基本不等式求最值的类型及方法经典大全.doc

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1、-专题:根本不等式求最值的类型及方法一、几个重要的根本不等式:当且仅当a = b时,“=号成立;当且仅当a = b时,“=号成立;当且仅当a = b = c时,“=号成立; ,当且仅当a = b = c时,“=号成立.注: 注意运用均值不等式求最值时的条件:一“正、二“定、三“等; 熟悉一个重要的不等式链:。二、函数图象及性质(1)函数图象如图:(2)函数性质:值域:;单调递增区间:,;单调递减区间:,.三、用均值不等式求最值的常见类型类型:求几个正数和的最小值。例1、求函数的最小值。解析:,当且仅当即时,“=号成立,故此函数最小值是。评析:利用均值不等式求几个正数和的最小值时,关键在于构造条

2、件,使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项常常是拆底次的式子等方式进展构造。类型:求几个正数积的最大值。例2、求以下函数的最大值:解析:,当且仅当即时,“=号成立,故此函数最大值是1。,则,欲求y的最大值,可先求的最大值。,当且仅当,即时 “=号成立,故此函数最大值是。评析:利用均值不等式求几个正数积的最大值,关键在于构造条件,使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式常常是拆高次的式子、平方等方式进展构造。类型:用均值不等式求最值等号不成立。例3、假设*、y,求的最小值。解法一:单调性法由函数图象及性质知,当时,函数是减函数。证明:任取且,则,则,即在上是减函数。故当时,在上有最小值5。

3、解法二:配方法因,则有,易知当时,且单调递减,则在上也是减函数,即在上是减函数,当时,在上有最小值5。解法三:拆分法,当且仅当时“=号成立,故此函数最小值是5。评析:求解此类问题,要注意灵活选取方法,特别是单调性法具有一般性,配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。类型:条件最值问题。例4、正数*、y满足,求的最小值。解法一:利用均值不等式,当且仅当即时“=号成立,故此函数最小值是18。解法二:消元法由得,由,则。当且仅当即时“=号成立,故此函数最小值是18。解法三:三角换元法令则有则:,易求得时“=号成立,故最小值是18。评析:此类问题是学生求解易错得一类题目,解法一学生普遍有这样一种错误的求

4、解方法: 。原因就是等号成立的条件不一致。类型:利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。例5、正数满足,试求、的围。解法一:由,则,即解得,当且仅当即时取“=号,故的取值围是。又,当且仅当即时取“=号,故的取值围是。解法二:由,知,则:,由,则:,当且仅当,并求得时取“=号,故的取值围是。,当且仅当,并求得时取“=号,故的取值围是。评析:解法一具有普遍性,而且简洁实用,易于掌握,解法二要求掌握构造的技巧。四、均值不等式易错例析:例1. 求函数的最值。错解:当且仅当即时取等号。所以当时,y的最小值为25,此函数没有最大值。分析:上述解题过程中应用了均值不等式,却忽略了应用均值不等式求最值时的条

5、件导致错误。因为函数的定义域为,所以须对的正负加以分类讨论。正解:1当时,当且仅当即时取等号。所以当时, 2当时, 当且仅当,即时取等号,所以当时,.例2. 当时,求的最小值。错解:因为所以当且仅当即时,。分析:用均值不等式求“和或“积的最值时,必须分别满足“积为定值或“和为定值,而上述解法中与的积不是定值,导致错误。正解:因为当且仅当,即时等号成立,所以当时,。例3. 求的最小值。错解:因为,所以分析:无视了取最小值时须成立的条件,而此式化解得,无解,所以原函数取不到最小值。正解:令,则又因为时,是递增的。所以当,即时,。例4.且,求的最小值.错解: ,的最小值为.分析:解题时两次运用均值不

6、等式,但取等号条件分别为和,而这两个式子不能同时成立,故取不到最小值.正解:当且仅当即时等号成立. 的最小值为.综上所述,应用均值不等式求最值要注意: 一要正:各项或各因式必须为正数;二可定:必须满足“和为定值或“积为定值,要凑出“和为定值或“积为定值的式子构造,如果找不出“定值的条件用这个定理,求最值就会出错;三能等:要保证等号确能成立,如果等号不能成立,则求出的仍不是最值。技巧一:凑项例1:,求函数的最大值。解:因,所以首先要“调整符号,又不是常数,所以对要进展拆、凑项,当且仅当,即时,上式等号成立,故当时,。技巧二:凑系数例2. 当时,求的最大值。解析:由知,利用根本不等式求最值,必须和

7、为定值或积为定值,注意到为定值,故只需将凑上一个系数即可。当,即*2时取等号 当*2时,的最大值为8。技巧三: 别离例3. 求的值域。解:此题看似无法运用根本不等式,不妨将分子配方凑出含有*1的项,再将其别离。当,即时,当且仅当*1时取“号。技巧四:换元解析二:此题看似无法运用根本不等式,可先换元,令t=*1,化简原式在别离求最值。当,即t=时,当t=2即*1时取“号。技巧五:在应用最值定理求最值时,假设遇等号取不到的情况,应结合函数的单调性。例:求函数的值域。解:令,则因,但解得不在区间,故等号不成立,考虑单调性。因为在区间单调递增,所以在其子区间为单调递增函数,故。所以,所求函数的值域为。

8、技巧六:整体代换:屡次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。2:,且,求的最小值。解:,当且仅当时,上式等号成立,又,可得时, 。稳固练习:1、:且,则的最大值为( )(A) (B) (C) (D)2、假设,且恒成立,则a的最小值是( )(A) (B) (C)2 (D)13、以下不等式:;.其中正确的个数是( )(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个4、设,则以下不等式中不成立的是( )(A) (B) (C) (D)5、设且的最大值是( )(A) (B) (C) (D)6、假设实数满足,则的最小值是( )(A)18 (B)6 (C) (D)7、假设正数满足,则

9、的取值围是.8、假设,且,则的最小值为.根本不等式知识点:1. (1)假设,则(2)假设,则当且仅当时取“=2. (1)假设,则(2)假设,则当且仅当时取“=(3)假设,则 (当且仅当时取“=3.假设,则 (当且仅当时取“=假设,则 (当且仅当时取“=假设,则 (当且仅当时取“=4.假设,则 (当且仅当时取“=假设,则 (当且仅当时取“=5.假设,则当且仅当时取“=注意:(1) 当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大(2)求最值的条件“一正,二定,三取等(3)均值定理在求最值、比拟大小、求变量的取值围、证明

10、不等式、解决实际问题方面有广泛的应用应用一:求最值例:求以下函数的值域1y3* 2 2y*解:(1)y3* 22值域为,+(2)当*0时,y*22;当*0时, y*= *2=2值域为,22,+解题技巧技巧一:凑项例 ,求函数的最大值。 解:因,所以首先要“调整符号,又不是常数,所以对要进展拆、凑项,当且仅当,即时,上式等号成立,故当时,。技巧二:凑系数例: 当时,求的最大值。解析:由知,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。注意到为定值,故只需将凑上一个系数即可。当,即*2时取等号 当*2时,的最大值为8。变式:设,求函数的最大值。解:当且仅当即

11、时等号成立。技巧三: 别离技巧四:换元例:求的值域。解析一:此题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有*1的项,再将其别离。当,即时,当且仅当*1时取“号。解析二:此题看似无法运用均值不等式,可先换元,令t=*1,化简原式在别离求最值。当,即t=时,当t=2即*1时取“号。技巧五:在应用最值定理求最值时,假设遇等号取不到的情况,结合函数的单调性。例:求函数的值域。解:令,则因,但解得不在区间,故等号不成立,考虑单调性。因为在区间单调递增,所以在其子区间为单调递增函数,故。所以,所求函数的值域为。技巧六:整体代换屡次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。例:,且

12、,求的最小值。错解:,且, 故 。错因:解法中两次连用均值不等式,在等号成立条件是,在等号成立条件是即,取等号的条件的不一致,产生错误。因此,在利用均值不等式处理问题时,列出等号成立条件是解题的必要步骤,而且是检验转换是否有误的一种方法。正解:,当且仅当时,上式等号成立,又,可得时, 。技巧七例:*,y为正实数,且* 21,求*的最大值.分析:因条件和结论分别是二次和一次,故采用公式ab。同时还应化简中y2前面的系数为 , *下面将*,分别看成两个因式:* 即*技巧八:a,b为正实数,2baba30,求函数y的最小值.分析:这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函

13、数问题,再用单调性或根本不等式求解,对此题来说,这种途径是可行的;二是直接用根本不等式,对此题来说,因条件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用根本不等式放缩后,再通过解不等式的途径进展。法一:a, abb由a0得,0b15令tb+1,1t16,ab2t34t28ab18 y当且仅当t4,即b3,a6时,等号成立。法二:由得:30aba2ba2b2 30ab2令u则u22u300, 5u33,ab18,y点评:此题考察不等式的应用、不等式的解法及运算能力;如何由不等式出发求得的围,关键是寻找到之间的关系,由此想到不等式,这样将条件转换为含的不等式,进而解得的围.技巧九、取平方例: 求函数的最大值。解析:注意到与的和为定值。又,所以当且仅当=,即时取等号。 故。应用二:利用均值不等式证明不等式例:a、b、c,且。求证:分析:不等式右边数字8,使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2连乘,又,可由此变形入手。解:a、b、c,。同理,。上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得。当且仅当时取等号。应用三:均值不等式与恒成立问题例:且,求使不等式恒成立的实数的取值围。解:令, 。 ,应用四:均值定理在比拟大小中的应用:例:假设,则的大小关系是.分析:RQP。. z.

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