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1、概率论与数理统计复习参考资料第一章随机事件及其概率1.1随机事件一、给出事件描述，要求用运算关系符表示事件:二、给出事件运算关系符，要求判断其正确性：1.2 概率古典概型公式：P (A)4所含样本点数Q所含样本点数实用中经常采用“排列组合”的方法计算补例1：将n个球随机地放到n个盒中去，问每个盒子恰有1个球的概率是多少？解：设A：“每个盒子恰有1个球:求：P（八）=?。所含样本点数：nn.n=nA所含样本点数：5-1)(-2)1=！补例2：将3封信随机地放入4个信箱中，问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少？解：设Ai：“信箱中信的最大封数为i”。(i=1,2,3)求：P(Ai
2、)=?所含样本点数：444=43=64Al所含样本点数：432=24A2所含样本点数：C43=36A3所含样本点数：。；4=4注：由概率定义得出的几个性质：2、P()=1,P()=O1.3 概率的加法法那么定理：设A、B是互不相容事件(AB=),那么：P(AUB)=P（八）+P(B)推论1：设Ai、A2An互不相容，那么P(A1+A2+.+An)=P(A)+P(A2).+P(An)推论2：设Ai、A2An构成完备事件组，那么P(AA2.An)=l推论3：P（八）=I-P（八）推论4：假设BnA,那么P(BA)=P(B)-P（八）推论51广义加法公式)：对任意两个事件A与B,有P(AUB)=P（
3、八）+P(B)-P(AB)补充对偶律：1.4 条件概率与乘法法那么条件概率公式:P(AB)二个普(P(B)0)P(BA)=(P（八）0)P(AB)=P(A/B)P(B)=P(B/A)P（八）有时须与P(A+B)=P（八）+P(B)-P(AB)中的P(AB)联系解题。全概率与逆概率公式:全概率公式：逆概率公式：1注意全概率公式和逆概率公式的题型：将试验可看成分为两步做，如果要求第二步某事件的概率，就用全概率公式；如果求在第二步某事件发生条件下第一步某事件的概率，就用逆概率公式。）1.5 独立试验概型事件的独立性:贝努里公式（n重贝努里试验概率计算公式课本P24另两个解题中常用的结论1、定理：有四
4、对事件：A与B、A与方、Z与B、N与否，如果其中有一对相互独立，那么其余三对也相互独立。2、公式：P（AIDA2UUA“）=1-P（AIA）第二章随机变量及其分布一、关于离散型随机变量的分布问题1、求分布列：确定各种事件，记为J写成一行；计算各种事件概率，记为Pk写成第二行。得到的表即为所求的分布列。注意:应符合性质1、PaO（非负性）2、ZPk=I（可加性和标准性）k补例1：将一颗骰子连掷2次，以J表示两次所得结果之和，试写出J的概率分布。解：。所含样本点数：66=36所求分布列为:23456789101112Pk1/362/363/364/365/366/365/364/363/362/3
5、61/36用下：*;71匕4十5万、姒：-IV所求分布列为：2、分布函数二、关于连续型强345Pk1/103/106/10xR,如果随机变量J的分布函数F(x)可写成F(x)=JMdx,那么J为连续型。O(X)称概率密度函数。解题中应该知道的几个关系式：第三章随机变量数字特征一、求离散型随机变量J的数学期望EJ=?数学期望均值)二、设J为随机变量，f()是普通实函数，那么n=f(J也是随机变量，求En4XiX2XkPkPiP2Pkn=fyy2yk以上计算只要求这种离散型的。补例1：设瞅概率分布为：4-101252Pk51Io1Io3To3To求：(l)=-l9的概率分布；助。解：因为4-101
6、2g2Pk151101To3To3Ion=J-1-2-1O122n=21O1425T所以，所求分布列为：n=J1-2-1O132Pk_51101To3To3To和：n=21O1425TPk51To1Io3To3Io当n=J1时，En=Et-=2-+(-1)-+O-i-+l+-X-5101010210=1/4当!1=群时，En=E2=ll0+1J-+4X+,5IOIOIO410=27/8三、求&或n的方差Dj=?Dn=?实用公式。J=造2-EZj其中，E2=(E)2=(kPk)2kES=ZRPkk补例2：4-2O2Pk0.40.30.3求：EJ和Dg解：E=-20.400.3+20.3=-0.2
7、E2=(-2)20.4+020.3+220.3=2.8D=E2-E2=2.8-（-0.2）2=2.76第四章几种重要的分布常用分布的均值与方差（同志们解题必备速查表）名称概率分布或密度期望方差参数范围二项分布Pj=k=CPkqi(k=0,1,2,.,n)npnpq0P0指数分布不要求1I10解题中经常需要运用的EJ和DJ的性质（同志们解题必备速查表）E自的性质D的性质E(C)=cD(C)=0E(+)=EE若一独立,则D()=D+D若4、独立，则E()=EEE(c)=cED(c)=c2D第八章参数估计8.1估计量的优劣标准(以下可作填空或选择)假设总体参数的估计量为如果对任给的0,有IimPp-
8、ev0=,那么称力是的一致估计；一00如果满足旧身=e,那么称8是的无偏估计；如果。和庆均是的无偏估计，假设D（八）V。(口),那么称。是比A有效的估计量。8.3区间估计：几个术语一一1、设总体分布含有一位置参数，假设由样本算得的一个统计量，Xn)及92(xp.,Xn),对于给定的(0l)满足：那么称随机区间是夕的IOo(I。)的置信区间，。和庆称为夕的100(1a)%的置信下、上限，百分数100U-a)%称为置信度。一、求总体期望（均值）EJ的置信区间1、总体方差/的类型据。，得O（Ua）=1一羡，反查表（课本P260表）得临界值Uj二Z求d=U干置信区间（x-d,X+d）=n补简例:设总体
9、XN（,009）随机取4个样本其观测值为12.6,13.4,12.8,13.2, 求总体均值口的95%的置信区间。解：Vl-=0.95,a=0.05(Ua)=1-=0.975,反查表得：Ua=I.962一141X=-X.=-(12.6+13.4+12.8+13.2)=134=4=0,3,n=4.d=Ua-=l,96-=0.29774所以，总体均值U的a=0.05的置信区间为：(X-d,x+d)=(13-0.29,13+0.29)即(12.71,13.29)2、总体方差/未知的类型（这种类型十分重要！务必掌握！）据。和自由度n1（n为样本容量），查表（课本P262表）得心5-1）；确定X=二AL
10、巧和/=）ni=-T求d=%（-1）-%置信区间（x-d,x+d）Zn注：无特别声明，一般可保存小数点后两位，下同。二、求总体方差/的置信区间据a和自由度n1（n为样本数），查表得临界值:zl)和心5-1)22J确定文二二和$2=-(x-i)2nZ=In-(h-1)52(-I)S2上限z2a(n-l)下限2a(n-l)122置信区间(下限，上限)典型例题：补例1：课本P166之16某种木材横纹抗压力的实验值服从正态分布，对10个试件作横纹抗压力试验得数据如下(单位：kgcm2):482493457471510446435418394469试对该木材横纹抗压力的方差进行区间估计(。=0.04)。
11、解：.=0.04,又n=10,自由度n1=9.查表得，K(T)=/o2(9)=19.72心(D=几=2.532_1IO1XTg再=(482+493.+469)=457.5IIO_152=Z(X-项)2=-(457.5-482)2+(457.5-493)2+.+(457.5-469)29=9=1240.28(n-l)s29/上限之5-D二必98(9)29x1240.28-y二4412. 06=566.63(一巾为29x1240.28卜限Z(T)二02(9)=1952所以，所求该批木材横纹抗压力的方差的置信区间为（566.63,4412.06）第九章假设检验必须熟练掌握一个正态总体假设检验的执行标
12、准一般思路：1、提出待检假设HO2、选择统计量3、据检验水平0,确定临界值4、计算统计量的值5、作出判断检验类型:未知方差检验总体期望（均值）11根据题设条件,提出据：二0（。）；选择统计量ITl=IS卜-1）；据。和自由度nl（n为样本容量），查表（课本P262表）得J5-1）；由样本值算出又=?和s=?从而得到KH超|；作出判断典型例题:对一批新的某种液体的存贮罐进行耐裂试验，抽查5个，得到爆破压力的数据（公斤/寸2）为：545,545,530,550,545。根据经验爆破压认为是服从正态分布的，而过去该种液体存贮罐的平均爆破压力为549公斤/寸2,问这种新罐的爆破压与过去有无显著差异？（
13、=0.05）解：Ho:=549选择统计量Irl=株养卜，(-1)Va=0.05,n-l=4,J查表得：o,o5(4)=2.776XVX=(545+.+545)=543s2=1(545-545)2+.+(543-545)2=57.54s4n543 5495T55=L 772. 776接受假设，即认为该批新罐得平均保爆破压与过去的无显著差异。检验类型:未知期望（均值）口，检验总体方差B?根据题设条件，提出Hs=（bo）;选择统计量（?.；据和自由度n-1（n为样本容量），查表（课本P264表）得临界值:D和乙（-1）；22由样本值算出又=?和$=?从而得到任（/（-I）=（?假设/小（1）%2（_
14、1）/巴5-1）那么接受假设，否那么拒绝!22补例：某厂生产铜丝的折断力在正常情况下服从正态分布，折断力方差t2=64,今从一批产品中抽10根作折断力试验，试验结果（单位：公斤）：578,572,570,568,572,570,572,596,584,570。是否可相信这批铜丝折断力的方差也是64?（=0.05）解：H0:=64选择统计量/(-1)二%aFVa=O.05,n-l=9,，查表得：，2-5-1)=/。.班(9)二2.72(n-l)=J20025(9)=192XVX=4；(578+.+570)=575.2S2=I(575.2-578)2+.+(575.2-570)2=75.73975.7364=10.65.Z2o,975(9)=2.7(n-l)=10.65/.025(9)=19接受假设，即认为这批铜丝折断力的方差也是64。
