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1、2）如图2,在正方形ABC。中,专题18全等与相似模型之十字模型几何学是数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中几何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学生更好地理解和掌握。模型L正方形的十字架模型（全等模型）“十字形，模型，基本特征是在正方形中构成了一个互相重直的“十字形”，由此产生了两组相等的锐角及一组全等的三角形。D如图1,在正方形A8C。中，若E、尸分别是8C、CO上的点，AfLLBR则AE=BFo若E、FG分别是BC、CD、AB上的点，AEIGF；则AE=GF93）如图3,在正方形ABCo中，若E
2、、尸、G、”分别是BC、CD、A8、A。上的点，EHLGFx则HE=GFo模型巧记：正方形内十字架模型，垂直定相等，相等不一定垂直.例L（2223下广东课时练习）如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至OC边上的点E,使Z）E=5,若折痕为PQ,则PQ的长为（）A.13B.14C.15D.16【答案】A【分析】过点P作用W08C于点M,由折叠得到PoME,从而得到0A9=0PQ,可得aPQM0aAOE,从而得到PSAE,再由勾股定理，即可求解.【详解】解：过点P作PM08C于点M,由折叠得到PaME,三DE+SAP=90o,在正方形ABCD中，AmBC,0D=9Oo,CMBC,0
3、0DE+0AED=9Oo,WAED=APQ,团MPQ=0PQM,00PW=0AP=0ED,0P三BC,团PM=A,EEID=SPAf=90,13P0DE,0P=AE,在RiAADE中，OE=5,AD=12,由勾股定理得：Af=52+122=13团PQ=13.故选：A.【点睛】本题主要考杳了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，得到APQMSZkADE是解题的关键.例2.（2023年辽宁省丹东市中考数学真题）如图，在正方形ABCQ中，AB=12,点、E,F分别在边BC,CD,AE与M相交于点G,若BE=CF=5,则BG的长为.BEC【答案】t【分析】根据题意证明CRSAS)EBGjFB
4、C,利用勾股定理即可求解.【详解】解：.四边形ABC。是正方形，.Z4M=NC=90o,AB=BC,BE=CF,/.(SAS),ZBAE=ZCBF,ZCBF+ZABG=90o,ZME+ZABG=90o,.NBGE=90。,.SGE=NC,又；AEBG=4FBC,.EBGs.FBC,：.翌=餐,BCBFBC=AB=12,CF=BE=5,BF=BC2+CF2=122+52=13BG5C_6060,五十8G=立故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，掌握这些性质是解题的关键.例3.(2023安徽省芜湖市九年级期中)如图，正方形ABCQ中，点E、F、H
5、分别是AB、BC、CO的中点，CE.DF交于G,连接AG、HG.下列结论：CEkDF;(2)AG=DG;/CHG=/DAG；2HG=AD.正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【分析】利用正方形的性质找条件证明.8CE)F(SAS),则NEcE=N8尸，由NBCE+NECD=90得到NEC。+NCDF=90。，则NCGO=9(,即可判断；连接AH,同理可得：ADHDCF(SAS),AHLDF,在RtZiCGO中，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到HG=-CD=aD,即可判断：可得3以汨是等腰：角形，由等腰二角形；.线合得到。K=GK,AH垂直平分DG,AG=AD.假设A
6、G=OG,推出矛盾，则AGDG,即可判断：证明AADG是等腰三角形，由三线合可知ZDAG=2ZDAH,由ZXAOHZ/得到NeAH=NCDb,由GH=DH得到NHDG=NHGD,由三角形外角的性质得到NCG=2NCDF=2ZDAH,即可判断.【详解】解：团四边形ABCD是正方形，AB=BC=CD=AD,NB=NBCD=ZADC=90。,国点、尸、分别是A8、BC.CO的中点，0BE=CF,BE=CF在工BCE1yaCf)7中，/B=ZDCF,aBCEg.CDF(SAS),0ZECB=ZCDF,BC=CDaZBCE+ZECD=90,/ECD+NCDF=90,团NCGD=90。,LCELDFx故正
7、确；连接AH，如图所示:同理可得：ADHDCF（SAS）,AHlDF,在RtZkCGQ中，是8边的中点，aHG=gcD=；AD,即2G=AZ:故正确；HG=HD=-CD,即QG”是等腰三角形，国DK=GK,A/垂直平分。G,ISAG=AD:2若AG=DG,则AAOG是等边三角形，则NADG=60。，NCDF=ZADC-ZADG=30。,则CF=；o尸，而CF=g5c=ga）,与ofcd矛盾，0ZCDF30o,3ZADG60o,13AGDG,故错误；AG=AD,BZVlDG是等腰三角形，田AHLDF,ZDAG=2ZDAH,ADHADCF,ZDAH=ZCDFr由GH=DH,鼻NHDG=NHGD,中
8、NCHG=NHDG+/HGD=2NCDF=2NDAH,团NCG=NDAG;故正确；正确的结论有3个，故选：C.【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质是解题的关键.例4.（广西2022-2023学年九年级月考）（1）感知：如图，在正方形ABCO中，E为边AB上一点（点E不与点AB重合），连接OE,过点A作AFIa；,交BC于点尸，证明：DE=AF.（2）探究：如图，在正方形ABeO中，E,尸分别为边A8,8上的点（点E尸不与正方形的顶点重合），连接E凡作E尸的垂线分别交边ALB
9、C于点G,H,垂足为0.若E为A8中点，DF=,Afi=4,求GH的长.（3）应用：如图，在正方形A8C。中，点、E,尸分别在BGCD,BE=CF1BF,AE相交于点G.若所=3,图中阴影部分的面积与正方形ABCO的面积之比为2：3,则-ABG的面积为,“IBG的周长为.图图图【答案】（1）见解析；（2）G7=7：（3）15+3【分析】感知：由正方形的性质得出AO=A8,t3D4E=0A8尸=90,证得BAOE=邮%R由ASA证得团fAEI三A8尸（ASA）,即可得出结论；探究：分别过点人。作ANG,ZWEA分别交8C、AB于点MM,由正方形的性质得出A3CZ）,AB=CD,DA=0B=9Oo
10、,推出四边形QME尸是平行四边形，ME=DF=I,DM=EF,证出OMSG”,同理，四边形AG”N是平行四边形，GH=AN,AMDM,证得MDM=MAM由ASA证得SAoMS05AM得出OM=AM推出OM=G，由E为A8中点，得出AE=TA8=2,则AM=AE-ME=1,由勾股定理得出DM=Jad3C+团BEA=90,则团BGE=90, IMGB=90,设 AG=4, BG=b,则 5R2 = 5, 2ab=6,由勾股定理得出a2+b2=AB2=32f a2+2ab+b2=15,即（+/） 2=15,得出 +Z?= JiT，即可得出结果.【详解】证明：回四边形48CD是正方形，+am?=i?，
11、即可得出结果；应用：S”孙ABCo=9,由阴影部分的面积与正方形ABCO的面积之比为2：3,得出阴影部分的面积为6,3空白部分的面积为3,由SAS证得0ABEB08C尸，得出MEA=（3W7C,SABG=SmCEGF,则S21ABG=1，团AD=AB,ZDAE=ZABF=90,0AFlDE.ZDAF+ZBAF=90,NDAF+ZADE=90,团ZADE=/BAF，ZADE=NBAf在一DAE和ZA877中，AD=AB,DAEABF(ASA),0DE=AF.ZDAE=ZABF探究：解：分别过点A、。作ANG,DM/EF,分别交BC、AB于煎N、M,如图所示:团四边形ABC。是正方形，ABCD,A
12、B=CD,/DAB=/B=琳,回四边形。MHr是平行四边形，ME=DF=3DM=EF,AN/GH,GHlEF,DMIGH,同理，四边形AGN是平行四边形，BGH=AN,DM/EF.GHLEF,0WDM,BZIVW+ZAD/=90,0ZZWV+Z4JV=9Oo,ZADM=/BAN,NADM=乙BAN在ZWW和ABAN中，AO=AB,NOAM=NABN=90。0AZW2BAN(ASA),DM=ANfEF=GH=DM=AN,ElE为AB中点，团AE=gA8=2,AM=AE-ME=2-=i,三DM=AZ)2+AM2=4212=110G=7.应用：解：048=3,05.;-AjBCD=33=9,团阴影部
13、分的面积与正方形ABCo的面积之比为2：3,回阴影部分的面积为：-9=6,13空白部分的面积为：9-6=3,BE=CF在0A8E和团BC尸中，,1ABE?BCF90?,00AB三2BCFCSAS),AB=BC团团BEA=ISBFC,S/ABG=S.心+CEGF,SABG=3=-,卧BC+m8E4=90,盟BGE=90,用1MG8=90,22设AG=,BG=b,则a。=,团2ab=6,22a2b2=AB2=32,a2+2ab+b2=32+6=15,即(c+b)2=15,而a+80,3段/+)=而即8G+AG=A,(30A8G的周长为厉+3,故答案为：，15+3.【点睛】本题考查正方形的性质、平行
14、四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积与正方形面积的计算等知识，熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线构建平行四边形是解题的关键.模型2.矩形的十字架模型(相似模型)矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。如图L在矩形ABC。中，若E是AB上的点，KDE.LAC,则竺=如ACABEF BCACAB“、N分别是A8、CD.AD.BC上的点,且EELMMM=MNAB如图3,在矩形ABeO中，若E、F、例L （2223下广西九年级期中
15、）如图，把边长为48 = 2L BC = 4且NB = 45。的平行四边形ABCQ对折，使点8和O重合，求折痕MN的长.【分析】先证明ABD尸SZDWG,得到=，求出BE和BF,然后得到BD,DG和MG的长度，再MGDG利用全等三角形的性质，即可得到答案.【详解】解：如图，连接30叮MN交于点G,并补全矩形为M田ZMDF=NDFB=即,田/MDB+NBDF=5)。,又MN上BD,ZDMG+ZMDG=90,值/BDF=/DMG,DFBFXABFD=ZDGM=90o.0BDFDG,0=，MGDGAB=22H.ZABF=45o,BE=DF=2,又回8C=4,酬BF=BC+CF=BC+DF=6,BD=
16、yBF2+DF2=62+22=2K)团DG=TBO=加，G=dfdg=2=0BG=DG,MNlBD,乙MDB=乙DBF,BF63世DMG98BNG,MG=NG,QMN=2MG=-.3【点睛】此题是折叠问题，考查折叠的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线,运用所学的性质定理得到4BDFsZoMG,从而求出所需边的长度.例2.（2223下河北九年级期中）如图，在矩形ABCQ中，E、F、G、分别为4。、BC、AB、CD边上的点，当瓦_LG，时，证明：EF:GH=AB:BC.【答案】见解析（分析过点F作FMVADF点M,过点G作GN1C加于点N,先
17、根据余角的性质证明/MEF=ZGHN,再证明即可证明结论成立.【详解】证明：如解图，过点尸作RWJ.AD于点“，过点G作GN_LCZ）于点N,0fMAD.且四边形ABC。为矩形，屯FMHCD,l=GHN,由ZEFM+ZMEF=90。.又团EF上GH,EZEEW+Zl=90o,ZMEF=NGHN.又由NFME=NGNH=90。,另FMEsAGNH,EF:GH=MF;GN=AB:BC.【点睛】本题考查了余角的性质，矩形的性质，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.例3.（2223贵港中考真题）已知：在矩形ABCO中，B=6,AD=23,P是BC边上的一个动点，
18、将矩形ABCO折叠，使点A与点P重合，点。落在点G处，折痕为E尸.（1）如图1,当点尸与点C重合时，则线段EB=,EF=；（2）如图2,当点P与点8,C均不重合时，取叱的中点0,连接并延长Po与G尸的延长线交于点M,连接P/LME,MA.求证：四边形MEP/是平行四边形：当tanNMA。=；时，求四边形MEP/的面积.图1图2【答案】（1）2,4；（2）见解析；迎巨【分析】（1）过点F作FHI3AB,由翻折的性质可知：AE=CE,团FEA=团FEC,团G=EIA=90。根据平行线的性质和等量代换可得13CFE=HFEC,由等角对等边可得：CF=CE,设AE=CE=x,BE=6-X,在RtHBC
19、E中,由勾股定理可得关于X的方程，解方程求得X的值，进而可得BE、DF的长，由矩形的判定可得四边形DAHF是矩形，进而可求FH、EH的长，最后由勾股定理可得EF的长；（2）根据折叠的性质可得MG尸E,进而可得NMEo=NPEO,根据已知条件可得OF=OE,从而易证AFOM/EOP,进而根据全等三角形的性质和平行四边形的判定即可求证结论；连接RAFE尸交于点”，则所_LB4且FH=A/,又由知：PO=MO,MA/EF,则MAj继而易证团MAD=PAB,接根据三角函数求得PB,设PE=X,则BE=6-%,根据勾股定理可得关于X的方程，解方程可得PE的长，继而代入数据即可求解.【详解】解：（1）EB
20、=2,EF=4:过点F作FH团AB,团折叠后点A、P、C重合SAE=CE,EIFEA=团FEC,0CD0AB（三CFE=0FEA,00CFE=0FEC,团CF=CE=AE,设AE=CE=CF=x,BE=AB-AE=6-X,在RtBBCE中，由勾股定理可得5。2+3炉=。炉，即Qjy+（6-x）2=2解得：x=4,即AE=CE=CF=4睚=2、DF=2,SED=0A=I3FHA=9（ri3四边形DAHF是矩形，0FH=AD=23.EH=AB-BEAH=6-22=2在RtHEFH中，由勾股定理可得：EF=F72+EH2=J（23V22=4AHEB图2(2)证明：如图2,团在矩形ABCO中，CD/A
21、B,由折叠(轴对称)性质，得：MGHPE,ZMFO=PEO,团点0是所的中点，OF=OE,又NFe)M=NEoP,但ZXFOMdEOP,团MF=PE,团四边形MEP厂是平行四边形：如图2,连接与石户交于点“，则F_LQA且PH=A又由知：PO=MO,团MA/EF,则MAL,DABA,田NMAD=NPB,0tanZMAD=tanZPAB=-3PB1在RiPAB,tanZ.PAB=,而A8=6,0PB=2AB3又在RfPEB中,若设PE=X,则AE=6-x,由勾股定理得：x2-(6-x)2=22,则PE=X=弓，而PG_LG且PG=AO=2JJ，又四边形ME是平行四边形，回四边形MET平的面积为尸
22、EXPG=WX2JJ=迎叵.33例4. (2022年四川乐山中考数学适应性试卷)解答DFC DFNC。二:,A EBaEB a图1图2(1)如图1,矩形ABCo中，EFGH, EF分别交48, Co于点E, FD 1N B图3 G”分别交A。，BC千点、G, H.求证:EF AD三二警；如图2,在满足(1)的条件下, GH ABEF 11BN点M，N分别在边8C-上，若行=Ir求而的值;【点睛】本题主要考查矩形与翻折的问题，涉及到勾股定理、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定及其性质、翻折的性质、正切的有关知识，解题的关键是熟练掌握所学知识并且学会作辅助线.(3)如图3四边形ABC力中，S
23、AfiC=90o,AB=AD=IQ,AM0ON,点M,N分别在边8C,AB上，求AM的值.114【答案】见解析石M【分析】（1）过点A作AP0EF,交Co于尸，过点B作BQSGH,交A。于Q,如图1,易证Ap=E凡GH=BQ,PDAQABf然后运用相似三角形的性质就可解决问题；FFADRN（2）只需运用（1）中的结论，就可得到W7=M=?，就可解决问题；GHABAMAM AB（3）过点。作平行于A8的直线，交过点A平行于8C的直线于R,交BC的延长线于S,如图3,易证四边形ABS7?是矩形，由（1）中的结论可得婴=芈.设SC=X,DS=yf则AR=BS=5+心RD=IO-y,在MzsCSO中根
24、据勾股定理可得（+）2=25，在RAARO中根据勾股定理可得（5+x）2+（10-y）2=i00,解就可求出工，即可得到AR问题得以解决.【详解】（1）解：过点A作4用ER交CD于P,过点8作交AO于。，如图1,团四边形A8C。是矩形，0A陵。C,AmBC.团四边形人K”P、四边形8G。都是平行四边形，0AP=EF,GH=BQX0G70EF,SAP08Q,EEQAHaAQT=90.回四边形ABC。是矩形，回配MB=I30=90,SDAP+D=90,APADEFADwaqt=wpa.pdaqab,e=,0=一BQAtiGHAB(2)如图2,0OTG7,AMBN,（3）过点。作平行于AB的直线，交
25、过点A平行于8C的直线于凡交8C的延长线于S,如图3,则四边形ABSR是平行四边形.BC=90o,团dASA是矩形，e=0S=9O,RS=AB=IO,AR=BS.财MSDM团由（1）中的结论可得=.AMAB设SC=X,DS=yt则AR=BS=5+x,RD=10-yt13在放ACSD中，x2+y2=25，在放?1/?D中，（5+）2+（lo-y）2=loo，由得=2y5，解方程组X2+ /=25 x=2y-5（舍去），或x = 3jy = 40AR=5+x=8,团里二处AM AB 10 5【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解二元二次方程组等知识，运用（1）
26、中的结论是解决第（2）、（3）小题的关键.模型3.三角形的十字架模型（全等+相似模型）D等边三角形中的斜十字模型（全等+相似）：如图1,已知等边AA8C,Biy=EC（11ECD=AE）,则月。=8邑且A。和BE夹角为60。，AABC02）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）：如图2,在48C中，AB=BC,AB.LBC,。为BC中点，BFAD,AF：FC=2:1,（三）ZBDA=ZCDFtNA尸B=NCPQ,NAEC=I35 ,AE = C,以上七个结论中，可“知二得五”。3）直角三角形中的十字模型：如图3,在三角形ABe中，BC=kAB,ABLBC,。为BC中点，BFAD,则AB尸C=
27、2：F,（相似）例1.（2223成都市.八年级期中）如图，在等边AABC中，。、E分别是BC、AC上的点，且8O=CE,AD与BE相交于点尸.下列结论：E=CD;AP=BEiNRlE=NA8E；NAPB=I20,其中正确的结论是（填序号）【解答】解：因为AC=8C,BD=CE,所以4E=Cf.故正确，VAABC是等边三角形，：.ZABD=ZC=600,AB=BC.rAB=BC在AAAO与aBCE中，/二60。：(2)见解析【分析】(1)根据SAS证明ABAE0ZXACF,利用三角形的外角性质即可得解；(2)证明ABP尸S(%,利用对应边对应成比例列式即可.【详解】(1)解：048C是等边三角形
28、，AB=AC,NBAE=ZACF=,又AE=CF，0BAEACF(SAS),ZABE=ZCAF,圆ZBPF=ZABP+ZBAP=ZCAF+ZBAP=ABAC=60：(2)证明：0ZBPF=6Oo,ZBCE=60p,IazBP尸=NBCE.BPBF自NPBF=/CBELBPFSBCE,0=，BPBE=BFBC.BCBE【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质.根据等边三角形的性质和已知条件证明三角形全等是解题的关键.例3.(2223下无锡阶段练习)如图，在边长为6的等边&A8C中，D、E分别为边5C、AC上的点，AD与班相交于点尸，若BD=CE=2,则NAPE=;则AABQ
29、的周长为.【答案】12042+187【分析】根据SAS证ABDBCEt得出NAPB=I20。，在CB上取一点尸使C尸=CE=2,则BF=BC-CF=4,证一APiB此，根据比例关系设5P=x,则AP=2x,作B_AO延长线于“，利用勾股定理列方程求解即可得出在和AP的长.【详解】解：.JBC是等边三角形，.AB=8C,ZAD=ZC=60o,AB=BC在AABO和8CE中，NABO=NC.nABDBCE(SAS),.N8AO=NC3E,BD=CE.ZAPE=ZABPZBAD=ZABP+ZCBE=ZABD=60o,/.ZAPB=120o,在CB上取一点/使B=CE=2,BF=BC-CF=4,NC=
30、60。，.CM是等边三角形，ZBFE=120o,ZAPB=BFE,.APBBFE,APRF4-=-=2,设3P=x,则AP=2x,作8SAn延长线于“，BPEr2X八X5NBPD=ZAPE=3，/.ZPBW=30o,:.PH=-,BH=x9AH=AP+PH=2x+-x92222在RLAB”中，AH?+BH2=AB?，即（羯+（当尸=6,解得或一蛀（舍去），2277.AP=苧,BP=，,ABP的周长为A8+AP+8P=6+超1+色巨=6+史立二丝担当且，777777故答案为：120,42+1847【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟
31、练掌握这些基础知识是解题的关键.例4.（2223下六安一模）如图1,等边tWC中，点。、后分别在BC、AC上，且BQ=CE,连接A。、BE交于点E求证：NAFE=60;（2）如图2,连接C尸，若BD=；BC,判断C尸与AO的位置关系并说明理由；（3）如图3,在（2）的条件下，点G在AE上,GF的延长线交B力于H,当AG=/G=5时，请直接写出线段产的长.【答案】（1）详见解析（2）B_LAO,详见解析（3）2【分析】（1）因为ABC为等边:角形,所以ZAE）=N5CE=60,AB=AC=BC,又80=CE,即可判定AABDCBCE,根据全等三角形的性质得出NBA。=NC8E,利用:角形外角性质
32、解答即可；(2)延长BE至M,使f=AF,连接4、CM,取RW的中点M连接。V,可证得/MKW是等边三角形，得出NEA=60,AF=A=fM,再证得AAM%,ACM(SS),推出NA=NCME,CM/F,证得AMFSIaCEM,推出RW=2CM,结合点N是BW的中点，得出CM=MN=FNCMN是等边三角形，进而可得NMCN=NMNC=60,CN=MN,推出NAFC=NAEW+NN产C=60+30=90,即CF_LAO：(3)延长BE至M,使=A厂，连接AM、CM,取AD的中点K,连接GK,可得V8O尸倒二BCM,式=照=?，推出AD=7OF,再由GK是.AS的中位线，可得GK/BC,GK=cD
33、=-=-iCMBC32233FK=OK-。尸=I。尸，再由&DFH瓦KFG,可得空=黑=,进而可得Mr=2,再证得ZBFH=NCBE,2GKFK5得出切=9=2【详解】(1)ABC为等边三角形，.AB=AC=8C,ZABD=ZBCE=60,AB=BC在和JJCE中，NABD=NBCE,ABDBCE(SAS),:.NBAD=NCBE,BD=CEZADC=NCBE+ABFD=NBAD+NB,./BFD=AB=NAFE=60：(2)CFVAD,理由如下：如图，延长BE至M,使RW=AF,连接AM、CM,取EN的中点N,连接CN,由得：ZA尸E=60，.AW是等边三角形，.NE4M=60，AF=AM=
34、FM.ZBAC=ZFM=ZAMF=60,/.ABAC-CAD=ZFAM-NCAD,即NBAF=ZCAM,在AABF和AACV/中，AB=AC,ABAF=ZCAM,AF=AM,.ABFaAC(SAS),aZAFB=ZAAfC=180-60=120,.ZCME=ZAMC-ZAMF=120-60=60,：.ZAFM=/CME,CMCE121CM/AFAfiT713tCEM,=,AFAE11BD=-BC,BD=CE,BC=AC,.CE=-ACf即一=一，33AE2A=-,即=2CM,:.FM=ICM.AF2.点N是FM的中点，FM=2FN=2MN,.CM=MN=FN,又.NCMN=60,CMN定等边三
35、角形，：./MCN=/MNC=6。，CN=MN,.CN=FN,:./NFC=/NCF=30，:.NFCM=NNCF+/MCN=30+60=90,ZAFC=ZAFM+NNFC=3+30=90,/.CFD;（3）如图，延长8E至M,使EH=A尸，连接AM、CM，取Ao的中点K,连接GK,由（2）知：AF=FM=ICM,ABF（3ACW,CM/AF,ZFC=90o,飞BDFB&BCM,A-=-,:.CM=3DF,.AF=6DF,.AD=IDF,CMBC3AG=FG=5,.ZCAF=ZAFg,NeAF+ZAC产=90,ZAFG+ZCFG=90,.ZACF=ZCFG,:.CG=FG=S=AG,.点G是A
36、C的中点，AC=IO=BC.I1201O点K是AO的中点，.GK是.AS的中位线，s.GKBC,GX：=-CD=-y=y,1 75AK=DK=-AD=-DFt.FK=DK-DF=-DF,2 22GK/5C,”氏KFG,.翼=/J,DH=gK=x与J，CjKKj3533BD=-BC=-,:.BH=BD-DH=-=2t3333NBFH=NEFG=ZAFE-AAFG=a-ZA尸G=60-ZCAF=ZBAD=ZCBE，.FH=BH=Z【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形性质和判定，等腰三角形性质和判定，直角三角形性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，解题关键
37、是添加恰当辅助线构造全等三角形和相似三角形.例5.（2223上深圳期中）如图，在RGABC中，NABC=90。，84=3C=3,点。为BC边上的中点，连接4,过点B作废:LAO于点E,延长的交AC于点尸.则加的长为.,D【答案】5【分析】以BABC为邻边作正方形，延长M交CG为“，先求出NESz）=NA,再证明出RtABgRiBCH,得出即为CG的中点，再证明AAFs.s7,利用相似比及勾股定理即可求解.【详解】解：以BABC为邻边作正方形，延长砂交CG为”，如下图：/H、/G4BDE=乙DB/BED=ABD=90。，.QBElAABD；NEBD=NBAD,在R/AB。和MBC中，ZEBD=Z
38、BAd,:.HBC=ZDABt乙BD=/BCH,AB=BC,;.RABDRlBCH,:.BD=CH,即“为CG的中点,AB/CH,ZBF=ZCHF,BAF=ZHCF:.AFBSCFH,HF CH ,A BF = -BH ,BH =JC2 +CH:.BF = -BH =- = y5 故答案为：5 .，. Dr = D = X 2332【点睛】本题考查了三角形相似的判定及性质、三角形全等、正方形的性质、勾股定理，解题的关键是利用相似三角形的相似比来求解.例6.（2223下沧州二模）如图，在RtZABC中，NABC=90o,AB=BC,点。是线段A8上的一点，连接。过点8作BG_L8,分别交C。、C
39、A于点E、F,与过点A且垂直于AB的直线相交于点G,连接。尸，下列结论错误的是（）A.B.若点。是A8的中点，则=ABFC3J)R1AD 2C.当3、C、尸、。四点在同一个圆上时，DF=DBD.若F=:7，则2械=95【答案】DCF 3【分析】由二A尸GSeF3,可确定A项正确；rtlABGwu可得AG=；AB=38C,进而由.AFGCFB确定点尸为CA的三等分点，可确定B项正确；当8、C尸、。四点在同一个圆上时，由圆内接四边形的性质得到NCFz)=ZABC=90。，得到为圆的直径，因为5G_LCL,根据垂径定理得到。尸=，故C项正确；因为。为AB的三等分点，一ARA式下8即空=2，可得Sa8
40、c=12Sb0f,由此确定。项错误.【详解】解：依题意可得BClAG,lAFGCFB回彩=WrBCCFXAB=BC0-=,.故A项正确；如图,ABCFC回l+N3=90,ZI+Z4=90o,EIN3=4Z3=Z4在,ABG弓/8Co中，AB=BC,i.ABGBCZASA),SAG=BDfZBAG=ZCBD=90又团8。=AD,0AG=AD:l三M8C为等腰直角三角形，0C=24B;AG=AD=AB=BC-AGAF15Q4AFGs&BFC,=,mFC=2AF,同AF=AC=.故A项正确；当B、CsF、。四点在同个圆上时，由圆内接四边形的性质可得NCm=NABC=90,回。是8、C、尸、O四点所在
41、圆的直径，0BGCD,DF=BDDF=DB,故C项正确;BD IBD 1二一，团 =AD 2 AB 3团 SABDF = SAABF，F4,回AyAu 叫ABFlSg仔SABC=12SBDF故D项错误.故选：D.【点睛】本题考行了等腰百角三角形中相似三角形与全等三角形的应用，有一定的难度.对每一个结论,需要仔细分析，严格论证；注意各结论之间并非彼此孤立，而是往往存在逻辑关联关系，需要善加利用.例7.（2223广东期中）如图，在RtAACB中，NAeB=90。，AC=4,8C=3,点、D为AC上一点,连接BD,七为AB上一点，CE上BD于点F,当4）=CD时，求CE的长.Q【分析】将RtACB补
42、成矩形ACBH,延长CE交AH于点G,可得CDC4G,结合已知可求AG=、CG=生叵，再由ZXAEGsAj?EC即可求出CE.3【详解】解：如解图，补成矩形AC8”,延长CE交A”于点G,0ZACB=9Oo,CE工BD,0ZACGZBCG=9Oo,ZABD+ZBCG=90,CDCBBD团NACG=NCBD,0ZkBCDC4G,一=一=一，AGACCG0=-=,ElAG=S,CG=,同设CE=X,则EG=x,AG4CG333又用在矩形ACBH中，AG/BC,0AEGBEC,爷=金，即5解得X=坦叵OCE=坦叵.BCCE-T=-17173X【点睛】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，
43、平行线分线段成比例，直角三角形的性质，证明aB8sZC4G是本题的关键.例8.（22-23下深圳一模）如图，在Rt_A8C中，AC=BCtZACT=90,点。为BC边上的一点,连接AO,过点。作CE_LAC）于点尸，交A8于点E,连接。7备案见详解与BEDEBC求二K的值.AE【分析】（1）要证AE=2破，过点B作B_LCE,交CE的延长线于“，证得MfEs,由，得出AF与BE的数量关系，再证得8QB得出b他根据线段间关系，IW求证：要求而的值根据角度间的转化，得C3MCE,即可求出器的值根据小皿推出我嘿，即可得到最后结果.【详解】(1)证明：如图，过点8作5_LCE,交CE的延长线于“，ApAPQAD,CE,.AF/BH,i.AFEBHE,A=,CElAD,:.ZCFD=90,BHBEZACB=90，ZADC=NCDF,.ACDACFD,ZCAF=ZBCH，ZAFC=NeHB=90,AC=BC,.FC-CH(AAS),.CF=B
