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1、专题05三角形中的导角模型.双角平分线（三角形）模型模型1、双角平分线模型D两内角平分线的夹角模型条件：如图1,在0ABC中，SABC和0AC8的平分线BE,CF交于点G；结论：NBGC=90。+；NA.2）两外角平分线的夹角模型条件：如图2,在MBC中，BOtCo是（3ABC的外角平分线；结论：ZO=90o-ZA.3）一个内角一个外角平分线的夹角模型4）凸多边形双内角平分线的夹角模型条件：如图4,BP、CP平分0A8C、BDCB,两条角平分线相交于点P；结论：2NP=NA+NI5）两内角平分线的夹角模型条件：如图5,BP.OP平分MC。、0CDE,两条角平分线相交于点P；结论：2ZP=ZAZ
2、B+ZE-180o6）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线）条件：如图6,Z4=a,NA5GNA8的平分线相交于点片，的平分线相交于点名，ZP2BCtNECZ）的平分线相交于点鸟以此类推；结论：/匕的度数是7）旁心模型旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点例1.（2022秋安徽阜阳八年级统考期中）如图，在/8C中，点产是C内一点，且点P到8C三边的距离相等，若NBPC=I24。，则NA=.【分析】由条件可知8尸、CP平分NABC和/AC8,利用三角形内角和可求得2A.【详解】解：点P到JSC三边的距离相等，8尸平分/A8C，CP平分/AC8,/.ZA=I80。一（
3、ZA8C+ZAC8）,=180。-2（NPBC+NPCB）=180o-2（l80-NBPC）=180。-2x（180。124。）=68。故答案为：68.【点睛】本题考查角平分线的性质与判定，掌握角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关键.例2.（2022湖北十堰八年级统考期末）如图，在五边形ABCDE中，NA+N8+NE=4,DP,CP分别平分乙EDC、/BCD,则NP的度数是.【分析】利用多边形内角和公式、三角形内角和定理和角平分线的定义即可求解.【详解】解：Ia五边形的内角和为(5-2*180。=540。，0ZEDC+ZBCD=540o-a,团OP,CP分别为NEDC、/8CD的平分
4、线，ZPDC=-ZEDCtAPCD=-ABCD,220ZPDC+ZPCD=；(NEDC+/BCD)=(540o-a),0ZP=18Oo-(54Oo-a)=a-9Oo,故答案为：a-90o.【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，牢记边形的内角和为(-2)x180。是解题关键.例3.(2023山东济南校考模拟预测)如图1,在ZVlBC中，MAC的平分线AO与mBCA的平分线CE交于点。.求证：0AOC=9(r+；3A8C；(2)当A3C=90。时，且A0=30D(如图2),判断线段AE,CD,AC之间的数量关系，并加以证明.【分析】(1)BBC+0CA=18Oo-aABC,根据角平分线定义求出EI
5、OAC=L团SAC,OCA=-BBCA,即可22求出(30AC+m0。4的度数，根据三角形内角和定理求出即可；(3)在AC上分别截取AM、CN,使AM=AE,CN=CD,连接OM,ON,证aAEO0S1AMO,ADCCmNCO,推出OfZM=ElMOA,CON=COD,OD=ON,求出(WON=(WOA=45。，根据角平分线性质求出MK=ML据此计算即可求解.【详解】(1)证明：(30ABC+3ACMfiAC=180o,S3BC+0CA=18Oo-l3ABC,团比例。的平分线Ao与BBCA的平分线CE交于点O.WOAC=-WAC,OCA=-BCA,2200OAC+G1OC=-(0C+0C4)=
6、-(180o-ABC)=90o-SlABC,22200A6C=18Oo-(0OAC+0OCA)=180o-(90o-0ABC),即财0。=900+,凶8。；224(2)解：-E+CD=ACf证明：如图2,00AOC=9O0+-0C=135o,团团KoA=45,2在AC上分别截取AM、CN,使AM=AE,CN=CD,连接OM,ON,AE=AM则在0AEO和MMo中，,ZEAO=ZMAO,00AEOT0AMO,AO=AO同理团Z)CO013NC0,EOA=QiMOA,0COV=0COD,OAON,豳EOA=团MOA=同CoN=回COZ)=45,配MoN=IWOA=45,过M作MKM。于K,M0ON
7、于L,SR)M_AMAOAM八八C03AOAM3、4,4,广0-=7777，团=,AO=3OD,团=,=-,0A/V=AM=AEfSAwNMNonMNOD1ONMN334AN+NCMC,-AE+CD=AC.更多资料添加微信号：DEM2008淘宝搜索店铺：优尖升教育网址:【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线定义和性质，三角形的面积，三角形内角和定理的应用，熟练掌握各性质定理是解答此题的关键.例4.（2023秋成都市八年级专题练习）如图，在JIBC中，4=58。，三角形两外角的角平分线交于点E则NAEC=【答案】6【分析】先根据三角形的内角和定理和平角定义求得睨C+0AC/的度数，再
8、根据角平分线的定义求得（3EAC+13EC4的度数，即可解答.【详解】解：00+0BC+0C4=18Oo,28=58,三AC+0C=18Oo-0B=18Oo-58o=122o,00AC+0DAC=18Oo,0CA+l3CF=18O00D4C+QACF=36Oo-(BAC+0BCA)=360o-122o=238o,E平分团DAC,CE平分SAC/，EAC=DAC,0EC4=ySACF,00EAC+0ECA=y(0DAC+0ACF)=119o,0EAC+0EG4+0AEC=18O00AfC=18Oo-(0EAC+0ECA)=180o-119o=61o,故答案为：6.【点睛】本题考查三角形的内角和定
9、理、角平分线的定义、平角定义，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解答的关键.例5.(2023湖北八年级专题练习)如图，已知在ABC中，NB、/C的外角平分线相交于点G,若ZABC=nf,ZACB=no,求NBGC的度数.【分析】运用角平分线的知识列出等式求解即可.解答过程中要注意代入与之有关的等量关系.【详解】解：(3B、I3C的外角平分线相交于点G,在ABCG中，EBGC=180o-(y0EBC+0BCF)=180-；(0EBC+SBCF)=180J(18O,-0ABC+18Oo-0ACB)=180o-(180o-mo+180o-n);=g(i+)【点睛】本题考查的是三角形内角和定
10、理以及角平分线的知识.此类题的关键是找出与之相关的等量关系简化计算得出.例6.(2023辽宁葫芦岛八年级统考期中)如图，C分别平分0ACE、0A8C,0A=7O。，则MoC=()A.35B.25oC.70oD.60【答案】A【分析】根据角平分线的定义可得回CBO=0A8C,团。CE=T财再根据三角形的一个外角等于与它不相部的两个内角的和可得0DCE=IW+iaC80,aACE=0A+ABC,然后整理求出0D=SA.【详解】解：团C。、BO分别平分SACE、BABC,CBD=ABC,团。CE=TaACE,由三角形的外角性质得，回OCE=团D+团CBr,0ACE=0A+MBC,三D+0CBD=y(
11、0A+0C)00D=ySA,00A=7O,B0D=y7Oo=350.故选：A.【点睹】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，注意整体思想的利用是解答的关键.例7.(2022秋八年级课时练习)如图，BA和CA分别是.C的内角平分线和外角平分线，%是NAtBD的平分线，C4是NAC。的平分线，B4是。的平分线，C是N&C。的平分线以此类推，若NA=,则NA202O=.【分析】根据角平分线的定义可得0C4A8C0ACD=0ACD,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得IMCo=0A+0ABC,SlAfCD=SA/BC+I3A/,整理即可得解NA=3乙4,同理求出财2,财3,可以
12、发现后个角等于前一个角的今，根据此规律即可得解.【详解】0出是MBC的平分线，AQ是0AC的平分线，酗VBC=WsA8C,ACD=BACD,又00ACO=a4+0ABC,0ACD=HL4C+0A,13；(0A+0ABC)=yABC+A/,00A=-0A,00A=.0A=0A=a,同理可得0A2=!团A=ra,2222-CfCl根据规律推导，团/&。2。=&,故答案为晟.【点睛】本题主要考查的是三角形外角性质，角平分线定理，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义是解题的关键.例8.(2023春成都市七年级课时练习)如图在团ABC中，BO,CO分别平分团ABC,El
13、ACB,交于0,CE为外角0ACD的平分线，交BO的延长线于点E,记N84C=N1,BEC=Z2,则以下结论Nl=2/2,(2)/BOC=3X2,(3)ZOC=90+Zl,NBOC=90。+N2,正确的是.(把所有正确的结论的序号写在横线上)【答案】【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到m1=2132,13BoC=90。+Tg1,国BoC=90+团2,再分析判断.【详解】回CE为外角0ACD的平分线，BE平分团ABC,BBDCE=yACD,DBE=yABC,又前DCE是团BCE的夕卜角，002=0DCE-0DBE=(ACD-0ABC)=yl,故正确；0BO,CO分别平分团ABC
14、,0ACB,000BC=JABC,0CB=y3ACB,00BOC=18Oo-(BOBC0OCB)=180o-(0ABC+0ACB)=180-；(18Oo-01)=90o+-l,故、错误：团OC平分0ACB,CE平分0ACD,B0ACO=yACB,团ACE=T团ACD,00OCE=y(0ACB+0ACD)=-180=90配IBOC是国CoE的外角，03BOC=BOCE+02=90+02,故正确；故答案为：.【点睹】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义.例9.(2023秋广东佛山八年级校考期末)(1)如图1所示，在JWC中，/A3C和
15、NACB的平分线将于点O,则有NBoe=90。+(44,请说明理由.(2)如图2所示，在JlBC中，内角的平分线/A8C和外角/A8的平分线交于点O,请直接写出/30C与/84C之间的关系，不必说明理由.（3）如图3所示，AP,BP分别平分NcAO,NCBD,则有./=3（/。+/。），请说明理由.（4）如图4所示，AP,82分别平分NaM,NCBD,请直接写出NTJ与/C,之间的关系，不必说【分析】根据OB是团ABC的角平分线，OC是团ACB的角平分线，利用三角形的内角和等于180。即可得出结果；（2）根据OB是团ABC的角平分线，OC是团ACD的角平分线，利用三角形的外角性质即可得出结果；
16、根据AP是13DAC的角平分线,BP是13DBC的角平分线,利用三角形的外角性质列出等式t3D+（3DAP=（3P+3DBP,0P+0PAC=0PBC+0C,分析等式即可得出结果；AP是团MAC的角平分线，BP是团DBc的角平分线，设团DBP=加BC=x,0MAP=0PAC=y,利用三角形外角性质和内角和性质即可得出结果.【详解】解：团OB是HABC的角平分线，OC是HACB的角平分线酬ABo=OBC,0ACO=0OCB00A+0ABC+0ACB=18OoS0OCB+0OBC=(180o-ZA)2=90o-ZA00BOC=180-(90。-1NA)=90o+ZA(2)(3OB是团ABC的角平分
17、线，OC是ElACD的角平分线如ABO=130BC,0ACO=0OCD(D0BAC+0ABC=0ACD,EOBC+aBOC=EOCD020OBC+20BOC=2E0CD三ABC+213BOC=ACDa3BAC=2EBOC(3)(3AP是圈DAC的角平，)线，BP是I3DBC的角平，卜线03DAP=I3PAC,0DBP=0PBC00D+0DAP=0P+I3DBP,0P+3PAC=I3PBC+ZIC三D-P=I3P-C0NP=T(ZC+ZD)回AP是mMAe的角平分线，BP是团DBC的角平分线00MAP=0PAC,0DBP=0PBCi0DBP=0PBC=,0MAP=0PAC=y00AGB=0C+2
18、xBEP=0AEG=18Oo-(0C+2x)-y00P=18Oo3BEP-0DBP=0C+y三D+3AEG=0MAP三D+18Oo-(0C+2x)-y=y0x+y=-ZD-ZC+9Oo0ZP=-ZD-ZC+9Oo+ZCSZP=-ZD+-ZC+9Oo222222【点睛】本题主要考查的是角平分线性质的综合运用，正确的掌握角平分线的性质以及运用是解题的关键.例9.(2023江苏八年级课时练习)(1)如图所示，在AABC中，80,CO分别是NABC和/AC3的平分线,证明：ZBOC=90+-ZA.2(2)如图所示，JlBC的外角平分线8。和CO相交于点。，证明：ZBDC=90o-ZA.(3)如图所示，
19、/8C的内角平分线8。和外角平分线Co相交于点。，证明：NO=TNA.(2)【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析【详解】(1)设ZABo=N05C=x,NACo=N8C0=y.由JWC的内角和为180,得ZA+2x+2y=180.由/30C的内角和为180。，得NBOC+x+y=180。.由得%+=180。一/5。.把代入，得4+2(180。-乙%心)=180。，即2N8OC=180o+ZA,即ZBOC=900+-ZA2(2)回80、。为ZkABC两外角C、I3AC8的平分线，0ZBCD=(ZA+ZABC)NQ8C=；(N4+ZAC8),由三角形内角和定理得，/BDC=180。一N
20、BCD-NDBC,=180o-SA+(A+ABC+ACB),=180-；(0A+18Oo),=90-WsA；(3)如图：更多资料添加微信号：DEM2008淘宝搜索店铺：优尖升教育网址：姐。为AABC的角平分线，交4C与点E8为AABC外角0ACE的平分线，两角平分线交于点。三1=02,05=y(0A+201),03=04,在AABE中，0=18Oo-01-03001+03=18Oo-13A在ACOE中，0D=18Oo-04-05=18Oo-03-(0A+201),即20D=36Oo-2(213-IM-201=36Oo-2(01+03)立4，把代入得皿=M【点睛】此题考查的是三角形内角与外角的关
21、系，角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学常规题.课后专项训练1. （2023成都八年级月考）如图，ABC的外角NAa）的平分线CP与内角/A8C的平分线3P交于点尸,若ZBPC=40。，则NCAP=（）A.40oB.45oC.50oD.60【解答】解：延长明，作PN_L8D,PFLBA,月0J_AC,设NPa)=o,Cp平分ZAcD,ZACP=NPCD=X。，PM=PN,8尸平分ZA8C,.ZABP=NPBC,PF=PN,:.PF=PM,4PC=40,:.ZABP=NPBC=NPCD-NBPC=(X-40)。,/.ZfiAC=ZACD-ZABC=2x0-(xo-40o)-(y,-40)=8
22、0%AZCAF=100o.PA=PAPM=PF2. （2023秋绵阳市八年级专题练习）如图，在AABC中，ZABC=50。，ZACB=60。，点E在3。的延长线上，NABC的平分线Bo与NACE的平分线8相交于点。，连接AO,下列结论中不正确的是（）A.NBAC=70oB.DOC=90oC.ABDC=35oD.ZDAC=550【答案】B【分析】根据三角形的内角和定理列式计算即可求出NbAC,即可判断A选项；根据角平分线的定义求出NABo,再利用三角形的内角和定理求出/AO3,然后利用对顶角，即可判断B选项；根据邻补角的定义和角平分线的定义求出NoCO,再利用三角形的内角和定理求出N8DC,即可
23、判断C选项；利用角平分线的性质，推出AO为JIeC的外角平分线，然后列式计算求出ZQAC,即可判断D选项.【详解】解：,ZABC=50,ZACB=60。，.ZAC=180o-Z4C-ZACB=180o-5(r-60o=70o,故A选项正确，不符合题意：Q8Z平分NABC,.ZABO=izABC=l50o=25o,在工ABO中，ZAOB=180o-Z4C-ZABO=180o-70o-25o=85o,.ZC=ZAOB=85,故B选项错误，符合题意；CD平分ACE,.ZACD=ZACE=i(180o-ZACB)=i(180o-60o)=60o,在ACOD中，ZBDC=180-Z.COD-ZACD=1
24、800-85-60=35,故C选项正确，不符合题意；QBD、Co分别是/ABC和/ACE的平分线，.力到AB、AC.BC的距离相等，.AD是MBC的外角平分线，ZDAC=(180o-NBAC)=g(l80。-70)=55。，故D选项正确，不符合题意.故选：B.【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理和概念是解题关键.3. (2022春北京海淀七年级校考期中)如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴在正半轴、X轴正半轴分别交A、8两点，点C在BA的延长线上，A。平分团CA0,8。平分0A3O,则0D的度数是()【答案】B【分析】由OA团OB即可得出团OAB也I
25、ABO=90。、(MoB=90。，再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理即可求出团。的度数.【详解】解：0OA0,配IoA8+0480=90,AOB=90o.0DA平分EIe4。DAO=-WAC=-(18Oo-0OA).团。8平分0480,ABD=-ABO,22200D=18OoWA6-0OAB-SL4BD=18Oo-(1800-EIoA8)WA-0BO=9O-(WAB+ABO)=45.222故选：B.【点睛】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是找出团。=90-；（EIo48+SL48O）.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练运用三角形内角和定理解决问题是关键.4.（2022
26、秋河北张家口八年级统考阶段练习）如图，点0在JmC内，且到三边的距离相等，连接。睨OC.若N80C=120。，则NA的度数是（）【答案】C更多资料添加微信号：DEM2008淘宝搜索店铺：优尖升教育网址：ShOP【分析】由点。在AABC内，且到三边的距离相等，可知。是角平分线的交点，则NoBC=TNA5C,AOCB=-AACb,由NO8C+NOCB+N8OC=180,可得ZABC+ZACB=120。，根据2ZABC+ZACB=180o,计算求解即可.【详解】解：团点。在abc内，且到三边的距离相等，团。是角平分线的交点，ZOBC=-ZABCfNoCB=LZACB,220ZOBC+ZOCB+ZBO
27、C=180,0-ZABC+-ZACB+120=180,即ZABC+ZACB=120,22hZA+ZABC+ZACB=180o,0ZA=6Oo,故选：C.【点睛】本题考查了角平分线的判定定理，三角形内角和定理.解题的关键在于明确角度之间的数量关系.5. （2022秋四川绵阳八年级统考期末）如图，在（MBC中，0A=3O。，E为BC延长线上一点，幽BC与MCEA.10oB.15oC.20oD.30【答案】B【分析】先根据角平分线的定义得到N1=N2,N3=N4,再根据三角形外角性质得N1+N2=N3+N4+NA,Z1=Z3+ZD,则2N1=2N3+NA,利用等式的性质得到N。=g/4,然后把NA的
28、度数代入计算即可.【详解】解答：解：团NABC的平分线与NACE的平分线交于点D,0N1=N2,Z3=Z4,ZACE=ZA+ZABC,BPZ1+Z2=Z3+Z4+ZA,02Z1=2Z3+ZA,0Z1=Z3+ZD,ElNo=!NA=x3O0=15.故选：B.22【点睛】本题考查了三角形内角和定理和三角形外角性质、角平分线的性质等，根据三角形内角和是180。和三角形外角性质进行分析是解题关键.6. （2023春福建漳州七年级统考期末）如图，在JIBC中，NAC3=2（90-ZAr8）,ZADB=ZDBC+ZACB,可得2NB瓦）=180。一（2Be+2NAC8）,从而可判断，从而可得答案.【详解】
29、解：团5。是如。角平分线，由ZABD=NCBD,故符合题意；回跖是边AC上的高，（SZABE+ZA=90,故符合题意；团8。是“IBC角平分线，CG平分NAB,EZABC=2ZGC,ZACF=2/GCFZACF=ZABC+ZA,NGCF=NGBe+NG,田2NGCF=2NGBC+NA,0ZG=-ZA,20ZA9Oo,0ZG45,故不符合题意;E2/BED=2(90-ADB),ZADB=ZDBC+ZACB,02ZBED=180o-(2ZDBC+2ZACB)=180。一(ZABC+2ZACB)=180。一(180。-NA+NACB)=NA-NACB,故符合题意；故选C【点睛】本题考查的是三角形的内
30、角和定理的应用，三角形的角平分线与高的含义，三角形的外角的性质,灵活运用三角形的外角的性质解决问题是关键.7. （2022秋贵州遵义八年级校考阶段练习）如图，RhABC中，NACB=90。，ZfiAC=16o,/ACB的平分线与外角/人W）的平分线交于点日连接AE,则NAEC的度数为【答案】37。/37度【分析】由角平分线的性质可得=E=EG,进而可证明EA是/84C的外角平分线，再利用三角形的内角和定理解答即可.【详解】解：过E点分别作MiAC于F,作EGLAB于点G,作于”,团瓦是/AC8的平分线，EB是44。的平分线，电EF=EH,EG=EH,EF=EG,窗口是“班C的外角平分线，/FA
31、R1J0o1600ZAC=9Oo.ZZMC=16o,IaZACE=45。，国NEAB=-=82,220ZAEC=180-(ZEACZACE)=180-(82+16o+45)=180-143=37.故答案为：37。.【点睛】本题考查了三角形内角平分线和外角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键.8. （2023春江苏南通七年级统考阶段练习）如图，BA和CA分别是JSC的内角平分线和外角平分线，BA2是NAB。的平分线，是NAC。的平分线，8%是N48。的平分线，CA.,是N&C。的平分线，若NA=,则乙%99 =【答案】胃7【分析】根据角平分线的定义可得NABO=TNABC,NA8=g4C
32、。，再根据二角形外角的性质可得；（NABC+ZA）=3nA5C+4,化简可得NA=进一步找出其中的规律，即可求出NAW的度数.【详解】解：BAl和CA分别是jABC的内角平分线和外角平分线,ZAyBD=ZABC,NACD=；NAe。，又QNACD=NA8C+NA,NACo=幺8。+44,，.,.(NABC+N=NABC+NA,NA=6?,同理可得：ZA2 =a = ja则怎9=/NA=,，故答案为：品.【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，找出NA，、/4与-A的规律是解题的关键.9. （2022秋北京大兴八年级统考期末）如图，在中，ABZMAB；BM=CM
33、；射线是NEBC的角平分线；（4）ZBC=90o-ZBC.所有正确结论的序号是.ACD【答案】【分析】由角平分线的定义可知NMAB=NMAC.再根据三角形外角的性质得出NM8=NMAC+NAMC,即可确定NMC3NM4B,故正确；过点M作Mr_LAD于点尸，MG_LBC于点G,MHLAE于点H,由角平分线的性质定理可得出M尸=MG=M即易证Rt/MGgRLBM(HL),得出NMBG=/MBH,即说明射线8例是NEBC的角平分线，故正确；利用反证法，假设BM=OW,易证NCBE=NBCD,即得出NABC=NACB.由ABZMAC,MCDMAB,故正确；如图，过点M作MJAD于点尸，MGLBC于点
34、、G,MH工AE于点H,田AM为/B4C的平分线，CM为NBO的平分线，MF=MG=MH.又？BM=BM,团Rt-GgRJZMW(HL),ZMBG=jBH,即射线是NEBC的角平分线，故正确；假设8W=CM,BC=ZMCB.团CM为NBC。的平分线，加是NEBC的角平分线，BZMBE=ZMBC,MCB=MCD,1?1AMBE+ZMBC=AMCB+ZMCD,BPZCBE=BCD,团180。-NCBE=180ZB8,即NABC=ZAC3.ABAC,0ZABCZACB,(3假设不成立，故错误;?NBMC=NBMG+4cMG,0NBMC=(90o-NMBG)+(90o-NMCG).团NMBG=-NCB
35、E,ZMCG=-NBCD,0ZLBMC=(90o-NCBE)+(90o-ZBCD),22220ZBMC=(90o-NCBE)+(90o-NBCD)=18O-NCBE-NBCD2222=180o-(l80o-ZC)-(l80o-ZACfi)=-(ABC+NACB)222=(180o-ZBAC)=90o-ZBAC,团止确.综上可知所有正确结论的序号是.故答案为：.【点睛】本题考查角平分线的定义，角平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质及三角形内角和的应用等知识.正确作出辅助线构造全等三角形，并利用数形结合的思想是解题关键.10. (2023春河北七年级专题练习)如图，在0ABC
36、中，0ABC和mACB的角平分线交于点0,延长BO与团ACB的外角平分线交于点D,若团BoC=I30。，则EID=【答案】40。【分析】根据角平分线的定义结合三角形外角的性质即可得到结论.【详解】解：E0ABC和0ACB的角平分线交于点O,0ACO=ACB,13CD平分团ACE,EEACD=y0ACE,EEACB+0ACE=180%00OCD=0ACO+0ACD=y(0ACB+0ACE)=180=90o,00BoC=I30,00D=BOC-0OCD=13Oo-9Oo=4Oo,故答案为：40.【点暗】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，熟练掌握相关性质和概念正确推理计算是解题的关键.11
37、. (2023浙江杭州八年级期末)如图，在四边形ABC。中，ZA+ZD=,/ABC的平分线与NBC。的平分线交于点尸，则NP=.(用含字母皿的代数式表示)D【答案】wo【分析】根据四边形的内角和是360。，求出MBC+团BCD的度数，然后根据角平分线的定义及三角形的内角和定理求出由P的度数即可.【详解】解：00A+0D=m%且四边形内角和为360,三ABC+(3BCD=360o-mo,(3PB、PC是0ABC、SIBCD的角平分线，00PBC=ZBC,ElBCP=；NBCQ,0PBC+0BCP=-ZABC+-NBCD=-(ZABC+ZBCD)=-(360o-m0)2222三P=180o-(PB
38、C+0BCP)=180-(360o-n0)=-mo故答案为：-mo.222【点睹】本题考查了四边形的内角和及三角形的内角和与角平分线相关的角度计算问题，解题的关键是表达出同PBC短BCP的度数.12. (2023春河南七年级专题练习)如图，点时是财BC两个内角平分线的交点，点N是0A8C两外角平分线的交点，如果回CM8：团CNB=3：2,那么回CAB=.【答案】36。【分析】由角平分线的定义得VCM=I2MBN=Txl8(r=90。，再比的关系可求得I3CM8=1O8再由内角平分线及三角形内角和即可求得结果.【详解】由题意得：WCM=MBNX180=90o,国CMRHMNB=180,又ElCM
39、8：KNB=3:2,00CB=lO8o,0y(0ACB+0AC)=18Oo-0C=72o,00ACB+3ABC=144o,00C4=18Oo-(0AC8+M8C)=36.【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形角平分线的定义等知识，由条件得至胆NCMRIM8N=90。是关键.13. (2023黑龙江八年级课时练习)(1)如图(1)所示，已知在中，O为0A8C和0AC8的平分线80,Co的交点.试猜想(380C和(M的关系，并说明理由.(2)如图(2)所示，若0为财BC的平分线80和MCEC 图(1)【答案】MoC=TM+90;理由见解析；1380C=T0A；理由见解析的平分线Co的交点，则由
40、BOC与04的关系又该怎样？为什么？【分析】根据三角形内角和定理得出0A+M8C他4CB=18(T,BOCOBCOCB=130o,根据角平分线的性质得出A3C=2团O8C,BACB=2WCB,然后得出团BOC+gA8C+gAC8=18(r,最后得出结论；根据外角的性质得出0A+QA8C=(MCE,团O8C+(38OC=QOCE,然后根据角平分线的性质得出0A8C=2团OBG(MCE=20OCE,最后根据鲂OC=SOeE-团OBC得出答案.【详解】国80C=TsA+90.ABC,SA+0ABC+0ACB=18Oo,在ABoC中，0OC+0OBC+0OCB=18Oo,X0BO,Co分别是0A8C,
41、13ACB的平分线，回MBC=2回OBC,ACB=2WCB.(3l38OC+g0A8C+TAC3=180.00OC=18Oo-(0ABC+AC8)=180-；(180-0A)三90+ySA.(2)(280C=4SA.00A+0A5C=0ACE,OBCBOC=OCE,00A=0ACf-0C,EIBoC=mOCE-团OBC又团BO,Co分别是BABC和她CE的平分线，团IMBC=2S1O8C,0ACE=2团OCE1.三33OC=团OCE-ISoBC=/SACE-3M8C=；(MCE-SABC)=；酎.【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握外角性质并能正确计算是解题关键.14.
42、 (2023北京昌平八年级校考阶段练习)认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题.探究1：如图I,在AABC中，。是ElABC与SACB的平分线BO和Co的交点，通过分析发现E)BOC=90。+；0A,理由如下:0BO和CO分别是团ABC和mACB的角平分线11001=-回ABC,02=-ACB0l+Q2=y(0ABC+0ACB)=-(180o-0A)=90o-0A0BOC=18Oo-(l+02)=180o-(90。-；班)=90。+；SA探究2；如图2中，O是;I2ABC与外角;SACD的平分线BO和Co的交点，试分析团BOe与0A有怎样的关系？请说明理由.探究3
43、：如图3中,O是外角（3DBC与外角团ECB的平分线BO和CO的交点，则团BOC与团A有怎样的关系？（直接写出结论）拓展：如图4,在四边形ABCD中，。是团ABC与mDCB的平分线B。和C。的交点，则13B0C与团AH3D有怎样的关系？（直接写出结论）【答案】（1）探究2结论mB0C=g/A；（2）探究3：结论加（=90。-34；（3）拓展：结论/80。=3（44+/）【分析】（1）根据角平分线的定义可得131=3回ABC,2=21ACD,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义可得团2=!mACD=!（BA+0ABC）,0BOC=02-01,然后整理即可得解；（2）根据三角形的外角性质以及角平分线的定义表示出00BC和I30CB,再根据三角形的内角和定理解答；（3）同（1）的求解思路.更多资料添加微信号：DEM2008淘宝搜索店铺：优尖升教育【详解】（1）探究2结论：BOC=10A.理由如下：如图，以RCD团Bo和CO分别是（3ABC和IaACD的角平分线，001=-SABC,02=-SACD,22又00ACD是EABC的一个外角，002=-0A
