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1、第十三讲一元二次方程的判别式与根系关系一、一元二次方程的判别式1.知识导航根的判别式示例剖析应用一：不解方程，直接判断方程根的情况不解方程，直接判断下列方程的解的情况：7x2-X-I=O9x2=4(3Dx2+7x+5=0设一元二次方程为ax2+bx+C=0(。0),其根的判别式为：二-4ac则40o方程ax2+bx+c=0(aWO)有两个不相等的实数根=()=方程ax2+bx+c=0(。0)W两个相等的实数根AvOo方程ax2+hx+c=0(a0)没有实数根注：.()=方程ax2+bx+c=0(。0)有实数根或有两个实数根x2-(n+l)x+=0(加为常数)2解：(),有两个不相等实根=(),
2、有两个相等实根0,方程有两个不相等实根应用二：己知方程根的情况，求参数及参数的取值范围1、关于X的一元二次方程(1-2%)Y-2m-1=0有两个不相等的实数根，则&的取值范围为.-2k0解：由题意，得/:+1.0,解之得-L,2v2且A=4(k+l)+4(l-2k)0k-.22、已知关于X的方程a?+23+2)x+a=0有实数根，则。的取值范围为.解：当=0时，原方程为4x=0有解，故=0符合题意；当0时，a0由题意，得A,2=2(t7+2)2-42.0解之得.-l且40;综上，a.-l应用三：根的判别式在几何中的应用2.基础热身例题11 .已知关于工的一元二次方程(左-I-+(2k+l)+l
3、=O有实数根，则2的取值范围为答案七且女工14解析由题知，卜I),，解之得且&=(2Ar+l)2-4(-l)2.042 .若关于X的一元二次方程H?一2x+1=0有实根，则k的取值范围是.答案院1且A0解析由题意可知一元二次方程中二次项系数�,再因为一元二次方程有实根，所以4=(-2)2-4XAXl=4-4k.0,所以解得上L所以综上所述，鼠1且AW0.3 .若方程(机+2)/-2(机+1)x+m=0只有一个实数根，试讨论方程(w+l)x2-2a+加一2=0根的情况.答案有两个相等的实数根.解析，方程(m+2)2一2(?+l)x+n=0只有一个实数根，.%+2=0,得根=一2.二.方程(/
4、+I)/-2wx+-2=0,即为方程一丁+4x-4=0,A=42-4(-1)(-4)=0.方程(M+1)-一2mr+m-2=0有2个相等的实数根.特别注意方程W+2)x2-2(w+1)x+w=0只有一个实数根.若m+20,则方程要么有2个根(相等或不相等)，要么没有实数根.条件指明，该方程只有1个实数根，所以m+2=0,且机+lw4 .当公方为何值时，方程n2+2(1+)工+(32+4出?+4/+2)=0有实数根？答案=l,b-.2解析原方程的判别式为=4(1+a)?-4(3+4ab+Ab2+2)=网2。2+4+4/一2。+1)=(a+W+3-1)2.原方程有实根，.()，(+25)+(,1)
5、0,根据平方的非负性得(a2)2+(-l)2.0,.(+26)2+(-Ip=。.+2=O且-l=O,例题21 .己知公b、C为ZVSC的三边，请判断关于X的方程(+A)2+2cx+(+ZO=O根的情况.答案方程无实根解析+bw.方程为一元二次方程=4c2-4(a+b)2=4(c+b)(c-b)a(Xh0fc(a+hc.c+a+hO,c-a-bO.A)2+S-)+g-c)2方程有两个相等实根，.=0,即2(-b)2+S-C)2+(c)2=0.a-b=b-c=a-c=Of即=Z=c.ABC为等边三角形。例题3已知关于X的一元二次方程x2-(+3)x+3=O.(1)求证：不论Z取何实数，该方程总有实
6、数根.(2)若等腰Zvwc的一边长为2,另两边长恰好是方程的两个根，求AABC的周长.答案(1)证明见解析.(2)ZVWC的周长为7或8.解析(1)=(+3)2-43=(-3)2.0,故不论女取何实数，该方程总有实数根.(2)当ZXABC的底边长为2时，方程有两个相等的实数根,则(2-3尸=0,解得左=3,方程为i6x+9=0,解得再=2=3,故ZVSC的周长为：2+3+3=8.当AABC的一腰长为2时，方程有一根为2,方程为f-5x+6=0,解得，x=2为=3,故的周长为：2+2+3=7.综上所述，ZXABC的周长为7或8.二、一元二次方程的根系关系1.知识导航一元二次方程的根系关系(韦达定
7、理)韦达定理示例剖析若方程ax2+bx+c0(0)的两根是由、X2,.0则TI+x2=_2Cxx2=一a注意：隐含的条件.0应用一：已知一根，求另一根1、已知西=3是关于X的一元二次方程x2-4x+c=0的一个根，则方程的另一个根勺是多少？法1：将M=3代入原方程得：c=3，=1法2：由题可得：3+X2=4.X2=1应用二、已知方程，求关于两根的代数式已知实数时是方程W-Ai=。的两根，求代数式9+4的值.ab=50解：由题知：+b=l,ab=-bab2+a2(a+b)2-2ab,+3ababab应用三：已知方程和两根的关系求字母系数已知关于X的方程x2-13x+Z=0的两根。、夕满足条件a-
8、3=,求攵的值.解：由一元二次方程根与系数的关系得：ajr=13,a-3=1联立方程组解得：Ot=10,0=3.k=a=302.基础热身例题41 .已知方程2+法_3=0的一个根是X=-L求它的另一个根及。的值.2答案Xl=3,b=-5.解析方法一：设方程的另一根为石，则由方程的根与系数关系得：，MT=-I解得：Jb=-5方法二：由题意：2(-g)+A(-g)-3=0,解得：b=5,根据韦达定理设另一根为百，则.j=3,b=-5f故答案为：x=3b=-5.2 .已知关于X的一元二次方程ar2+2ar+c=o的一根再=2,求方程的另一根心.答案电=-4.解析由题知2+为=一二=一2,a.x2=-
9、4.3 .进阶练习例题5已知出巧是方程x2+5x+2=0的两个实数根，求下列代数式的值:(1) x12+.(2) (2x1+I)(2x2+1).(3)包+%.Xix2(4)xi-x2.答案(1)21.(2)-1.(4)7.解析(1)由韦达定理知xa+x2=-5,x1x2=2.于是X1O,xzO.则xj2+2=(x+2)-2xij=21.(2)由韦达定理知xl+x2=-5,x12=2.于是x10,X20.则(2x1+1)(2x2+1)=4i2+2(xi+x2)+1=-1.(3)由韦达定理知百+巧=-5,为巧=2.于是X0,x2O.RJ+=-+=.X1X2XIX22(4)由韦达定理知N+&=-5,
10、xix2=2.于是x1O,x25-2+X2=m(7?-2)2=n:.x2=2-m-y/5带入，=(6-2)(2-m-J)=2w-9+(4-zn)5.加，为有理数，.m=4,:.n=,:.m+n=3.3.设司，勺是方程r-x-2014=0的两个实数根，贝J3+20i5x2-2014=.答案2015解析由已知可得：x12-X1-2014=0.,.X；-xj2-2014x1=0,即x3=x12+2014x1.再结合#=$+2014.=20151+2014.原式=2015(X+x2),由韦达定理即可得至Jx+2(H5%22014=2015.例题7已知关于X的一元二次方程f-(2m+3)x+m2+2=0
11、.(1)若方程有实数根，求实数小的取值范围.(2)若方程两实数根分别为补x2,且满足短+=31+芭引，求实数用的值.答案(1)in.12解析关于4的一元二次方程12_(26+3)工+加2+2=0有实数根,.0,即(27+3)2-4(/+2).0,17-12(2)根据题意得演+“2=2m+3xx2=w22,X：+W=31+XX2,.(+)-2x1x2=31+x1x2t即(26+3)22(m2+2)=31+/+2,解得机=2w=-14(舍去)，n=2.二、课呈展不巩固1若关于X的方程W-2x-6=0有两个相等的实数根，则机=解析方程有两个相等的实数根，则=(),.4+4=0,故m=T巩固2关于X的
12、方程(/-2)彳2一J3-?X+；=O有两个实数根,则?的取值范围是答案办，,且加22解析方法一:由题知,=(-y3-m)2-4(w-2)-.0故答案为:方法二：方程G-2)W-g-M+；=O有两个实数根,n-20.03 m. Om-2O即，5-2m.O,3-m.O解得：/2且w2,2故答案为：也，。且相2.2巩固3若关于X的方程(x+1)2=1-攵无实根，则k的取值范围为A答案1解析*+l)2=l-2无实根，.1-.巩固4如果关于X的一元二次方程(l+2)+次=c(l-f)有两个相等的实根，那么以正数a,b,C为边长的三角形是().A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.任意三角形答案
13、C解析将方程化成一般形式：(a+。)+2bx+(-C)=0.a+c0,方程有两个相等实根，.=4-4(。2一0a)=。即q2=+c2,.为直角三角形，选c.巩固5己知关于X的一元二次方程d+3x+网=0.4(1)如果此方程有两个不相等的实数根，求用的取值范围；(2)在(1)中，若?为符合条件的最大整数，求此时方程的根.答案(1)的取值范围是2-4ac=32-4l2=9-3h.4该方程有两个不相等的实数根，.9-37O.解得m3.m的取值范围是m3.(2)m.符合条件的最大整数是利=2.此时方程为/+3x+-=0,=9-3/h=32解得X=W方程的根为X=空也,巩固6关于X的方程2+=o的一个根
14、是2,则方程的另一根是；k=.答案1：-22：-1解析设另一根为王，由根与系数的关系可建立关于再和&的方程组，解之即得.5.1x=2,k=7巩固7若方程x2-4x+c=0的一个根为2+6，则方程的另一个根为=，C=答案1：2-32：1解析设另一根为N,则2+J+x=4,/.Xj=2.C=(23)(2-)=1.巩固8若a,仅是方程j+2x-2015=0的两个实数根，则/+3+的值为.答案2013解析是方程V+2x-2015=0的根，.a2+2-2015=0,:.a2+勿=2015,.a2+3+=2015+,a、尸是方程f+2x-2015=0的两个实数根，:a+B=-2,Acr2+3a+y=201
15、5-2=2013.故答案为：2013.巩固9已知是关于X的一元二次方程/+(2,+3)“+/=0的两个不相等的实数根，且满足=1则m的值是().aA.3B.lC.3或1D.-3或1答案A解析根据条件知：a+=-(2rn+3)ta-m2,1,1_+a_-(2/n+3)_.h；1,aam2即m2-2m3=0,日m2-2m-3=0.得,(2m+3)2-4m20解得n=3.故选Ao巩固10设西、入2是方程f-2(A+l)x+d+2=0的两个不同的实根，j(x1+l)(x21)=8,求攵的值.答案1解析由题意得，=-2(A+1)2-4(At2+2)0,得又再+电=2(R+1),XIX2=M+2,那么(x+1)(2+0=X1X2+(西+)+1=8,即女？+2+2(4+1)+1=8,2+2-3=O,解得k=3七=1.但&I=一3不满足A,，所以Z=L12
