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1、热点74摭物旗及其应用抛物线是高考数学的热点问题，在高考中选择题、填空题、解答题都曾出现过，属于高频考点。这部分内容主要涉及标准方程、几何性质、弦长问题及面积问题等，解题思路和解题步骤相对固定，在冲刺阶段的教学过程中尽量淡化解题技巧，强调通性通法，规范解题步骤。题型抛物线的定义及概念辨析题型4抛物线的中点弦问题题型2利用定义求距离和差最值。-抛物线及其应用一题型5抛物线的弦长问题题型3抛物线标准方程的求解IxZXx题型6直线与抛物箍合应用【题型1抛物线的定义及概念辨析】满分技巧1、利用抛物线的定义解决问题,应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化.即“看到准线想到焦点，看到焦
2、点想到准线”.2、注意灵活运用抛物线上一点P（x,到焦点F的距离IPQ=用+?或P=M+2【例1】（2023广东广州高三天河中学校考阶段练习）已知抛物线Y=4），的焦点为尸，点M在抛物线上，且IMFI=3,则M点到.V轴的距离为（）A.23B.22C.2D.1【答案】B【解析】由题意得，|“|=%+5=3,抛物线/=4），中=2,所以W=2,所以所求距离为显上匹=2应.故选:B【变式M（2023全国高三专题练习）动点P到直线x+4=0的距离减去它到点M（NO）的距离等于2,则点P的轨迹是（）A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线【答案】D【解析】如图所示，由于动点P到直线x+4=0的距离减去它到点
3、M（2,0）的距离等于2,于是动点P在直线X=T的右边，且动点P到直线x+4=O的距离大于2,因此动点。到直线X=-2的距离等于它到点M（2,0）的距离，进而根据抛物线的定义，可知点P的轨迹是抛物线.故选：D【变式12】（2023湖南长沙高三湖南师大附中校考阶段练习）焦点为厂的抛物线C：V=2PX（P0）的对称轴与准线交于点A,点8在抛物线C上且在第一象限，在ZU8尸中，3SinzA歹8=4SinNE48,则直线初的斜率为（)A.由B.-C.1D.立232【答案】A【解析】过8作准线的垂线，垂足为H,作X轴的垂线，垂足为E,则由抛物线的定义可得I8臼=I8I,由3sinAF8=4sinNE48
4、,在AABF中由正弦定理可知：AB=BF=-BHAAH=-BH,333设防的倾斜角为,则Sina=空=咎=g,tan=坐，故选:A.BFBH32【变式13】（2023.安徽合肥合肥一中校考模拟预测）设。为坐标原点，尸为抛物线C:X2=2py（p0）的焦点，直线尸1与抛物线C交于A,B两点,若ZA依=120。,则抛物线C的准线方程为（）212A.y=-B.y=-3C.y=-6.V=-3D.y=_或.V=-6【答案】C【解析】设直线y=与y轴交点为例,由抛物线的对称性，易知为直角三角形,且NAFM=；/Am=60。，.|叫=2忻M,即l+5=21-,去绝对值，解得P=I或P=6,所以抛物线的准线方
5、程为y=4或产-3.故选：C.【变式1-4】（2023.河南.校联考二模）设F为抛物线C:y2=4x的焦点，点M在C上，点N在准线/上，且MN平行于X轴，准线/与工轴的交点为E,若IMl=2|团,则梯形EFMN的面积为（）A.12B.6C.123D.63【答案】D【解析】由题知=2,抛物线的焦点”为（LO）,准线/为X=T,如图所示.由题知MNJj,因为M=2E目=2x2=4,所以NERV=60。，则|码=6|曰7=2石.因为MNEF,所以ZMNF=NEEV=60。，由抛物线的定义知IMNl=IMFI,所以MN尸是正三角形，所以IMNI=4,贝ISw=仁竽巫=6技故选：D【题型2利用定义求距离
6、和差最值】满分技巧与抛物线有关的最值问题的转换方法(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解.(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.例2(2023.四川绵阳高三南山中学校考阶段练习)已知点F(O，4)是抛物线C=2py(p0)的焦点，点P(2,3),且点为抛物线C上任意一点，则I例/l+lMPl的最小值为()A.7B.6C.5D.4【答案】A【解析】由尸(。，4)是抛物线Uf=2p),(p0)的焦点，得=4,即p=8,故Ur=i6y,其准线方程为y=Y,当x=2时，有4=16
7、y,即)，=：,故点P(2,3)在抛物线上方，4由抛物线定义可知，点M到焦点产的距离IMT等于其到准线的距离d,贝5jMF+P=d+P%+4=7.古嬷：A.【变式2-1】(2023江西萍乡高三统考期末)点M为抛物线V=8x上任意一点，点N为圆f+y2-4x+3=0上任意一点，P为直线依7-。-1二。的定点,贝M+MN的最小值为()A.2B.2C.3D.2+2【答案】A【解析】如图所示：由V=8x知，抛物线焦点尸(2,0),x2+-4x+3=0,ft(x-2)2+y2=l,即为以(2,0)为圆心，1为半径的圆,ax-y-a-l=()t得y=(x-I)-1,g定点(L-I),过点作ME垂直于抛物线
8、的准线：x=-2交于点E,连接PE.则|网+|的|习网+阿耳1=阿耳+阿|_1.尸目_1,当AM,E三点共线时，I图最小,此时为3,所以IMH+1MNl的最小值为：3-1=2,故选：A.【变式2-2】(2023全国模拟预测)已知抛物线C:y2=81的焦点为F,M(4,0),过点M作直线x+(a-J)y-豉-2=0的垂线,垂足为Q,点P是抛物线。上的动点,则IP尸+Pa的最小值为.【答案】y解析】由x+(a-6卜-鸟-2=0得a(y-)+x一向=2=0,y、/所以直线x+6b-豉-2=0过点A(5,./连接4吃5HMM=T=2,2W幺由题意知点Q在以AM为直径的圆上，设G(,y),一产所以点。的
9、轨迹方程为卜-J+卜-用=1(不包含点(4阴)，x=2记圆卜IJ+。，亭)=1的圆心为*),过点Q,P,N分别作准线X=-2的垂线,垂足分别为8,。，S,连接。Q,g11则阳+|p。I=IPq+PoQ幽NS卜1=尹2-=,当且仅当B1P1Q1N四点共线且点Q在PN中间时等号同时成立，所以IP目+1PQI的最小值为号.【变式2-3】(2023广西统考模拟预测)已知抛物线C:V=4的焦点为尸，圆M:+(y-15)2=1,点乙。分别为抛物线C和圆M上的动点,设点到直线户-3的距离为“，则”+|也的最小值为()A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】圆“：+(y-15)2=l,圆心坐标M(O,炉)，
10、半径为1,抛物线C：V=4”的焦点为F(LO),准线方程户-1,如图所示,点P到直线片-3的距离比点/到准线A-1的距离大2,即d=P尸|+2,IPQI的最小值为PM7,当KP/三点共线时pq+PM的最小值为|户闸，所以d+P尸月+2+pM-l根1+1=4+1=5.故选：C.【变式2/(2023湖北孝感校联考模拟预测)设尸为抛物线C：)，2=4x上的动点，A(2,4)关于P的对称点为Bl记0至U直线=T=-3的距离分别4,d2l则4+4+I期的最小值为()A.211+2B.213+2C.17+2D.13+17+2【答案】A【解析】如图，因为W=4+2,且A(2,4)关于P的对称点为8,所以照I
11、=IM,抛物线焦点尸(LO),所以4+&+kM=24+2+2IpAI=2(4+)+2=2(IPFl+M)+22Aq+2=2i7+2当P在线段A”上时，4+4+1的取得最小值，且最小值为211+2故选：A【题型3抛物线标准方程的求解】满分技巧1、定义法：根据抛物线的定义，确定P的值(系数P是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程.标准方程有四种形式，要注意选择.2、待定系数法(1)根据抛物线焦点是在,V轴上还是在.v轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的方程，解出，从而写出抛物线的标准方程；(2)当焦点位置不确定时,有两种方法解决.一种是分情况讨论，注意要对四种形式
12、的标准方程进行讨论，对于焦点在X轴上的抛物线，若开口方向不确定需分为产=-2pMp0)和y2=2px(pX)两种情况求解.另一种是设成/=nx(m0),若w0,开口向右；若0)的焦点为准线为/,点A是抛物线C上一点，4。_1/于。.若4尸=2,2。4尸=60,则抛物线。的方程为()A.y2=SxB.y2=4xC.y2=2xD,=【答案】C【解析】如图，连接。尸，设准线与X轴交点为M/内抛物线Uy2=2px(p0)的焦点为F6,0),准线/：XTz又抛物线的定义可得IA尸I=IAq,又Z.DAF=60,所以/SDAF为等边三角形,所以I叫=IAFl=2,ZDFM=60所以在Rtro/中，QP=2
13、MH=2=2,则p=l,所以抛物线C的方程为?=2x.故选：C.【变式31】（2023.河北衡水.高二衡水市第二中学校考阶段练习）已知抛物线。：y2=Zpx(P0）的焦点为F,点了在。上,且IbI=T,若点M的坐标为（0，1）,且例/,则C的方程为（)A.y2=2xy2=8xB.j2=x或V=8xC.y2=2x或V=4xD.y2=,SJy2=4x【答案】A【解析】设T为(如%),则Mr=(Ao,%-1),又由尸（,）,所以M尸=（,-1，因为M/_LMT,所以M7=0,可得5%-%+l=0,由需=2PX0,联立方程组，消去工可得4-4y+4=0,所以=2,故外又由I口I=Xo+,所以142=-
14、,即/-5p+4=0,解得=1或=49所以C的方程为V=2;V或.=8x.故选：A.【变式3-2（2023.上海杨浦统考一模）已知抛物线.F=2px（P0）的焦点为“，第一象限的A、8两点在抛物线上，且满足伊FITA月=4,A8=4.若线段AB中点的纵坐标为4,则抛物线的方程为【答案】=8x【解析】设4（牛1），8（,必）,因为I叫TM=4,所以卜什?-卜+幻=4,所以Wf=4,、/又因为A8=Jl+kliXk-Wl=4,所以女：H=1I,/llJC,U百M土弟豕P氏f/71KAJSS-I_力一乂_2P一I/又因为超-占yL.yLy+%且y+%=42=8,22p所以2p=8,所以=4,所以抛物
15、线方程为V=8二V【变式3-3X2023天津河东高三校考阶段练习）点M为抛物线.v2=2pN0O）上，。是坐标原点，正三角形OAB的面积为40，则该抛物线的方程是.【答案】V=李【解析】根据对称性，可知AB_/X轴，由于正三角形OAB的面积是4#,故由呵=45,故IABI=4,正.。AB的高为2。，故可设点A的坐标为（2曲,2）,代入抛物线方程得4=4Jp,解得,故所求抛物线的方程为V二手X.【题型4抛物线的中点弦问题】满分技巧设直线与曲线的两个交点4（小y）、8（如必）,中点坐标为P（XO，先），代入抛物线方程，；=2pm,W=2p%相两式相减,可得（y-M）（y+%）=2p（%-无），整理
16、可得:L=2LlI=上一=上-2y+yf2%【例4】（2023四川资阳统考三模）已知抛物线C:V=8x,过点P（2,-1）的直线/与抛物线C交于A,8两点，若IAH=IBH,则直线/的斜率是（）A.-4B.4C.-4D.-44【答案】A【解析】设4（方方），咐,必），则I；：*作差得W=8（zf）.%=风，因为IAH=WH,所以P是线段AB的中点，所以+%=-2,则直线/的斜率广上学二;二一故选：A【变式4-1】(2022.北京.高三北京二中校考阶段练习)已知A,8是抛物线U/=4x上的两点，线段AB的中点为例(2,2),则直线AB的方程为.【答案】尸【解析】依题意,设A(py),8(w,%)
17、,若X=X2,则直线A8:x=2,由抛物线的对称性可知，线段AB的中点为(2,0),显然不符合题意，故士工超，因为A,3是抛物线C:/=4x上的两点，所以zl，两式相减得，y.2-=4A.-4x2,整理得表十二；7丁丁，y2=4x2x-2,+必因为线段AA的中点为M(2,2),所以丐&=2,即y+%=4,又怎8=：,所以AA8=；=1,XI-X24所以直线AB的方程为y-2=x-2,即1.【变式4-2】(2023贵州遵义统考三模)已知抛物线炉=2)，上两点A,8关于点M(2,l)对称,则直线AB的斜率为.【答案】2【解析】设AQqJ,3(%力)代入抛物线炉=2y,得工则kY=2(-必)，x2=
18、2%因为两点A,8关于点M(2)对称，则芭Hzd+S=4,所以由得=宥=2,xi-22直线AA的斜率为2.则直线AB：)T=2(x-2)与代入抛物线犬=2)，联立，得Y-4x+8-2f=0,=16-4(8-2r)0,解得r2所以直线AA的斜率为2.【变式4-3(2022全国高三专题练习)直线/：以-y-(+5)=0(。是参数)与抛物线/：y=+了的相交弦是AB,则弦AB的中点轨迹方程是.答案y=2-7(x(-2)4)【解析】设4(%，)、8(x2,%)，AB中点M(XM,则+x2=2%./:a(x1)(y+5)=0,./过定点N。,5),.砥8=&MN=W.X1又,=+i)2,(I)必=仁+1
19、)2,(2)-(2)得：J1-J2=(x,+1)2-(x2+1)2=(x1-v2)(x1+x2+2),Mab=2;ijz21=x+2.于是丝=2x+2,gpy=2x2-7.M-2X-I又弦中点轨迹在已知抛物线内，y=2x2-l联立0）的焦点为F,点A（6,%）在抛物线C上，且IAFl=K）.（1）求抛物线C的方程；（2）已知直线/交抛物线C于M,N两点,且点（4,2）为线段MN的中点，求直线/的方程.【答案】（1）=16x;（2）4x-y-14=0【解析】（I）点A（6,%）在抛物线C上，由抛物线定义可得AF=6+5=10,解得P=8,H“的Ila物线C的标准方程为X=16.（2）设Ma,y）
20、,N（x2,%）,如下图所示：/（4,2）厂则；：，两期S减可得寸-=16（%-王）,愉即（乂一%）（凶+32）=16（用一毛）z又线段MN的中点为（4,2）,可得y+%=4;则中二孑=4,故直线/的斜率为4,xI-x2所以直线/的方程为）2=4（%-4）,即直线/的方程为4x7-14=0.【题型5抛物线的弦长问题】满分技巧1、TS弦长：设AB为抛物线y2=2px(p0)的弦，A(x1,),B(x2,y2),攵为直线AB的斜率，且攵WO ).IABI=lZc21-2=l+p-yi-y22、焦点弦长：如图，AB是抛物线V=2px(p0)过焦点厂的f弦，设Aupyl),B(x2.y2),AB的中点
21、M(XU,九)，过点A,M,B分别向抛物线的准线/作垂线，垂足分别为点A,用，M-根据抛物线的定义有A尸=AA,BF=BBi,AB=AF+BF=ABBl故IABl=IAF+B/I=IA4,+33j.又因为MMi是梯形AAiBlB的中位线，所以MM=I例I+忸闻=21MMI,从而有下列结论；(1)以A8为直径的圆必与准线/相切.(2)IAM=2(%+)焦点弦长与中点关系)(3)MM=Xl+x2+p.(4)若直线AB的倾斜角为a,则|A8|=3一.SIrra(5) A,“两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即玉七二9,y1y2=-P2.,、11工2(6) i一I+1一F为定值一.AFBFP【例5
22、】(2023.湖南长沙.雅礼中学校考模拟预测)已知抛物线El:V=4-的焦点为尸，过户且斜率大于零的直线/与鸟及抛物线Ez=V=Tx的公共点从右到左依次为点A、B、。，则I明=()A.4B.6C.8D.10【答案】C【解析】如下图所示：易知抛物线4：y2=4x的焦点为尸(1,0),设直线/的方程为X=叼+(mo),因为直线/与抛物线心相切，X=nf+1、联立D=Lx,可得/+4my+4=0,则2=16m2-16=0,因为m0,解得m=,设点A(Al,)1)、6(x2,%),联立,RTWx2-6+1=O,l=36-40,y=4X由韦达定理可得+与=6,IABl=X+x2+2=8,故选：C.【变式
23、5-l(2023江西景德镇统考一模)已知抛物线C：)尸=2x的焦点为F,准线为11过尸的直线交抛物线。于A,8两点，AF的中垂线分别交/与X轴于。，E两点(。，E在AB的两侧).若四边形ADFE为菱形，则IM=()A.1B.IC.JD.2【答案】B九nL-rl【解析】由四边形皿石为菱形，如下图示，Z1=Z2=Z3,Z4=Z5,由抛物线性质知：AD=AF,贝(N4=N2,故N1=N2=N5,疝又Nl+N2+Z5=180。，故NI=60。，所以WM=()公式IAM=-,证明如下：令直线AB(斜率存在)为丁=/-9,代入J=2px,则公(x)2=2p,整理得0_p(+2)x+号_=0,若小”p+条，
24、而|A8|=/+/+=2M1+：),若直线倾斜角为。(不为直角)，则左二tan。,Kci-im,，c“1、C1+tan2Csin2+cos22p*、*r.所以A8=2M1+)=2t2=2p77=故选：Btantansinsin【变式52】(2022.广东深圳.高三深圳外国语学校校考阶段练习)若直线/经过抛物线=4.v的焦点，与该抛物线交于A,B两点,且线段AB的中点的纵坐标为3,则线段A8的长为.【答案】8【解析】抛物线Y=4)，的焦点为尸(0,1),直线/与抛物线交于两点，则其斜率存在,设/的方程为y=+l,A(xlfyl),B(x2fy2)f则由P.4)tx2-4kx-4=0,y=Ia+x
25、l+x2=4kxlx2=-4又凶+必=&(%+)+2,所以A二伙；2)+,即3=2/+1,=1,所以AB=J+k2x1-x2=Jl+1y(xi+x2)2-4xix2=杨16-4(-4)=8.【变式5-3(2022四川内江统考模拟预测)已知抛物线C：=4x,坐标原点为。,焦点为尸,直线/：y=kx+.(1)若直线/与抛物线C只有一个公共点，求攵的值；(2)过点尸作斜率为1的直线交抛物线C于A,3两点，求。4B的面积.【答案】(1)&=0或A=I；(2)22y=kx+I,、【解析】依题意，联叫，消去X，得:F即：4=,当&二O时,有：-4y+4=o,显然方程只有一个解，满足条件；当ko时，要使得直
26、线/与抛物线C只有一个公共点,则方程妙2-4y+4=0只有一个解，所以A=(-4-4x4攵=0,解得:k=；综上所述,当&=0或Z=I时，直线/与抛物线C只有一个公共点.(2)由于抛物线C:尸=4x的焦点户的坐标为(U),所以过点产且斜率为1的直线方程为：y=,设A(Xpyj,8(七,必),联立,I,消去X,得：y2-4y-4=0,则由韦达定理得：Y+=4,YH=T,所以IyLy21=J(y+KY-肛必=吩-4X(-4)=4,所以Sw,=g0f|以4必2万【变式5-4】(2023.湖南邵阳高三邵东市第三中学校考阶段练习)已知抛物线、2冲(。)的准线方程是(1)求抛物线的方程；(2)设直线)，=
27、左-2)(AWO)与抛物线相交于M,N两点,若IMNl=2加，求实数k的值.【答案】(1)=2x；(2)1【解析】(1)因为抛物线2=2工(0)的准线方程为户-与，所以=,解得P=I,所以抛物线的方程为=2兀(2)如图，设Ma,y),N,%).将.、，=/-2)代入尸=2x,消去)整理得k2x2-2(2公+l)+42=0.IK/=4(22+1)2-424OB,7MN=+k2x1-x2=Vl+k2y(xl+x2)2-4xix2(4k【例6】(2023全国.模拟预测)已知抛物线匕V=2px(pO)的焦点为EE上任意一点到户的距离与到 点Q(2,0)的距离之和的最小值为3 .(1 )求抛物线E的标准
28、方程.(2 )已知过点。且互相垂直的直线44与E分别交于点4C与点B,。，线段AC与8。的中点分别为 M,N .若直线OMQN的斜率分别为配他,求女人的取值范围.【答案】(1) y2=4x ；(2) -；,0)【解析】(1 )抛物线E的准线方程为X = -5 , 设点尸到准线的距离为d.由抛物线的定义，得PF + PQ = d + Pj2 + 5 = 3 ,解得P = 2 , 当且仅当RQ, F三点共线时，等号成立， 所以抛物线E的标准方程为y2=4x .(2 )设A(APyJ,8(x2,%)，C(XPy3)，。(冷”)， 由题意可知，。4的斜率存在且均不为0, 设直线4的方程为X=缈+2 r
29、 将其代入y2 4,得/-4my-8 = 0 ,则有弘+y3=4w .4同理可得：设直线4的方程为X=- y+2 ,则为+ 为=一一 .mm所以 =，； = 2m, y. = H H ,2 m12所以工”=冲m+2 = 2/+2 , XN= Zv +2 = + 2 ,mm+2)27V=l+IyJ-16=2i，化简得:(1+的。6/+4)=401,解得公=1,经检验，此时(),故A=L【题型6直线与抛物线综合应用】满分技巧求解抛物线综合问题的方法研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体
30、代入”“点差法”以及定义的灵活应用.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式HBl=XI+M+p(焦点在X轴正半轴)，若不过焦点，则必须用弦长公式.W 后二 2m XN 2m2+22_m _当且仅当八卜即，E时取等号，又易知，所以攵用的取值范围为一%。【变式6-1(2023湖北高三校联考阶段练习)已知抛物线C：f=2p)，(pO)的准线方程为A=7.动点P在f+(y+2)2=l上，过P作抛物线C的两条切线,切点为M1N.(1)求抛物线。的方程：(2)当OMN面积的最大值时，求点P的坐标.(O为坐标原点)【答案】(1)x2=4y；(2)(0,-3
31、).【解析】(1)因为准线方程为y=,所以f二I,解得P=2,抛物线C的方程为/=4)，.(2)设Ma，x),N(W,必),则k=4y=4M,对=4y求导可得/=IX,故过M的切线方程为y-y=gx%-X),gp2y-2y1=A1X-Xf,故2y-2y=MX-4,故MP:%x=2(y+y),同理可得NP:x2x=2(y+y2),因为两切线均经过产(外，几)，gXM=2(%+y)一=2(%+%)M(M,y),N(,%)均在直线%x=2(y+%)上，可知MN：x=2(y+y0),当X=O得，2(y+%)=0,解得)，=-%,则MN与.v轴的交点坐标为T(Of).联立丫。+),整理得-2依+4%=0
32、,X=4y由韦达定理I%+电=2%lX1X2=4y0l则x-=J(Xl+工2)2-452=2收-4),0,又因为产(线,几)在圆x2+(y+2)2=l,则j+(%+2)2=1,代入可得IXI-Wl=25-y-8y0-3,S,OMN=xx2I。TI=y：-3火,因为k+(为+2)2=l,所以(n+2)21,y0-3,-l.构造仆)=/+8寸+3/,X-3,-l,(x)=4x3+24x2+6x,易知/x)0在T-1上恒成立,故/(x)在上单调递增，当=-3时，x)取得最小值，此时S曲，取到最大值6J,点尸的坐标为(0,-3).【变式6-2(2023陕西西安高三西安市第三中学校考期中)已知广为抛物线
33、:y2=2px(p0)的焦点,。为坐标原点，M为E的准线/上的一点，直线M/的斜率为-1,ZOjM的面积为4.(1)求E的方程；(2)抛物线上在X轴上方一点A的横坐标为2,过点A作两条倾斜角互补的直线，与曲线E的另一个交点分别为8、C,求证：直线BC的斜率为定值.【答案】(1)丁=8;(2)证明见解析【解析】(1)由题意知尸(多0),设点M的坐标为卜为3,a-0_a则直线的斜率为K一一万.22因为直线叱的斜率为T ,所以- = T ,即=，所以AOW的面积S = JoFM =。= 4 ,解得 =4或 =-4 (舍去), 物物线E的方程为V=8x .(2 )依题意直线AB的斜率存在且不为0 ,设
34、直线AB的斜率为女伙0),点3(,yJ , C(x2,y,) , A(2,4).贝IJ直线AB的方程为y_4 = Mx-2), y-4 = k(x-2)一、由2 2 消去工整理得江-8)，+ 32-16攵=0, y =8x = 64(-1)2 0 ,所以Z0且Zwl ,- X , 4是方程的两个根，.432-16A.8-4F=-,f=依题意，直线AC的斜率为-A ,同理可得刈=-竽，所以直线BC的斜率为定值.【变式6-3】(2023全国高三专题练习)已知抛物线Cy2=2p(po)的准线经过点P(TQ).(1)求抛物线C的方程.(2)设。是原点，直线/恒过定点(1,0),且与抛物线C交于A,3两
35、点，直线=1与直线QA,OB分别交于点M,N,请问：是否存在以MN为直径的圆经过X轴上的两个定点？若存在，求出两个定点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)V=4x;(2)存在，两个定点的坐标分别为(TO)和(3,0).【解析】(I)依题意知、-=T解得P=2,所以抛物线C的方程为V=(2)存在，理由如下.设直线AB的方程为x=)+JU李必fx=ry+l,联立直线AB与抛物线C的方程得21消去X并整理，得丁-4)-4=0=4x,V.+y2=4f,易知=16f2+160,则/*,.Iyy2=-44(41由直线OA的方程y=-v,可得M1,一,乂Iyj由直线OB的方程y=f.可得i,-.%I
36、y2J设以MN为直径的圆上任一点。&y),则DMDN=5所以以MN为直径的圆的方程为(X-I)2+y-My-=0I,y)令y=0,得U-1)2+=0.JiJ2将yV2=代入上式，得(-0-4=0,解得F=T再=3.故存在以MN为直径的圆经过X轴上的两个定点，两个定点的坐标分别为(7,0)和(3,0).【变式6-4(2023重庆高三四川外国语大学附属外国语学校校考期中)已知抛物线UV=2px(p0)的焦点为F,点。(2,为)是抛物线上一点，且QFl=3.(1)求抛物线。的方程；(2)设直线/：2x-j+4=0,点8是/与)，轴的交点,过点A(2,l)作与/平行的直线/一过点A的动直线I2与抛物线
37、C相交于P,Q两点，直线PB,QB分别交直线4于点M,N,证明:AM=N.【答案】(1)y?=；(2)证明见解析【解析】(1)过点D作准线的垂线，垂足为以，由抛物线的定义得，|叩二即|=2+六3,解得p=2,所以抛物线C的方程为V=4x.(2)证明：直线/：2x-y+4=0,令=0得y=4,所以点8(0,4),因为直线4平行于直线/：2x-y+4=0,且过点A(2,l),所以直线4:2x-y-3=0,设直线6：x-2=r(-l),联立卜,得y24伊+4-8=0,y=4x所以A=16(t+2)0,设点P(XQJ,。(%力),由韦达定理可得y+%=4f,y1y2=4r-8,所以直线P8的方程为y=
38、x+4,直线QH的方程为y=x+41X2y=1-4x+4联立M，解得/7芭21-y1+47(% +2)(2/-1) y +8 2/同理可得XN7(佻+2) (2r-l)j2+8-2r，2x-y-3=O由、IX+x-7(一+2)7(%+27)所以ML(2-l)y+8-2/(2-1)5s+8-2=20_1)必+(8-26+(2.l)(2)(y+%)+2(2t)(8_2)0_4-一4f+8(2r-l)2yly2+(2-l)(8-2)(y1+y2)+(8-2/)2t2-t+2因为=2,所以均+=2xai即是线段MN的中点.所以IAMl=IAM.限时检测(建议用时：60分钟)I.(2023西藏拉萨.统考
39、一模)已知抛物线C:丁=8x的焦点为F,点M在抛物线C上,且IMrI=4,O为坐标原点，则OM=()A.5B.25C.4D.5【答案】B【解析】设V(XO，%)，由IM尸|=4得0+=4,又p=4,得Xo=2,所以(2,4)/0河|=?话=26.故选：B2.（2023全国.模拟预测）已知抛物线Uy2=2PX（Po）,直线/:x=g与抛物线C相交于A,B两点，点A为X轴上方一点,过点A作AQ垂直于C的准线于点D.若/DFO=,JllJp的值为（）A.；B.1C.2D.2【答案】B3【解析】如图所示：根据题意，得点A的横坐标为.由抛物线的性质JiFH4D=-+-.又因为NOR?=1,所以4且(8S
40、NA 尸B)Inin =l-2sin2 ZAPC = 1 - 2该 .（ 2023全国模拟预测）设尸为抛物线Uy2=2PX（P0）的焦点，点P为C上第四象限的点.若直线PP的方程为 y = 2(x-2) f KlJI PFI=()A . 6 B . 4 C . 3 D . 2【答案】C【解析】由题意可知，尸（2,0）,则与=2 ,所以 =4 , y=8 .将y = 2（x-2）代入V=8x ,得f-5x+4 = 0 ,解得N=I ,毛=4 , 贝IJy=2我（芭-2） = -2企,必=20（-2） = 4& .因为点尸为C上第四象限的点，所以尸。,-2夜）.。尸=方，所以AAC）是等边三角形.
41、而|。尸ICoSl=P贝用=2，所以IAQ=I4。|=|。广=T+=2p,解得=1.故选：B.3（2023.浙江绍兴.统考模拟预测）已知尸为抛物线/=4），上的一点过P作圆V+（y-3）2=1的两条切线,切点分别为A,Bl则CoSNAP3的最小值是（）【答案】CACI【解析】如图痛：SAPB=2ZPGsmPC=,此时，/APB最大，cosAP3最小，设PU则俨d=/+(?-3)=-y+9=-j(r-4)+8,当产=4时，IPq取得最小值2&,根据抛物线的定义可知fIPFI=x,+-=l+2=3.故选：C.5.（2023江苏徐州高三统考期中）已知抛物线Uy2=4X的焦点为f,过点（0,3）的直线与C交于AI两点,线段A8的垂直平分线与r轴交于点。，若AF+BF=6,则4ABO的面积为（A.辿B.35C.也D.5722【答案】C【解析】设AB的中点为“，抛物线的焦点为尸（LO）,准线为4-1,设4员”在准线上的射影分别为4、厅、H：则阚TM+阿1）,由抛物线的定义可知，网=1必，网=|网,A小网=6,所以IM+1网=6,得IHHI=3,即点的横坐标为2,设直线A8:y=kx+3代入抛物线方程，得公产+（6A-4）x+9=0,由A=（64）2-36公0,得攵0）上有一点产,准线/交X轴于点。.若IPFI=2QF,则
