《国内微积分教材中关于所谓无穷小比较大小问题引出的争论以及反映出的问题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《国内微积分教材中关于所谓无穷小比较大小问题引出的争论以及反映出的问题.docx（12页珍藏版）》请在课桌文档上搜索。
1、国内微积分教材中关于所谓无穷小比较大小问题引出的争论以及反映出的问题沈卫国（2023年12月23日）内容摘要：针对近30年某些微积分教材中的无穷小比较大小的问题疑难的争论，彻底分析了这个问题产生的缘由，指出其中的问题本质，并得出结论：不从根本上进行观念的改变，这个问题无解。关键词：无穷小；高阶无穷小；同阶无穷小；趋0极限；导数；增量比；差商；因变量；函数；自变量；趋0快慢；趋0距离最近了解到，关于国内微积分教材中所谓无穷小比较大小的说法，曾经引起了很大的争论，似乎并没有确切的结论。这个问题直接反映了微积分基础理论的结构的混乱到了令人吃惊的地步。按这个逻辑，根本不可能辩出个结果，因为整个理论都是
2、不行的。还更令人吃惊的是，明明第二代微积分的极限法为了回避贝克莱悖论，是推弃了无穷小这个概念的，怎么又会被堂堂正正地写入了教材，并且被一些教师说成是“高等数学的很重要的概念”？我又专门去查了一下，手头上有的美国托马斯微积分、普利斯顿微积分教材、方源和王元的微积分教材、龚升的微积分教材中，这些严肃的权威教材中，根本就没有无穷小这个词条出现!难道我们现在一般的微积分教材，还是沿用牛顿、莱布尼兹时代的教材吗？如果学生都被教成这个样子，也就难怪笔者对微积分的诠释鲜有人问津了：很多人根本就认为第一代微积分的无穷小都无错，所谓的高阶无穷小就可以舍去或应该舍去，无问题微积分本质上就是一个近似的东西等等。这个
3、问题，始于二十年前的2004年的参考文献K由申兰珍的一篇小文引出。她说：“无穷小的比较是无穷小量这部分内容的一个组成部分。“设,B均为无穷小量,若Iim=0,则称Q较B高阶无穷小”，解释为“比B趋于0的速度快”（引号部分摘之教材）。当X0十时,y=2与y=都是无穷小量，:Iim-o+x7x=O,按某些教材的解释，自然可以说y=2与y=x向0的变化速度快。众所周知，导数是研究函数变化速度的,要想知道函数f（X）的变化速度只需求f（X）的导数即可。y=2的变化速度为y,=2x,而y=x的变化速度为y=1,当OVXV0.5时,显然y=x的变化速度比y=x2的变化速度要大，也就是说在x-（的过程中y=
4、x比y=2的速度快,这与无穷小量的比较的解释恰好相反。我们再来看无穷小的比较：IinIa/B=OqV（不妨设OVVD,总存在那么一个时刻,从那个时刻以后I0IVVI,分子的绝对值比分母的绝对值小,说明分子离零的距离要比分母离的近。因此可以说,无穷小的比较实际上是在某个变化过程中从某个时刻以后谁离零的距离更近,谁离的近谁就是较另一个的高阶无穷小。而距离的远近不能用变量变化速度的慢快来说明，y=2与y=X就是一对很好的例子。在0xl时，2比X距离0点远，XVI时，比X距离0点近。X=1时，速度2xL速度快。XVI/2时才速度慢。所以无论从哪个角度，都说不通。说距离近，也不是总近；速度快，也不是总快
5、。如何论？最后一例,我们以x/2代替前面例子中的X2,则x/2的导数也就是速度是1/2,它比X的导数也就是速度1相比，是小的。于是x/2速度慢而更接近0,但它不是高阶无穷小，它其实与X同时到达0点。但x2为高阶无穷小，按微积分说法，可以舍弃。但x/2却不是高阶无穷小，不可舍弃。但它确实又离0点更近。如此，我们又怎么能按教材说的，“趋0速度快”的就是高阶无穷小，就可以舍弃不计？总之，实际高不高阶，都是要舍弃的，都没有什么道理。说高阶可消去不过是借。齐民友在其著作中谈到过这个问题。实际上，无论上述哪种情况，都是同时到达0点的，这才是正解。我们还可以对上述问题进行更深入一些的讨论。前文的所谓“x2/
6、x”，是怎么来的，其意义究竟是什么？请看二次函数（抛物线）的增量比（差商）式yx=（2x+x）xx（1）当然也可以写成为yx=2xxx+xxx=2xxx+x2X*(2)当此二式中的X二O时，也就是在O点时，可以看出，就得到yx二x2（3）此时，Zx2/ZXx与前面讨论的x2x是一回事。因为4x=-0,就有*二X。（注：在此例中的X=0,与二X中的X不是一回事，前者是原点，后者是另一个点的坐标。符号一样，但内涵不同，不再改了）首先按笔者对导数的思路，这个问题极其简单。那就是x2x=xxx=xll=xgg=0ggOx=0或一0时）（4）其中，为先割线、后切线上任意两个点的间距（增量）。而xZgZg
7、中的ax就是此割、切线方程的系数，也就是斜率k,当其二0或一0时，就是切线斜率。因为此时切线在原点，因此切线是一条水平线，斜率自然为0。按笔者对导数的新定义或诠释，这很好理解。其中4xZx=1/1一步，当然是一般求导过程中的约分消分母的实际过程。其实有了这个割线两点间距1,足够，g并不必须，只不过为了更严格或更一般化而已。但按照传统无穷小微积分（第一代牛顿法）的诠释，就十分造作甚至无法自圆。比如，在公式2中，一般求导的步骤是，因为ax2被认为是所谓的“高阶无穷小”，可以舍弃。这其实就是在4x2/Zx中，令4x2二0,但在分母上的4x不能为0,否则会得到0/0。而分母如果不为0,就有0Zx,这当
8、然是不合情理且有矛盾的，因为4x2/ax中的是同一个变量，4x2=0,也必然有分母上的二0,进而得到0/0O可见，按无穷小舍弃高阶无穷小的思路，这里必然会产生矛盾。现就这个问题小结如下：1、无穷小概念，早就应该杜绝于极限法的第二代微积分中，但现在仍旧在为诸多教师津津乐道，实在是不应该。这是完全无视贝克莱悖论的做法。讲无穷小概念与极限相提并论或等同起来，都是违反极限法第二代微积分初衷的。2、参考文献1提出的这个问题，深刻地反映了所谓“高阶无穷小”这个概念完全没有真正说清，进而（高阶）无穷小可以舍弃的理由完全不成立。实际上，两个变量（可看成自变量与因变量）是同时到达0点的，没有什么先后之分，与什么
9、趋0速度的快慢，或离0点的远近没有必然关系。一个形象的比喻，就是芝诺悖论的阿克琉斯（速度快者）追乌龟（速度慢者）悖论，最终是事实上会追上的，也就是会会合的（会合的哪一点就是目标点，对应于0点）。教材中的所谓无穷小的比较问题，说决定于趋0速度的快慢，无论是指的运动速度，还是离0点的距离远近，都不能决定其是所谓高阶无穷小，也就是都不能作为舍弃它、无视它的任何理由。换言之，二者之比（因变量与自变量之比，即增量比或差商）在0点没有任何理由不是0/0,因为显然，从前述参考文献1提出的问题可知，其实因变量与自变量是同时到达0点的，无论是函数值的到达还是极限值的到达。总之，教材说无穷小大小的比较（涉及是否可
10、以舍弃它的理由），是由于其趋于。的快慢决定的。但参考文献1揭示了，变量接近。点的运动速度，并不决定哪个变量最先到达0点。有人又说所谓教材的趋于0的速度，指的是哪个无穷小接近0点最近。但参考文献4又揭示了，离0点近的，与离0点远的，可能是等阶无穷小，而非高阶无穷小，也就是离0点近的并不一定就可以舍弃。既然如此，就算是高阶无穷小，也无非不是运动速度快，就是离0点近，既然此二点都不足以作为可以舍弃的判据，那这种舍弃高阶无穷小的理论，还有其基础吗？3、把无穷小语言换成极限语言，其实也一样。除非因变量比自变量先到O点，也就是自变量不为O时因变量已经为O了，我们才可以舍弃它。否则二者之比(增量比，差商)在
11、O点就是0/0,仍旧是一个需要解决的问题，它就是贝克莱悖论。至于如何解决，笔者前期有关文章中都有讨论，此不赘述了。关于“无穷小”概念：著名数学家、逻辑学家莫绍揆先生说：“初学者还因为古老理论认为：微分是无穷小增量小而dyf,(x)Zx只是近似式，要-0时方有dy=f,(X)dx(这其实是初学者的错误体会)遂认为dX,dy是无穷小的4x,y;或者“Zx-0时的,Zy”其实当X0时显然一0及一O,哪能得出dX,dy呢？这种错误的理解也是古典理论的错误说法引起的，我们的结论是：说dX二,无论如何都是不能接受的”。莫绍揆先生还在其文章前面的“摘要”中还说：“最初在牛顿、莱布尼兹时代人们把微分看作变元的
12、无穷小增量；自从废除无穷小概念后人们把df(x)定义为当H-0时函数增量(注：公式复制困难,此处以文字代替。笔者说明)的主部它是矢量H的线性式记为L(H),然后人们或者证明d(x)即h,或者把dX,定义为h,这等式是不能接受的”。陈玉发在其极限与无穷小辨析中说：“若Iimxxf(x)=O则称f为当X一x时的无穷小量(简称无穷小).简单地说，无穷小就是以0为极限的变量.因此：无穷小是一个变量，不是一个常数.一个常数，无论多么小，都不是无穷小.因为对于任意一个小常数,Iimxx=0,因此，常数不是无穷小.无穷小是以0为极限的变量，而不是0,这一点必须明确.常数中除了“0”可以看作无穷小之外，不存在
13、无穷小”。(注意：最后一句话自相矛盾。我们只能把“看作”二字，理解成不严格的说法。笔者注)。总之，现在有些不甚严格的教材中所定义的早该被第二代微积分淘汰的无穷小概念，其实是不严格的“看作”，是个二次诠释或定义。它是个变量而不是固定值，它是个函数f,趋于O但不是0,又可以马马虎虎地被“看作”0。总之，十分混乱。但有一点我们必须明确，极限法微积分求的，可并不是这个趋于0到不了0的变量，而是通过它的变化到达最终的极限点0的。这个0可以不是函数点，但必然是极限点。注意，无论什么点，关键是都是点。极限求的就是这个点，而不是过程本身。这从极限的-5定义可以很直接地看出来。那里极限是明确定义成一个实数域的数
14、的，这当然对应于数轴上的一个点。因此，极限求的绝对不是什么一个过程，哪怕它是无穷小过程。你可以说，是通过这个过程，甚至可以通过这个在教科书中对无穷小的重新定义下的这个无穷小（既然敢说无穷小是一个永不完结的过程！或趋0函数f）.这从极限式IimXfXOf（X）=O就可以看出。过程（也就是趋0的函数f）是用“一”表示的，但所求极限点是等号右边的那个“0”。按说该0点也可以是趋0函数f的一个数值，但按极限的一般-6定义可以看出，极限点的定义“故意”不去这么定义，而是故意地剔除极限点在趋0函数f的定义域中。但最终毕竟，极限点还是它这个0。显得非常造作。本来就是它，却先偏说不是它，最终还是它，但又说不是
15、原先的那个它，是新定义的导函数也就是极限函数的它。非把人（学生甚至是教师、教授本身！）绕糊涂了不算完。本来，极限点就可以同时也是函数点，反之亦然。起码大多数情况就是如此。却偏在定义中从函数中剔除极限点。而定义此非函数点为极限点，再“任命”此非函数点（函数在该点无定义。或函数的定义域不包括该点）的极限点为极限函数（如导函数）的函数点，其叠床架屋、概念缠绕无以复加，足以使有心者怀疑这是要绕晕了谁或甚至提出者自己。也难怪，这么多的数学教师，被这种新的无穷小定义所误导，以为极限法球求的就是这个永远也到不了的极限过程本身，导数、趋。极限就是本质上的一个近似值云云，然后其中（指新定义的无穷小或趋0过程或趋
16、0函数f）才有什么趋0的快慢等类说不清道不明的问题，是误入歧途。前文的讨论已经阐明了。事实上，大逻辑学家、数学家莫绍揆先生说的很明白了，见前面的引文”自从废除无穷小概念后”。注意，自从第二代微积分产生后，无穷小概念是被“废除”的！大数学家柯朗也说过这事儿（见其名著数学是什么）O既然如此，何故再去在微积分教材中重新、重复地定义无穷小概念（说“重复”，是这种无穷小的定义，已经不是一个确定的小区域或点，而是一个动态的、无完结的、永到不了目标或能到也故意不到的一个趋O过程），然后把其添加到求极限点的定义中去，使其造成一个假象，似乎极限就是无穷小，无穷小就是极限似的。其实，这是混淆了极限过程和极限点。通
17、俗些说，就是混淆了目标点本身与趋于目标（但到不了目标）的这个过程。然后再在极限法的外衣下、行话下的掩饰下，从真正的极限概念返回到无穷小概念，具体说就是趋O过程的概念，其目的，显然就是又试图回避本身就是为了回避贝克莱悖论才应运而出的极限法带来的诸多困扰，使得比较简单明确易于理解的无穷小概念重新回到微积分的教学舞台中。这叫什么？这叫在乱上添乱！无穷小本来就够乱的，给改成了趋O极限点，趋O极限点本来也够乱的，感觉还是无穷小乱的好点，又给改回无穷小，还说二者本是一回事云云。总之，如此多的数学教师还在那里大谈特谈无穷小的什么趋O快慢问题，离极限点的远近问题等等？这不是在做无用功吗？事实上，一句话，其实无
18、论趋O速度如何，距离极限点的远近如何，函数和自变量的点，是同时到达极限点的。去无谓地探讨因为哪个原因才可以舍弃哪个，终归是徒劳的、错误的。这从这个文献1二十年前提出问题争论了这么多年也没有一个确定的结果就可以看出来。这是一个死胡同，无解。具体、明确地说，无论是按无穷小的说辞，还是按现有不可达极限法的说辞，都无法解决这个问题，这就不得不引出一个问题，为什么如此多的人甚至教师、教授（可能还包括所谓的“数学家”。因为这些人通常摆出一副莫测高深的架势，从不参与这些所谓“初级”问题的讨论，拿出一副不屑一顾的嘴脸来，所以其们究竟是不是很清楚这个问题，不仅十分可疑，甚至就可以断定，正如项武义先生所说的：“其
19、实他们也不懂！如不然，表个态！），都不遗余力地试图以某种形式返回这个重新定义的无穷小？其实自有原因在。一句话，如果把极限仅仅定义成极限的那个“点”，则无论函数点还是极限点，都会有增量比值（差商）化为0/0的问题！这才是问题的实质和要害。于是，很多人自觉不自觉地选择什么无限趋近0的一个过程或函数，试图又剔除那个极限点，返回“微积分就是一个高级、高阶近似”这样的观点，不管怎么说，这个说法尽管也有问题，但总比出现矛盾的贝克莱悖论强。就是，本质上就是干脆认怂，承认不精确或尽管不直说，但实际认可，以回避明显的、虽然“精确”但存在矛盾（贝克莱悖论）的真正意义的极限法微积分求导。但没有想到，参考文献1在二十
20、年前，揭示了如此做法的深层次的矛盾和问题，就是现有的一些可以允许我们得到这个近似解的种种说辞，其实是自相矛盾的！无法自圆其说的。第一代微积分实际做的是：先舍弃高阶项（理由是高阶无穷小可以舍），再求O点的函数值。而极限法的第二代微积分是，同样，先舍弃高阶项，再求趋O极限值。总之，笔者认为，错的就是错的，不完善的就是不完善的，任何试图打无原则的圆场的做派，属于拆东墙补西墙，剜肉补疮，终归还是要暴露出其有意无意试图掩盖的问题来。比如，仔细分析下不难看出，这些微积分教材重新定义无穷小为过程的目的，居然是为了最终找个借口（如什么趋O极限过程的快慢云云）可以消去它！好似我们千辛万苦地论证、考证了某人怎么怎
21、么是个好人，是必须要有的，其目的居然是要他死：虽然他是个好人，但他太超前了（趋O极限过程过快），所以得死或消失。那么怎么办？其实唯有在笔者的思路下（参见公式4）,也就是彻底排弃第一、第二代的无穷小或极限法微积分的导数定义（及求法），才可以彻底地、无任何矛盾地解决这个问题。详见笔者前期有关文章，此不赘述了。此外，从“可微”这个概念，也可以窥知传统极限法微积分在定义微分这个概念上的矫揉造作甚至矛盾。这体现在“可微”按字面，就是“可以微分的”，“可微”按其定义条件，就是自变量-0,有这个条件。但是都知道，微分的定义中没有、也不需要、甚至不允许0,它就是一个宏观量。因为一旦一0,微分式中的ay也必然要
22、一0,都是0了，还有意义吗？至于在积分过程中，还是要小区间-0,那是另一回事，先在微分的定义中不管了，否则对0积分，成什么话？把-0的问题推到积分定义过程中去，先在微分的定义中把太明显的问题对付过去再说，这就是极限法微积分在微分定义中所干的好事。因此，才会有什么可微不可微的问题。也就是说，其实反正最后在积分中还得是x-0的，这个最终还得用到，那就先不管微分的定义中用不用、可不可用了。但是这当然与微分定义直接矛盾。具体这个矛盾就是：微分定义，根本就不需要也不允许一0,现在却把可以-0叫做“可以微分”，这还不是矛盾？而有些人直接说微分就是-O什么的，又说不是，它不能、不必一0,则更矛盾。总之，这个
23、问题在极限法那里根本就没有说清楚，也不可能说清楚。在这类问题上,所谓极限法的第二代微积分，其实还不如第一代的无穷小微积分。因为后者虽然有问题，但很、或者还算坦诚，其中的问题（贝克莱悖论）它是认账的，但极限法微积分不同，它明明有问题，或者说“继承了第一代的所有问题（贝克莱悖论），但却执意把水搅浑，死不认错，居然声称从此微积分再无问题，微积天下太平，这方面，它则远不如第一代了。其第二代之名，是徒有其名。总之，再一次重申，极限法微积分（所谓第二代微积分）是先因为增量比（差商）函数4y4x在ax=O时有0/0的问题（贝克莱悖论），也就是当增量（差分）函数在其中的自变量=O时，是不能把其除下来得到有意义
24、的（即非0/0型的）增量比（差商）yZx的。于是，极限法微积分（柯西等）独出心裁,说那好啊，我们就不令二0了，就认为增量比函数4yZx或增量函数4y在ax=O点无定义（定义域不包括二0点），于是就可以保证axW0了，于是就可以把Ax除下来得到4yZx而不必顾忌会有0/0的问题了。但且不说此论是否合适：因为在增量（差分）函数（如前面的公式7）中，明明可以有X=O时、,二（）的，这是很平常的事，凭什么增量函数的定义域不能包括。点？没有这个说法嘛。但因为增量比在0点0/0的问题，连累到了增量函数也不能为。了。极限法微积分辩称，既然二0不行，我们就换成-0,它不需要增量、增量比函数的定义域包括0点，也
25、就是按极限的定义，在x0时，仍旧可以有ax-Oo即既然=O不行了，那就改成-0也就是lim（4x-0）Zx好了。拐了了弯儿，看似很聪明，不是吗？但为什么就不动动脑子想一想，尽管对函数值而言，有了0的规定了，但对一0而言，是不是它的趋0极限值仍旧是0?我们由“lim”求出的或其目的，是得到那个极限值、极限点，而不是只是停留在那个趋。的过程中没完。此时虽然不是增量或增量比函数的函数值为0了，但确实增量或增量比函数的函数的极限值为0了，换言之，是原来函数的极限函数的函数值为。了，因此，它可以把极限值已经为0的Ax的趋0极限值0（Zx0）=0）,除下来得到yZx的趋0极限值吗？当然仍旧不行。因此，我们
26、不得不规定，我们按同样不允许增量函数的4X0的理由，也应该断然不允许对增量函数的Ax-0存在，如此，也才可以把不为趋O极限值O的ax除将下来，得到不为极限值O/O的4yZx.不能x=O的条件其实与不能-O的条件和理由完全一样。如此，我们还能有什么对公式1的求-0的极限吗？从公式7的增量函数得到公式1的增量比函数的前提条件就是不能-0,结果你把它（4x）除下来到分母上了，就不认账了？退一步说，微分定义的前提也是4x0,它是宏观量，否则毫无意义。但可微的条件又是-0,即有极限值为0,则学生们当然会以为微分最终还得是4X-0,而非宏观量了。但显然又不能为0,因此只能是无穷小,但又是什么？于是又只能将
27、其定义成Ax一。时的一个趋O过程，即可以无限小下去的过程。但又不能到0。于是，-O只能为无穷小。但这又不对了，原本是应该对应于“一”的，它仅仅是个趋。的过程，但是“一0”可就是明确为极限值O的，否则一O为WO的无穷小（趋O的过程），这就又回到牛顿等的第一代微积分去了，因此又会有一个“高阶无穷小”的舍弃问题，也就是贝克莱悖论重现于江湖了。等于极限法微积分闹了半天，白搭无用，在逻辑上兜了个圈子，又回到了出发点。这种逻辑循环的概念游戏，直到把学生甚至很多老师绕晕了就算理论成功了。总之，给人的感觉并且确实也就是如此的，是极限法这个理论，无非也就是看人下菜，见鬼说鬼，见人说人：无穷小舍弃问题不好解释了，
28、推到极限去；极限又有问题了，再推到无穷小上去。以至于很多教师居然又在那里说什么“无穷小是微积分中很重要核心的概念”。而且与之完全对立的极限概念还没错，因为无穷小就定义成了趋O极限的过程云云。他们忘了，微积分求导，可是求的增量比函数yx趋。极限的值，也就是趋。极限的那一个精确无比的点，而不是什么过程本身。过程不过是用来最终得到那个趋O极限值（点）的，而绝对不是通过过程求过程、得过程。总之，在现有的一些教科书和一些教师的论文中，把无穷小这个概念定义成O且也x-O过程时的ax,它当然不能再等于0,但可以无限低趋于0,如此，才有一些教师和教科书中提到的趋O快慢的问题。但实际上，真正意义的极限法微积分求
29、导，求的就是那个极限值、极限点，而不是完不了的极限过程。它是通过这个过程得到极限点。至于能不能无矛盾地得到，那是另一个问题。反正极限法微积分的初衷是如此的。但这些教科书以及教师,等于把极限法微积分（第二代微积分）又还原成了第一代承认无穷小的微积分，但同时该讲极限法时还去讲，把二者（第一代与第二代）完全混为一谈。如此搞法，自有其苦衷，但根本就谈不上严谨，甚至是矛盾的。只要学生稀里糊涂的，教师、教材就跟着糊涂，这个，有其苦衷，但不应该。同时，既然是错误的东西、矛盾的东西，其在教学过程中就必然会暴露出来。比如上面的所谓“不同无穷小的比较趋O快慢”的问题。趋O速度快的，不见得离极限点就近。反之，离极限
30、点近的，不见得就趋O速度快。一个实例，就是芝诺悖论的阿克琉斯追乌龟悖论：乌龟离终点始终在前面，但其速度快。而阿克琉斯速度快，但总在乌龟后面。但实际上二者是同时到达终点也就是会合点的。如何解释这个“无穷小”的快慢？二十年前申兰珍提出这个问题后，不少人参与讨论，但莫衷一是，笔者前面已经充分地讨论过了，这也反映了用无穷小甚至极限来解释微积分中的基本问题,此路不通:先是发现“快而不近”实例，于是有人说“以近者为快”，但有有人提出“近者有为同阶无穷小”的，不该无端删去。而所谓无穷小的高阶与否，本质上就是趋O速度的快慢而且是差别很大的快慢，这就等于有否定了“以近为快”说。如此矛盾、混乱的一个“理论”，还不
31、值得反思吗？此种思路产生的缘由，尽管很多人没有说，但其实不外是如果真的较真极限点，那当Ax-O时，增量比yx其实其趋O极限值只能是无意义的0/0,与其函数在0点的值一样。为了回避此问题，就有意无意地偷换概念，把明明极限法微积分求导的“lim”求的就是0点极限值，通过定义无穷小为趋0过程中的*,给人一个假象，极限过程就是无穷小，我们求极限就是要的这个没有完结的极限过程而不是极限值（极限点），以回避贝克莱悖论的幽灵再来。但如此一来，代价自然就是所有第一代微积分的问题（贝克莱悖论）反而全出来了。其舍弃所谓“高阶无穷小”中的问题，也全暴露了，实际上，连个无穷小究竟是怎么个“高阶”法的，都没有搞清楚，趋
32、。的快慢也无厘头，彻底暴露了理论的困境。一句话，第一代的无穷小有问题，推到第二代的极限法。第二代的极限法本质上仍有问题，又推回到第一代。还说两者是一回事。我们说，不是一回事，但产生的问题可是一回事。通过这个问题讨论，可以看到，现有微积分的无论理论还是教学，都是看到无穷小出现了问题，比如牛顿、莱布尼兹的体系中（第一代微积分），有贝克莱悖论的舍弃高阶无穷小的问题，那么，就推到趋O极限那里去。而一旦极限法又出现了问题，比如增量比（差商）的极限居然不能再是一个比式，只是一个不可分拆的“数”的问题，人们又稀里糊涂地返回了无穷小（及其比值），布朗在其名著数学是什么中提到的“无穷小在后门又溜进来了”（大意）
33、。这种情况，反映了理论的混乱与捉襟见肘的窘境。看来即使是高校教师，很多对这个问题也不甚了然，他们居然不知道既然采取了趋O极限的观点和作法，就应该彻底推弃无穷小的观点，反之亦然。那种把无穷小用极限定义的做法，是偷换概念，把极限过程与极限值相混淆，只是表面上把极限与无穷小统一了，其实完全不是这么回事。这从仔细分析所谓无穷小的极限定义就可以看出。前面笔者也分析了。至于如何解决此类问题，详见笔者前期有关文章。此不赘述。参考文献1申兰珍.质疑无穷小比较的一种解释J.高等数学研究,2004,7（5）：26.2同济大学应用数学系.高等数学（上册）M.6版.北京：高等教育出版社，2007：80.3周芳芹，汤剑，刘欢培.关于不同无穷小比较的新解释J.河北北方学院学报（自然科学版），2008（4）.4王文丰.关于无穷小比较的解释J.高等数学研究，2006,（5）.5潘建辉.对质疑无穷小比较的一种解释的质疑J.高等数学研究，2009,（5）.6莫绍揆，试论微分的本质，南京大学学报，第30卷第三期，1994年7月7陈玉发，极限与无穷小辨析，北京教育学院学报（自然科学版），第十卷第4期，2015年12月8沈卫国，新诠释下的微积分论文汇编，道客巴巴，国家科技图书文献中心预印本，知网搜有关公开发表的论文。不再一一列出
