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1、目录摘要2ABSTRACT3刖s4第一章绪论51. 1图像去噪的意义52. 2小波的兴起5第二章双树复数小波变换原理73. 1一维双树复数小波变换74. 2二维双树复数小波变换9第三章双树复数小波阈值去噪135. 1去噪问题描述136. 2阈值收缩法137. 3阈值函数的选取158. 4去噪图像的质量评价179. 5仿真实验及结果分析1810. 6仿真结果1911. 7分析与结论23第四章总结25参考文献26致谢错误味定义书签。摘要噪声抑制是任何图像处理任务的组成部分，噪声会显着降低图像质量，因此使观察者难以区分图像的细节，特别是在诊断检查中。经过几十年的研究，已经提出了大量关于图像去噪的方法
2、。通过使用空间滤波或变换域滤波，可以减少图像中噪声的影响。在变换域小波方法中，提供更好的去噪效果，同时保留像边缘那样的图像细节。离散小波变换具有一些缺点，即由于缺乏移位不变性和较差的方向选择性，导致其在图像处理中的应用尚未确定。为了克服这些缺点，使用了双树复数小波变换，其在传统的小波变换上提供了完美的重构。它使用2个离散实小波变换；第一个离散实小波变换给出了变换的实部，而第二个离散实小波变换给出了变换的虚部。它在二维和更高维度上有限的冗余几乎是不变和定向选择性的。双树复数小波变换在图像去噪和增强等应用方面优于离散小波变换。双树复数小波变换的优点之一是它可用于实现比二维离散小波变换方向更具选择性
3、的二维小波变换。二维双树复数小波在每个尺度上产生十二个子带，每一个都以不同的角度精确定位。关键词：图像；去噪；双树复数小波；阈值ABSTRACTNoisesuppressionisanintegralpartofanyimageprocessingtask.Noisesignificantlydegradestheimagequalityandhencemakesitdifficultfortheobservertodiscriminatefinedetailoftheimagesespeciallyindiagnosticexaminations.Throughdecadesofresear
4、ch,alotofmethodsonimagedenoisinghavebeenproposed.Theeffectofnoiseintheimagescanbereducedbyusingeitherspatialfilteringortransformdomainfiltering.Intransformdomain,thewaveletmethodprovidesbetterdenoisingeffectwhilepreservingthedetailsofimageslikeedges.TheDiscreteWaveletTransform(DWT)hassomedisadvantag
5、esthatundetermineditsapplicationinimageprocessingaslackofshiftinvarianceandpoordirectionalselectivity.InordertoovercomethesedisadvantagesDualTreeComplexWaveletTransform(DT-CWT)isusedwhichprovideperfectreconstructionoverthetraditionalwavelettransform.Itemploys2realDWTs;thefirstDWTgivestherealpartofth
6、etransformwhilesecondDWTgivestheimaginarypart.Itisnearlyshiftinvariantanddirectionallyselectiveintwoandhigherdimensionswithlimitedredundancy.TheDTCWToutperformstheDWTforapplicationslikeimagedenoisingandenhancement.OneoftheadvantagesoftheDTCWTisthatitcanbeusedtoimplement2Dwavelettransformsthataremore
7、selectivewithrespecttoorientationthanisthe2DDWT.The2DDTCWTproducestwelvesub-bandsateachscale,eachofwhicharestronglyorientedatdistinctangles.Keywords:image;denoising;DualTreeComplexwavelet;threshold前言近年来小波变换的快速发展，尤其是双树复数小波，很大程度上提升了图像处理算法的优化，双树复数小波最显著的优点是具有近似的平移不变性和更多的方向选择性。由于实部小波和虚部小波互为希尔伯特变换对，它们产生平移
8、选择性，两者可以相互补偿；同时采用上下两棵树可以大大减少传统离散小波变换中严格样而造成的走样。二维双树复数小波变换不仅可以显示更多方向的信息，而且它的方向选择性使其能近似地满足旋转不变性。这些性质使得双树复数小波在图像压缩、去噪、纹理提取、数字水印等领域有广泛的应用。本文主要针对双树复数小波的理论进行介绍，主要介绍双树复数小波的定义、性质、及其实现，并设计基于其的阈值去噪算法，并与传统算法如均值滤波、中值滤波、传统的离散小波阈值去噪等方法进行比较分析，凸显其优越性。第一章绪论1.l图像去噪的意义信息技术的迅速发展使人类进入了信息化时代。图像、视频等信息的传递已经成为日常生活工作不可或缺的交流方
9、式。得益于图像处理技术的发展，很多领域的研究成果得到了飞跃。如医学成像检测病变器官以及最近十分火热的人脸识别等技术都与图像处理离不开关系。但是图像在传递生成的过程中不可避免地会被噪声影响，尤其是噪声非常严重时，原本的图像信息会被噪声掩盖，造成图像本身细小的边缘信息更加模糊。图像去噪是图像处理技术中最基础的一步也是最重要的一步，因此它是必要的。对图像中的噪声进行尽可能地去除、衰减以及去除不需要的信息，又能基本保留图像中有效信息，是图像去噪主要研究的主要任务。1.2小波的兴起20世纪80年代后期，小波分析开始兴起，作为新兴的数学分支，受到大家的追捧。它的基础上是傅里叶变换，但不代表小波分析和傅里叶
10、分析一样。从微观角度来看，小波变换与傅里叶变换的根本区别在于小波和正弦波不同的局部化性质。从宏观角度来看，傅里叶分析用单一时域或单一频域表示信号的特征，而小波分析是可以同时在频域和时域进行分析。小波分析比傅里叶分析更加好。因为作为时频分析方法，它可以从信号中提取大量重要信息，并且是各种信号处理方法的通用框架。它具有快速算法，为信号处理提供了便利的途径，目前广泛应用于语音图像视频处理、通信、医学等领域。能够高效快捷地提取处理信息，使得小波分析成为一个备受关注的研究课题。尽管具有多分辨分析、时频局部化、快速算法等诸多优点，但在图像处理方面，传统的离散二维实小波变换也有着不可忽视的局限性：（1）振荡
11、性；（2）混叠现象；（3）平移改变性；（4）有限的方向选择性。其中最主要的两个缺点平移改变性和有限的方向选择性使得其在图像处理方面存在明显的短板，所以在图像处理技术上算不上较好的算法。平移改变性是指小波系数的分布随输入信号的平移发生较大的改变，相应地，平移不变性是指小波系数随信号的平移而产生相应的平移；离散二维实小波变换的平移改变性的根源在于其二元抽样下，几乎没有数据冗余。有限的方向选择性是指离散二维实小波变换区分的方向比较少，就水平、竖直和对角线三个方向，其中对角线无法区分+45和-45。方向。因此，二维可分离小波变换能够有效地处理奇异点，但不能很有效地处理线和奇异曲线。1998年，在傅里叶
12、变换的启发下，Kingsbury等人提出了具有近似平移不变性和多方向选择性的双树复数小波，较好地解决了上述问题。二维双树复数小波变换在传统二维离散小波变换的基础上进行了改进，既保留了小波变换固有的时频分析特性，还具有更多的方向选择性以及近似的平移不变性，而且具有良好的数据冗余度，重构也简单。因此，双树复数小波变换在图像去噪、图像纹理提取和图像增强等方面具有重要的应用。第二章双树复数小波变换原理2.1一维双树复数小波变换双树复数小波的定义为e(z)=%(r)+M)(2-1)其中，j为虚数，/二7；死和外两个实小波正交或者双正交,且形成Hilbert变换对。双树复数小波通过上下两颗树，分别作离散小
13、波变换来实现：一个离散小波变换产生实部，另一个离散小波变换产生虚部。一维双树复数小波变换的分解滤波器组如下图2-1所示图2-1一维双树复数小波的分解滤波器组%(九)分别代表上面一个滤波器组的低通滤波器和高通滤波器，它产生实部的尺度系数和小波系数；go()、g。S)分别代表下面一个滤波器组的低通滤波器和高通滤波器，它产生虚部的尺度系数和小波系数。它们之间的关系如下式(2-2)、式(2-3)所示：45)=(-l)%(N-)(2-2)g5)=(T)g(N-)(2-3)式中N表示滤波器组的长度。与滤波器组对%和粗)相对应的实数值尺度函数由及小波函数为定义如下式(2-4)及式(2-5)所示：私=2（三）
14、j(2t一)(2-4)(PhQ)=V5yhxn)b(2t-)(2-5)同时，与滤波器组对go00和8()相对应的实数值尺度函数及小波函数外定义如下式(2-6)及式(2-7)所示：N)=叵工lgo()si(2,一)(2-6)Q(1)=2yg5)媒一ri)(2-7)由于如和外分别是正交或双正交的实小波，且形成Hilbert变换对,相位相差力2,所以它们在频域满足式/、卜j%(G),0gjh(5-0.5),是对应的两个小波函数满足Hilbert变换对的充要条件，而半帧移导致在每个尺度上采样速率翻了一番，这样小波分解就不会因为隔点采样而发生变形，也保留了近似的平移不变性。从中我们也可以看到双树复数小波
15、变化的两颗树进行了互相的补偿，从而完整保留了信号的信息，不像离散实小波会丢失信息。一维双树复数小波变换还拥有它自身的一些特点。(1)容易实施：上下两个二通道滤波器组之间数据都是独立不互相影响，因此可以利用现有的离散小波变换的软件和硬件来实施。(2)效率高：上下两个二通道滤波器组有很好的并行性。(3)两倍冗余：对于长度为N的一维实信号，产生2N个复小波系数，但其中的N个系数是另外N个系数的复共短；对于长度为N的一维复信号，产生2N个一般的复小波系数。不论对实信号还是复信号，一维双树复数小波都是两倍冗余。接下来说明构造双树复数小波。由于在构造一维双树复数小波变换有限长的滤波器时，如和外只能是近似的
16、希尔伯特变换对，因此，一维双树复数小波变换滤波器应该满足如下条件：(1)有限的长度(FlR滤波器)(2)完全重构条件(正交或双正交)；(3)近似的半帧移(近似满足希尔伯特变换对)；(4)对称性(可选)。2. 2二维双树复数小波变换类似二维可分离小波的构造，可以由一维双树复数小波构造二维双树复数小波。对于双树复数小波。=外，二维双树复数小波可定义为(P(Ay)=M(y)=flM+7()l%(y)+j%(y)l=(Ph(X)(PAy)-%(此外()+()%(y)+%()%(y)l(2-9)图2-3给出了二维DTCWT的变换过程，使用低通滤波器LP,LOP2和高通滤波器HiPLHiPz做第一层行变换
17、，再使用两个低通和两个高通滤波器分别对行变换得到的四个子带进行列变换，得到4个低频子带和12个高频子带，相邻子带进行相加或者相减得到小波系数。第一层列滤波第二层列滤波上图分解过程表明双树复数小波可以检测出六个方向，并且它继承了复小波近似的平移不变性的优点。分解过程只需要同时进行四个离散实小波变换，最后将得到的子带系数进行相加减即可，由于离散小波变换有自己的快速算法，所以双树复数小波也可以进行快速算法，而且无论分解层数为多少，其总体数据冗余都为4：1。第三章双树复数小波阈值去噪3.1去噪问题描述设长度为N的信号工，加上噪声4,则加噪信号为Xn=%+4（3-1）我们希望能够从X71中通过某种手段滤
18、波，从而得到信号？使得在某些误差估计值下，f无限接近益。简而言之，我们的工作就是将原始未含噪的信号与噪声信号分离开来，尽可能保留原始信号，滤除噪声信号，从而达到去噪的效果。平时我们所遇到的噪声以近似的高斯噪声为主，所以上式（3T）中的er我们假设为高斯噪声。正是如此，前人对关于高斯噪声的去除做了大量的算法研究，并提出了各种比较优秀的算法。比较常规的算法都是利用变换式将信号从时间域变换到其他域，最常见的频域,如傅里叶变换，以及本文要介绍的小波域。和傅里叶变换一样，小波变换也具有线性性质，因此小波去噪的方法同谱减法类似。就是对含噪信号进行小波变换，得到含噪信号的小波小波系数，然后估计噪声的小波系数
19、，两者相减就可以得到去噪信号的小波系数,然后通过逆小波变换重构出时域信号即可。其中重点是噪声小波系数的估计,以及原始信号小波信号的保留。3. 2阈值收缩法假设含噪信号仍由式（3-1）表示，小波去噪的任务就是将信号的小波系数和噪声信号的小波系数分开。1992年，Donoho和JOhnStonet提出的基于VisuShrink阈值的小波收缩的去噪方法，该方法在保证最小均方误差的前提下，去噪效果最好，给人的视觉感受也是最棒的，所以得到了比较广泛的应用。此方法可以在只知道噪声标准差的情况下，就能大致估计出噪声系数，得到原始信号。其去噪方法是由于小波的正交性，使得不含噪信号小波变换的能量集中在有限小波系
20、数上，白噪声的能量均匀分布在所有小波系数上。经过小波分解以后，不难发现小波系数幅度是原始信号中较大系数幅度与噪声薄层的幅度之和。可以这么认为，薄层幅度是噪声小波系数，上层被薄层抬高的小波系数幅值就是信号小波系数。为了消除大部分底部均匀的噪声系数，有效保留信号系数于，我们采用阈值收缩的方法。小波阈值收缩去噪的具体过程是：对含噪信号进行双树复数小波分解，保留低频小波系数；而6个方向小波的小波变换系数，和选定的阈值进行大小比较，若小于阈值，则系数置零，若大于阈值，则予以保留，或者进行其他函数处理；最后利用逆双树复数小波变换将处理后的小波系数进行重构，恢复原始信号。阈值去噪的关键在于阈值的选取及阈值函
21、数的确定。阈值的选取是最重要的一步,如果阈值太小，那么方差偏大，去噪效果不理想；阈值太大，数据会过于平滑，可能会丢失信号的奇异性。经过前人的不断研究，提出了多种阈值的算法，可以分为多种Shrink:VisuShrink、RiskShrinkSureShrinkWaveTSShrink等。考虑到算法的复杂性本文中我们选取的ViSUShrink方法采用全局统一阈值T=b/加，这里。是噪声信号的标准差(度量噪声的强弱)，N是信号的长度。在实际操作中，我们不知道噪声标准差，需要自行进行估计。由于噪声主要集中在最高分辨级JT级，所以我们经常使用该级估计噪声的标准差，由于本文采用的是全局统一阈值，所以我们
22、利用第一级小波变换的系数进行估值，取mediallymC0.6745(3-2)其中儿是第一级小波变换HH子带的小波系数。3.3阈值函数的选取基于小波变换的阈值去噪常用的阈值函数有两种，分别是硬阈值函数和软阈值函数：硬阈值函数：ffTCD=,*T（3-3）从式（3-3）可以看出就是小波系数的绝对值和选取的阈值T进行比较，小于或等于阈值的收缩为零；大于阈值的保持不变。软阈值函数：卜ig（网-TTy=l1OJdT（3-4）从式（3-4）可以看出，是将小波系数与所选定的阈值下进行比较，当系数大于或等于阈值时，系数收缩为该系数与阈值的差值；当系数绝对值大于或等于阈值时，系数收缩为该系数与阈值的和值；当系
23、数的绝对值小于阈值时，则令小波系数收缩为零。软阈值法和硬阈值法的区别如下图3-1所示。软阈值法估计得到的小波系数2具有连续性好的优点，因此整体的小波是连续的，所以估计信号不会产生附加振荡：但当网时，2与会一直存在固定的差值，所以软阈值法估计的信号会与原始信号有差距；相同情况下，硬阈值法去噪的方法更接近原来的信号，但是重构的信号会产生附加振荡（这是由于硬阈值处理函数在7处的不连续性），不具有同原始信号一样的光滑性。所以，可以得出这样的结论：软阈值函数会使信号更加平滑，但是会丢失部分信息；硬阈值函数虽然不会丢失信息，但是信号不够平滑。这两种方法各有其优劣，人们权衡利弊常用软阈值来进行阈值去噪一，但
24、是实际到底选取哪一种处理方法，还应该具体问题具体分析。(b)硬阈值函数(a)软阈值函数图3-1两种常见的阈值函数3.4去噪图像的质量评价图像质量评价主要通过对图像进行特性分析研究，然后评估出图像处理算法是否优越，失真越小，则算法越好。从有没有人参与的角度分为主观评价，即人借助自己的视觉观感评价图像，还有一种就是客观评价，借助数学模型，计算出精确数据，进行比较分析这里我们主要客观图像质量评价的方法。本文主要采用均方误差和峰值信噪比来客观对图像质量进行评价。峰值信噪比经常用作图像处理领域中信号重建质量的测量方法，是最普遍和使用最为广泛的一种图像客观评价指标，它常简单地通过均方误差(MSE)进行定义
25、。假设图像尺寸大小为MXN,未加噪声前每个像素的灰度值为s(,y),去噪后每个像素的灰度值为SV),则均方误差(MSE)定义为：1MNMSE=G-)2MxNy(3-5)峰值信噪比(PSNB定义为：p三=11(3-6)本文的仿真实验中，不仅得到基于双树复数小波阈值去噪后的图像，还同时计算出阈值去噪后图像的均方误差以及峰值信噪比，有了这些具体参数，就可以直观定量地对图像去噪效果进行评价，防止视觉上的武断判决,使比较分析更加客观。均方误差与去噪效果成反比，及均方误差越大，去噪效果越不好，峰值信噪比与去噪效果成正比，峰值信噪比越高，图像去噪越好，算法更优越。3.5仿真实验及结果分析本次实验主要通过ma
26、tlab进行仿真，分别对图3-2中四张未加噪声的图片，添加均值为0,方差为400的高斯白噪声，生成加噪图像。之后分别采用中值滤波、均值滤波、传统小波阈值去噪及双树复数小波阈值去噪四种方法对加噪图像进行滤波，生成各自去噪后的图像，并计算出去噪后各自的均方误差以及峰值信噪比。(a)mountain(b)Iena(c) flower(d) match图3-2未加噪声的图片(a)含噪图像(b)均值滤波(C)中值滤波(d)传统离散小波阈值去噪(f)基于双树复数小波阈值去噪(a)含噪图像(b)均值滤波(C)中值滤波(d)传统离散小波阈值去噪(f)基于双树复数小波阈值去噪(a)含噪图像(b)均值滤波(c)中
27、值滤波(d)传统离散小波阈值去噪(f)基于双树复数小波阈值去噪图3-5对图3-2(C)进行去噪(a)含噪图像(b)均值滤波(c)中值滤波(d)传统离散小波阈值去噪(f)基于双树复数小波阈值去噪虽然对不同图像来说，有些简单算法就能达到很好的去噪效果，所以去噪效果也不是一概而论，具体情况具体分析。接下来我们只着重对第一组图像进行视觉观感上的评价，其他三组图像读者可以自行进行观察比较，这里就不再赘述了。针对mountain这组滤波图像，加入噪声之后图片噪点增多，并伴随图像亮度下降；经过均值滤波后，图像亮度有了一定的提升，但是图像涂抹严重，就好像噪点向四周抹匀了一样，看不清轮廓；经过中值滤波后，噪点虽
28、然有所下降，但依旧很明显，去噪效果不尽人意;经过传统离散小波阈值去噪后，图像质量有了很大改善,但是仔细观察，看出，在像素点不连续处，图像表现出了视觉上的干扰，这是因为去噪信号在信号的不连续点及快速变化处存在振荡，即所谓的伪吉布斯现象；经过双树复数小波阈值去噪后图像更多地保留了局部细节，轮廓相对也比较清晰，但也能看出图形有过于平滑的意思，但是从视觉观感上明显可以看出看出其效果要优于其他三种方法。表3T四幅图像的均方误差和峰值信噪比均值滤波中值滤波传统离散小波阈值去噪基于双树复数小波阈值去噪mountain均方误差86.641086.280166.261850.6977峰值信噪比28.753728
29、.772229.918231.0809Iena均方误差83.275491.494083.235160.2166峰值信噪比28.925628.517828.927830.3336flower均方误差191.9519119.0476105.846977.8635峰值信噪比25.299027.374427.884029.2174match均方误差206.2714151.1090155.5321137.3391峰值信噪比24.986426.339626.212626.7529表3-1列出了四组图像经过均值滤波、中值滤波、传统离散小波阈值去噪以及基于双树复数阈值去噪后图像的均方误差以及峰值信噪比，从这些
30、数据大致可以看出这四种算法的优劣。在针对本文含有高斯白噪声的图像去噪的四种算法中，从去噪效果由劣到优大致可以这样排序：中值滤波、均值滤波、传统离散小波阈值去噪、基于双树复数小波阈值去噪。经过双树复数小波滤波后，对比其他三种去噪方法，图像的峰值信噪比提高了，均方误差也极大地降低了。由此可以看出，双树复数小波在图像去噪方面有其独一无二的优越性。第四章总结图像去噪目前在很多领域都有重要应用，比如医学图像去噪等等。图像去噪也为图像处理接下来的处理，如分割，压缩等提供了基础。本文主要研究基于双树复数小波图像去噪，其很好的克服了传统小波有限的方向选择性以及平移改变性，更好地保留了图像的局部细节。本文所采用
31、的基于双树复数小波的阈值收缩法，是比较经典的一种算法,其后基于小波域的统计模型降噪算法更好地提高了降噪图像的性能。总之,基于双树复数小波去噪目前得到了广泛运用参考文献1孙延奎.小波变换与图像、图形处理技术M.北京：清华大学出版社，2013.32 SelesnickIW.Hilberttransformpairsofwaveletsbases.IEEESignalProcess.LettJ.20013 YuRunyi.OzkaramanliH.HilbertTransformPairsofOrthogonalWaveletBasesiNecessaryandSufficientConditionsJEEETransactionsonSignalProcessingJ.20154 DonohoDL,JohnstoneIM.IdealSpatialAdaptationByWaveletShrinkage.BiometrikaJ.19945陈志新.对偶数复小波分析及其应用M.北京：对外经济贸易大学出版社.20146DonohoDL,JohnstoneIM,KerkacharianG.Waveletshrinkage:AsymptopiaJ.Joy.Statist.Soc.Ser.B.1995
