《重难点5-1数列通项公式的求法（8题型+满分技巧+限时检测）（解析版）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《重难点5-1数列通项公式的求法（8题型+满分技巧+限时检测）（解析版）.docx（28页珍藏版）》请在课桌文档上搜索。
1、重难点5数列通项公式的求法数列的通项公式求法是高考数学的必考考点，通常在选择题、填空题与解答题第一问中考查。难度中等，但有时在同一个题目中会涉及到多种方法综合性较强。题型1观察法求通项题型5构造法求通项题型2由Sn与an关系求通项C_、K/题型6倒数法求通项数列通项公式的求法题型3累加法求通项1/V7题型7三项递推关系求通项题型4累乘法求通项一/题型8不动点法求通项【题型1观察法求通项】满分技巧已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项.【例1】（2023河北张家口.高三尚义县第一中学校联考阶段练习）已知数列l,367,3,iT,5!
2、J43是这个数列的（）A.第21项B.第22项C.第23项D.第24项【答案】B【解析】由题意可得数列的通项公式为4=后工，又回=72-1,解得=22,所以屈是这个数列的第22项.故选：B.【变式1-1（2023内蒙古通辽高三校考阶段练习）数列04,0.44,0.444,0.4444,L的一个通项公式是an=（）【答案】C【解析】因为数列9,99,999,9999,L的通项公式为10-1,则数列Q9,0.99,0.999,0.9999,L的通项公式为击（KrT）=I一击，4而数列0.4f0.44,0.444,0.4444,L的每一项都是上面数列对应项的,，所以数列。4,0.44,0.444,0
3、.4444,L的通项公式为部故选：C.1357【变式1-2（2023.河南.高三校联考期中）数列不，-亍弓，-白，的一个通项公式为（）24SIoA . (T)2n-l2/7(-f,2/1 12nJ(T)与(-f,2n-l2”【答案】DIQC7【解析】设该数列为&，ax=-,2=-,fl=-,4=-.24OIo选项A,ai=,不满足题意，故A错误；选项B,a3=,不满足题意，故B错误；选项C,%=-1,不满足题意，故C错误；1357选项D,%WM=/LI，均满足题意故选：D.【变式I-3J（2023全国高三专题练习）（多选）已知数列的前4项为2,0,2,0,则依此归纳该数列的通项可能是（）/n-
4、为奇数,nnzA%=（-l）+1Ba*”为偶数C.an=2sn-D.q=cos（一l）+l【答案】ABD【解析】对于A,当为奇数时，4=2,当为偶数时，q=0,故A中通项公式正确；对于B显然正确；对于C,当=3时，能=-2,显然不符合；对于D,当为奇数时，4=2,当为偶数时，4=0,故D中通项公式正确.故选：ABD.【变式1-4】（2023四川成都石室中学校考模拟预测）南宋数学家杨辉所著的解析九章算法中有如下俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”.其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层10个，则第三十六层球的个数为（）A.561B.595C.630D.666【答案】D【解析
5、】由题意,第一层1个球，第二层1+2=3个,第三层1+2+3=6个，第四层1+2+3+4=10个,据此规律，第三十六层有小球1+2+3+36=36x（；+36）;666个.故选:D【题型2由SIl与an关系求通项】满分技巧若已知数列的前项和Sn与对的关系，.S1,5=1）求数列q的通项4可用公式4构造两式作差求解.用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一即4和凡合为一个表达，（要先分=1和2两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）.XS2-2Si=(,+o2)-23=0,所以5,=25,2,3,n = l? ,?32rt-2,w2又Si=0=3,所以数列
6、Sj是以3为首项，2为公比的等比数列，所以S,=32,1时，q=S=3,“2时，atl=Sn-Sn32n-2,S5=4+a+3+4+%=3+3+6+12+24=48l故选：D.变式2-3（2023四I卜校联考三模）已知数列j满足2q+2?%+2”+2nan=小2，则4的通项公式为（）口,=1/1+1CC口,=1A可寸+12B0.D.。刁_心2【答案】B【解析】当=1时，有24=12,所以4=1,当2时，由2+22%+23%+2Z=2,21+22+236+211,=（h-1）211,i两式相减得2工=加2”-5-1）2T=e+l）2i,此时，=等，6=1也满足，所以的通项公式为=等.故选：B.N
7、,且数列也一如【变式2-4（2023.全国.模拟预测）已知数列q满足自+/+券+货的前项和为S-若S”的最大值为邑。，则实数k的最大值是【答案】40482023【解析】因为含+墨+含+货，即2。4+24+224+2”“=”，当2时，2q+2%2+22/+2T=(一).2,两式相减得2”=小2向-(-1)2=(1)-2，所以凡=2+2,(n2),又=4满足%=2+2,所以z=2+2,(WN),bn=an-kn=(2-k)n+2+l-=(2-k)(n+)+2-(2-k)n-2=2-k,显然数列a是等差数列，若3的最大值为$2023%3=2023(2-幻+202025404824=2024(2-A)
8、+20舲得1012一2023所以实数%的最大值是40482023【题型3累加法求通项】满分技巧适用于%+=%+fm),可变形为an+-an=f(n)利用恒等式an=a+(a2-Oi)+(S-az)+.+(an-a11-)(n2fnN，)求解【例3】(2023福建高三校联考期中)已知数列也满足勺-%产篝,且生=T,若%=16外，则正整数攵为()A.13B.12C.11D.10【答案】B【解析】4+=等*,故3-5=白，出=,故q=-；，乙11Iun乙乙故4=-2-2,4 = 164 , gp-2=-1626=-2, ,故2 = 10 ,解得A = 12故选：B【变式3-1】(2023广东佛山高二
9、佛山市荣山中学校考期中)已知S”是数列凤的前项和，q=l,SH =等。一则仅“的通项公式为()A . an = 2n-lB.n=llC.q,=3D. an=2n-【答案】B【解析】由S等为得S-=七/,”2,N两式相减得：SfJT=等4一等凡T即可n+2n+_ n -1 即于凡tan n + 一-n- , BP- = TTT，22,eN .5% -13 所以T=T& = 21an- -1a, a. a, 相乘得：% 3 4 5n + = 一 一 .I % 1 2 3 n- ,即,因为6=1 ,所以a = ；) , W2,WeN Cl I - 22当 =1 时，t71 =-H = l , an=
10、,ntE： B乙乙【变式32】(2023.山西.高三校联考阶段练习)在等比数列-见中，q=lq=0，% = 2 ,则【解析】设等比数列/4的公比为夕，2因为%=T,%-=2,所以4=-=-2,所以向一q=一(一2)Z,则当 2时an-a =a2-al+a3-a2 +一口一(-2严(一2尸-11-(-2)-0产.又4=他满足。”且产，所以凡二攵于【变式3-3】(2023上海普陀统考一模)若数列4满足e=12,an+i=an+2n(nl.nN),则皆的最小值是.【答案】6【解析】由已知出一4二2,ay-a2=4.,an-an=2(w-l)fn2,所以4=4+(。2-4)+(。3一“2)+(6,n-
11、fln-)=12+2+4+2(-1)=12+(-1)=/-+12,n2l又4=12也满足上式，所以q=/-+12,an2-+12121nnn12设F(X)=X+-1,由对勾函数性质知/(K)在(0,2J)上单调递减,在(2IKO)递增，X因此与在3时递减，在4时递增，n又胃=3+-1=6,=4+-1=6,所以%的最小值是6.3344n【变式34】（2023北京高三汇文中学校考期中）已知数列%满足4=1,a2n=n+,1=+.1rwN则集合mam20中元素的个数为.【答案】24【解析】由题意得/“+1-/小=%”=+1,N所以%T=(r+l-1)+(1-%-3)+(3-4)+4=(+.(+I)_
12、+3/7+2_(2n+l)2+4(2+1)+3=I28又=+=+ ,所以为N* ,+1,(为偶数)+4+3/U士哈、-,(为奇数)O当为偶数时，令+l20,解得38,当为奇数时，令+?土3120,因为函数V=Wl誓2的对称轴为=_2,OO当=9时，zr+2+3=1520,所以9,88综上可得集合am20中元素的个数为y+=24.【题型4累乘法求通项】满分技巧_On+1适用于an-t-=f(n)an,可变形为-二加)要点:利用恒等式。n=谭詈j-(产O，n2,dN*)求解Gl02Qn-I【例4】(2023.全国高三专题练习)已知4中，且=2,求数列通项公式.4【答案】二许【解析】数列叫中，,4=
13、2,显然产0,当2时，9=合，十/%_十1,%an今1234-4一3一2一14WT%,二=2号屋二.p二丁丁而刑，4=2也满足上式，所以数列4通项公式是。二丽而.【变式4-1】(2023.山东青岛高二青岛二中校考阶段练习)若数列q满足(-1)4=5+1)gt52),6=2,则满足不等式4,930的最大正整数为()A.28B.29C.30D.31【答案】B【解析】依题意，数列4满足(-1)%=5+1)%52),4=2,凡“+1/、7a”c345nn+/、=(2),所以4=41一=2-=w(+1),%n-ala2an_xI23n-2n-q也符合，所以q尸5+1),qj是单调递增数列，由q,=(+1
14、)930,(+31)(-30)2024的最小正整数的值为()A.4B.5C.6D.7【答案】C【解析】由题，40,又4片=然A,.47=：；,w2,wNr两式相除可得4；=然，上式两边则数，可得5+1)IgaA产Igg,即整=竽，2eN,XX X蜘=j JIgqJ-I 怆/_2 怆4 n3 lga, /1 + 1 ,化简得BL=T ，解得% = 2向，又4=裙，即4=4,所以叫的通项公式为%二2，M/3).,=22232rt+,=22，要使网2024,即当22,解得-3+?.且5J+y,所以满足题意的最小正整数，?的值为6.故选:C.22【变式4-4(2023河南高三校联考开学考试激列q的首项
15、为2等比数列J也满足2=且2=1,则“2024的值为.【答案】2【解析】设等比数列也的首项为4，公比为夕，利用等比数列定义可知。=UWT=乎所以可得?=4产，?L=AqNW=/.aM-Ian-2U(-2)(r-l)由累乘可得殳-a=*%。+-?=邛T.q一，an-lan-2a(n-2Mn-l)整理可得%=4Tq-L2O222(P3所以/24=4申3.4=力严3./31x2023=2但0Ur3,又H2=W=1,所以可得咏4=2(*产户=2；即明=2.【题型5构造法求通项】满分技巧1、形如一=Pq+4(其中P国均为常数1且q0)型设%+=p(an+2),展开移项整理得i=pall+(p-),与题设
16、all+l=pan+an+l+=p(an+-)=an+=pan_+,即!“+构成以p-p-p-pp-p-1J4+一为首项，以为公比的等比数列.P-I2、形如=M,+()(01)型(1)当f(n)为一次函数类型(即等差数列)时：设4+4+8=pan,i+A(n-i)+B,通过待定系数法确定A、B的值，转化成以al+A+B为首项，以M=为公比的等比数列q+A+8；(72-777)!(2)当f(n)为指数函数类型(即等比数列)时:法一：设凡+f(n)=pan,l+fn-1),通过待定系数法确定z的值，转化成以a1+2/(1)为首项，以M=启而为公比的等比数列+f(n),再利用等比数列的通项公式求出a
17、nf(n)的通项整理可得4.法二：当/5)的公比为q时，由递推式得：-=pan+f(n)一，4=p%+fn-1),两边同瞭以q得a”q=pq%+557),由两式相减得4川-q。=P&-的二),即%扑二叫=P,构造等比数列。an-ln-法三：递推公式为。向=pan+夕(其中p,q均为常数)或/=pan+H(其中p,q均为常数)时,要先在原递推公式两边同时除以1川，得：=K3+l，引入辅助数列(其中4=2),得：qqqqq【例5】(2023.江苏淮安吁胎中学校考模拟预测)在数列对中，6=1,且%=24+1,则4的通项为()A.an=2,-B.q=2C.a,l=2,+D.an=211+l【答案】A【
18、解析】二%=2/+1,，an+i+1=2（al,+1）,由q=l,得4+1=2,J数列4+1是以2为首项，2为公比的等比数列，a+l=2.2n-,=2w,即可=2-1.故选：A【变式5-1（2023宁夏石嘴山高三平罗中学校考阶段练习）已知数列/中，4=4,凡“=44-6,则4等于（）A.22n+l+2B.22rt+l-2C.22rtl2D.22wl-2【答案】C解析Q-向=44-6,.an+l-2=4（an-2）,所以=4所以数列4-2是一个以2为首项，以4为公比的等比数列，%乙所以可一2=2Xr-,见=22n-+2：C【变式52】（2023全国模拟预测）（多选）已知数列4的前项和为S.,满足
19、4=1,。角=2“+，则下列判断正确的是（）A.53=11B.4=19C.58=721D.a9=758【答案】BCD【解析】由。用=24+,可得：n（+l）+l=2（qt+l）所以数列如+1是首项为4+1+1=3,公比为2的等比数列，则为+m+l=32,故勺=3x2Z-L所以阴=3x2-2-1=3,d3=322-3-l=8,=323-4-l=19,9=328-9-1=758.则S3=%+%+%=l+3+8=12,所以选项A错误，选项B、D正确.因为S8=q+4+=3（2+2,+27）-（2+3+9）=3-8x（j42）=721所以C正确.故选：BCD.【变式53】（2023.山西太原高三统考期
20、中）（多选）已知数列q中，4=1,%=4+2（N）,则下列结论正确的是（）A.%=13B.4是递增数列C.alo0,即勺，所以q是递增数列，所以B正确；由q。=2o1=1023100。，所以C错误；由隔尸2向一1,24+l=22-2+U,所以-=+1,所以D正确.故选：BD.【变式54】(2023浙江模拟预测)已知数列&的前项和为S=1,%=2q+2.(1)试求数列依的通项公式；(2)求九【答案】(1)q=(2-12T;(2)S.=(2-3)2+3【解析】(I)由题意=24+2。两边同时除以2%将其变形为蔚=A1,即爵-堂=】，由等差数列的定义可知修是以首项为今=；、公差为=1的等差数列，所以
21、货g+(-I)XI=等，即=(21)2.(2)由(1)可知=(2-1)2显然当=1时，有=4=1,当2,(N)时，有SZl=IX20+3x2+(211-1)2m-,所以2S,=1x2+3x22+.+(2h-3)2m-,+(2i-1)2z,两式相减得S“=一1一2(2+2?+2T)+l1)2=一fx21，；)+1)x2=-l+4(l-2n-,)+(2n-l)2n=3+(2H-3)2rt.而当=1时，也有S=(2-3)稣3=l,牡艇：5=(2z-3)2fl+3,zzN【题型6倒数法求通项】满分技巧形如。1=*J(P,ql,是常数)，可变形为二一=；2+?qan+ran+PanP要点：若P=，则是等
22、差数列，且公差为，可用公式求通项；若P”,则转化为%+l=SM+t型,再利用待定系数法构造新数列求解【例6】（2022.重庆.高三西南大学附中校考阶段练习）已知数列4满足：=1,%=5eN+）,贝|”=()A.1B.C.D.31326364【答案】C【解析】由题意，；=审=：+1，即;+l=2（3+l）,故彳J=2,%+lanant*tlanljan又因为:+1=2,所以数列；+1是以首项为2,公比为2的等比数列，aan从而;+1=2x21解得.故选：C.463【变式61】（2023全国高三课时练习）已知数列%满足%=*%.=2（2：；）氏+1，则数列q的前2017项和S207=()20162
23、0174034C4033A.B.C.D.2017201840354034【答案】CZ【解析】根据题意，有；LT=4+2,于是十=22_；,进而_LrLrI22)14034于是s“=Jy7，进而S刈7=XK故选：C2n+14035r、c2【变式6-2（2023河南郑州统考模拟预测）已知数列叫各项均为正数，4=3,且有=3-丁，则勺=ttn2n-2n-d2【答案】DC2【解析】a=3-显然若4-2=0,则-2=0,则WeN*,%=2,与题意矛盾，所以叱N,，。，两边同时取倒数，得:=,l1/、设H=力1,%=l+2,+l=2(+l),an乙因为4+l=2/0,故+1工0,故与。=2,所以也+1为等
24、比数列，所以4+1=2x2M=2，故a=2”一1,所以4=2-l,an-故4=；+2,故选：D.Z13【变式6-3】(2023湖南长沙高三湖南师大附中校考阶段练习)已知数列叫的首项6J,且满足3all111Io,广彳,若二+丁+丁+丁，则的最大值为-十，uIa2u3un【答案】1512tz+321I121I212解析因为I=F-=?+丁，所以=丁+，即力一一丁=3，且丁=，un+lDanJUnuw+lUnDrlUnjU1”I99所以数列-是首项为5，公差为5的等差数列.IAJ3312/八22n可求得丁=+(E=l，/1(2+2)所以IlllIlI1=2xl+2x2+2x2_(+1)，ala2a
25、3an333即当W81,(+1)2-2_1(/*2,1Cit/所以,是以3为首项，以!为公差的等差数列，MJ22所以=：+(-l)d=g+(g)(-1)=1,所以4=：(gN*).【题型8不动点法求通项】满分技巧(1)定义：方程/(x)=的根称为函数/*)的不动点.利用函数八幻的不动点，可将某些递推关系=/(%)所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种求数列通项的方法称为不动点法.(2)在数列%中，为已知，且2时，att=p*+q(p,g是常数),当P=IB寸，数列伍为等差数列；当P=O时，数列“为常数数列；当PWLq=O时，数列an为等比数列；当PO,1应0时，称X=RV+q是数列伍
26、”的一阶特征方程,其根X=)-叫做特征方程的特征根，这时数列%的通项公式为：。=(4-x)i+X；I-P(3)形如=州，a2=m2,a.=Panl+qalt(P、7是常数)的二阶递推数列都可用特征根法求得通项册，其特征方程为Y=p+g(*).(1)若方程(*)有二异根、,则可令勺=c1an+c2n(c1、Q是待定常数)；(2)若方程(*)有二重根=,则可令%=(C+Q)(G、c?是待定常数).(其中q、C2可利用力=m1,出二叫求得)N ,且2 )求数列4的通项公式.,1【例8】(2。23全国高三专题练习)若q=KrA-s三t3-2n【答案】q二心【解析】根据迭代数列为=三丁，构造函数/(力=
27、:，易知/()有唯一的不动点=1,/一4TL-X根据定理3可知=0,b=lc=-l,d=2,1.r是以首项-;，公差为T的等差数列.一1zIj49则对应的通项公式为丁7=-5+(T)(T)=5一，解得见=当。“一I，z-2n又4=T也满足上式.O-9n/的通项公式为4=厂.12【变式8-1】(2023.全国高三专题练习)已知数列对满足性质：对于eNq-=*+，且=3,求叫n的通项公式.【答案】翁Xa4*4解析】依定理作特征方程X=老F,变形得2f+2X-4=0,其根为4=1口=-2.2x+3故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第(2)部分，则有 p-,r-I3-11-123 + 2 U +
28、22H-I,N“=滂g”,即“翁f”N.【变式8-2】（2022全国高三专题练习）已知数列的递推公式勺+广m，且首项6=5,求数列%的通项公式.3【答案】=-23-2【解析】令。向二%=.先求出数列的不动点X=,解得再=W=2.X-I3a-4将不动点R=W=2代入递推公式，得6+2=十7-2,a”T整理彳导为X-2=Al4“-I11./,=F1%厂22令H=T，则+=d+，z,=.%-2123，数列,是以;为首项，以1为公差的等会列.，他的通项公式为2=4+（一1）二一.将”=力代入，得力=一石，,q=3+2.见一2。”一，53/2-2【变式83】（2023.全国高三专题练习）数列q满足下列关
29、系：4=2。z+i=2-,0,求数列6的通项公式.【答案】琮11+ _an-aa ,【解析】令函数x）=2-!,解方程/3=X求出不动点=J于是2a是以为首项，公差为L的等差数列，ax-aaa?+(w-l)-=-+(/-1)-=-a=a+-al-aaaaa“23【变式8-4】（2023全国高三专题练习）已知数列比满足玉=4,%=比三.求数列上的通项公式.2n,+l.【答案】31x2-3【解析】依题XE=其三记/(X)=,令/(X)=X,2x-4求出不动点1或3所以aT-I=XZIT=Mi2x-42x-4nnX-3=x-3-3=(A；3):%+TJ%122xn-42x-4，FtUX-1又=*xl
30、-3捐=3,所以J=472-3H2,，泞=泞卜。，Ixl)XJlJIXJTT)XJr.1Jn力lg3-二1=21叫上1-3b3Arfl-3-又啕岁=1,令4=1嗝温，则数列叫是首项为1，公比为2的等比数列.N7Xn-J，”=2小.由q=bg3*4，得芸=3%.%Jh口限时检测（建议用时：60分钟）1.（2023四川内江校考模拟预测）已知数列1,Q,6,6，3,而，师T,则7是这个数列的（）A.第21项B.第23项C.第25项D.第27项【答案】C【解析】因为数列的第项为,ff117=49=225-l,所以7是题中数列的第25项.故选：C2 .（2023天津.高三天津市咸水沽第一中学校考期中）设
31、S.是数列,的前项和，已知=1且4+1=2S,+1,贝J44=（）A.9B.27C.81D.101【答案】B【解析】=1时，=2S+1=3,一2时,-=2Sz+l,作差得-4=2S“-2S*=2at即%=Ml,所以数列4从第二项起成等比数列，所以a=生=39=27.故选：B.3 .（2023陕西安康安康中学校考模拟预测）在数列q中，q=l用=“+1,则7+7+=aa2a2O22()A.2021n4044厂2021-2022,B.C.D.IOll202320222023【答案】B【解析】因为=4+l,故可得%-=2,%-%=3,，an-an,i=n及=1累加可得可一凡-i+%-凡-2+，-4+4
32、=1+2+3+nl则q,=l+2+3+.+”=吗的,所以台品J=?/=!,则+W=2(HM卜+岛-募IHI-/)=瑞故选：B.4.(2023陕西汉中高三统考阶段练习)设数列q满足4=2,且-q=+2,则数列的前9项和为()A型B理C史D理110,220330440【答案】C解析由题设，atl=(all-an)+(an.i-an-2)+(生i)+4=心,，J+2=(j),5.(2023天津北辰高三统考期中)已知数列4的前项和为S-且Sz=2g+1,则%=()A.-32B.-16C.16D.32【答案】B【解析】sfl=M,+1,*Srj+=2a+1，减去得:4+1=2+-2。“，即4”=2可，又
33、.S=%+1,即4=-1,.数列凡是以-1为首项，公比为2的等比数列，G=-24=T6.故选：B.6.(2023甘肃张掖.高台县第一中学校考模拟预测)已知数列勺的前项和为S-若q=2,S-a,S20=()AT2B . 321-20C 320 43C 22C 32 43U .22【答案】D【解析】由邑=ST-34-2,得S.-S*300+2,所以4+=3%+2,所以a,川+1=3(%+1),因为4+1=2+1=3,所以%+1是以3为首项,3为公比的等比数列，所以%+1=3”，所以=3T,所以S20=3+3?+L+320-2=3x13-20=-雌：D201-322斯）等7.（2023全国高三专题练
34、习）数列q满足4+4,+42%+1+4=：（neN-）,则。臼生于（）AMcDa【答案】A【解析】由WN,a+4a2+42ay+L+4TarJ=W,得4=；,当2时，a1+4a2+42a3+4%=,两式相减得则显然6=5满足上式，因此凡$,所以=(J j ： A8.（2022高二单元测试）已知数列6满足。尸1,azf+1=6g=l,公比为3的等比数列，所以崇+J=3,所以勺=23i-2i=2x6i-2.故选:A.9.（2023安徽亳州高二亳州二中校考期中）（多选）已知数列q满足q=-2,?二三（/2/N*）,r-1n1数列q的前项和为S“，则（）A.%=-8B,an=-2nnC.S3=-30D.Srt=（l-n）2n+,-2
