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1、北京市朝阳区2020-2021学年高一上学期期末质量检测数学试题学校:姓名：班级：考号：一、单选题1 .已知集合A=x卜lx2,B=-2,-l,0,l,2,则AB=()A.-l,0B.0,lC.-l,0,lD.-1,0,1,22 .命题“Br0,sinxl”的否定是()A.Vx1B.Vx0,sinx1C.3x1D.3x0,sin%13 .下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是()A.J=sinxB.y=yxC.y=-x3D.y=Igx4 .函数/(x)=一冗一7的零点所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)5 .已知函数/(x)=x2+cosx.
2、若E+占=0，则()a./()()C./()+()=0D./(,)-()=06.已知4=0.5,b=O.56,c=Iog060.5,则()A.abcB.bacC.cabD.cba7.已知函数y=()可表示为()X0x22x44x66x8y1234则下列结论正确的是()A./(/(4)=3B./(x)的值域是1,2,3,4C./的值域是1,4D.冗)在区间4,8上单调递增8 .在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标.声强级丁（单位：dB）与声强度1（单位：W/n?）之间的关系为y=101g,其中基准值o=l（）T2wm2.若声强7O级为60dB时的声强度为声强级为90dB时的声强度为/皿，
3、则夕的值为（）%A.10B.30C.100D.10009 .已知月均为第一象限角，贝av/7”是“sin20,y0,且x+y=2,则孙的最大值为.13 .在平面直角坐标系中，角。的顶点为坐标原点，始边与X轴的非负半轴重合，终边25经过点P,则tana=.Z14 .若函数“力=CoS（2戈+9）的图象关于直线X=O对称，则常数夕的一个取值为15 .设bv,给出下列四个结论：a+bab加劝；22J同Z?网.其中所有正确结论的序号是.三、双空题16.已知函数/)=m*当Zn=O时，/(x)的值域为.若对于任意。力,ceR,7(a),/。)，C)的值总可作为某一个三角形的三边长,则实数机的取值范围是.
4、四、解答题17.已知全集U = R,集合A = xf-2x-30, B = xl2v16.(I)求&A)C8；(ID设非空集合O=x无OM0,00)个单位长度，所得函数图象与函数y=cos2x的图象重合，求实数加的最小值.20 .设函数/(x)=?+丝WR),且=12.(I)求实数团的值；(II)判断在区间(2,+8)上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论;(In)若关于X的方程/(力=恰有三个实数解，写出实数。的取值范围(不必证明).21.“函数e(x)的图象关于点(mM对称”的充要条件是“对于函数研力定义域内的任意X,都有0(冗)+0(2机-尤)=2”.若函数/(句的图象关于点(1,
5、2)对称，且当五0,l时，/(x)=x2-r+ii+l.(I)求/(0)+f(2)的值；(II)设函数g(x)=.2-X(i)证明函数g(x)的图象关于点(2,-4)对称；2l(ii)若对任意玉0,2,总存在马-J，使得F(N)=g()成立，求实数。的取值范围.参考答案1. B【分析】利用集合的交运算即可求解.【详解】由A=x-lx1,即可得到答案.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，SinX1的否定是SinX1,所以命题“x0,sinxl”的否定是3c0,sinx1故选：D【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.3. A【分析】根据解析式可直接判定奇偶性和单调性，得出答案.【详解】
6、对A,根据正弦函数的性质可得y=sinx是奇函数，在（0,1）单调递增，故A正确;对B,y=7的定义域为0,48）,不关于原点对称，故不是奇函数，故B错误；对C,y=-/在（0,）单调递递减，故C错误；对D,y=lgx的定义域为（0,+8）,不关于原点对称，故不是奇函数，故D错误.故选:A.4. C【分先判断函数“X)在(0,1)上的范围，排除A；再判断力在区间(Lxo)上的单调性，根据函数零点存在性定理，即可判定出结果.【详解】因为/(力=/一一7=%(/-1)-7是定义在/?上的连续函数，当x(0,l)时，x(x2-l)0,所以f(x)=x(d-i)-70,即零点不可能在(0,1)内;任取
7、3-(x1-X2)=(M-W)(%2+X1X2+X22-1),因为1%工2，所以不一工2*即/()-()=(-)(+2-1)即/(5)v()，所以X)=d-冗一7在(Lxo)上单调递增；又/=1-1一7=-70,/(2)=8-2-7=-l0,/(4)=64-4-7=530,根据零点存在性定理，可得/G)=d-无一7在(2,3)内有零点，故选：C.5. D【分析】判断函数为偶函数，根据题意可得芭与Z是一对互为相反数，由奇偶性定义即可求解.【详解】由/(x)=x2+COSX,则f(-)=(-)2+COS(-)=X2+COSX=/(X)，所以函数为偶函数，又x+W=O,则再=一七，所以F(Xl)/(
8、X2)=X；+COSX(92+COSX2)=(-X2)+COS(-X2)-(x22+COSW)=X22+CoSX2-x22+cosx2)=O.故选：D6. A【分析】利用指数函数、对数函数的单调性进行判断即可.【详解】。=0.5,由y=05,是单调递减函数，().50O.5060.5，所以lbay=IogosX是单调递减函数，c=Iog060.5Iog060.6=1,所以b4,但是/(5)J(4)=3,所以该选项错误.故选：B【点睛】方法点睛：判断函数的性质命题的真假，一般要认真理解函数的定义域、值域、单调性等的定义，再根据定义分析判断.8. D【分析】根据题意，把,转化为对数运算即可计算.Z
9、60【详解】由题意y=oig可得：90=IOlg,60=IOlg-30=90-60=llgo-IOlg-=10(Ig-Ig)，o，o，o，0.3=lg殳一lg%,.3=lg(殳血)=lg4，o0，0，60，60-2-=103=1000/4)故选：D【点睛】数学中的新定义题目解题策略：仔细阅读，理解新定义的内涵；(2)根据新定义，对对应知识进行再迁移.9. D【分析】利用充分性和必要性分别讨论即可.【详解】7由a=?,=；均为第一象限的角，33满足v,但Sina=Sin/7,因此不充分；由SinaVsin,得a=m，/=多均为第一象限的角，66因此不必要；故选：D.10. C【分析】根据正弦函数
10、的性质，确定/(x)=4Sin葭的最值，根据题中条件，得到(XJ-/(%+J(li一IJeNJ尽可能多的取得最大值4,即可求解.【详解】因为f(x)=4Sine0,4,即/()min=。，F(XLX=4,所以(XJT(X2)归4,当/(%)与/(乙)一个等于0,另一个为4时,|/(玉)一/(%)|取得最大值4；为使满足Ifa)T(X2)|+|/优)_/(曰)|+|k)S)I=2021的正整数最小,只需(Xi)-/(%+)(li一1生)尽可能多的取得最大值4，而5054=20202021,所以至少需506个V(N)-/(x,+J(l0【详解】由/(x)=+lg(x-4),x0x-l0所以函数的定
11、义域为（1,+）.故答案为：（l,+）12 .1【分析】利用基本不等式直接求解即可.【详解】解：因为x0,y0,x+y=2,所以2=x+y2而，即孙1,当且仅当x=l,y=l取等号，所以D的最大值为1,故答案为：I【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等一正就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3） “三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.13 .2【分
12、析】根据正切函数的定义即可求出.【详解】Qa终边经过点P芈，咚，651，tana=,2525故答案为：-.214.-（答案不唯一，满足e=攵）一2f,欠Z即可）33【分析】令2x+=k汽、keZ,将X=O代入可求出9.【详解】令2x+=kn、AZ,解得X二旦一ZZ,22/（力关于X=与一“Z对称，X=?是/（x）的对称轴,.-=-,k三Z,解得e=A万一二次Z,3223令k=l得=3.故答案为：-（答案不唯一，满足0=%万一2工次z即可）.3315.【分析】利用不等式性质直接判断正确，利用指数函数y=2的单调性判断正确，利用特殊值验证错误即可.【详解】由4hO知，abO,-+-0,故！+1=土
13、心0,得a+bvab,故正确；ababab取=-3,b=-2,满足。vbO,但2=-6,3b=-6,不满足2v勖，故错误；由指数函数y=2单调递增可知，avbO,则22，故正确；由力VO知，一一。0,同网0,根据不等式性质可知，（一”）同（一匕）似0,故。同力网0,故正确.故答案为：.16. (0,1)；m2.【分析】当帆二O时，先利用分离常数法整理函数，再利用2A0逐步计算。1-一二1，即得值域；先分析知/()+/(竹(C)恒成立，再利用定义法讨论函数单调性，并结合单调性求得值域，根据恒成立关系列关于参数的不等关系，解得参数范围即可.【详解】当机=0时，函数/(r=2上=工一=i一,定义域为
14、凡八J2A+12v+l1+2由20知，1+2、1，则0丁二1，即一1一J77v,故01-不工1,l+2v1+2*l+2r元)的值域为(0,1)；依题意，作为某一个三角形的三边长，/()+(8)f(c)恒成立，N好r2+In2x1+m1mcz11,n函数/(X)=1+,定乂域为凡v72x+l2a+1121 AnLI)11 + 2*2)(2I、任取百,2GR，玉，贝厅(须)一，(42)=1+万71 + 2、卜(n2工-2局= (w-l)?_)7-77(1+2)(1+2出)24-2x由N可知020，故0+2不)(1+2号0,当初一10,即帆1时，/(1)-()O,即/()(z),/(X)在R上单调递
15、减，又oT7，则otLi+lJ0)l,则)+(0)2,又/(C)Vn,要使4)+f(6)/(C)恒成立，则需n2,故团的取值范围是IVmW2；当相一1=0,即7=1时，/(x)=l,f(a)+f=1+1=2,/(c)=1,显然/+/()/(C)恒成立，故机=1符合题意；当机一IvO,即机1时，/(x1)-(x2)0,即/()v(),无)在R上单调递增，又0971,则l1FW0,nl+-2根，/(c)(c)恒成立，则2ml,即m;,故加的取值范围是;m(C)恒成立的问题转化到取值范围上，以突破难点.17. (I)x3x4;(II)(-3,-2kj3,4).【分析】(I)分别解不等式，化简两集合，
16、再由交集和补集的概念，即可求出结果；（三）由(I),根据集合。非空，且OqaA,列出不等式求解，即可得出结果.【详解】(I)因为4=x2-2冗一3=xk1x3,B=xl2v16=x0x4,所以,A=T或x3,则A)CB=x3xv4；(II)因为非空集合。=卜|。2+3,6区,且。口6从，。0,00,故不成立；所以/(x)满足的三个条件为：；（三）由(I)知，最小正周期为2乃，最大值为2,可得G=至=1,A=2,所以2/(%)=25亩(冗+9),又因为/(一?)=0,0夕0)个单位长度，可得y=sin(2x+2机一奈，则y=sin2x+2m-和y=cos2x的图象重合,6J.2/?-=+2k,k
17、三Z,解得?=工+Ar,kZ,623w0,则当Z=O时，机取得最小值为三.3【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简求三角函数性质，解题的关键是利用二倍角公式、差的余弦公式和辅助角公式化简函数可得/(x)=Sin(21一看).20. (1)16；(2)八)在区间(2,y)上为增函数，证明见详解；(12,J8)【分析】(1)将X=2直接代入即可求解.(2)根据证明函数单调性的步骤：取值、作差、变形、定号即可证明.(3)根据/(x)的单调性，即可得出结果.【详解】(1)由X)=X2+”(mR),/(2)=12,m即4+=12,解得相=16.2(2)”外在区间(2,+)上为增函数，由(1)可知/(x)=
18、W+?,任取1,2(2,+r),且内/，则f()-()=k+竺-2-3=(I-W)+入入追MX也由王一/4,xlx24,所以/(3)-/(%)0,即/)/(七),所以函数为增函数.(3)由/(x)=/+?,可知(12,+).21. (1)4(II)(i)证明见详解；(ii)-13【分析】(I)计算/(x)+f(2-x)=22=4,令X=0,即求.(II)(1)计算g(x)+g(4-X),由新定义即可证明；(ii)求出g(x)的值域，设“式)在0,2上的值域为A，存在与恒成立思想可得A是g(x)的值域的子集，再由二次函数的最值以及对称性求出A，结合集合的包含关系即可求出范围.【详解】(I)由题意
19、，若函数了(九)的图象关于点(1,2)对称，贝IJ/(x)+/(2-x)=22=4,令尢=0,可得/(0)+f(2)=4.(II) (i)由g(x) =4xg(x)+g(4-小念+黑色4x 16-4x 8x-162, - X 2, X 2 %=S = 2x(4),所以函数g(r)的图象关于点(2,T)对称.AYQO(11) g(x)=-4+,函数在一彳,1上单调递增，2-x2-xL3所以g(j)-1,4,不妨设在0,2上的值域为A,2I对任意0,2,总存在了2w-，1，使得/(%)=g(w)成立,则Aq-1,4,当R0,l时，/(x)=x2-r+a+l,且/(1)=2,当了0时，即O,函数”X
20、)在0上单调递增，由对称性可知，力在。,2上单调递增，j(x)在0,2上单调递增,由F(O)=+2/(0)+(2)=4,所以2)=3%A=a+,3-a,a+-1由4qT,4,可得,43-,解得一laO,a0当01时，即02,2函数“力在o,)上单调递减，在(*上单调递增,由对称性可知无）在。,2-8上单调递增，在（2/2上单调递减,.（）在0,3 上单调递减,在上单调递增，在（2 ,2上单调递减,结合对称性可得A=(2),(0)或A=0a2f.,.(0)=a+l(1,3),又/(0)+f(2)=4,.j(2)=3-(l,3),/图二一(+W又4)+小-()=4,(2-J(2,3),当02,成立；当1,即o2时，/(x)在05上单调递减，所以了(力在口，2上单调递减，由/(0)=a+l,/(0)+(2)=4,所以2)=3-%.A=3-7,6r+l,3-a-由4qT,4,可得4+l,解得23,a2综上所述，实数。的取值范围为T3.【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的新定义，考查了二次函数的最值以及函数对称性，解题的关键是将问题转化为两函数值域的包含关系，考查了任意性、存在性问题，同时考查了分类讨论的思想以及转化与化归的思想.
