《重难点7-2圆锥曲线综合应用（7题型+满分技巧+限时检测）（解析版）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《重难点7-2圆锥曲线综合应用（7题型+满分技巧+限时检测）（解析版）.docx（46页珍藏版）》请在课桌文档上搜索。
1、重难点72圆推曲演综合问题圆锥曲线综合问题是新高考数学的重难点内容。常见的考点有定点、定值、定曲线、最值范围、证明及存在性问题，主要在解答题的第2问中进行考查，难度较大。在今年的高考中依旧是命题的热点方向。题型1题型2题型3题型4【题型1圆锥曲线的定值问题圆锥曲线的定点问题题型5圆锥曲线综合应用 一题型6题型7圆锥曲线的范围问题圆锥曲线的证明问题圆锥曲线的存在问题满分技巧1、解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段长度，图形面积，角度，直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值，求定值问题常见的解题方法有两种：法一、先猜后证（特例法）
2、：从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；法二、引起变量法（直接法）：直接推理、计算,并在计算推理过程中消去参数，从而得到定值。2、直接法解题步骤第一步设变量：选择适当的量当变量，一般情况先设出直线的方程：y=%x+。或x=点的坐标；第二步表示函数：要把证明为定值的量表示成上述变量的函数，一般情况通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，将需要用到的所有中间结果（如弦长、距离等）用引入的变量表示出来；第三步定值：将中间结果带入目标量，通过计算化简得出目标量与引入的变量无关，是一个常数。【例1】（2023.北京高三顺义区第一中学校考阶段练习）已知椭圆U*3=l（ab0）过点A（2,0）,且
3、离心率为;.（1）求椭圆。的方程；（2）设过点尸（LO）且斜率为的直线/与椭圆C交于M、N两点，线段MN的垂直平分线交X轴于点O,判断祸是否为定值？如果是定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由.v2MNmn【答案】（1）?+?=】；（2）扁是定值,且扁=4【变式11】（2023陕西西安校联考模拟预测）椭圆C：5+g=l（0）的两个焦点分别为6,鸟，离心率为立，R为椭圆C上任意一点，R不在X轴上，ARGE的面积的最大值为52（1）求椭圆。的方程；（2冠点尸。,-1）的直线/与椭圆C相交于MlN两点,设点8（0），求证:直线BM,BN的斜率之和+kRN为定值，并求出定值.【答案】（1）-+V
4、=I；（2）定值，-2【解析】（1）因为椭圆的离心率为,所以=g,2a2设K到耳一的距离为一,因为WF2=2C,所以S,附区=耳片Id=Cd,易得当时4RG鸟面积取得最大值，所以庆=6,因为=/一。2,所以/=4,从=1,所以椭圆C的方程为+V=；4（2）证明：如图，易知点P在椭圆外，设直线/的方程为X=切+机+1,M(XQ),N(x2,y2),Oy2=14彳导(/W?+4)V+(26+2n)y+n2+2z-3=0,X=my+m+1所以() , y1 + y2因为3（0,1）,所以,2nv + 2mm2 + 2m- 3F，y%=湛+4_2lz! k -Azl-,KBN -XX?y - L %
5、_ 苍(y -1)+X (必D1 - 1 1 11所以&BM + %/(加乃+m+l)(yT)+(明+6+1)(%T)2股通+y+)2一2一2(wy+/+1)(6)2+m+l)w2y1y2+(/+加)(y+%)+/+2？+12mm+3)(Tn-I)2rn2+2m.+4一毛“一2时22(-8-4)/2(m+3)(m-l)_2Mm+Dp-+加)+M+2,+18阳+4nr+4/M2+4【变式12】（2023.山东.实验中学校考一模）在平面直角坐标系Xo.V中，点P到点网LO）的距离比至!Iy轴的距离大1,记点尸的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；工2221(2过点/且斜率不为零的直线/交椭圆E+q
6、=1于A尸两点交曲线C于MN两点若画一网为定值，求实数，的值.【答案】(I)V=2凶+2盯(2)1=3.【解析】(I)设Pay),依题意，7(x-1)2=x+1,两边平方并整理，得)7=2M+2x,所以曲线。的方程为V=2X+2x.(2)设AaMf(,y2)fm(孙为)，Na4,%),12(公 + 1)3+ 4左2依题意，设直线/的方程为)=攵(1-1),22A+P2-琛二：VJItK3ItK、.4x,0由(1)知，y=2W+2=o,0,0)的离心率为6 ,圆0:炉+丁=2与工轴正半轴交于点A,点r(,)在双曲线C上.(1)求双曲线C的方程；(2)过点T作圆。的切线交双曲线。于两点M、N,试求
7、用N的长度；(3)设圆。上任意一点P处的切线交双曲线C于两点M、N,试判断归“尸Nl是否为定值喏为定值,求出该定值；若不是定值，请说明理由.【答案】(I)Xjv=I；(2)IMVI=4;(3)IPMHPM为定值，且IFMHPM=2【解析】(1)设双曲线C的半焦距为C,依题意，5=6,即有c=L,则=7二=L,因为点丁(应,四)在双曲线C上，则指一二1，可得。=1,则b=J=,因此，双曲线C的方程为=(2)当切线的斜率不存在时，切线的方程为X=0,此时，圆心。到直线=的距离为&,合乎题意，当切线的斜率S三时，ISffl线的方程为一0二%一应)，即入一)一亚+0=0,由题意可得=,解得&=0,此时
8、，切线方程为y=e)l2+lX=Wk=2=2/厂C联立,可得kHi,即点M(EM),联立;5,可得卜=t或卜=一,，即点N(-近，匈，因此，MN=(2+2)2+(-2-2)2=4.(3)当圆。在点P处切线斜率不存在时，点P(,0)或P(-0,0),切线方程为X=0或X=,由(I)及已知,得IzWl=PWI=近,则有归Mw=2,当圆。在点P处切线斜率存在时，设切线方程为y=H+，设点M(pm)N(W2),则有翼+=五即=2(公+1),由：22/肖去得：佯一2r+2knr+2=,2x-y=2、)2-20=42rn2-4(jt2-2)(m2+2)=82+320,由韦达定理可得N+W=-言，x1x2=
9、,而OM=(3,y),ON=(电,%),贝IOMON=xix2+yiy2=xlx2+(应+n(kx2+m)=k2+ljxx2+hn(xl+x2)w2w* 2 * 4 +2K-2i -2hn 2 -rn-z+ mk2-2m2 + 2k2 + 2-k2m2k2-2+=(:+ /W2 = O I因此。M_LON,TT在RlZOMV中，OP工MN于点Pl则NMop=-NOMP=NONP,又因为NaW=NMFO,所以，RtdPNSRtAMPO,0PPM.1lp所以,扁二扇，则IPMI网=M=2,综上得IPMHPNI为定值2.【题型2圆锥曲线的定点问题】雨后1、参数无关法：把直线或者曲线方程中的变量X,）
10、，当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立，这时的参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于X,y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。2、特殊到一般法：根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。3、关系法：对满足一定条件上的两点连结所得直线定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设直线（或曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识求解。得,即l+4%2=-87,得,1十xK乙o/C所以%=1+M=-*=-圭.所以
11、A8的中垂线方程为），+：=_；1一：,即,=一：.一!82J8故的中垂线恒过点N（M.【变式21】（2023上北京东城高三景山学校校考阶段练习）已知椭圆。：5+，=1（，。0）,长轴长为4,离心率是2（1）求椭圆C的标准方程；（2）斜率为Hk0）且不过原点的直线/交椭圆。于Ad两点，线段AB的中点为E,射线。E交椭圆C于点G,交直线x=-4于点D若OG2=ODW。耳证明：直线/经过定点，并求出定点坐标.【答案】（I）=+/=;（2）证明见解析，（TO）.【解析】（1）由椭圆UE+W=l（b0）的长轴长为4,得2a=4,即=2,crb由离心率是乎，得正史=王五=当，解得b=l,2a222所以椭
12、圆C的标准方程为+V=1.4(2)设直线/的方程为：y=kx+tkO,tO,y=j+fX：4),2=4消去)并整理得：(4公+l)f+8hx+4-4=0,=642-16(42+1)(2-1)0,即4公+1_”0,设4公)伏,当)，则+%=-送Y，乂+必=%（%+&）+2=/、，于是点, 4 + 1 4k+l直线OE的方程为） =-2X ,则点。（Y1）,由,1V = X4kx2 +4/ =416&24&2 +1142 + 116H214+42+l显然点EGD的纵坐标人,%,为同号，由IoGl2=go同得，其二%.九,因此焉彳舟解得,此时3,直线/:O过定点I。）所以直线/经过定点，该定点坐标为
13、(,0)【变式2-2 ( 2023全国.模拟预测)设动点P到定点产(4,0)的距离与到定直线/： x = 的距离之比为2 .(1)求动点P的轨迹E的方程；(2 )若。为/上的动点,A , B为E与X轴的交点,且点A在点B的左侧，QA与E的另一个交点为M , Q8与E的另一个交点为N,求证：直线MN过定点.【答案】(1 ) ?咤=1 ；( 2)证明见解析【解析】（1）设Pay），则 J（A74f + vj=2 , l-1l可得P点的轨迹方程为-7 = 1 - 4 12(2)方法一：设。：冲= x+L Ma，X), N(W,必)，Q(L%) .由题意知 A(-2,0), 3(2,0).联立：二12
14、 ,得（3-1）丁-6噂，+3/-12 = 0 ,所以3 一IWO , = 144 12r2 -48 0 BP 12m2 +/2 -4 0 ,6mt由八，Q,M三点共线知3r-12 3zh2-1 ,1 + 2 x1+2,由B , Q , N三点共线知n=，I - Z 七一Z由两式得=F%. J + Z X)一乙又因为%普=1 ,即y 3（l-2）X1 +2代入式得与I=言即也上整理得(9加+1卜跖-9(+2)(凹+%)+9(/+2)2=0,即(9+1)芝言-9Mf+2)昌+9(/+2)2=0化简得(f+2)(r+4)=0.当时，=-2JMNmy=x-2,直线过定点(2,0),不符合题意，当，=
15、-4时,IMNg=X-4直线过定点(4,0)方法二：设M(APyl),N(z,%)，记法M=k同方法一得式，知弘广-&.设（w：y=K（x+2）,代入3/_y2=2,彳导（3）/一46工一46一12=0.因为-2,占是方程的根，C-4A12-1202k；+6所以-2寸Fr,得寸加,/、12匕代入：Ly=K（+2）得设/即：y=-3%（x-2）,代入3f-y2=2,得（13k；）f+12Rxi2k：4=0,解得出,%=谓.m.jkl.v12人_2k、（21+6令y=0,得X=差;I，,所以直线MN过定点（4,0）.方法三：设MaQJ,方孙必）.A2I?连接MB,由双曲线斜率积的定义知kMAkMB
16、=3=?=3,同方法一得式，知弘M=-&BN.所以kBNkMB=-二一=-9/1IfNi111CGm-ZX,Z设。：阳+(工一2)二1，双曲线方程可化为3(工_2)2_9+2(%2)=0.点M,N满足两式,所以也满足下式：3(x-2)2-y2+i2(x_2)g，+(x-2)=0BP(3+12n)(x-2)2-+12m(x-2)y=0,_y_ x-2-2n-(3+12z) = 0 ,所以有-9二居.广=一（3+12），解得=xl-zX1-L2代入式得噂，=-3工+2，所以直线MN过定点（4,0）.【变式23】（2023.江苏高三校联考阶段练习）已知抛物线=4），的焦点为F,过点A（TT）的直线分
17、别与七相切于点3,C,点。在曲线E上,且在3,C之间，曲线E在。处的切线分别与AB,AC相交于M,N.(1)求AMN面积的最大值；(2)证明：AMN的外接圆经过异于点A的定点.【答案】(I)S八叫=挛；(2)证明见解析O【解析】(1)F(OJ),设BaQJ,c(x2,y2)(b,%)，由题意可知直线A8,AC的斜率均存在，且不为0,设直线AB的方程为y=A(-)+y,与抛物线：/=4)，联立得：f=4MXTJ+4W由相切得：A=O,化简得：&=茎故)=5(一xJ+Y则A8：*=2y+2y,同理可得：AC.x2x=2y+2y2MN.x9x=2y+2yc因为A(T-I)同时在直线A8和AC上，所以
18、-XI=-2+2y1f-x2=-2+Iy1.所以直线BC的方程为：-=-2+2y,即产一氐+1，=+联立，一一5,消X,得/+2x-4=0,X2=4y所以X+W=-2,X1X2=-4x-x2=25.联立直线AB和MN ,联立中=2y+2 x0x = 2y + 2y0解得胃,等)，同理，A（X2+3，yo）所以 IMM2=(当强 j+ ($：2)而 IAO2+5, 所以IMNI =日后N ,|一式 + 2 -2y I因为点A到直线MN的距离dA-AN =-2 所以Si=TlMNI4-2-+4所以当7时，S*=与(2)由(1)得，MN的中点-今),因为竽=!所以如AC,所以的的外心为。,122因为
19、侬2=仔+gj+1.+I+=O,-j4=4)-HH0-H-1)所以IQH=I明，所以.AMN的外接圆经过异于点A的点尸.【题型3圆锥曲线的定直线问题】满分技巧解决圆锥曲线中动点在定直线问题的解题步骤：1、联立直线与圆锥曲线的方程消元；2、挖掘图形中的对称性，解出动点横坐标或纵坐标；3、将动点的横纵坐标分别用参数表示，再消去参数；4、设点，将方程变形解出定直线方程。例3(2023云南高三校联考阶段练习)已知过点(9,每)的双曲线C二1(4080)的渐近线方程为.v=.(1)求C的方程；(2)已知A,8是C的实轴端点，过点(3,0)的直线/与。交于M,N(异于A,8)两点，直线MA与NB交于点P,
20、证明：点P在一条定直线上.【答案】(1)y-=l；(2)证明见解析【解析】(I)因为C的渐近线方程为y=gx,所以2=”,3a3又点(9,狗在C上，所以登=1,解得=3,1,故C的方程为1-y2=.(2)由题意可得直线/的斜率不为0,设的方程为r=7世+3,(mJ),设Ma,y),N(X2,%),X=my+3,联立/T得(病3”2+6仍+6=0,、3则y+%=,2=号，=36w2-24(w2-3)=12n2+720,根据双曲线的对称性,不妨设A是左顶点,4（-6,0），网G、则直线加y=U万（+G），y2XL联立y=Uk+G）与、x+J_Mj+G)_卜(阳乂+3+J)_色力+(3+6卜2X-也
21、凶卜2-网y1(wy2+3-3)m外+卜-司乂_殁防+(3+6)(%+%)-9+代)Kzwyjy2+(3-)y6m6(3 +碎广一3一 3(3 + 6)y JxH3 + 6)-(3 +用 X4(3-3)y. tn -3 v ,4(3-3)v1m -3 v ,(-2-3)4(3-3),1m -3 v 7= -2-3 ,BPx+y=-2-y3,故工+4=(-2-)(x-),得x=lX-y3解得X=I,故点P在定直线=i上.【变式3-1】（2023吉林长春统考一模）过抛物线：2=2/尔0）焦点/，斜率为-1的直线/与抛物线交于A、B两点,IABl=8.（1）求抛物线E的方程；（2）过焦点/的直线,交
22、抛物线E于C、。两点，直线AC与5。的交点是否在一条直线上.若是，求出该直线的方程；否则,说明理由.【答案】（1）9=4x;（2）直线AC与直线BO的交点都在尸-1上【解析】（1）由题意设直线/：y=r+5,A（,y）,5（，必），V=X-n2联立方程组2,消X得，X2-3px+-=O,y2=2px4所以X+X2=3p,AB=xl+x2+p=4p=S,解彳导=2,即指物线E的方程为)，2=4x.(2)由(1)可知X+%=4,M)=T,F(1,O).VA设直线/：X=冲+1,C(x3,j3),D(x4,y4).x=my+1,联立方程组2,消X得V-4殁-4=0,y=4X所以丹+必=4？，y3-,
23、4=-4.-f二yr二4直线AC的斜率为百-七y2y1yi+y3，T-T所以直线AUy73=dr3),即y=与普，y+),3y+)3同理可得殷见尸铛，从而受U百，即4(372+)74)”九2(必一%)+%乂。72)=(凹-切+于-”),解得下一1,所以直线AC与直线BO的交点都在4-1上.【变式3-2】(2023全国模拟预测)已知椭圆C：J+=l(Zl)的左、右焦点分别为耳，B,上顶点为A,耳到直线AE的距离为6,且IA闫=2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若过K且斜率为MkWO)的直线/与椭圆C交于。,E两点，椭圆C的左、右顶点分别为A-A2,证明：直线A。与AE的交点在定直线上.22【答
24、案】(1)+=1;(2)证明见解析43【解析】(1)依题意可得直线柱的方程为*F,即人所公。,-2bcThc1-则K到直线AF2的距离为加言=3.,AF2=yjb2+C2=a=2,a2=c2+b2,故人=有，C=I,所以椭圆c的标准方程为4+4=43(2)由(1)得用(1,0),所以直线1的方程为y=M)(Ao),y=k(x-)X y 一+43可得(3+4&2)x2-8&2力4/一12=0,=1设。(x，yj，E(4必)，显然A0,ficr工8炉。6所以宇=2-/口-x,x2=(x1+x2)-4.由(1)可得A(-2,0),4(2,0),则直线A。的方程为y=(x+2),直线A2E的方程为y=
25、(x-2),X1+NA2-Z设直线A。与42七的交点坐标为（%，%）,则Th（% + 2）=,2(XO-2),故%+2=%(内+2)=1)(%+2)=AMf+2”2x-2X(W-2)(j1-1)(x2-2)x1x2-2x1-x2+2|(占+)44+2/23内+9g12（%+x2）-4-2与-W+2+38-4故直线A。与A2E的交点在直线x=4上.【变式33】（2023.广东广州高三统考阶段练习）已知在平面直角坐标系中，动点Q（x,v）到尸（3,0）的距离与它到直线X=!的距离之比为芈，Q的轨迹为曲线c.（1）求曲线。的方程；（2）过点p（,11乍直线/与曲线C交于不同的两点M、N（M、N在N轴
26、右侧），在线段MN上取异于IMHmh点、N的点H,且满足扁=扇，证明：点”恒在一条直线上.【答案】（1）!-=1；（2）证明见解析【解析】（I ）由题意可得(-y-3)2 + 355X3T，整理可得-=所以，曲线C的方程为=（2 ）证明：如下图所示：因为MP MH而 = 7W 设MP =九PN ,贝!JM=-1HN ,设点用（，乂）、%（七,%）、H（x,y） f由mp = IpN可得（|一不1_，）=义（_|，）2-1）,即沁xl + x2 _ 5If=2(%T)1 + 2)1+儿为.1 + 4由M” = -AHN可得(X-M-J) = -t(x2-x,y2-*) f所以,所以，沁修A4A”
27、 +办2所以，11/22、,54J一分1-221,gp4x-3y-12=0341-21-2所以，点在定直线4x-3y-12=0上.【题型4圆锥曲线的最值问题】满分技巧圆锥曲线最值问题的解题步骤：1、设参数：依题意设出相关的参数，如设点坐标，设比例式的参数，设直线的方程等；2、联立方程：常把直线方程与曲线方程联立，转化为关于X（或y）的一元二次方程；3、建函数：根据题设条件中的关系，建立目标函数的关系式;4、求最值：利用配方法、基本不等式法、单调性法等求其最值。【例4】（2023山东泰安高三新泰市第一中学校考阶段练习）已知椭圆uE=l（小0）经过两点（1）求椭圆。的方程；（2）点M在椭圆。上，求
28、一ABM面积的最大值.64 +25a磊解得:a = 2V2E ,故椭圆方程为【答案】（2）空【解析】（1）椭圆。：+1=1（。匕0）经过两点A又直线AB的方程为：x + y-l = 0 ,（2）阳8=得一=-1,设与直线AB平行且与椭圆相切的直线方程为/：y=T+，-05X_+2_j4+y一,gp5-8三+4(m2-l)=0,=80-16=0fgpm=5,y=-x+n则M为直线/与椭圆在第三象限的切点，此时加=-6/的方程为：x+y+石=0,点M到直线AB的最大距离为直线A8与直线/的距离，d=叵J1I又 IABl =的最大面积S=L成X与石川.2525【变式4-1】(2023.江苏苏州高三统
29、考期中)已知抛物线=2px(p0)的焦点到准线间的距离为2,且点P(九2)抛物线C上.(1)求加的值;(2)若直线/与抛物线C交于A,8两点，且4PB,也_LAB于点。，(0,3),求。的最大值.【答案】(I)E=1；(2)50【解析】(1)因为抛物线U/=2px的焦点到准线间的距离为2,所以=2.又因为点P(?，2)抛物线C上，所以加=1.因为PA PB ,所以即人女心k _)2 _ 4 lv2- y+2，KPB4, 441=-1y+2 y2+2a-*所以y%+2(y+%)+20=0,y-y又直线AB的方程为：f=L,2F4,V2即4-(y+必)、+,必=0,所以直线相：4x-(y1y2)(
30、y2)-20=0,所以直线恒过例(5,-2).因为附_LA3于点D,所以点D在以PM为直径的圆上.即圆心为(3,0),半径为2应.DQb0)的焦距为2J,且h2a217h齐=T(1)求C的方程；(2)A是。的下顶点，过点P(4,0)的直线/与C相交于M,N两点，直线/的斜率小于0,AMN的重心为G,。为坐标原点，求直线。G斜率的最大值.【答案】（i）+y2=;（2）J48a2=b2+c2力22=4【解析】（1）由题可知值+乒=彳，解得从112c=23故C的方程为；（2）设/的方程为丁=攵（工一4）化。），Ma,）,N（x2,y2）.联立方程组y = k(x-4), x2+4y2-4 = 0,整
31、理彳导(1+4 公)/一32 左 2+64%2-4 = 0则A = (-32k2)2-4(l + 4F)(64k2-4) = i6-192F0 ,得女?哈,32F% + %, =-.1- 1 + 42设6伍，儿),因为A(0,T),所以与二号，%=k,f y.+y,-l k(xi+x2)-Sk- 8 攵+ 11 ( 1 8 八、2 6c-x. koc = = k- =-7h F41 ( 1 八 3所以 xl +x2x+x232K32(H k ) =- 4 +-,T74F32 )8当务，即女Y（满足公桔）时，G取得最大值，且最大值猊.【变式4-3】（2023全国.高三专题练习）已知双曲线C经过点
32、网3,五），它的两条渐近线分别为x + Jy = 0和X-3=0.（1）求双曲线C的标准方程；（2）设双曲线C的左、右焦点分别为K、K,过左焦点Fl作直线/交双曲线的左支于A、8两点，求周长的最小值.【答案】（1）y-=l；（2）印【解析】（I）依题意，设双曲线C的方程为X2-3/=2,代入点网3,应）JS=32-3（2）2=3,所以双曲线C的标准方程为y-y2 = l(2)由(1)知，双曲线C的左焦点为耳(-2,0),设A(xqJ B(x29y2),若直线/的斜率不存在，则/：工=-2 ,得43的坐标分别为此时的I = I班| =*，I*=I明由双曲线定义可知：|%|-忸周二2石，所以忸段=
33、 2J+M =手 此时aABK的周长为：M+忸用+忸周+ M周=等+等+芈+苧=印 若直线/的斜率存在，设直线/的方程为y = A(x + 2),由y = k(x + 2)2 、彳导(_342)/一242%_2攵2_3 = 0 ,V2 = 13因为直线/交双曲线的左支于4 8两点， l-320 = (-122)2-4(l-32)(-122-3)所以122 X,+Xy=T OI- -3k20,解得公：,设AABK的周长为z ,则有:z = A+ + A = 23+A + 23+Bj + B = 43 + 2 =43 + 2(xl-x2)2+(yl-y2)2 = 43 + 2(x1-2)2+(-A
34、x2)24 + 21 + 2(x12)2-4x,x2 =4 + 21 + 22-4(-2k2-3-3k1122 + 1)= 43+43公+ 1E设,=3公1,由&2g，得，0，r+1.z=4G+4GXt=娅+.，所以ZWt3/3,+8综上，由可得AA叫的周长的最小值为华.【题型5圆锥曲线的取值范围问题】满分技巧1、利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；2、利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；3、利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；4、利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；5、利用求函数
35、的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.【例5】(2023.云南楚雄高三统考期中)已知动圆P过点A(TO),且在圆B:(工-叶+9=16的内部与其相内切.(1)求动圆圆心P的轨迹方程；(2)若M,N是动圆圆心P的轨迹上的不同两点，点。(-4,0)满足DM=DN,S,三,求直线MN的斜率A的取值范围.【答案】正叵6 , 1010, 6【解析】(1 )设动圆户和圆8相切于点S ,则8 , P , S三点共线,所以 |以|+|啊=| 尸S+PB=忸s=4.所以点P的轨迹是以A(-1,0) , B(LO)为焦点，长轴长为4的椭圆，设该椭圆的方程为 + = 1(。少0
36、),则c = l , a = 2 ,从而匕=6所以点P的轨迹方程为 +1=1 .43(2 )由题意知直线MN的方程为y = k(x+4),设M(XQJ , N(W,%).联立方程组上=?：+,，消去.V得(3+4公)/一24妙+36M=O , 3x +4/ =127由(),可得&2=/+l,联立消去X并整理,得丁-4如，-4=0,x=my+l,设Aa,yj,B(2,y2),则y+%=4z,Jiy2=-4,x1+x2=w(y+y2)2=4m2+2,IAM=l+w2y1-y2=i+m2(yl+y2)2-4y1y2=4(l+n2)易得M点的坐标为(当生巧匹卜(2/+1,2向，AB的中垂线方程为)，-
37、2m=一71一2621)f令X=-I得y=2+4m,P(-l,2+4w),从而IPMl=J(2疗+2,+(-2加-2n)2=2(l+n2)l+m2,.60)经过41,0),B(OM两点.。为坐标原点，且/08的面积为坐，过点网。，1)且斜率为左伏。)的直线/与椭圆。有两个4不同的交点M,N.且直线AM,AN分别与轴交于点S,T.(I)求椭圆C的方程；(2)若以用N为直径的圆经过坐标原点，求直线/的方程；(3)设PS=ZlPO,PT=PO,求+的取值范围.2y2【答案】(1)2+T=1;(2)j=2+1；(3)(2,2)2【解析】(1)因为椭圆ug=l经过点阳，0),所以/=1解得=l(负值舍去
38、).由以OB的面积为可知！，解得八堂4242所以椭圆C的方程为/+f=I.2(2)设直线/的方程为y=行+1,Ma,y),N(2,%).+2V?=联立,，消y整理可得(2%2+l)f+4U+l=0.y=x+因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以A=16224(2F+l)0,解得公,因为k0,所以人的取值范围是所以+w=i4k2k2 + 中2 = 2F+i贝!1 yy =(脑 +1)(也 9=2+A(1 +,)+ =/ Xp-+4k2r+ 1+ 1 =必2k2+,所以直线AM的方程是：yXJ-I因为以MN为直径的圆经过坐标原点，所以OMLQN,则OMv=%x2+%=O，BP77-7+t7=0解得攵=0(负值舍去),/KI1乙KI1所以直线/的方程为y=0+l(3)因为A(LO),P(O,1),Ma方),N(w,%),令=o，解得y=:,所以点S的坐标为o,口7.X/1I/同理可得点了的坐标为0,二.I2-)所以可,W=(O，个一,PO=(0,-1).I王-1)I1J由PS=4PO,PT=PO,可得言TI.y1,kx,-t所以台道+掌广1，同理=詈31,由(2)得N+-&g=J71，所以好=竺11+竺1l+2=2g+(D(N+F)-2+211ikx-1x,-11-(x+x,)+12
