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1、专题2.7元一次不等式与一元一次不等式组章末八大题型总结（培优篇）【北师大版】【题型1不等式的基本性质运用】1【题型2求含参的不等式的解集】3【题型3一元一次方程与不等式（组）的综合运用】6【题型4不等式（组）的解法】7【题型5二元一次方程组与不等式（组）的综合运用】12【题型6分式方程与不等式（组）的综合】16【题型7根据不等式（组）的解集求参数】18【题型8根据两个不等式的解之间的关系求参数】20【题型1不等式的基本性质运用】【例1】（2023下上海长宁八年级上海市延安初级中学校考期中）如果VyV0,那么下列各式中正确的是（）A.B.2-x1D.-33-zXyX【答案】D【分析】根据不等式
2、性质判断即可：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘（或除）同一个负数，不等号的方向变.【详解】解：A,Vxy0,在不等式两边同时乘一个正数（不等号方向不变，故该选项错误；B、Vxy,.2-x2-yt故该选项错误；CVxyO,l,故该选项错误；XD、*%y0,-m+2的解集为X1,那么的取值范围是.【答案】n-2【分析】根据“关于X的不等式(n+2)%帆+2的解集为1”得到771+20,即可得到根的取值范围.【详解】解：Y关于l的不等式(m+2)xm+2的解集为N1,.*.m+2Oa.m-
3、2.故答案为：Tn2【点睛】木题考查了不等式的解法和不等式的性质，熟知不等式的性质是解题关键，注意不等式的性质二是“不等式的两边同时乘(或除以)一个正数，不等号的方向不变”，注意不等式的性质三是“不等式的两边同时乘(或除以)一个负数，不等号的方向改变“，在解不等式时要注意甄别.【变式12】(2023上四川绵阳八年级校联考期末)己知2,b-4,c46,且-b=12-c,贝吟儿=()A.-48B.-24C.24D.48【答案】B【分析】由b=12-C可得+c=12+b,而根据Q2,b4,c6,可得+c8,12+b8,由此确定a、b、C的取值，进而求解.【详解】解：Tab=12c,/.+c=12+b
4、,又。V2,b-4,c6,+c8,12+b8,.+c=8,12+b=8,=2,h=4,c=6,abc=I2(4)X6=24.故选艮【点睛】本题综合考查了不等式性质和代数式求值；解题关键是根据。、氏C的取值范围求出、。、C的值.【变式1-3(2023下江苏南通八年级校考期中)已知非负数,b,C满足条件+b=5,c=Q-3,设5=。+28+30的解集为V2,则关于X的不等式(m+九)%m九的解集是()A.X-3B.%-C.X3D.xm-几，解不等式即可得.【详解】解：由mx-7i0得：nxn,关于%的不等式mx-nO的解集为2,=2,且mm-ri得：3mxm,解得%V-!故选：D.【点睛】本题考查
5、了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解题关键.【变式2-1(2023下江苏南京八年级统考期末)关于X的不等式%+8c的解集为x。的解集为()A.X3C.X5D.xc的解集为V3,所以4V0,且c-b=3,a(x-2)+Ac可化为：xva-2+c-i2a+3aL而-=丁=5.V5.故选：C.【点睛】本题考查了不等式的解法.根据不等式的性质解不等式是解题的关键.【变式2-2(2023上浙江宁波八年级宁波市海曙外国语学校校考期中)若不等式(2a-b)x+3a-4b2,则不等式(a-4b)x+2a-3bO的解是.【答案】%一卷【分析】先解第一个不等式，根据不等式的解得到Q=Ib,匕0,再代入第二
6、个不等式中求解即可.【详解】解：解不等式(2qb)x+3a4bVO得(2ab)x该不等式的解是32,该不等式的解为孚当，且2a-bV,2a-D.4b-3a=2,则q=%,2a-b7,.,2a-b0,/.2b-b=b0,则b0可化为Cb-4b)x+2-3b0,即b(-,T)o,-yX-5，故答案为：x-.【点睛】本题考查解一元一次不等式和一元一次不等式的解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法，利用不等式的性质解答.【变式2-3(2023下安徽马鞍山八年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中)设,b是常数，不等式子+。aD的解集为V则关于工的不等式以-VO的解集是.4【答案】第V-；【分析】先由
7、不等式2+:0的解集为V；,可得QVoA=-1b0,再解不等式历:-QVo即可.ab4b4【详解】解：ab而解集为ab4,.a0,口a1,x-p且-KQ,：bxaOt.,.bxa,X即Vpb4故答案为：x0)的解，则关于X的不等式k(%-3)+b0的解集是.【答案】V7【分析】将户4代入方程，求出=-4Q0,求出&V0,把6-4k代入不等式，再求出不等式的解集即可.【详解】解：.I是关于X的方程履+60(k0,b0)的解，.4M=0,即b=-4k0fk0,.kx-3k-4k0t：.kx7k,.x3(%+2)；(2)解不等式组：卜2.ITV【答案】(I)X-12；(2)0x7.【分析】(1)不等
8、式去分母，去括号，移项合并，把X系数化为1,即可求出解;3%+6,移项，得：2%-3x6+6,合并同类项，得:-X12,系数化为1,得：X-12；(2)解不等式;(-3+x)V2,得:X7,解不等式等等，得：x0,则不等式组的解集为O%V7.【点睛】本题考查的是解一元一次不等式和解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.(1)解不等式：1 一(翼 一 1) V 3(% + 1)；【变式4-1(2023上浙江宁波八年级校考期中)(2)解不等式组:3(x + 1) ;(2)1x34【分析】本题考查的是元次不等式的解法，一元一次不等式组的解
9、法,(I)根据解一元一次不等式的方法可以解答本题；(2)先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集.【详解】解：(1)1-(x1)3(x+1)；去括号，得:I-X+Iv3%+3,移项及合并同类项，得：-轨VI,系数化为1,得一/(2)3(x+1)l,解不等式，得：x3,原不等式组的解集为1VX3.【变式4-2（2023下河北保定八年级校考期中）（1）解不等式3%-lg%-号并把它的解集在数轴上表示出来.-5-4-3-2-1012345（2x+11（2）解不等式组座%一1，并把解集在数轴上表示来.（3）求不等式组X-3(x+1)3x-3移项，合并同类项得，一%-4系数化为1得，x-5-4-3
10、-2-1012345(x-3(x+1)3(3)2X-12-x-TG1TVI解不等式，去括号得，X-3x-3-3；解不等式，去分母得，2(2x-l)-(2-x)6去括号得，4x-2-2+x6移项，合并同类项得，5x10系数化为1得，X8X(T)【变式4-3(2023下宁夏中卫八年级统考期末)下面是小明同学解不等式组3x+2G的过程,请认真阅读，完成相应的任务.解：由不等式，得3x+38-%,第一步解得%第二步4由不等式，得3x+24x,第三步移项，得3x-4%-2,第四步解得x2,第五步所以，原不等式组的解集是Jv%2.第六步4任务一：III11Id-101234(1)小明的解答过程中，第步开始
11、出现错误，错误的原因是；任务二：（2）这个不等式组正确的解集是（直接写出），并在数轴上表示出来.【答案】（1）第五步，合并同类项时少了负号（2）%2,解集表示在数轴上见详解【分析】（1）根据不等式，解一元次不等式组的方法即可求解；（2）运用不等式的性质，解一元一次不等式组，根据不等组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了即可求解.【详解】（D解：由式去分母得，3x+2W4,第三步移项，得3%-4%-2,第四步合并同类项得，f-2,系数化为1得，x2,小明的解答过程中，第五步出错，错误的原因是合并同类项时少了负号，故答案为：第五步，合并同类项时少了负号.（3（x1）8-%
12、解罕一由不等式去括号得，3x+38-x,移项得，3x+x8-3,合并同类项得，4x5,系数化为1得，xp由式去分母得，3为+24%,移项，得3x-AtX2,合并同类项得，-x-2,系数化为1得，x2,解集表示在数轴上如图所示，-101234原不等式组的解集为：x2,故答案为：x2.【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握不等式的性质，解一元一次不等式组的方法，不等式组的取值方法，将解集表示在数轴上等知识是解题的关键.【题型5二元一次方程组与不等式（组）的综合运用】【例5】（2023下福建福州八年级校考期中）已知关于小），的方程组的解满足X为非负数，y为负数.求a的取值范围；（2）当m为何整
13、数时，关于Z的不等式2mz+zV2m+1的解为Z1.【答案】（l）-2mV2（2）机的整数值为：-2,-1；【分析】（1）解方程组得出x、y,由X为非负数，y为负数得出关于M的不等式组，解之可得；（2）先根据不等式的性质得出2m+lV0,解得m-/结合以上求出用的范围可得答案.【详解】解：解方程组得：由题意知仁2%0解得：一2mv2;（2）解：由2mz+zV2n+1得：（2m+l）z2m+1,*.*不等式2mz+z1,2m+10,解得：m-p由（1）得：一2nV2,则-2mm,且符合要求的整数只有两个，求m的取值范围.(x=【答案】(1)(21(y=-2(2)2me，求得关于的不等式，再根据解
14、集情况，求解即可.【详解】（1）解：将Q = 2代入方程组可得:% + 3y = 2 X - 5y = 6 -可得：Qy=-4,解得y=将y=-：代入可得：-=2,则方程组的解为:(2)解:x+3y=4-(T)X-Sy=3a+可得：2x2y=4+20,2+m,即Qm2Va3,符合要求的整数a只有两个整数Q为1,2,即Om-2V1解得2m1,y0,求Q的取值范围.a+2a+2、1解：列关于，y的方程组二;，解得占，又因为1，y0,所以二，解得X-ryaV=巴匕3,y1,求X+y的取值范围；（3）若a,b满足3M+5b=7,S=2a2-3b,求S的取值范围.【答案】（I）OVQV2；（2）2x+y
15、1【详解】解：（1）221二-0,解不等式得：Q2,不等式组的解集为0VQV2,故答案为：OVQ3,y1,解得：2VaV6,即2VX+y子恰好有4个整数解.Ix1（1）求方程组的解（用含有y的式子表示）：（2）求所有符合上述条件的整数y的个数.!m=yn=-y-l（2）1【分析】（1）利用加减法解方程组；（2）由mn得y-%解不等式组得?V%l,利用恰好有4个整数解-2,-1,0,1得-3?V-2,由此求出y的取值范围，得到答案.【详解】（1）解方程组3m+2r=y-10,m-2n=3y-1+，得4m=4y,.*.m=y,将m=y代入，得3y+2n=y-1,.1=-y-2（m=y得：（n=-y
16、-（2）Vmn,y-y-p解得：y-%解不等式组F得子x-l【分析】先将方程两边都乘以-2）,将分式方程化为整式方程，再根据分式有意义的条件得出工2,以及该分式方程的解小于1,列出不等式，即可求解.【详解】解：两边都乘以（工一2）,得2x+q=2-%,移项，得：2x+x=2-q,合并同类项，得：3x=2-,化系数为1,得：X=芋，Vx2,-2,解得：Q4,该分式方程的解小于L1,综上：”的取值范围是-l.故答案为：q-1.【点睛】本题主要考查了解分式方程，解一元次不等式，解题的关键是掌握解分式方程的方法和步骤，以及分式有意义的条件：分母不为0.【变式6-2（2023四川泸州统考中考真题）若方程
17、W+1=合-的解使关于“的不等式（230成X-ZZ-X立，则实数Q的取值范围是.【答案】QV-I【分析】先解分式方程得X=1,再把=1代入不等式计算即可.【详解】W+=aX-22-X去分母得：x-3+x-2=-3解得：X=1经检验，X=1是分式方程的解把X=1代入不等式（2-）x-30得：2-30解得QV-1故答案为：QV1【点睛】本题综合考查分式方程的解法和元一次不等式的解法，解题的关键是熟记相关运算法则.6x a 10-l+x-x + 【变式6-3（2023上江西宜春八年级江西省丰城中学校考期中）使得关于尤的不等式组有且只有4个整数解，且关于X的分式方程登+W=-8的解为正数的所有整数a的
18、值之和为多少？【详解】解：由不等式组6x a 10T + 【答案】Il【分析】本题考查了解分式方程和解一元一次不等式组，熟练掌握分式方程和不等式组的解法是解题的关键.解不等式组和分式方程得出关于彳的范围及X的值，根据不等式组有且只有4个整数解和分式方程的解为正数得出”的范围，继而可得整数4的值，然后计算和即可.、-10x-.X4力有且只有4个整数解,-l0,6解得40且:-工4,即Q兄的解集为一24x1的条件是（）A-YB,a=1C.a-2D.a【答案】A【分析】先把a当作已知条件求出不等式组的解集，再与已知解集相比较即可得出Q的值.【详解】解:?a3x + 24x- 1(2)由得，x2a+2
19、,由得，X3,故此不等式组的解集为：2q+2V%V3, 己知不等式组的解集为：-2%V3,.*.2+2=-2,解得：Q=2,故选：A.【点睛】本题考查的是解一元次不等式组，熟练掌握：“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则是解此题的关键.【变式7-1（2023下青海果洛八年级统考期末）已知不等式2-bVO的解集为VI,则b的值为.【答案】2【分析】先解不等式2戈一匕V0,得为会再由其解集为XVI,得T=1，求银即可.【详解】解：2x-bV0,x2 不等式2x-b0的解集为的解集为3,则?的取值范围是.【答案】mWl【分析】分别把两个不等式解出来，根据解集为x3,即可求出所的取
20、值范围.【详解】解：上巴1/，解不等式得：x3,解不等式得：X2+n,原不等式组的解集为x3,.2+n3,解得：m1,故答案为：ml.【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的步骤是解题关键.【变式73】(2023下重庆北陪八年级西南大学附中校考阶段练习)关于X的一元一次不等式1mX-l)2-m的解集为“2-m-mx-2-m,331 、7-mxm,33mx73m,*/不等式：(mx-1)2-m的解集为X0的解都能使不等式OX1-2%成立，则a的取值范围是()A.-4a-2B.a-2C.-4a-2D.a0,得解不等式OX12x,得(+2)xO时，得X一5,不满足题意：当。二一2时
21、，即O/Vl恒成立，满足题意；当a+2VO时，得%二，a+2、1X2,-得aT,综上，4Q2故选：A.【点睛】此题考查了解一元一次不等式，根据不等式解集的情况求参数，止确理解题意是解题的关键.【变式8-1（2023下湖北武汉八年级统考期末）若关于的不等式a%q+1中每一个的值，都是不等式IVXV3的解，则a的取值范围是【答案】lal且a+l3,解不等式组即可.【详解】解：根据题意得到：（解得：IVaV2.故答案为：1VaV2.【点睛】本题主要考查了不等式的解集，解题的关键是根据题意得到关于a的不等式组.【变式8-2（2023下重庆开州八年级统考期末）若不等式-l-11的解都能使不等式轨5【分析
22、】分别求解己知不等式及含参不等式，根据题意构建关于参数的不等式，求解.【详解】解：解得x34x2x+a+1解得Xj（a+1）由题意知，35故答案为：a5【点睛】本题考查一元一次不等式的求解，理解解集之间的关系，转化为关于参数的不等式是解题的关键.【变式8-3（2023下湖北随州八年级统考期末）若不等式?W的解都能使不等式x一刀一：,得X-4,据此知X一4都能使不等式KV2m+2成立，再分m-6=0和m-60两种情况分别求解.【详解】解不等式等-X-3得%-4,%-4都能使不等式（加-6）Xv2/+2成立，当m-6=0,即m=6时，则为一4都能使0x14恒成立；当m-60,则不等式（-6）x2m+2的解要改变方向，.m60即Tn四711-6VX一4都能使不等式X网?成立，m-6,、2m+24K解得m昔，综上，实数小的取值范围是曰mV6,故答案为：ym6.【点睛】本题考查了一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤及不等式的基本性质是解题的关键.
