源电流为变量，增补结点电压与电压源电压间的关系。选合适的参考结点，即：选无伴电压源的负极为参考结点。（3）受控源支路的处理当电路中含受控源支路时，可先把受控源当作独立源，然后按常规方法列写结点电压方程，最后，将受控源的控制量用结点电压表示代入方程，并将方程整理为标准形式。三、典型例题(a)图3-1例3-1图解法一：设流过元件电压源心支路的电流为乙，如图3/(b)所
17、示，则电路的结点电压方程为flI11,11.+ununl+lu=wd+2zI_+-m112-%=4(1N)3Kl吗色附加方程为%-%=%2jK解法二：将无伴电压源负极选为参考点，如图3-1(C)所示，则电路的结点电压方程为%=%2I11o.一耳%+耳%=一耳“-2，4附加方程为例3-2电路如图3-2(a)所示，试列写电路的回路电流方程。解法一：选如图3-2(b)所示回路，则电路的回路电流方程为R1+R2)ll-R2I2=uxjZ+（叫+Ry+尺|），2-&13+.14=0-RJZ+（R&+）5=-u2乙=一叫附加方程为=AU2=R2（I1-I2）解法二：选如图3-2（c）所示回路，设无伴受控电
18、流源的端电压为唳，则电路的回路电流方程为（+2）1-Z2=u,-r21（4+RA）12_RJ=-4-RJ+（6+叫），3=u2r314=Ui5附加方程为=Z2-Z4=AU2=R2（I1-I2）四、习题分析3-1在以下两种情况下，画出题3-1图所示电路的图，并说明其结点数和支路数：（1）每个元件作为一条支路处理；（2）电压源（独立或受控）和电阻的串联组合，电流源和电阻的并联组合作为一条支路处理。题3-1图解：(1)将每个元件作为一个支路时,题3-1图(a)与图(b)的图分别如题解3-1图(al)与(bl)所示。题解3-1图题解3-1(al)中，结点数九=6,支路数二11。题解3-1图(bl)中，
19、结点数=7,支路数方二12。(2)将电压源电阻串联组合、电流源电阻并联组合均分别看为一个支路时，题3-1图(a)和图(b)电路的图分别示于题解3-1图(a2)与(b2)之中。题解3-1图(a2)中，结点数:4,支路数尻8。题解3-1图(b2)中，结点数=5,支路数力二9。3-2指出题3-1中两种情况下，KCL.KVL独立方程各为多少？解：(1)题解3-1图(al)中，KCL独立方程数为w-1=6-1=5独立方程数为b-k+l=ll6+1=6题解3-1图(bl)中，KCL独立方程数为n-1=7-1=6KVL独立方程数为人一+1=12-7+1=6(2)题解3-1图(a2)中，KCL独立方程数为zi
20、-1=4-1=3KVL独立方程数为71+1=84+1=5题解3-1图(b2)中，KCL独立方程数为-1=5-1=4KVL独立方程数为人一+1=95+1=5题3-3图解：图的树支数为b=n-题3-3图(a)中，hr=61=5；题33图(b)中，2=61=5。题解3-3图(a)、(b)分别画出。与G2的4个树。(b)题解3-3图试一一列出（由于结点数为4,故3-4题3-4图所示桥形电路共可画出16个不同的树,树支数为3.可按支路号递增的穷举方法列出所有可能的组合，如123,124,126,134,135,从中选出树）。解：该图的16个不同的树分别为：支路(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5
21、),(1,3,5),(1,3,6),(1,4,5),(1,4,6),(1,5,6),(2,3,4),(2,3,5),(2,3,6),(2,4,6),(2,5,6),(3,4,5),(3,4,6)和(4,5,6)。相应的图形如题解3-4图所示。题3-4图题解3-4图3-5对题3-3图所示的Gl和G2,任选一树并确定其基本回路组，同时指出独立回路数和网孔数各为多少？解：树支数连支数=b-%=+1。(1)题3-3图(a)所示G,力=10,=6,/=5。取支路(1,2,5,6,7)为树，相应连支为(3,4,8,9,10),如题解3-5图(a)所示。基本回路组为支路(2,3,5),(1,2,4),(1,
22、2,5,7,8),(1,2,6,9)以及(5,6,7,10)o(2)题3-3图(b)所示G2,b=,=6,l=6o取支路(5,6,7,8,10)为树,连支为支路(1,2,3,4,9,11),如题解3-5图(b)所示。题解3-5图相应的基本回路为支路(1,5,8),(2,5,6),(3,6,7),(4,7,8),(5,6,9,10)以及(6,7,10,IDo3-6对题3-6图所示非平面图，设：(1)选择支路(1,2,3,4)为树;(2)选择支路(5,6,7,8)为树。问独立回路各有多少？求其基本回路组。解:题3-6图示出一个结点数最少的非平面图。其中6=10,=5.树支数1=4。现取支路(1,2
23、,3,4)为树，相应的连支为支路(5,6,7,8,9,10)。形成的基本回路为支路(1,2,3,4,5),(1,2,6),(1,2,3,7),(2,3,4,8),(2,3,9)以及(3,4,10)o若取支路(5,6,7,8)为树，连支则为支路(1,2,3,4,9,10)。形成的基本回路为支路(1,5,8),(2,5,6,8),(3,6,7),(4,5,7),(5,7,8,9)以及(5,6,10)o题3-6图3-7题3-7图所示电路中K=&=IOQ,q=8Q,4=2Q,%=20V,k=40V,用支路电流法求解电流解：为减少变量数和方程数，将电压源和与其串联的电阻组合看为一个支路。本题中b=6,=
24、4。3个独立回路和支路电流彳i6的参考方向如题3-7图所示。列出KCL方程如下：结点fl+z2+z6=0结点/2+g+，4=0结点T；+&-=0列出KVL方程，并代入元件参数值，可得回路Ii,2z6-8Z4-102=U)同路12，102+43-IOz1=-20回路13，-4z3+84+8z5=20这6个方程组成的联立方程可简化写为i24i4%b11000100-11I000000-11-100-100-802-40-10104000-2000-488020手算求解此联立方程有很大的计算工作量。可在MATLAB上求解得=-0.956A。题3-7图3-8用网孔电流法求解题图3-7中电流解：设网孔电
25、流加、露、张如题解3-8图所示。网孔方程为2。备-10张-鼠a=TOTO着+24F=-20-8-2(=20应用克莱姆法则（行列式法则）求解，求出心即可，则 =题解3-8图-10 -4024 -20 = -4880-420-48805104A = -0.956Ai,=G=-956A3-9用回路电流法求解题图3-7中电流。解：如果用网孔电流法求解，则必须解出心和心应用回路法求解时，可以将待求电流/；，仅被包含在一个回路电流中。求出一个回路电流就可求得4。取回路电流小、心、八，如题解3-9图所示。回路方程为20n-IOz12-18b=-40-10ll+24zn+2013=-20-18z11+2012
26、+36n=020-10-18=-102420=5104-18203620-40-18A2=-10-2020=-7920-18036h=/12&幺-7920A=-1.552A5104回路电流的选取有一定的灵活性。选取回路电流时必须注意：回路电流的数目=b-+要足够。所选取的必须是一组独立回路。3-10用回路电流法求解题3-10图所示中5电阻中的电流io题解3-10图解：为减少计算工作量，可将右方电阻经混联后看为誓竺C,即4电阻。这是8+(5+3)一个2个独立回路的电路，给定回路电流小方向，从题解3-10图可得到回路方程为应用克莱姆法则求解，有=而i可从原图求得12f11-612=0F+13% =4812-6-613 =156-36=12012-6048=576i- = ,可, 120i=-=-=2AA223-11用回路电流法求解题3-11图所示电路中电流I。路电流通过该无伴电流源，就可省却该回路的KVL方程，使计算量减少。现取如题解3-11图所示的3个回路。回路电流方程为(5+5+30)11+(5+5)12-513=30(5+5)/)+(5+5+20)/,25j=305整理后得到4011+1012=351011+3012=50
