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1、正弦定理知识点总结(精华)与试题1 .特殊情况：直角三角形中的正弦定理:sinA=- SinB=-sinC=lHrIabcabc即：C=C=C=sinAsinBsinCsinAsinBsinC2 .能否推广到斜三角形?证明一(传统证法)在任意斜aABC当中：Sabc=-sinC=LaCSinB=LCSinA222两边同除以LMe即得：2sinAsinBsinC3 .用向量证明：证二：过A作单位向量j垂直于ACAC+CB=AB两边同乘以单位向量JJ(AC+CB)=J那么：JC+CB=)ABJACcos90o+JCcos(90o-C)=JABcos(900-A)：asinC=CSinA，=sinA
2、sinC同理：假设过C作J垂直于E得：=上sinCsinBsinAsinBsinC当aABC为钝角三角形时，设NA90。过A作单位向量/垂直于向量AC正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，sinAsinBsinC注意：(1)正弦定理适合于任何三角形。(2)可以证明，-=_=_J=2R(R为AABC外接圆半径)sinAsinBsinC(3)每个等式可视为一个方程：知三求一5.知识点整理(1)正弦定理：在AABC中，a、b、C分别为角A、B、C的对边，R为AABC的外接圆的半径，那么有一L=一也=2R.sinAsinBsinC(2)正弦定理的变形公式：=2RsinA,8=2HsinB
3、,c=2RsinC;G A 4. Cb . C C(2) sin A = , sin B = sin C =；2R2R2Ra:?:c=sinA:sinB:sinC：sinA+sinB+sinCsinAsinBsinC6、应用:i：正弦定理可以用于解决两角和一边求另两边和一角的问题。例1、在A8C中，C=IO,A=45,。=30,求,b和3哈,力春需=舍=L又上sin B sin C.csin BIOXSinI05 ,.*./? = = 7.sin C sin 300二20Sin 75。=20也上交=5庭+ 5行练习:1、在ZkABC中,A=450,B=6Oo,a=42t解三角形.2、在AABC
4、中，AC=3,ZA=45o,ZC=75o,那么BC的长为.3、在aABC中，B=45,C=60,c=l,那么最短边的边长等于ii：正弦定理可用于解决两边及一边的对角，求其他边和角的荷丽例2.1在ABC中,人=6,8=60,。=1,求和人。5bc._csinB1sin6Oo1解：=SinC=f=sinBsinCb32例2.2A8C中，c=痴,A=45,。=2,求b和8,CSinASinCa22二.当C=60时，8=75,b=三史&=逅*耳=百+1,sinCsin60注意：在ABC中，已知力和A时解三角形的情况：(1)当A为锐角(2)当A为直角或钝角练习：1.Z45C的内角A、B、C的对边分别为a
5、、b、c,假设c=Zj=6,B=120,那么等于()A. 6B. 2C. 3 D. 62、A8C中，44,/a/。的对边分别为也。假设。=。=#+应且乙4=75那么=()A.2B.4+23C.423D.6-23、在AABC中，假设tanA=,，C=150,BC=L那么A3=.34、ZkABC中，。=JJ,b=J,6=45,解三角形适：运用正弦定理判定三角形的个数问题例3：在AABC中，分别根据以下条件指出解的个数(1)、a=4,b=5,A=30o;(2)、a=5,b=4,A=60o;(3)、=3,=2,B=12Oo;(3)、CI=邪力=瓜A=6N.练习：1.符合以下条件的三角形有且只有一个的是
6、()A. a=l, b=2 , c=3B. a=l,b=V2 , ZA=30oC.a=l,b=2,ZA=100oD.b=c=l,ZB=450iv：正弦定理变形运用1在AABC中，a=5,b=3,C=120,那么SinA:SinB=2、在aABC中，acosB=bcosA,那么/ABC为()A、直角三角形B、等腰三角形C、等腰直角三角形D、钝角三角形3、在ZXABC中,假设b=2asinB,那么A=4、在AABC中，假设吧4=垩0,则加勺值为ab,.a.llll2sinA-sinBaa75、在aABC中，a:b:c=l:3:5,则的值为SinC6、在ZABC中,sinA:SinB:SinC=4:5:6,且a+b+c=30,那么a=7、假设三角形的三个内角之比为1：2：3,那么该三角形的三边之比为8、在AABC中，A=60,=fi则.a+b+c等于sinA+sinB+sinC9.ABC的三内角A,8,C的对边边长分别为,Ac,假设.=争,4=25,那么8sB=()A)与手(C)f3410、在ZABC中,假设sinAsinB,那么有()
