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1、元二次方程一、知识结构：解与解.法一元二次方程=，根的判别聿达定理*二、考点精析考点K概念逗玉口”只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2,这样的整式方程就是一元二次方程;2一般表达式：Iax2+bx-C=0(0)k3)难点：帆何理解“未知数的最高次数是2”：该项系数不为“0”；未知数指数为“2”；若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定,则需建立方程或不等式加以讨论;典型例题：例1、下列方程中是关于X的一元二次方程的是A3(xl)2=2(x+l)B4-+-2=0XXCax2+bx+c=0DX2+2x=x2+变式：当k时,关于X的方程+2x=x2+3是一元二次方程；例2、方程(m+2*+3m
2、x+l=0是关于X的一元二次方程,则m的值为;针对练习：I 1、方程8/=7的一次项系数是,常数项是: 2、若方程(机一2卜HT=O是关于X的一元一次方程，求m的值；写出关于X的一元一次方程； 3、若方程(相-1)/+J而x=l是关于X的一元二次方程,则m的取值范围是; 4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程,则下列不可能的是=n=2=2,n=lC.n=2,m=l=n=l摩点二、方程的蚓械怒口使方程两边相等的未知数的值,就是方程的解；应用：俐用根的概念求代数式的值;博型例题：I例1、已知2y2+y-3的值为2,则4y2+2y+l的值为;例2、关于X的一元二次方程(o-2)x2+x+a
3、2-4=0的一个根为0,则a的值为:例3、已知关于X的一元二次方程ar?+b+c=(0)的系数满足+c=Z?,则此方程必有一根为;例4、已知。,b是方程一一4工+m=0的两个根,上。是方程、2一8、+52=0的两个根，则m的值为;针对练习:1、已知方程Y+Zrx-IO=O的一根是2,则k为,另一根是;VU.12、已知关于X的方程2+2=0的一个解与方程q=3的解相同；X-I求k的值；方程的另一个解； 3、已知m是方程-X-I=0的一个根,则代数式一团=； 4.已知。是-3+1=0的根,则2。2-6。=; 5、方程(。-6+0-4%+C-=0的一个根为A-1B1Cb-cD-a 6、若2x+5y-
4、3=0,则432V=；愕点三、解法I(D方而直接开方法;因式分解法；配方法；公式法上浅键点降次类型一、直接开方法:2=tn(tn),=x=+4m对于(/+=m,(axw)2=(+F等形式均适用直接开方法懊型例题例1、解方程：(1)2x2-8=0;(2)25-16x2=0;(3X1-x)2-9=0;例2、若9(x-I)2=16(X+2)2,则X的值为;针对练习卜列方程无解的是A.x2+3=2x2-1B.(x-2)2=0C.2x+3=1-XD.x2+9=0j型二、因式分解法|：(x-x1Xx-x2)=O=x=x1,U=x21方程特点：佐边可以分解为两个一次因式的积,右边为“0”，X方程形式：如(a
5、x+m)2=(bx+n)2,(x+ax+Z?)=(x+ax+C),x2jflax+a2=0典型例题：I例1、2x(x3)=5(x3)的根为5C52AX=BX=3Cx1=,x7=3Dx=2,225例2、若(4+y)2+3(4x+y)-4=O,WJ4x+y的值为;变式1：(a2+/F-(a2+b)-6=0,则m+82=；变式2：若(x+y)(2%y)+3=O,则x+y的值为;变式3:若无2+町,+y=14,y2+Xy+%=28,则x+y的值为；例3、方程/+同一6=0的解为A.x1=3,X2=2B.x1=3,x2=2C.x1=3,X2=3D.xx=2,x例4、解方程：x2+2(3+l)r23+4=
6、0例5、己知2工23孙2y2=0,贝ij12的值为；变式：已知2/_3孙-2/=0,且冗0,丁0,则2的值为；针对练习，1、下列说法中：方程X2+px+q=O的二根为xi,X2,则X2+px+q=(x-xx)(x-x2)-x2+6x-8=(x-2)(x-4).a?_5cb+6/?2=(a-2)(。一3)X2-y2=U+?)(V7y)(V-77)方程(3x+1)2-7=0可变形为(3x+l+7)(3x+l-7)=0正确的有个个个个2、以+7与-7为根的一元二次方程是A.X2-2x-6=0B.X2-2x+6=0C.y2+2,-6=0D.y2+2y+6=0 3、写出一个一元二次方程,要求二次项系数不
7、为1,且两根互为倒数：写出一个一元二次方程,要求二次项系数不为1,且两根互为相反数： 4、若实数x、丫满足(工十3)(工+丁)+2=0,则*+丫的值为A、-1或-2B、-1或2Cx1或-2D、1或25、方程：d+J=2的解是； 6、已知湿2一刈一遥y2=0,且0y0求竺2限的值；3x-y 7、方程(1999x)2-1998X2000工一1=0的较大根为广,方程2007-2008x+1=0的较小根为s,则s-r的值为；gS三K2+c=()=fx+-1=一?V2aJ4a在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题;典型例题，例1、试用配方法说明尢2一2+3的值恒大于0；
8、例2、已知x、y为实数,求代数式/+/+2%-4)，+7的最小值;例3、已知/+j+4冗一6y+13=0,Ky为实数,求Xy的值;例4、分解因式：4x2+12x+3针对练习; 1、试用配方法说明一IOX2+7x-4的值恒小于0; 2、已知X?+-X-L-4=0,则X+,=.XXX 3、若t=2-3x2+12x-9JJt的最大值为,最小值为; 4、如果4+IJC-I-1=4ja-2+2yb+1-4,那么+2/?-3c的值为：类型四、公式法(D条件：(0,且从-4ac0)11X=叱一4竺,(0,且一4uc()澳型例题例1、选择适当方法解下列方程：(D3(l+x)2=6.(2)(x+3Xx+6)=-
9、8.(3)x2-4x+1=0(4)3x2 -4x-1 = 03(x-1X3x+1)=(x-1X2x+5)例2、在实数范围内分解因式：12-22x-3;2-4x2+8x-1.(3)22-4xy-5说明：对于二次三项式公2+以+。的因式分解，如果在有理数范围内不能分解,一般情况要用求根公式，这种方法首先令双2+法+。=0,求出两根，再写成ax2+bx+c=a(x-xl)(x-X2).分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.候型五、“降次思想”的应用求代数式的值;解二元二次方程组；典型例题：例1、已知/-3x+2=O,求代数式(一一+1的值;x-1例2、11x2+x-l=0
10、,那么代数式/+2x2-7的值；例3、已知。是一元二次方程一-3x+1=O的一根,求2厂”-1的值；a+1例4、用两种不同的方法解方程组2x-y=6,(1)X2-5xy+6y2=0.(2)说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：先消元,再降次；先降次,再消元;但都体现了一种共同的数学思想一一化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题.考点四、根的判别式从-4叱根的判别式的作用丁定根的个数；求待定系数的值；应用于其它;典型例题：例1、若关于X的方程X2+2尿X-1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是例2、关于X的方程(m-l)+2nr+m=0有实数根,则m的取值范围是A.mG且m手B
11、.11OC.mD.机1例3、已知关于X的方程，一优+2）x+2R=01求证：无论k取何值时,方程总有实数根；2若等腰AABC的一边长为1,另两边长恰好是方程的两个根,求AABC的周长;例4、已知二次三项式9/-（团+6）X+根-2是一个完全平方式,试求加的值.例5、加为何值时,方程组+21=6,有两个不同的实数解有两个相同的实数解mx+y=3.针对练习: 1、当k时,关于X的二次三项式X2+kx+9是完全平方式；2、当Z取何值时,多项式3x2-4x+2攵是一个完全平方式这个完全平方式是什么 3、已知方程1?一如+2=0有两个不相等的实数根,则m的值是.y=kx+2, 4、女为何值时,方程组一/
12、-4x-2y+l=0.1有两组相等的实数解,并求此解；2有两组不相等的实数解；3没有实数解. 5当左取何值时,方程V-4mx+4x+3?-2w+4Z=0的根与优均为有理数考点五?凌程类问题中的浜讨炉典型例题：例1、关于X的方程On+。/+2侬-3=0有两个实数根,则m为,只有一个根,则m为;例2、不解方程,判断关于X的方程，一2卜一。+/=-3根的情况；例3、如果关于X的方程/+履+2=0及方程x2-x-2k=0均有实数根,问这两方程是否有相同的根若有,请求出这相同的根及k的值；若没有,请说明理由；考点六、应用解答题“碰面”问题；“复利率”问题；“几何”问题；“最值”型问题;“图表”类问题典型
13、例题：1、五羊足球队的庆祝晚宴,出席者两两碰杯一次,共碰杯990次,问晚宴共有多少人出席2、某小组每人送他人一张照片,全组共送了90张,那么这个小组共多少人3、北京申奥成功,促进了一批产业的迅速发展,某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场,根据计划,第一年投入资金600万元,第二年比第一年减少！,第三年比第二年减少,该产品第一年收入资金约400万元,公司计划三年内32不仅要将投入的总资金全部收回,还要盈利,要实现这一目标,该产品收入的年平均增长率约为多少结果精确到,3133.614、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品,据市场分析,若按每千克50元销售,一个月能售出500千克,销售单
14、价每涨1元,月销售量就减少10千克,针对此回答：1当销售价定为每千克55元时,计算月销售量和月销售利润；2商店想在月销售成本不超过IooOo元的情况下,使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少5、将一条长20Cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形;1要使这两个正方形的面积之和等于17c11那么这两段铁丝的长度分别为多少2两个正方形的面积之和可能等于12c吗若能,求出两段铁丝的长度；若不能,请说明理由；3两个正方形的面积之和最小为多少6、4,B两地间的路程为36千米.甲从4地,乙从B地同时出发相向而行,两人相遇后,甲再走2小时30分到达B地,乙再走1小时36分到达A
15、地,求两人的速度.考点七、根与系数蕨系前提：对于ar?+7+c=0而言，当满足。W0、A0时,才能用韦达定理;bC|(2)主要内容：x1+X2=一一,x1x2=aa3)应用:整体代入求值;I典型例题：I例1、己知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2-8x+7=0的两根,则这个直角三角形的斜边是A.3.3CD.6例2、已知关于X的方程公/+（24-1）%+1=O有两个不相等的实数根为,与,1求k的取值范围；2是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数若存在,求出k的值；若不存在,请说明理由；例3、小明和小红一起做作业,在解一道一元二次方程二次项系数为1时,小明因看错常数项,而得到解为8和2,小红因看错了一次项系数,而得到解为-9和-1;你知道原来的方程是什么吗其正确解应该是多少例4、已知。b,a2-2-l=0,Z?2-2b-=0,求+/?=变式：若M-21=0一3一1=0,则9+2的值为：ba例5、已知,是方程x2-x-l=0的两个根,那么a4+3=.针对练习:x+y=3,(1)的值;x2+y2=5(2)2.已知/=-4,-7。=-4(06),求3、已知X1,x2是方程x2-x-9=0的两实数根,求xi3+7x22+3-66的值;
