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1、多选题中的立体几何综合问题一、原题呈现【原题】正三棱柱ABC-A/C中，AB=AA1=I,点/满足族=/13。+84，其中；l,l,O,1,则（）A.当a=1时，AAB/的周长为定值B.当=1时，三棱锥2一AC的体积为定值C.当4=g时，有且仅有一个点尸，使得AP-LBPD.当二g时，有且仅有一个点P,使得AB_L平面AMP【答案】BD【解析】解法一：对于A,当/1=1时，BP=BC+BB=BC+CCx.所以C户=CC,因为,l,所以点P是线段CG上的动点，所以与尸周长不是定值，故A错误；对于B,当M=I时，BP=入BC+BB=BB+ABC、，所以BF=九B1C；,因为4,l,所以点P为线段M
2、G上的动点，而BBC,BC平面AlBC,点到平面ABe的距离为定值，所以，三棱锥P-ABC的体积为定值，故B正确.A11当;l=5时，BP=KBC+，取BC中点M,用G中等N,则M8+5P=MN,即MP=MN,所以点P.点是线段MN上的动点，易得当点Pq点M或点N重合时都有1PLBP,故C错误：对于D,当4=；时，BP=ABC+；BB,取BB,CG中点为E,F.则BP=5E+%EF,即EP=4EF，所以点尸是线段EF上的动点.若ABJ.平面A8P,则ABJ.87,取BC中点D,可得AD_L8/，,所以B/_L平面A8。，所以4PLBD,所以点P与点F重合，D正确，故选BA解法一易知，点P在矩形
3、BCC由内部（含边界）.对于A,当4=1时，BP=BC+nBB=BC+ACC；，即此时尸线段CG,AAgP周长不是定值，故A错误；对于B,当=1时，BP=入BC+BB=BB+ABG，故此时P点轨迹为线段与6,而4G8C，B1C1/平面ABC，则有P到平面ABC的距离为定值，所以其体积为定值，故B止确.对于C,当；I=；时，BP=-BC+BBl,取BC,4G中点分别为。，HiBP=BQiQH,所22以P点轨迹为线段Q”，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，A芋，1，尸（0,0，），8（0，；，0），（R（1、则AP=-，0,-1,BP=-,A1PBP=人T=3所以=0或=1.故4,Q均2）满足
4、，故C错误;对于D,当=!时，BP=ABC+-BB.,取Bq,CCl中点、为M,N.BP=BM+AMN，所以P点22轨迹为线段MN.设P 0,加，因为A / / ,0,0 ,所以 AP= ,- AiB =-3111所以W+5）（）-5=O=X）=-5，此时尸与NiE合，故Dl上确.故选BD.【就题论题】多选题中的立体几何试题，常把多个知识点交汇考查，如把几何体长度、角度、面积、体积的计算与线面位置关系结合在一起考查，也可与函数、不等式及空间向量结合在一起考查，此类问题对空间想象能力要求较高，难度也比较大。二、考题揭秘【命题意图】本题考查空间向量的应用、几何体中面积与体积的计算及线面位置关系的判
5、断及应用,考查直观想象及逻辑推理的核心素养.难度：中等偏难【考情分析】立体几何中对线面位置关系的综合考查常作为较难试题出现，求角度问题、截面位置不固定几何体的体积、最值问题，均是热点问题.【得分秘籍】(I)计算旋转体的侧面积时,一般采用转化的方法来进行,即将侧面展开化为平面图形,“化曲为直”来解决,因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法.求一些不规则几何体的体积时,常用分割法转化成已知体积公式的几何体进行解决.此外求三棱锥的体积或高时常利用等积法进行转化.“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法,在解题时,把儿何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中,
6、巧妙地破解空间几何体的体积等问题.(2)解决正方体与球的组合问题,常用工具是截面图,即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面,通过两个截面图的位置关系,确定好正方体的棱与球的半径的关系,进而将空间问题转化为平面问题.长方体各顶点可在一个球面上,故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为。力,C,其体对角线为/.当球为长方体的外接球时,截面图为长方体的对角面和其外接圆,和正方体的外接球的道理是一样的,故球的半径d/a2+b2+c2A=-=.22(3)球与一般的直棱柱的组合体,常以外接形态居多.以正三棱柱为例,介绍本类题目的解法构造直角三角形法.设正三棱柱48C-AqG的高为力，底面
7、边长为。和A分别为上下底面的中心.根据几何体的特点,球心必落在高。A的中点。，OO=,Ao=R,AO=*,借助直角三角形AQP的勾股定理，可求(4)正四面体作为一个规则的儿何体,它既存在外接球,也存在内切球,并且两心合一,利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长的关系.设正四面体S-ABC的棱长为,内切球半径为小外接球的半径为R,取A8的中点为Q,E为S在底面的射影,连接8,SO,SE为正四面体的高.在截面三角形SDC,作一个与边So和OC相切,圆心在高跖上的圆,即为内切球的截面.因为正四面体本身的对称性可知,外接球和内切球的球心同为。.此时,CO=OS=R,OE=r,SE=4,CE=等。，
8、则有R+r=4，我2一产二/靖二三，解得：R=./二*口这个解法是通过利用两心合一的思路,建立含有两个球的半径的等量关系进行求412解.同时我们可以发现,球心O为正四面体高的四等分点.如果我们牢记这些数量关系,可为解题带来极大的方便.(5)求两条异面直线所成角的步骤是：先作图,再证明,后计算.作图,往往过其中一条直线上一点作另外一条直线的平行线,或过空间一特殊点分别作两条宜线的平行线,即平移线段法,此法是求异面直线所成角的常用方法,其实质是把异面问题转化为共面问题；证明,即证明作图中所产生的某个角是异面直线所成的角；计算,一般在一个三角形中求解,注意异面直线所成角的范围是(0,5-(6)应用平
9、行中的判定定理时,注意由“低维”到嘀维”：“线线平行“线面平行”=“面面平行”：应用平行中的性质定理时,注意由嘀维”到“低维”：“面面平行”=线面平行“线线平行”.要使用线面平行的性质定理,就需要创造定理使用的条件,作辅助线和辅助平面往往是沟通已知和求证的桥梁,辅助平面有时需要根据确定平面的条件来确定,有时需要在确定的几何体内去找,当条件比较宽松时,可任意确定一个平面,但必须和已知平面相交且过已知直线.应用面面平行的性质定理时,关键是找(或作)辅助线或平面,对此需要强调的是：辅助线、辅助平面要作得有理有据,不能随意添加；辅助面、辅助线具有的性质,一定要以某一性质定理为依据,不能主观臆断.(7)
10、在解决直线与平面垂直的问题过程中,要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用,即注意线线垂直和线面垂直的互相转化.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线,通常是先找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可.(8)与面面垂直有关的计算问题的类型：求角的大小(或角的某个三角函数值)：如两异面直线所成的角、线面角、二面角等.求线段的长度或点到直线、平面的距离等.求几何体的体积或平面图形的面积.补充知识：正方体中的截面问题用平面去截一个几何体,所截出的面,就叫截面.可以想象,类似于用刀去切(截)几何体,把几何体分成两部分,刀在几何体上留下的痕
11、迹就是截面的形状,截面是一个平面图形.在立体几何中,把空间问题转化为平面问题,历来是立体几何的一个基本问题.而已知不共线三点,作几何体的截面,既是转化为平面问题的一个方法,也是深化理解空间点线面关系的一个很好的途径.下面给出作正方体截面的常见方法.一、平面作图法，1 .方法(交线法).该作图关键在于确定截点,有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连结成截线,从而求得截面.2 .作截线与截点的主要根据有：(1)确定平面的条件.(2)如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们相交于过此点的一条直线.(3)如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内.(4)如果一条直线平行
12、于一个平面,经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条宜线就和交线平行(线面平行的性质定理,见第2.2节).(5)如果两个平面平行,第三个平面和它们相交,那么两条交线平行(面面平行性质定理,见第2.2节3 .作图的的主要思想方法有：(1)若已知两点在同一平面内,只要连接这两点,就可以得到截面与多面体的一个面的截线.(2)若面上只有一个已知点,应设法在同一平面上再找出第二确定的点.(3)若两个已知点分别在相邻的面上,应找出这两个平面的交线与截面的交点.(4)若两平行平面中一个平面与截面有交线,另一个面上只有一个已知点,则按平行平面与第三平面相交,那么它们的交线互相平行的性质,可得截面与平面的交线
13、.(5)若有一点在面上而不在棱上,则可通过作辅助平面转化为棱上的点的问题；若已知点在体内,则可通过辅助平面使它转化为面上的点,再转化为棱上的点的问题来解决.如已知：P、Q、R三点分别在正方体AG的棱CG，A。，CCl和AB上,试画出过P、Q、R三点的截面.方法一：先过R、P两点作辅助平面.过点R作RiRIIBBi交AIBl于K,则面CRRiCi为所作的辅助平面.(2)在面CRRC内延长RICI,交RP的延长线于M.(3)在面AiBiC1Di内,连接MQ,交ClDl于点S,延长MQ交BIAl的延长线于点T.(4)连接TR,交AAi于点N,延长TR交B1B于点K,再连接KP交BC于点L.(5)连接
14、RL、PS、QN.则多边形QNRLPS为所求.方法二：先过Q作QEAAi,联结RE、QR(2)联结AC交RE于O点(3)过O作FOQE,交QR于F点(4)联结PF并延长,交AAi于G(5)联结GQ并延长,交DD1于J(6)联结JP.交CiDi于H,延长线交DC延长线于K(7)联结KR,交BC于I方法三：过Q作辅助平面QGHL平行于ADDiAi(2)联结RCI,交GH于K,联结RR(3)过K作K1CCl交RP于L这点便是RP与辅助平面的交点.(4)联结Ql并延长交平面CDDC于M,过F、E分别作QI的平行线,交BC、AAl于E、F(5)联结PM交ClDl于J联结JREQFP,则多边形JREQFP
15、为所求上面我们给出了作正方体截面的方法,那么,用一个平面去截一个正方体那么会得到什么形状的截面图形呢？因为正方体有六个面,所以它与平面最多有六条交线,即所截到的截面图形最多有六条边.所以截图可能是三角形,四边形,五边形,六边形.【易错警示】(1)与动点有关的三棱锥的体积计算不会利用等积法求解(2)作几何体的截面注意要作出与各面的交线，再顺次连接成一个封闭的平面图形三、以例及类(以下所选试题均来自新高考I卷地区2020年1-6月模拟试卷)多选题1. (2021福建省厦门高三模拟)如图，在四棱柱ABCO-AAG。中，AA，平面ABC。，ABHCD,NDCB=90。,AB=AD=AAl=2DC,。为
16、棱CG上一动点，过直线AQ的平面分别与棱BBLDDI交A.对于任意的点Q,都有APQRB.对于任意的点Q,四边形APQR不可能为平行四边形C.存在点。，使得RP为等腰直角三角形D.存在点。，使得直线8C7/平面A尸QA【答案】ABD【解析】/ABHCD,AAU面ABMA1,Cz）（Z面人台与4，所以Cz）面438小，又AA）/DD1,同理可证DDJI面ABB14，因为DDjCD=D.平面ABgA平面CoAG,.平面APQRC平面ABBIA=AP,平面APQRC平面CDnCl=RQ,AP/QR,故A正确.V四边形ABCD是直角梯形，ABHCD,平面BCC1B1ADD,Ai不平行，平面APQRC平
17、面BCGBl=PQ,平面ApQRC平面ADDM=AR,JPQ与AR不平行，故四边形APQR不可能为平行四边形，故8正确.PB=PR,要使44?P为等腰直角三角形，贝JND4A.90,但根据题意NOAB1,所以NeoC45。，所以C错误；对于。，过M作EF/D向,交ABl于尸，交ADl于E点,因为4AM=AG,所以E、尸分别是4A、A片的中点，又BDBD,所以EF/DB,四边形瓦89即为平面BDW截正方体所得的截面，因为EF=；DB、=当,且BF=DE=JBB；+BF2=与,所以四边形EFBD是等腰梯形，作FGJ_力8交BDFG点、,所以BG=L(BZ)-E/)=也，FG=yFB2-BG2所以梯
18、形的面积为!2442o(BD+EF)FG=-f所以O正确.故选AD.4. （2021广东省梅州市高三下学期二模）如图，在正方体ABCZ）A1BGO中，AA=3,点M,N分别若DlM上MN,下列命题正确的是（）在棱48和5片上运动（不含端点）,A. MN 1 A1M-线段B长度的最大值为:D.三棱锥G-AAM体积不变【答案】ACD【解析】在正方体ABCZ）-ABGR中,以点。为原点，射线。A, DC, ODl分别为X, y, z轴非负半轴B.仞Vj_平面OlMC4(3,0,3),D(0,0,3),C(0,3,0),8(3,3,0),设M(3j,0),N(3,3,z),y,z(0,3),丽=(3,
19、y,-3),丽=(0,3-z),而RM_LMN则DlM-MN=y(3-y)-3z=Onz=gy(3-y),对于A选项：AM=(O,弘一3),则AMV=y(3-y)-3Z=O=ALW，MNJ_AM,A正确；对于B选项：CM=(3,y3,0),CMMN=(y-3)(3-y)=-(3-y)2_L平面ABC.在平面ABD内过点。作OKJ_AB，K为垂足.设AK=Z,则Z的取值可以是()【答案】BC【解析】连接KF，设OF=加，根(1,2).I）因为平面AB_L平面A5C=A3JDK_LAB，所以。K_L平面ABC又因为KFU平面ABC,所以DKLKE在RTAADK中,DK=y-k2在RT/XDKF中,
20、KF=Jm2l+k?，RTAADF中，AF=Jl+m2,C？设NoEA=NE43=6,在AQAF中，cos/=/l+w2+m2+42_（m2_+左2）在AAXF中，COSe=L=,21+112k/+m2m1I所以/,=I,，即机=：.yl+m2kyl+m2k又因为m（1,2）,所以.故选BC6. （2021河北省石家庄市高三二模）平行六面体ABCO-A片GA中，各棱长均为2,设AAyAB=ZAyAD=ZDAB=,则（）D,c,OA.当O=T时，ACl=23.B.。的取值范围为（0,寺；C.。变大时，平行六面体的体积也越来越大.D,。变化时，AG和3。总垂直.【答案】ABD【解析】对于A,当时，
21、可得平行六面体ABCo-A瓦CQl正方体，所以ACj=22+22+2?=12,所以AG=2石，所以A正确：对于B,如图，连接A&A。,50,则由题意可得三棱锥A-ABD为正三棱锥，设点A在平面ABO的投影为0,连接4。，8。,。，则NAOb=NAOO=NBOO=T,因为ABOBiAD0D,AAiA1O,所以NAA8=NAA。=NOAB=Ov与，所以8的取值范围为,-l.所以B正确；JT对于C因为V=S四边形ABm力=ABAOSin夕=4Sine（力为平行六面体的高），所以当。=耳时，Sine=1，此时S四边形AaCo最大，且力最大，即体积最大，所以C错误；对于D,连接AC,8。交于点连接AE,
22、因为平行六面体ABC。一ABG。中，各棱长均为2,且NAAB=NAAr）=NoA8=。，所以ABDA1为等边三角形，四边形ABC。为菱形，所以AC_L8,E为BD中点,所以AE，B。，I大I为AEnAC=,所以8力_L平面A1GC,因为AeU平面AAIGC,所以AGJ_8。，所以D正确，故选ABD7. （湖北省襄阳市高三下学期最后一模）1982年美国数学学会出了一道题：一个正四面体和一个正四棱锥的所有棱长都相等，将正四面体的一个面和正四棱锥的一个侧面紧贴重合在一起，得到一个新几何体.中学生丹尼尔做了一个如图所示的模型寄给美国数学学会，美国数学学会根据丹尼尔的模型修改了有关结论.对于该新几何体，
23、则（）A. AFHCDB. AFlDEC.新几何体有7个面D.新几何体的六个顶点不能在同一个球面上【答案】ABD【解析】由题意，正四面体和正四棱锥的所有棱长都相等，G、H为BC、EO的中点，连接尸G、AH.GH,即FG上BC,AHDE,AF/GH,GH1BC、GHLDEt：.GH/BE/CD.AF1DEAF/CD,故A、B正确；A尸,C。四点共面，即新几何体为斜三棱柱，有5个面目无外接球，C错误，D正确；故选ABD.8. （2021湖南省娄底市高三下学期仿真模拟）我国古代数学家祖晒求几何体的体积时，提出一个原理：累势即同，则积不容异.这个定理的推广是夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两
24、个平面的平面所截，若截得两个截面面积比为左，则两个几何体的体积比也为h如下图所示，已知线段AB长为%直线/过点A且与A3垂直，以8为圆心，以1为半径的圆绕/旋转一周，得到环体“；以A,4分别为上下底面的圆心，以1为上下底面半径的圆柱体N；过AB且与/垂直的平面为尸，平面。/，且距离为力，若平面。截圆柱体N所得截面面积为$,平面a截环体M所得截面面积为S?,则下列结论正确的是（）A.圆柱体N的体积为4万C.环体”的体积为MrD.环体M的体积为8/B.S2=2Si【答案】ABD【解析】由已知圆柱体N的体积为4九，故选项A正确；由图可得S=24-炉.4=851一/?2，S2=-r,其中碇=（4+-h
25、）片=（4-Jl-/H）故邑=16l-27=2rSl故选项B正确；环体M体积为24=2乃4=8,故选项D正确，选项C错误故选ABD9. （2021湖南省益阳市2021届高三下学期4月高考模拟）如图，棱长为1的正方体ABCDA8Cd中,点E为4囱的中点，则下列说法正确的是（）A. Z）E与CG为异面直线B. OE与平面BCGS所成角的正切值为巫4C.过Q、C、E三点的平面截正方体所得两部分的体积相等D.线段OE在底面ABCo的射影长为J5【答案】ABC【解析】由图可知：。与CG为异面直线，,A正确；因为平面5CCq/平面4ORA，所以。E与平面5CG4所成角即OE与平面A所成角，连接AQ,显然，
26、4QE是OE与平面AoAA所成角.在直角三角形EAQ中：U诙第修邛-正福过。、CE三点的平面截正方体所得两部分的体积关系即为平面4以。截正方体所得两部分的体积关系,由正方体的对称性可知截得两部分几何体的体积相等，C正确;取AB中点凡连接EEOR广/8/且囱8_1底面4皮?。，尸_1底面48。，。尸的长为线段。七在底面ABCo的射影长，在直角三角形OFE中:,：D错.故选ABC.3 EF=L DE=-, 210. （2021湖南省高三下学期3月联考）已知三棱锥P-ABC的每个顶点都在球。的球面上，AB=BC=2,PA=PC=层,A3_LBC,过8作平面ABC的垂线仪2,且8Q=A8,PQ=3,2
27、与。都在平面ABC的同侧，则（）2A.三棱锥尸ABC的体积为一3B.PAABC.PCHBQD.球。的表面积为9万【答案】ABD【解析】如图，长方体的高为1,底面是边长为2的正方形，满足B=5C=2,PA=PC=5ABLBC,三棱锥尸ABC的体积为JXJX2x2xl=2,故A正确；323PB=yPD2+BD2=PD2+AB2+AD2=22+22+l2=3，满足2+42=PB?，可得P4J_AB.故B正确；8Q_L平面ABC，2力_L平面ABC,则BQ灯），假设PC8Q,则尸C%D与PD与PC相交于?矛盾，故C错误；三棱锥P-ABC的外接球即长方体DG的外接球，设其半径为R，则2R=122+2?+
28、H=3，即H=g，可得球。的表面积为4rx（）=9，故D正确.故选ABD.11. （2021湖南省郴州市高三3月第三次教学质量监测）如图，正方形ABCo的边长为1,M、N分别为BGCD的中点，将正方形沿对角线AC折起，使点。不在平面ABC内，则在翻折过程中，以下结论正确的是（）A.异面直线AC与MN所成的角为定值B.存在某个位置，使得直线4。与直线BC垂直C.三棱锥NACM与B-ACD体积之比值为定值D.四面体A88的外接球体积为叵3【答案】ACD【解析】如图所示：D对于A,取AC中点。，连接08，0D,则AC_LQB，且AC_LOr,.人。，平面08。，4。，8。，异面直线4（7与8。所成的
29、角为90。，又MN/3D,.异面直线4C与MN所成的角为定值，故A正确；对于B,若直线AD与直线BC垂直， 直线A6与直线BC也垂直，则直线BCJ_平面谢， 直线BCJ_直线8。，又6OJ.AC，3。，平面ABC,3D_LO3,而a05D是以。B和。为腰长的等腰三角形，与题意不符，故B错误；对于C.M,N分别为正方形ABCD的边BC.CD的中点， /XACD与ZXACN面积比为2：1,又B到面ACD的距离与M到面ACN的距离之比为2：1,所以三棱锥NACMHB-ACD体积之比值为定值上，故C正确；4对于D,0OA=OH=OC=OD,所以外接球球心是O,所以外接球半径R=也，2四面体ABC0的外
30、接球体枳为V=g4x（*）=粤，故D正确.故选ACD.12.（2021江苏省泰州中学高三下学期四模）如图，在正方体ABC。AMGA，中，夕是线段MC（不含端点）上的一个动点，那么在点P的运动过程中，下列说法中正确的有（）DyBA.存在某一位置，使得直线PE和直线BBl相交B.存在某一位置，使得BC平面AEPC.点A与点片到平面尸破的距离总相等D.三棱锥G-PBE的体积不变【答案】BCD【解析】对于A,假设存在，则仇G,E,P四点共面，而点P不在平面BqE内，故A错误.对于B,因为5C/AD,所以8。平面AE。，所以当P是直线AC与平面AED的交点时就满足要求,故B正确.对于C,因为A用的中点E
31、在平面EBE内，所以点4与点瓦到平面续的距离总相等，故C正确.对于D,连接瓦C,交.BCRO,则。为50中点，所以EOAC,又EOU平面BGE,ACa平面BGE,所以A1C平面BC1E,所以点P到平面BCxE的距离为定值，从而三棱锥P-BGE的体积为定值，即三棱锥&-尸BE的体积为定值，故D正确.故选BCD13.（2021江苏省百校联考高三下学期4月第三次考试）下列结论正确的是（）A.存在这样的四面体ABCO,四个面都是直角三角形B.存在这样的四面体ABCO,BAC=ACAD=ADAB=ABCD=C.存在不共面的四点A、8、C、。，使NAbC=N3CD=NCD4=90。D.存在不共面的四点A、
32、8、C、。，使NABC=NBCD=NCDA=NDAB=90。【答案】AC【解析】选项A.在长方体中，如图四面体ABCD的四个面.都是直角三角形，故A正确.选项8,三个直角以A为顶点，设48=x,AC=y,Ao=Z则BC2=x2+y21CD2=z2+y2,BD2=x2+z2由余弦定理可得cosNCBD=BC+BD-D?=_江_,所以NeBZ）为锐角2BCDB2BCDB同理NCo8,NDCB为锐角，所以43CD为锐角三角形，故B错误；/1;刁%+：选项C如图在长方体中，满足NABC=NBe)=NCDA=90。，故C正确.O/tA.一/选项。如图在长方体中，ZBCD=90o,VBCD为直角三角形.Z
33、ABC=90。,则AB在过点3且Beq垂直的平面内，ZADC=90。.则AD在过点。且COIj垂直的平面内,如图，当点A与。不重合时，AB2+AD2BO2+OD2=BD2所以此时NfiAD为锐角.当点A与。重合时，NEM为直角.即NA8C=N88=NCD4=NDAB=90。时，此时A,B,C,。四点共面，故D错误故选AC.14.（2021山东省百所名校高三下学期4月联考）如图，已知直三棱柱ABC-AqG的所有棱长均为3,D，E，F,G分别在棱44，A1C1,AB,AC上，且Ao=AE=BF=CG,是BC的中点，P是A”的中点，则（）A.DE/PFG9B.若M,N分别是平面A48片和AACG内的
34、动点，则AMNP周长的最小值为一4C.若8尸过?，F,G三点的平面截三棱柱所得截面的面积为N叵34D.过点A且与直线AA和BC所成的角都为45。的直线有2条【答案】BCD【解析】选项A.因为AO=AE=B/=CG,所以DE/FG，连接石尸，DG,可得放，OG相交于点尸，则OE在平面QFG内，故A错误.选项B,平面A,ABBl和AiACCl所成的锐二面角为60。，点P到平面AsABBx和AACG的距离均为，8分别作点尸关于平面AAB与和AACG的对称点M,N-易证当M，N分别取直线MIM与平面A1A8B和AACG的交点时，AMZVP的周长最短，且这个周长的最小值为乙，故3正确.4选项C,由A选项
35、可知，D,E在过P,F，G三点的平面中，截面面积为主陋，故C正确.4选项D,易知AAlIBCf所以过点A旦与线AA所成的角都为45。的I,线构成以A为顶点，以AA1为轴的圆锥，同理和BC所成的角都为45。的白线构成以A为顶点，以*C为轴的圆锥，所以两个圆锥的公共母线即求，故。正确.故选BCDTT15. （2021山东省百师联盟高三二轮联考）在直角三角形48C中，NB=-,AC=28C=4,。为线段AC2的中点，如图，将AABO沿BO翻折，得到三棱锥产-Be。（点?为点A翻折到的位置），在翻折过程中，下列说法正确的是（）A.APBO的外接圆半径为2B.存在某一位置，使得PoJ_8。C,存在某一位
36、置，使得LCQ32D.若WoC,则此时三棱锥PFCO的外接球的体积为一乃3【答案】AD【解析】.8=2，AC=2BC=4,。为线段AC的中点，2ZA=30o,BD=2,BD在AW）中，由正弦定理得：2R=,解得R=2,SinA,PBD的外接圆半径为2,A正确;由题意可知，ZADB90o,ZPDB90o,即尸。与8。不垂直，8错误;PBLCD,取Co的中点M,连接BM,PM,因为,BOC为等边三角形，则BW_LCZ）,则可得COJL平面尸身W，从而8_LPM,又M为CO中点，且CQ=PD=2,所以aH）C为等边三角形，所以可得BM=PM=JJ，而P8=2JJ,这与PBBM+PM矛砥,C错误；若?
37、_LC,在.PBC中,PC=22,BC=2,P=23.有PB2=BC2+PC?.所以NPCD=-,2取心的中点E，可得互=1,在,QEC中，ED=1,EC=3,CD=2,TT有。C?=Eq2+七。2所以ZDEC二2而ED上PB,所以EDJ平面PBC，从而可知外接球的球心在E。上，则有（Rf）?+（5）2=R2,解得R=2,4732所以V=%R=,。正确.故选AO.3316. （2021山东省济南市实验中学高三二模）如图所示，在棱长为2的正方体AqGA中，ptQ分别是线段与R,AC上的动点，则下列说法正确的有（）A.线段尸。长度的最小值为2B.满足PQ=2j，的情况只有4种C.无论尸，。如何运动
38、，直线尸。都不可能与82垂直D.三棱锥P-ABQ的体积大小只与点Q的位置有关，与点P的位置无关【答案】ABD【解析】对于A选项，当尸，。分别是线段用。，AC的中点时，尸。是异面直线与。，AC的公垂线,此时线段尸。长度最小，为2,故A选项IE确；对于B选项，PQ=2只能是面对角线，此时PQ可以是AR,C,AB”。用四种，故B选项正确；对于C选项，当尸与万点重合，点。与C点重合时，此时的直线PQ（即与C）与平面8CR垂直，故尸Qlbd故C选项错误；对于D选项，由于点P到平面ABQ的距离是2,底面QBA的面积随着点。的移动而变化，所以三棱锥尸一A6Q的体积大小只与点Q的位置有关，与点P的位置无关，故
39、D选项正确.故选ABD17.（2021江苏省南通学科基地高三下学期高考全真模拟）在直四棱柱ABC。-A4G中，四边形438为正方形，AA=243,尸为面对角线与。上的一个动点，则下列说法中正确的有（）A. 8D|_L平面AGoB. C与AG所成角的余弦值为吟c.三棱锥P-AOG的体积为定值D.平面43瓦A内存在与AGo和底面ABC。交线平行【答案】BC【解析】以点。为坐标原点，DA.DC、。乌所在H线分别为X、丁、Z轴建立空间宜角坐标系,设A6=l,则AA=2,则A(l,0,0)、3(LL0)、C(OJO)、0(0,0,0)、A(LO,2)、4(U,2)、G(H2)、D1(0,0,2).UUU
40、对于A选项，DAy=(1,0,2),BA=(T则Z)A80i=T+4=3,故A。与不垂直，进而可知，BA与平面AG。不垂直，A选项错误；对于B选项，B1C=(-1,0,-2),AG=(TJO),BCAC1ocos=I.-L7=5=Ii,BCHAGl510所以，异面直线Me与AG所成角的余弦值为巫，B选项正确；10对于C选项，在正四棱柱ABC。一AMGA中，lB,CD/GDI且AIBl=CD=CR,所以，四边形ABCo为平行四边形，可得BCAD,4。二平面4。，AoU平面AG。，则8c平面AG。，所以，点尸到平面AGo的距离为定值，而AG。的面积为定值，故三棱锥尸-AG。的体积为定值，C选项正确
41、；对于D选项，因为AG平面48C。，所以平面AGO和底面43CO的交线与AG平行.而AG与平面ABB1A1相交，D选项错误.故选BC.18. (2021湖南省衡阳市高三下学期考前预测)由四个三角形围成的多面体称为四面体，对棱相等的四面体称为等腰四面体.已知如图等腰四面体ABC。中，AB=CD,A。=BeAC=8力,瓦EG分别是棱AB,BC,CRDA的中点.下面结论中，正确的有()B.EGlABC.过直线EG的平面截四面体外接球所得截面面积为定值D.特别地，当四面体棱长全相等时，共顶点A的三个侧面面角和(N5AC+NC4D+NzM5)等于180。；一般地，共顶点A的三个侧面面角和(NB4C+NC4T+NZMB)也等于180。【答案】BCD【解析】A选项，因为E,FfG,H是中点，所以EFAC/HG,所以E,F,G,H共面,所以A错；B选项，因为BD=AC,BC=AD,CD=CD,所以，所以ZACQ=/5QC，故AaCGMABQG，所以AG=BG,又E是AB中点，所以EG_LA5,B正确；C选项，将四面体ABC。补形为长方体，如下图所示：则四面体ABCOlj长方
