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1、第2节导数与函数的单调性考试要求L结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系2能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.I知识诊断基础夯实知识梳理1 .函数的单调性与导数的关系条件XX结论XXy=火0在区间5，b）上可导Ia)o危）在m，小上单调递增o,但y(x)=一%在其定义域(一8,o)u(o,+8)上不具有单调性.2 .(多选)已知定义在R上的函数於)，其导函数了。)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()N爪b)Jc岫B加)刎咨)C.flOfi)J(GD.J(c)j(d)je)答案CD解析由题意得，当X(-8,C)时，/()0,所以函数7
2、U)在(一8,C)上是增函数，因为。v8Vc,所以火c)y(力火).当x(c,e)时,/(x)y(J)y(e).3 .(2021九江二模)函数yU)=lnxX2的单调递增区间为,答案(0,孚解析由题意可得函数的定义域为(0,+8),=7U)=In -2,1 22X由/(x)0可得1一2?0,y2解得OVXVy故函数的单调增区间为(o,孝.4 .若函数次冷=加+31一X恰好有三个单调区间，则实数。的取值范围是答案(一3,0)U(0,+)Ca0f解析f(x)=3ar2+6-1,由题意得4解得。3且。WO.5 .(易错题)若函数TU)=&3f+ox+4的单调递减区间为1,4,则实数。的值为.答案一4
3、解析f(x)=x2-3x+a1且/U)的单调递减区间为-1,4,)=f-3x+0的解集为一1,4,/.-1,4是方程/(x)=0的两根，则=(-l)X4=-4.6 .(易错题)若y=x+三50)在2,+8)上单调递增，则a的取值范围是.答案(0,22解析法一由y=1-$20,得xW-a或x202.y=x+(的单调递增区间为(一8,a,a,+o).函数在2,+8)上单调递增，2,+),+),.4W2.又0,00,00,对于A,/(x)=2cos2x,/O=-IV0,不符合题意;对于B,/)=Q+l)d0,符合题意；对于C,/(x)=3x2-l,V0,不符合题意；对于D,/(x)=-1+；,/(2
4、)=一义0,则其在区间(一,兀)上的解集为感悟提升确定函数单调区间的步骤:确定函数小E)的定义域；(2)求了;(3)解不等式)o,解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式/(x)0,试讨论函数y=U)的单调性.解函数段)的定义域为(0,+),/(x)=x(+l)+:ar2(a+l)x+1(ar-1)(X1)xx,当Otz0iXE(L3时Ia) 函数段)在(0,1)和g+8)上单调递增，在(1,0上单调递减；当a=时，5=1,f(x)20在(0,+8)上恒成立， 函数段)在(0,+8)上单调递增；当a时，0:0;XHI)时，o, 函数7U)在(o,9和(1,+8)上单调递增，在七，1)
5、上单调递减.综上，当0a(),即a0时,令x20x+l=0,J=a2-4t”)当人0,即0V2时，/(x)0,危)在(0,+8)上是减函数.故4W2时，/)在(0,+8)上是减函数.(ii)当/0,即。2时，令Fa)=0,得a-a2-4X=或X=当/丘，三)u(T三,+oo0f,0.所以“)在(0,“(吗匕，+8)上单调递减，在H三，虫哗可上单调递增.Il考点三根据函数的单调性求参数例2已知g(x)=2x+Inx若函数g(x)在区间1,2内单调递增，求实数。的取值范围；(2)若g(x)在区间1,2上存在单调递增区间，求实数。的取值范围.解(1)g(x)=2x+In-(xO),gXr)=2+5+
6、a0). 函数g(x)在1,2上单调递增， g，a)20在1,2上恒成立，即2+!+N0在1,2上恒成立，.a2一2a2%在1,2上恒成立，tz(-22-%)max,x1,2.在1,2上,(22-x)max=-3,所以3. ,实数。的取值范围是一3,+).(2)g(x)在1,2上存在单调递增区间,则gO在1,2上有解，即2?-x在1,2上有解，a(-2x2X)min,又(一2x2-X)min=-10,10.迁移(1)(变条件)若函数g(x)在区间1,2上单调递减，求实数。的取值范围.解依题意gx)=2+B+。在1,2上满足g)W0恒成立，当X1,2时，aW2x2-X恒成立，2又,=2x2-x=
7、-2(x+J+/,x三l,2是减函数，当工=2时，,=-2-取得最小值一10.所以W-10,即实数。的取值范围为(一8,-10.(2)(变条件)若函数g(x)在区间口，2上不单调，求实数。的取值范围.解函数g(x)在区间1,2上不单调，.g(r)=O在区间(1,2)内有解，2则a=-22-X=2(x+J+在(1,2)内有解，易知该函数在(1,2)上是减函数，y=-2x1-的值域为(一10,3),因此实数。的取值范围为(一10,-3).感悟提升根据函数单调性求参数的一般思路：(1)利用集合间的包含关系处理：y=(x)在3,加上单调，则区间(4,b)是相应单调区间的子集.(2加力为增(减)函数的充
8、要条件是对任意的x(,与都有/(x)20(r)W0),且在3,。)内的任一非空子区间上，/(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.训练2若函数r)=jv-/in2x+sinX在(-8,+8)上单调递增，则。的取值范围是()A.1-l,1B.-1,W1 1-，C丞jD.1,-3J答案C5-3解析.,(x)=-gsin2x+sinx,24f(x)1QCOS2x+_BJn3O,当xe时，g,(x)g(3)g(),Ine1In31n即=-f-,ee3ln3,ln，故B正确，C、D错误.角度2解不等式例4设函数Fa)是奇函数火
9、X)(XR)的导函数,火一I)=0,当x0时，(/)一4E)VO,则使得r)0成立的X的取值范围是.答案(一8,-l)U(0,1)解析因为九X)(XR)为奇函数，-l)=0,所以y11)=-(-i)=oz1af(X)当/W0时，令g()=-,则g(x)为偶函数，g(l)=g(-1)=0.则当0时，gx)=，；)Xf(x)-f(X)靖g(l)=O,得心乎0,所以U)0;在(一8,0)上，当0.综上知，使得於)0成立的X的取值范围是(-8,-1)U(O,1).感悟提升1.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小.
10、2.与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在yu)与/()的不等关系时，常构造含yu)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式.训练3已知函数人)=xsinx,xR,则局,W1)，(一加大小关系为()A.”),周解析因为x)=xsinX,所以/(x)=(x)sin(-)=xsinx=J(x),所以函数j(x)是偶函数，所以周.又当X(0,习时，/(x)=sinx+xcosx0,所以函数危)在(0,$上是增函数，所以周贝)(周即W)AD周故选A.(2)设/U),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x0,且g
11、(-3)=0,则不等式IAX)g(x)V0的解集为.答案(一8,-3)U(0,3)解析Fa)g0)+u)g()o=lU)g()o,所以函数y=U)g(x)在(一8,0)上单调递增.又由题意知函数y=U)g(x)为奇函数,所以其图象关于原点对称，且过点(一3,0),(3,0).数形结合可求得不等式7U)g)V0的解集为(-8,-3)U(0,3).微点突破/构造函数，巧妙解题导数关系构造函数的一些常见结构1 .对于不等式/(x)+g(x)0,构造函数F(X)=Ta)+g(x).2 .对于不等式/(x)gQ)O,构造函数F(x)=J(x)-g(x).特别地，对于不等式/(x)Z,构造函数4(X)=X
12、X)一h.3 .对于不等式/(x)g(x)+U)gO,构造函数F(x)=J(x)g(x).f(X)4 .对于不等式)g(x)-yU)go,构造函数F(x)=7T5 .对于不等式%r)+班)0,构造函数77(x)=xU).6 .对于不等式f(x)+J(x)O,构造函数F(X)=ev(x).7 .对于不等式/(x)+4a)0,构造函数F(X)=卢Ta).一、利用./U)与e构造可导型函数例L/U)为定义在R上的可导函数，且Ia)ya),对任意正实数。，下列式子一定成立的是()A.)eW)J(O)f(0)答案B73人f(x)r,1,f(X)ex-f(x)etf(R)于(X)解析令g(x)=-,则g(
13、X)=)2=。.g(x)在R上为增函数，又。0,4)/(0).gm)g(o),吟、一.故犬。)已伏0).总结出现)一的形式，构造函数Fa)=J(2)出现f(x)+J(x)的形式，构造函数F(x)=x)er.二、利用40与炉构造可导型函数例2已知偶函数於)(W0)的导函数为Q),且满足八-1)=0,当x0时，2()xf则使得/)0成立的X的取值范围是.答案(-1,0)U(0,1)5工LL、止/(x)Llf(X)x-2*(x).,解析构造/)=-,则rr(x)=-L，当o时，w)-w0时，尸(x)V0,Fa)在(0,+8)上单调递减.y(x)为偶函数,工2为偶函数，尸(X)为偶函数，F(x)在(一
14、8,0)上单调递增.根据五一D=O可得F(-l)=0,根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略)，根据图象可知Kr)0的解集为(-1,0)U(0,1).总结(1)出现研x)+4(x)形式，构造函数Fa)=ATU);f(X)(2)出现犷XX)一祖x)形式，构造函数尸(X)=/-.三、利用於)与SinX,cosX构造可导型函数例3(多选)已知定义在(0,习上的函数外),(x)是危)的导函数，且恒有CoSMra)+sin欢X)Vo成立，则()A痣)破B磷)周*)磷)DS尼)小局答案CD解析根据题意，令g(x)=,x(0,当，则其导数gx)=f(x)cosx+sinxf(x)Fl(Cr,又由x(,2
15、)且恒有COS犷7(x)+sin状X)V0,则有可得圉小局;又由5d，g(x)VO,即函数g(x)为减函数.由弼，则有痣)g胤小周总结兀O与SinX,CoSX相结合构造可导函数的几种常见形式F(x)=J(x)smxfF(x) =(x)sin x+y(x)cos x;f (x)f(X)sin-f(x)cosxF3=F(x) =(x)cos xf F(x) =f(x)cos x-/(X)Sin x; F(x)cos xf(X)cosx+f(x)sinxF(X)=四、构造具体函数例4(2022石家庄一模)若InXInyV看一看(xLyl),贝J()A.evx1BerVlCeFDeFVl答案A解析依题
16、意，In-0,所以人。在(一8,0),(0,+8)上单调递增；又Xl,yl1得InX0,lny0,又InX-=lny-访.则川nx)VUny).又五。在(0,+8)上单调递增.则InXlnyf1x0,所以eyre=l,A正确，B不正确；又yx1无法确定与0的关系，故C、D不正确.总结不等式两边凑配成相同的形式，构造具体的函数利用单调性求解.I分层训练巩固提升IlA级基础巩固1 .函数y=U)的导函数y=(x)的图象如图所示，则函数y=U)的图象可能是()答案D解析利用导数与函数的单调性进行验证/(x)0的解集对应y=(x)的增区间,/(x)V0的解集对应y=U)的减区间，验证只有D符合.2 .
17、函数/(x)=3+xlnx的单调递减区间是()a1?e答案B解析因为函数於)的定义域为(O,+o),且/(x)=lnx+x4=ln+1,令/(x)0,解得OVXViC3 .若函数7U)的定义域为R,其导函数为了(x).若/(X)3VO恒成立，五一2)=0,则7U)3XV6的解集为()B.(-2, 2)A.(-,-2)C.(-, 2)D.(-2,+)答案D解析令g(x)=段)一3x6,贝U=r-3-2.4 .(2022江南十校联考)已知函数外)=0x2-40LInK则段)在(1,4)上不单调的一个充分不必要条件可以是()A.-JB.0七或go,当。Wo时，只需g(I)=-2a-0,p0,Ig=1
18、610,解得G1或a2；公诗是/U)在(1,4)上不单调的一个充分不必要条件.5 .(2021.鹰潭一模)已知。=华，C=竿，则或b、C的大小关系为().bcaB.cabC.acbD.cb0;当xe时，/(x)V0,则於)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，则当X=Q时，/(x)max=,即bafbc；In2In331n2-21n3In8-ln91.Cr-T=6=-6-其中e为自然对数的底数，若|白一1) +6 .已知函数/(x)=34x+2e2ex,22)0,则实数。的取值范围是(+ oA.(8,1B.2C.(-1,D.hI答案D解析/(x)=x2-4+2ev+2ex2-4+2
19、4exe=x20,工段)在R上是增函数.又7(x)=#+4x+2e-r-2ex-/(x),知於)为奇函数.故|。-1)+122)0令/(。-1)力一22),-1-202,解之得一lWw7 .已知定义域为R的偶函数火X)的导函数为/(x),当XVo时，邛)-U)V0.若。f(e)f(In2)f(3)rllV,b=2C=,贝Ucifb,c的大小关系是.答案cab解析设g)=*,rtlxf(x)f(x)则g,M-，又当RVO时，Mt(X)-J(X)VO,所以gx)V0,即函数g(x)在区间(-8,0)内单调递减.因为yw为R上的偶函数，所以g(x)为(一8,0)U(0,+8)上的奇函数，所以函数g(
20、x)在区间(0,+8)内单调递减.由OVIn2VeV3,可得g(3)Vg(e)Vg(ln2),即CVaVA8.已知函数U)=lnx；加一2x(a0)在1,4上单调递减，则Q的取值范围是答案一卷O)U(0,+o)解析加)在1,4上单调递减,II2；当xl,4时，/(x)=(一以-2WO恒成立，即。27一最恒成立.12设Ga)=了一J,4,2eGa)max,而Ga)=Hi)1,Vxl,4,日电，1, G(x)nax =167；心一市又W0,，。的取值范围为一强，O)U(O,).9.(2022岳阳模拟)若函数/U)=/一方一or在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是.答案(一8,21n2-2)
21、解析Y函数兀r)=f-e*Or在R上存在单调递增区间，即aV2-ex有解.设g(x)=2-e则gx)=2-e令gO,g(x)单调递增，当xln2时，(x)0,g(x)单调递减，当X=In2时，g。)取得极大值也是最大值，且8。)1=8(也2)=211122,。,又旭)=危)在(0,五0)处的切线方程为y-b=g-b)x,即(ab)xy+b=Oa-b=6, 5,解得14=1, ,b=-5.(2).(x)=(2+x5)ef,xR,，/(x)=(_f+x+6)e-x=-(x+2)(-3)e-x,当XV2或x3时，/(x)0,故r)的单调递增区间是(一2,3),单调递减区间是(一8,2),(3,+o0
22、).11 .讨论函数y(x)=(4-1)InX+0v2+l的单调性.解/U)的定义域为(0,+),当时，/（x）0,故Y）在（0,+8）上单调递增；当时，/（x）0,故/U）在（0,+8）上单调递减；当OVaVl时，令/（x）=0,解得X=才萨，则当Xe（0,寸示!时，）;当XEbj+8）时，/（%）0,故yu）在（o,寸书上单调递减，在k降+8）上单调递增.综上，当时，7U）在（0,+8）上单调递增；当0时，人1）在（0,+8）上单调递减；当OVaVI时，y（x）在0,/12）上单调递减,在+s）上单调递增.ILB级能力提升12 .（2021七彩阳光联盟适考）设,b0,贝&力是y的（）A.充
23、分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案D解析因为,b0,由o0护可得HnablnA设函数r)=xlnX,则/(x)=InX+1,由/(x)0可得心!，所以函数/U)=xlnx在(0,上单调递减，在(：，+8)上单调递增，所以。人不一定有Hn川n仇即。护，所以充分性不成立；当Qbb,即HnaZ?lnZ?时，不一定有。仇所以必要性不成立，所以、Z是、Z尸的既不充分也不必要条件，故选D.13 .(2021张家口三模)已知方(0,3),且41na=Hn4,41nb=bln2,c=logo.30.06,则().cbaB.acbC.bacD.bc0,y单调递增；当(e,+8
24、)时，了(幻VO,7U)单调递减，又AG=A2)=(4)yS)=(16),结合mb(0,3),所以bVa=2,又c=logo3O.O6=logo3(O.20.3)=logoj0,2+11+logo.30.3=2,所以)a2d/i+x2)J(万)+/(R2)答案BD解析由导函数的图象可知，导函数/（R）的图象在X轴下方，即/（X）VO,故原函数为减函数，并且递减的速度是逐渐减慢.所以y的示意图如图所示：yu）vo恒成立，没有依据，故A不正确；B表示（为一12）与伏为）一/（X2）异号，即yu）为减函数，故B正确；C,D左边的式子意义为京，X2中点对应的函数值，即图中点8的纵坐标值，右边式子代表的
25、是函数值的平均值，即图中点A的纵坐标值，显然有左边小于右边，故C不正确，D正确.15.（2022北京怀柔区一模）若函数/）=ecosLa）在区间（一看?上单调递减，则实数a的取值范围是.答案L+）解析由题可知：函数危）=eYcosx）在区间（一方舒上单调递减等价于/（x）WO在卜去习恒成立，则2cos-sinX=也CoS卜+J在(一,单恒成立，所以%s(t+肌nax由XeV,2)1所以x+(T引,故COS(X+)(-乎,1,则也CoS(X,2,所以心啦，即啦，o).16.已知函数r)=anxax-3(R).求函数儿E）的单调区间；若函数y=（x）的图象在点（2,.人2）处的切线的倾斜角为45。
26、，对于任意的fl,2,函数g（x）=x3+p（%）+3在区间出3）上总不是单调函数，求实数机的取值范围.n（1-r）解（1）函数1U）的定义域为（O,+）,且/（X）=当。0时，7U）的递增区间为（0,1）,递减区间为（1,+）;当V0时，x）的递增区间为（1,+）,递减区间为（0,1）；当。=O时，段）为常函数，无单调区间.(2)由(1)及题意得/(2)=-2=1即CI=-2,Ax)=_2Inx+2-3,2-2f(x)=(x0).g(x)=x3+g+2卜一2x,g(x)=3x2+(m+4)-2.g（x）在区间”,3）上总不是单调函数,即g%r）在区间。3）上有变号零点.由于 g(0)= -2,/0,当g”)V0时,即32+(m+4)f2V0对任意fl,2恒成立,由于g(0)V0,故只要g(DO且g(2)0,即mV5且mV9,即mV9,又g0,即用一行.-yw-9.即实数用的取值范围是（一司，一9）
