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1、重难点24指对易比较大小8大题型函数比大小”是非常经典的题型，难度不定，方法无常，很受命题者的青睐。每年高考基本都会出现，难度逐年上升。高考命题中,常常在选择题中出现，往往将幕函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序。这类问题的解法可以从代数和几何方面加以探寻，即利用函数的性质与图象解答。题型1直接利用单调性比较大小d、y题型5构造函数比较大小题型2作差作商法比较大小J/题型6数形结合比较大小指对靠比较大小题型3中间值/估值法比较大小一I/题型7放缩法比较大小题型4含变量式子比较大小JX题型8泰勒展开式比较大小【题型1直接利用单调性比较大小】满分技巧当两个数都是指数幕或对数式时，
2、可将其看成某个指数函数、对数函数或幕函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较(1)底数相同，指数不同时，如砂和优2,利用指数函数)=相的单调性；(2)指数相同，底数不同,如H和石,利用幕函数y=7的单调性;(3)底数相同，真数不同，如logrt1和logfl2,利用指数函数y=log,X的单调性;(4)除了指对幕国数,其他函数(如三角函数、对勾因数等)也都可以利用单调性比较大小。【例1】(2023内蒙古鄂尔多斯高三期末)已知=0.7*=IogKBC=43则()4A.bacB.achC.bcaD.abc【答案】A【解析】由于V=07是R上的减函数，则O07彳v.7=1，所以。,1，由于y=io&
3、x是(O,+/)上的增函数，贝贝ogbg8i=o,所以。4。=,所以cl,所以AVaVC,故选：A.【变式口】(2024.广东湛江高三统考期末)已知=k2,b=30-2,C=O.2。，则()A.bcaB.bacC.cbaD.cab【答案】A【解析】因为。=IogoJvlogoG=O,b=3023=l,c=O.2o3（OJ）,所以人。.雌：A【变式l-2（2024天津高三统考期末）设a=24s/=53,则。也C的大小关系为（）A.cbaB.ahcC.hccD.cah【答案】B【解析】因为=23，b=6j=2Iog050.5=1,综上,abcbB.abcC.cabD.cba【答案】A22【解析】易
4、知y=f在（0,+功上单调递增，则（GF=3h=gy,即ac,而由丁=（。1）单调递增，得f3=l,e=l，即cl,又y=l0g3X单调递增，故I=log336=bg3e,则0clh,ft：A【题型2作差作商法比较大小】满分技巧（1）一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；（2）作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法7-【例2】（2023四川成都校联考一模）若4=3Tb*则，b的大小关系为（）A.abcB.bcaC.cahD.cha【答案】D【解析】因为0=3-v3=l,=dd=La-上-人上=U-r=34323=3口x23(_Y2(Y2(-IY2,1而32
5、x23=3,22因为当0,/)时，sinxx3g = l ,则cb ,=324=-2-l/BP32230gl,所以cb4,故选：D【变式2-1】（2024.全国.模拟预测）若二2叫八3吗C=Iogo扑5,则。也。的大小关系为（A.abcB.bacC.bcaD.cab【答案】B【解析】因为函数y=2、在R上单调递增，所以。=2。四,所以c,所以实数0*,c的大小关系为bbcB,cbaC.acbD.bca【答案】Ba.13sn-.解析】-=r=3tan,0isin2O,所以Sin2I,即6-0,右o66综上，cba,故选:B.91【变式2-3（2022全国高三统考阶段练习）已知log/=茄,log
6、=709=08,则正数八，的大小关系为（）ApmnBmnpCmpnDpnm【答案】A999J1【解析】由logn=而，得加=4/=2正/W77；由0.9P=O.8,得。=Iogo.98logo981=2,于是心，所以正数以，的大小关系为，故选:A.【题型3中间值/估值法比较大小】椅与技巧中间值法或1/0比较法：匕戢多个数的大小时，先用0T作为分界点，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小；估值法：（1）估算要比较大小的两个值所在的大致区间；（2）可以对区间使用二分法（或利用指对转化）寻找合适的中间值；【例3】（2024天津红桥高三统考期末）设。=1暇兀/=Iog广，c=M则（）A.abcB.b
7、acC.acbD.cba【答案】C【解析】依题意，a=log2log22=lr=cb,故选：C【变式31】（2023.河北石家庄高三校联考期末）已知=2喝3,b=k）g48,c=3,则（）A.abcB.bcaC.chaD.ba35=3,cab.雌：D.【变式3-2（2023山西吕梁高三校联考阶段练习）设。=Iog37,b=2以，c=O.70则a,b,c的大小关系为（）A.cbaB.cabC.bcaD.bac【答案】B【解析】Sl=log33log37log39=2,所以l2=2,所以人，又因为0.73v.7=l,所以，所以cbcB.cbaC.cabD.bac【答案】A【解析】幕函数），=一在（
8、o,y）上单调递增，故a=产05232=b0,又C=IOgoa32Ac,故选：A.【题型4含变量式子比较大小】满分技巧当比较的几个数都含参数时，可尝试把参数取一个具体的实数，通过估算来比较大小。也可通过函数的单调性，结合图象进行比较。【例4】（2023.安徽淮南高三校考阶段练习）设“=/，。=卢，c=”：其中工丁，则下列说法正确的是（）A.acbB.bcaC.abc2D.c2y,所以,所以=e,b=eni,c=enm,虽然y=e”是单调递增函数，但是1,1无法比较大小，所以，方的大小无法确定，排除AB,c2=e2ww,=/=/+/2小=2（因为/，所以取不到等号），故D正确.故选：D.【变式4
9、-1】（2023.河南模拟预测）（多选）已知Xy0,则（）A.log2（x2+l）log2（+l）B.COSXsyC.（x+l）3（y+l）3D.e-x+,e-j+,【答案】AC【解析】对于A,由y0,得/+I）/+1,又s=iog单调递增，所以2（炉+1）10g2（V+1）,故A正确；对于B,由于g（f）=8S/在（0,2）上不单调，所以COSX与CoSy的大小关系无法确定，故B错误；对于C,由y,得x+ly+l,又Mf)=尸单调递增，所以+l)3(y+l)1故C正确；对于D,由，得r+l-y+l,又(f)=e，单调递增，所以e-ee-,故D错误.故选：AC.【变式4-2】(2023辽宁高三
10、辽宁实验中学校考阶段练习)(多选)已知11，=12,a=12f-l3fb=10,-ll，则下列说法正确的有()A.a0B.bbD.ba【答案】BC【解析】A选项，因为If=12,所以f=Iogu12,令(x)=log(x+l)=,xl,InxIn(X+1)则f(x=箱一X=XlnX-(X+l)ln(x+l),Vfln +1 八刃 2jf+,+l2 2+,+1因为y = 2旬在R上单调递增，故/(力在R上单调递减，所以/(2022)/(2023),即1号|号,。/, . A 错误，因为y =(乎在R上单调递减，故(m B正确；22022 122023 +1由于宗FqV1，0彳产1，即0池1 ,故
11、，+从2，C错误；2023 +l2皿 + 1xx(x+l)ln2x因为m，所以“A72g12l(13,则=1213=12所设一1312*”3=0,故A错误;B选项，由A选项可知，1Iog1112/,=10f-11=IOlog2-11b,C正确，D错误.故选：BC【变式4-3(2023江苏镇江高三统考期中)已知0=31nsin-31nsina,C=3sin6-3sina.则下列选项正确的是()A.bcaB.acbC.bacD.cab【答案】A【解析】0al0sinasiny01a-c=sin5/7-3siny-(sin-3sina)f令/(x)=x3-3x,Are(OJ),/(x)=3(x+l)
12、(x-l)(sin),.4-c0,.c.c-b=3(Sin尸-InSin夕)一3(Sina-Insina),令g(x)=3(X-InX),x(0,l),g(x)=3(：l)g(sin夕)f.c-bQ,.,.ch,/.acb,故选：A.【题型5构造函数比较大小】满分技巧构造函数，运用函数的单调性比较：构造函数，观察总结同构规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了同构规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数规律(1)对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来去除f()外衣比较大小；(2)有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数的单调性、对称性,匕蹴大小。【例5
13、】(2023.陕西.高三校联考阶段练习)已知Q = 2九匕=3、C = /，则叫 C的大小关系为()A . ahc B . hac C . cab D . acb【答案】A【解析】因为 = 2匕b = 3L所以。6=80 ,得x(O,e);令r(x)O ,得x(e,+oo),所以/(力在(0,e)上单调递增,在(e,+8)上单调递减，所以/(e) f MInbInc ,所以力c , abc .故选:A.22022 1O2023 + 1【变式5-1】(2023福建泉州高三福建省德化第一中学校联考阶段练习)设1号，力= fU，则下列说法中正确的是()A . abB .b,2,D错误，故选：B412
14、【变式5-2】(2023重庆沙坪坝重庆八中校考模拟预测)已知,h=,则()A.a2bB,2ahC,ah2D,ha2【答案】A4-a2-1-【解析】由,得微=京3=(1_料，令函数f()=(DeX,0xl,求导得小)=-，0,则函数人#在(0,D上单调递减，=(),BPnbn2l因此力2,所以2?.故选:A,则。，“，c的大小关系为A . acbB . hacC . hcaD. ab0l则Infa)=Xln(1+J),x0令g(x)=/“+|,xo,则小)=2+|+1%X令力a)，。+力-W, o ,贝在(a+8)上颉立,1X故MX)=In(I+刈-士在(0,用)上单调递增，又(O)=O,故MX
15、)=In(I+x)-士0在(0,+上恒成立，将Mx)=In。+力-0中X换为L可得，/1+二|_/0f1+xXkXj1+1X即ln(l+J-占0,故/(x)0在(0,y)上恒成立，所以g(=xln(l+J在(0,y)上单调递增f由复合函数单调性可知/(x)=(1+g)在(O,)上单调递增,故(l+g)(，)(+g),即，故选：D【题型6数形结合比较大小】满分技巧当比较的几个数都可转化为两个函数的零点时，可数形结合，通过函数图象的交点来比较大小。【例6】(2024全国模拟预测)已知”3,(；)=logM=Iogy,则实数。，办、的大小关系为()A.abcB.acbC.cbaD.caO(1)=1-
16、1=-1O,由零点存在性定理得,则y=Iog/在(0,+8)上单调递减，画出y呜j与产Iogfl4的函数图象,y1-2=(Z-可以得到bt(0,l),又乃=,在R上单调递减，画出%=/与力=loX的函数图象,可以看出C0，1),因为Kj=,由“j写得，c=(f3=a综上,caaB.a2eC.cbD.b2l【答案】C【解析】令夕(X)=X+log?%,可知9(x)在(0，+8)单调递增，由a+log2。=H2=ln2+2得9(4)=9(2)所以=2。,由题log?。=。，2h=4-h,2c=4-log2c,令=log2CwR,则c=2,所以有G=4-r,在平面直角坐标系中分别作出/(x)=Iog
17、zX,g(x)=21h(x)=2x,4(x)=41y夕(X)WWSOlba4X/h(x)=4-x由图像可得1呜C=Y匕2+log2C=4,即4+log2C=4,由图像可知a=24所以a+log2C4-log2C=21,B错误；对于C,2c+log2e=4,即2+/=4=2=4/,因为f4-8=2贝!kb,故C正确；对于D,Hj+2fr=2c+log2e=4=Z=4-22c=4-log2e,即力=4-,2。=4T且，所以Av21D错误；故选：C【变式62】(2023.江苏徐州.高三校考阶段练习)已知函数/(x)=Y+x,g(x)=+x(al),MX)=Iog/+x(al)的零点分别为。，/，则(
18、)A.aB.a=aCaD.a+a-【答案】D【解析】令/(x)=V+x=O,即+1)=0,解得工=O,则=O,令g(x)=O,即*=,令(X)=O,gpIogrtX=-X,根据指数函数与对数函数的图象关于y=工对称，所以它们分别与丁二一工交点的横坐标互为相反数，且。,所以v/,故A错误，/=0。，所以B错误；1xI所以A+=O=,故C中昔误，因为,所以+4+y=0T,故D正确，故选：D.【变式6-3】(2022内蒙古呼和浩特.统考二模)若1/2元=3,y2=3,zlnz=3,贝口、y、Z由小到大的顺序是【答案】yxO,yO,zO,xlog,x=3olog,X=二，y2v=32v=-,zlnz=
19、3lnz=-,XyZ3因此，*og2X=3成立的X值是函数Y=g2X与乂=一的图象交点的横坐标，一Xy2=3成立的.V值是函数必=2，与”=2的图象交点的横坐标G,XZ-Inz=3成立的z值是函数X=nX与=的图象交点的横坐标4，X3在同一坐标系内作出函数J=lg2M%=21%=In%,%=一的图象，如图，X1/T!；/hhh观察图象得：f2hh,即yvvz,所以X、KZ由小到大的顺序是y0);lnxl(x0)X(2)exx+l(x7?);exxInx(x0);(l-x)et(xeR)71(3)sin%XtanX(Ox-)【答案】bcl+O.2-l=O.2=c,由函数切线放缩ln(l+x)vx
20、得b=ln(l+0.2)cO.【变式73】(2023全国高三专题练习)在必修第Tffi教材“8.2.1几个函数模型的比较”一节的例2中，我们得至U如下结论当0x4时2d当2xbcB.bacC.cabD.bca【答案】B【解析】因为方=Sing=更，c=2呜=2=*,所以bC,322对于=log43=fog23,令log?,贝!2=3故，6(1，2)当OVXV2或x4时，2xX满分技巧 常见函数的麦克劳林展开式：(1)/ =l + x+-+,所以2,即3,所以a=!g=bl22将a，c两边同时取底数为4的指数得44=4啕3=3,4,=4孝=2生，因为2*2弓=2。，故选：B.x+ 一 +n5 +
21、 1)!(2)sinx = x- + - +(-1)m3! 5!,2m+1(2 + l)!+ o(x2n+2)【题型8泰勒展开式比较大小】(3)丫2V2!V6r2nCOSX=I-+-+(-l)n+(x2)2!4!6!(2)！(4)ln(l+x)=x-(-l)r,-+o(Z+,)23+1(5)=l+2+xn+o(xn)I-X(6)(1+)=1+Ztx+(；Df+O(X2)31【例8】(2023江苏连云港高三海州高级中学校考阶段练习)已知=77,b=2COS示c=8sin,则(Io44A.acbB.bacC.abcD.cba【答案】D【解析】法一、根据题意，构造函数“x)=i-5，ga)=84MX
22、)=平，贝 IJa =,b = 2g 力c = 2h-由泰勒展开式，/(x)=4,g(x)=I+l+o*),(x)=l-4),=l-+-!-+6(x4)=-+-!-+6(x4)切以W21624256v732242561)(-=1-+-!+6(4)=-+!-+6(x4)616120256v796120256v7,一9511111、11IClu9612025613224256J4825630所以G)VgG)T(；),即b0时，/(x)(0)=0,即有xsinx(x0)成立,所以!sin!,得sin0),cos-4贝必，=蚓史*左-I=，cosxcos4x所以函数g(x)在定义域内单调递增，所以当X
23、O时，g(x)g(O)=O,即有IanXx(xO)成立，所以tanJJ,即4tanJl,所以,又b0,所以cb444b综上,cba,故选:D3111【变式8-1已知=记,b=cosw，c=4si/,则()【答案】A241【解析】设x=025,贝Ui=号=I-竽，方=cos;l-j sinc = 4sin-=-41424w1.01251+O2513!5!，计算得cb ,故选A .4【变式8-2（2023广东广州高三华南师大附中校考）a=ln2,=sin-,c=e-4,则”,c的大小关系是（A . cbaB . hcaC . hacD . abc【答案】C【解析】由题意得，b=sinsin=-,因
24、为-210,7101n2,ln20.7旦所以a41一一+=0.68,etuc,综上所述alb,c的大小关系是人c故选：C兀【变式8-312023云南昆明高三校考阶段练习股。=Zlb=cos=sin-这三个数的大小关系为（OJA . abcB . cbaC . cabD . acc2!+ 一 4!,以下是证明过程： 6!令 g(x) = cosx-X2 X4 x61+2! 4! 6!VO-1,而y=sinx在Ox在XW(O弓)上g故x)=一sin%+X在X(0,S上单调递所以W(X)加(。)=。，故r()=8sx-所以/(刈/(。)=。，故N(X)=SinXX所以K(X)&(。)=。,故(X)=
25、-COSX+所以g(x)g(O)=O,故g(x)=cosx-11111131ncz1cosI1+=0.5422472024720/.*,.t.bac,故选:C.smx-x+,6osX1+t2nx+xt1.,增，+在XW(Og)上单调递增，+1在Xqo,|)上单调递增，在e(%)上单调递增-才-3在T呜)上单调递增-0.01=0.53-,6(建议用1 .(2023.陕西西安高三校联考阶段练习)已知。=A.abcB.acbC.c：【答案】D【解析】由。=1吗5/=0.9,2,c=IogO6。.3可得C=a=log35log33=La=log35log332=2,因此可得1v2,062,故c42 .
26、(2023.吉林统考一模)已知=0.3Ifu,3=0.3A.abcB.bacC.c：【答案】D【解析】由)=031单调递减可知：0.3100.31由y=X0单调递增可知:0.32,0.3Ioj3 .(2023.安徽铜陵.高三统考阶段练习)设=28,时：60分钟)log35,=0.9l2,c=Iog06OJ,则()baD.cabog060.3Iog060.62=2,=O.9,2匕，故选：D产，c=0.32tu,则()baD.cab,即。匕；艮所以c江故选：D.b=(；)：c=log.07,贝卜也。的大小关系为()A.ahcB.hacC.bcaD.cab【答案】D【解析】由指数函数），=2,在定义
27、域R上为单调递增函数，所以1=2208=1%61在（。，内）上为单调递减函数，所以1叫60-71叫60-6=1,所以1国。60-728（；尸即CVa3，姆：D.4 .（2023江苏连云港高三统考期中）若。=（g）,b=log*,C=与,则（）A.bcaB.abcC.acbD.calog33=lzC=曰,故。最小，731.8M3X-Iog327=3,所以2-,JJ0Wlog32y-,c,Javcvb,故选：C.5 .（2023浙江模拟预测）若。=1叫23力=1叫12。=0.产，则（）A.bcaB.bacC.abcD.cba【答案】C【解析】依题意，=log023Iog02I=O,0=Iog3Il
28、og3l.2log33=l,即OVbV1,而C=ODOf=I,所以。bvc.ffi：C6 .（2023四川遂宁统考模拟预测）已知。=J,=lg32,C=SinJ,贝（J（）eeA.bcaB,acbC.cabD.cbe,则加,所以第；由I=IOg33=Iogq逐，且89,贝（12沙，所以log323,则2J,所以1吗2log.?6=g；由g=s呜,且W1.04g,根据函数丁=sinX在（Og）上单调递增，则si,Wlog.5Sin/,所以0bc,搬：D.eJ2e .（ 2023广东校联考二模）g = 3+r, = 5-r,c = 2+- ,则（）A . acbB . abcC . chaD. b
29、ca【答案】A【解析】因为=小分=喝百一病一后26cb = J2 -5 += 2322+3-25因为（2+J）2-（2五）2=45-9=柄一如0f112230,250,所以2+J24,所以c-bO,所以c?.故ac力,故选:A8.（2023山东泰安高三新泰市第一中学校考阶段练习）已知。=log0,20.02,=Iog440,C=5”,贝JJ（）A . cbaB . bac C . cabD . ac2,Z=log4402,所以ac,bc,又=l+logs10=l+j!,b=+Iog410=1+-,易知0vlg4vlg5,所以白白,即,所以cacB.cbaC.acbD.cab【答案】C【解析】因
30、为a=9“=（32），=3L23i=3,0j7=3-l73-1=1,即0603?,则 0/ 0,3，所以，=IogO20.2彳k）go2O3logo202=1,即gcc从故选：C10.（2023广东高三茂名市第一中学校联考阶段练习）已知正数，b,C满足2023“=2024,2024=2023,et=2,下列说法正确的是（）A . IogwOlogfrCB.logt.alogt.bC.acbcD.cal,b=Iog20242023l,c=ln2,OVbVI,OvcvLIogac0,.Ioguclogz,c,故A;Ocb,.logr加,c0c故BC错误，D正确.故选：D.11.(2023江西统考模
31、拟预测)设a=，6/3,c=3,+,贝八)A.cahB.hacC.acbD.ahc【答案】C112【解析】a=ee,=-=ln3lne=l,c=3-l+lQg,2=-2=-,所以c=0.99,c=0.9e,则()A.abcB.cbaC.cabD.ac=l-x2,c=(l-x)ejr.设/(x)=XInMoVXVI),贝Ur()=+-2=(l-L0,XXXXj所以/(X)在(0,1)上单调递增,则X-L-21n0,即-2xlnxl-Y,所以.X令g(x)=e-X-I(OVXVl),则g0,所以g(x)在(0,1)上单调递增，贝lg(x)g(O)-0nex+l,所以(1一处1一/，即c,所以力cbB.abcC.bcaD.cab【答案】A【解析】由题意知，。是函数/(x)=%+log2X-4的零点，H153.5.因为/1JJ=IOg25-5=Iogz5Tog222,由图咛(2=8,贝旷图0,由零点存在性定理知，”e6，3)；由题意知，C是函数g3)=+1吗”-3的零点，因为g(g)=log4g_g=Iog,gTogq2=log0,且g(2)=Iog42-1=Iog42-Iog44=Iog4c,+log3Z=c+log4c=3,得l0g36=3ZMOg=3-c,作出函数y=3-x,y=log3x,y=log4x的大致图象，如图所
