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1、 振动图像与波的图像及多解问题一、振动图象和波的图象振动是一个质点随时间的推移而呈现的现象，波动是全部质点联合起来共同呈现的现象简谐运动和其引起的简谐波的振幅、频率相同，二者的图象有相同的正弦（余弦）曲线形状，但二图象是有本质区别的见表：振动图象波动图象研究对象一振动质点沿波传播方向所有质点研究内容一质点的位移随时间的变化规律某时刻所有质点的空间分布规律图线物理意义表示一质点在各时刻的位移表示某时刻各质点的位移图线变化随时间推移图延续，但已有形状不变随时间推移，图象沿传播方向平移一完整曲线占横坐标距离表示一个周期表示一个波长例题精选：例题1：如图627所示，甲为某一波动在t=10s时的图象，乙
2、为参与该波动的P质点的振动图象（1）说出两图中AA/的意义？（2）说出甲图中OA/B图线的意义？（3）求该波速v=？（4）在甲图中画出再经35s时的波形图（5）求再经过35s时p质点的路程S和位移解析：（1）甲图中AA/表示A质点的振幅或10s时A质点的位移大小为02m，方向为负乙图中AA/表示P质点的振幅，也是 P质点在 025s的位移大小为02m，方向为负（2）甲图中OA/B段图线表示O 到B之间所有质点在10s时的位移、方向均为负由乙图看出P质点在10s时向一y方向振动，由带动法可知甲图中波向左传播，则OA/间各质点正向远离平衡位置方向振动，A/B间各质点正向靠近平衡位置方向振动（3）甲
3、图得波长4 m，乙图得周期 T1s 所以波速v=/T=4m/s（4）用平移法：xvt14 m（3十）所以只需将波形向x轴负向平移=2m即可，如图628所示（5）求路程：因为n=7，所以路程S=2An=2027=2。8m求位移：由于波动的重复性，经历时间为周期的整数倍时位移不变所以只需考查从图示时刻，p质点经T/2时的位移即可，所以经35s质点P的位移仍为零例题2：如图所示，（1）为某一波在t0时刻的波形图，（2）为参与该波动的P点的振动图象，则下列判断正确的是A 该列波的波速度为4ms ；B若P点的坐标为xp2m，则该列波沿x轴正方向传播C该列波的频率可能为 2 Hz； D若P点的坐标为xp4
4、 m，则该列波沿x轴负方向传播；解析：由波动图象和振动图象可知该列波的波长=4m，周期T10s，所以波速vT4ms 由P质点的振动图象说明在t=0后，P点是沿y轴的负方向运动：若P点的坐标为xp2m，则说明波是沿x轴负方向传播的；若P点的坐标为xp4 m，则说明波是沿x轴的正方向传播的该列波周期由质点的振动图象被唯一地确定，频率也就唯一地被确定为f lt0Hz综上所述，只有A选项正确点评：当一列波某一时刻的波动图象已知时，它的波长和振幅就被唯一地确定，当其媒质中某质点的振动图象已知时，这列波的周期也就被唯一地确定，所以本题中的波长、周期T、波速v均是唯一的由于质点P的坐标位置没有唯一地确定，所
5、以由其振动图象可知P点在t0后的运动方向，再由波动图象确定波的传播方向 二、波动图象的多解波动图象的多解涉及：(1)波的空间的周期性；(2)波的时间的周期性；(3)波的双向性；(4)介质中两质点间距离与波长关系未定；(5)介质中质点的振动方向未定1波的空间的周期性 沿波的传播方向，在x轴上任取一点P（x)，如图所示，P点的振动完全重复波源O的振动，只是时间上比O点要落后t，且t =x/v=xT0/.在同一波线上，凡坐标与P点坐标x之差为波长整数倍的许多质点，在同一时刻t的位移都与坐标为的质点的振动位移相同，其振动速度、加速度也与之相同，或者说它们的振动“相貌”完全相同因此，在同一波线上，某一振
6、动“相貌”势必会不断重复出现，这就是机械波的空间的周期性 空间周期性说明，相距为波长整数倍的多个质点振动情况完全相同2波的时间的周期性 在x轴上同一个给定的质点，在t+nT时刻的振动情况与它在t时刻的振动情况（位移、速度、加速度等）相同因此，在t时刻的波形，在t+nT时刻会多次重复出现这就是机械波的时间的周期性波的时间的周期性，表明波在传播过程中，经过整数倍周期时，其波的图象相同传播距离：传播时间：传播速度：质点振动路程：3波的双向性 双向性是指波沿正负方向传播时，若正、负两方向的传播时间之和等于周期的整数倍，则沿正负两方向传播的某一时刻波形相同4介质中两质点间的距离与波长关系未定 在波的传播
7、方向上，如果两个质点间的距离不确定，就会形成多解，解题时若不能联想到所有可能情况，易出现漏解5介质中质点的振动方向未定 在波的传播过程中，质点振动方向与传播方向联系，若某一质点振动方向未确定，则波的传播方向有两种，这样形成多解 说明：波的对称性：波源的振动要带动它左、右相邻介质点的振动，波要向左、右两方向传播对称性是指波在介质中左、右同时传播时，关于波源对称的左、右两质点振动情况完全相同5已知波速v和波形，画出再经时间波形图的方法平移法：先算出经时间波传播的距离，再把波形沿波的传播方向平移即可。因为波动图象的重复性，若已知波长，则波形平移n个时波形不变。当时，可采取去整留零的方法，只需移x即可
8、。特殊点法：在波形上找两特殊点，如过平衡位置的点和与它相邻的峰（谷）点，先确定这两点的振动方向，再看。由于经nT波形不变，所以也是去整留零，分别做出两特殊点经t后的位置，然后按正弦规律画出新波形。6已知振幅A和周期T，求振动质点在时间内的路程和位移求振动物体在时间内的路程和位移，由于涉及质点的初始状态，需用正弦函数较复杂。特殊情况下如T/2或T时，则比较容易求。当质点的初始位移为x0时，经T/2的奇数倍时x=-x0，经T/2的偶数倍时，x=x0。振动质点无论从哪个位置开始计时，在一个周期内通过的路程为4A，半个周期内通过的路程为2A，但不能说四分之一周期内通过的路程为A。这与振子的计时位置有关
9、。例题3：一列在x轴上传播的简谐波，在xl= 10cm和x2=110cm处的两个质点的振动图象如图所示，则质点振动的周期为s，这列简谐波的波长为cm【解析】由两质点振动图象直接读出质点振动周期为 4s由于没有说明波的传播方向，本题就有两种可能性：（1）波沿x轴的正方向传播在t0时，x1在正最大位移处，x2在平衡位置并向y轴的正方向运动，那么这两个质点间的相对位置就有如图所示的可能性，也就x2一 x1（n十1/4），=400/（1十4n）cm（2）波沿x轴负方向传播在t0时x1在正最大位移处，x2在平衡位置并向y轴的正方向运动，那么这两个质点间的相对位置就有如图所示的可能性，x2一 x1（n十3
10、/4），=400（3 4n）cm 点评：由于波在媒质中传播具有周期性的特点，其波形图每经过一个周期将重复出现以前的波形图，所以由媒质中的质点的振动图象确定波长的值就不是唯一的（若要是唯一的，就得有两个前提：一个是确定波传播方向；一个是确定波长的X围）例题4：如图实线是某时刻的波形图象，虚线是经过0.2s时的波形图象。求：4x/my0波传播的可能距离 可能的周期（频率）可能的波速 若波速是35m/s，求波的传播方向 若0.2s小于一个周期时，传播的距离、周期（频率）、波速。解析： 题中没给出波的传播方向，所以有两种可能：向左传播或向右传播。向左传播时，传播的距离为x=n+3/4=（4n+3）m
11、（n=0、1、2 ）向右传播时，传播的距离为x=n+/4=（4n+1）m （n=0、1、2 ）向左传播时，传播的时间为t=nT+3T/4得：T=4t/（4n+3）=0.8 /（4n+3）（n=0、1、2 ）向右传播时，传播的时间为t=nT+T/4得：T=4t/（4n+1）=0.8 /（4n+1） （n=0、1、2 ）计算波速，有两种方法。v=x/t 或v=/T向左传播时，v=x/t=（4n+3）/0.2=（20n+15）m/s. 或v=/T=4 （4n+3）/0.8=（20n+15）m/s.（n=0、1、2 ）向右传播时，v=x/t=（4n+1）/0.2=（20n+5）m/s. 或v=/T=4
12、 （4n+1）/0.8=（20n+5）m/s. （n=0、1、2 ）若波速是35m/s，则波在0.2s内传播的距离为x=vt=350.2m=7m=1，所以波向左传播。若0.2s小于一个周期，说明波在0.2s内传播的距离小于一个波长。则：向左传播时，传播的距离x=3/4=3m；传播的时间t=3T/4得：周期T=0.267s；波速v=15m/s.向右传播时，传播的距离为/4=1m；传播的时间t=T/4得：周期T=0.8s；波速v =5m/s.点评：做此类问题的选择题时，可用答案代入检验法。例题5：如图所示，一列简谐横波在t1时刻的波形，如图甲所示，质点P在该时刻的振动速度为v，t2时刻质点P的振动
13、速度与t1时刻的速度大小相等，方向相同；t3时刻质点P的速度与t1时刻的速度大小相等，方向相反若t2t1t3t202秒，求这列波的传播速度解析：从振动模型分析，若质点P从t1时刻开始向平衡位置方向振动，在一个周期内，从t1时刻到t2时刻，从t2时刻到t3时刻，对应的振动图象如图乙所示考虑到振动的周期性，则有： t2t1（n14）T n0，1，2 周期为：T=（t2一t1）（n十1/4） n0，1，2 由公式：vT 得出速度v的通解为： v20（nl4） n=0，1，2方向向左 若质点 P从 t1时刻开始背离平衡位置方向振动，在一个周期内，从t1时刻到t2时刻，从t2时刻到t3时刻，对应的振动图
14、象如图丙所示考虑到振动的周期性，则有：t2t1（n34）T n0，1，2周期为：T=（t2一t1）（n十3/4） n0，1，2由公式：vT 得出速度v的通解为： v20（n34） n=0，1，2方向向右答案：v20（nl4）（n0，1，2） 方向向左或v 20（ n 34）（ n 0，1，2，）方向向右123456789 Q RPx/cms/mO例题6：已知在t1时刻简谐横波的波形如图中实线所示；在时刻t2该波的波形如图中虚线所示。t2-t1 = 0.02s来求：该波可能的传播速度。若已知T t2-t12T，且图中P质点在t1时刻的瞬时速度方向向上，求可能的波速。若0.01sT0.02s，且从
15、t1时刻起，图中Q质点比R质点先回到平衡位置，求可能的波速。解：如果这列简谐横波是向右传播的，在t2-t1内波形向右匀速传播了，所以波速=100(3n+1)m/s (n=0,1,2,)；同理可得若该波是向左传播的，可能的波速v=100(3n+2)m/s (n=0,1,2,)P质点速度向上，说明波向左传播，T t2-t1 2T，说明这段时间内波只可能是向左传播了5/3个波长，所以速度是唯一的：v=500m/s“Q比R先回到平衡位置”，说明波只能是向右传播的，而0.01sT0.02s，也就是T0.02s2T，所以这段时间内波只可能向右传播了4/3个波长，解也是唯一的：v=400m/s例题7：一列横
16、波沿直线在空间传播，某一时刻直线上相距为d的M、N两点均处在平衡位置，且M、N之间仅有一个波峰，若经过时间t，N质点恰好到达波峰位置，则该列波可能的波速是多少？ACBD分析与解：本题没有给定波的传播方向，仅告诉我们在某一时刻M、N两点均处在平衡位置，且M、N之间仅有一个波峰由此我们可以推想，处在直线MN上的各个质点在该时刻相对平衡位置的位移可能会有以下四种情况，即波的图像有以下四种图形（如图中A、B、C、D图，各图中均为左端为M，右端为N）：若波的传播方向由M到N，那么： 在A图中，经过时间t，N恰好到达波峰，说明时间t内波向右前进的距离，且，所以波速 在B图中，经过时间t，波峰传到N点，则波
17、在时间t内向右前进的距离，且，所以波速 在C图中，经过时间t，波向右前进的距离，且，所以波速 在D图中，经过时间t，波向右前进的距离，且，所以波速 若波的传播方向从N到M，那么： 在A图中，质点N此时要向下振动，经过时间t，N到达波峰，则时间，在时间t内波向左前进的距离，所以波速 在B图中，经过时间t， N到达波峰，则时间，在此时间内波向左前进的距离，所以波速 在C图中，波在时间t内向左前进的距离，且，所以波速 在D图中，质点N经过变为波峰，所以，在时间t内波向左前进的距离，所以波速所以该列波可能的波速有五种、 其实上述解决问题的方法过于程序化，如果能够判断出八种情况下该时刻波形图上的波峰在传
18、播方向上到N点的距离S，波速v就等于例如：最后一种情况中，波峰在传播方向上到N点的距离，所以波速其它情况读者可自行解决例题8：（06某10）在均匀介质中选取平衡位置在同一直线上的9个质点,相邻两质点的距离均为L,如图(a)所示,一列横波沿该直线向右传播,t=0时到达质点1,质点1开始向下运动,经过时间t第一次出现如图(b)所示的波形.则该波的( )A.周期为t,波长为8LB.周期为t,波长为8LC.周期为t,波速为12L/tD.周期为t,波速为8L/t答案 BC解析 由图(b)可看出,该波波长=8L,质点9此时向上运动,这说明在t时间内,波传播的距离大于一个波长,因质点1开始振动的方向向下,故
19、波传播到质点9时,质点9起振的方向应向下,而图(b)中质点9向上振动,这说明质点9已振动了,故t=+T,T=t,机械波传播的速度为v=,由此可知B、C选项正确.例题9：（07某理综20）图甲为一列简谐横波在某一时刻的波形图,图乙为质点P以此时刻为计时起点的振动图象.从该时刻起 ( )A.经过0.35 s时,质点Q距平衡位置的距离小于质点P距平衡位置的距离B.经过0.25 s时,质点Q的加速度大于质点P的加速度C.经过0.15 s,波沿x轴的正方向传播了3 mD.经过0.1 s时,质点Q的运动方向沿y轴正方向解析 由振动图象可判定t=0时刻质点P向下振动,则机械波向右传播.经0.35 s,即经1
20、T时,P点在波峰,故Q距平衡位置的距离小于P到平衡位置的距离,A对;经0.25 s,即经1T时,P在波谷,Q的加速度小于P的加速度,B错;波速v= m/s=20 m/s,所以经0.15 s波沿x轴的正方向传播的距离s=vt=200.15 m=3 m,C对;Q点图示时刻向上振动,经半个周期,其运动方向沿y轴负方向,D错. 答案 AC例题10：（07某9）如图所示,位于介质和分界面上的波源S,产生两列分别沿x轴负方向与正方向传播的机械波.若在两种介质中波的频率及传播速度分别为f1、f2和v1、v2,则( )A.f1=2f2,v1=v2B.f1=f2,v1=0.5v2C.f1=f2,v1=2v2D.
21、f1=0.5f2,v1=v2解析 机械波的频率是由波源决定的,机械波的传播速度是由介质决定的,所以f1=f2,对介质,波速v1=1f=Lf,对介质,波速v2=2f=f,所以v1=2v2. 答案 C例题11：（08全国16）一列简谐横波沿x轴传播,周期为T.t=0时刻的波形如图所示.此时平衡位置位于x=3 m处的质点正在向上运动,若a、b两质点平衡位置的坐标分别为xa=2.5 m,xb=5.5 m,则 ( )A.当a质点处在波峰时,b质点恰在波谷B.t=T/4时,a质点正在向y轴负方向运动C.t=3T/4时,b质点正在向y轴负方向运动D.在某一时刻,a、b两质点的位移和速度可能相同答案 C解析
22、a、b两质点的平衡位置间的距离为x=xb-xa=5.5 m-2.5 m=3 m,从波的图象可知：=4 m,所以x=.若x=(n+)且n=0,1,2,3时两质点的振动反相,故A项错.由x=3 m处的质点在t=0时刻的速度方向可判断出波速方向为-x方向,此时质点a、b的速度方向分别为+y、-y方向,可知B错,C对.若x=n且n=1,2,3时两个质点的振动同相,故D错.16.（09某物理12）弹性绳沿x轴放置，左端位于坐标原点，用手握住绳的左端，当t0时使其开始沿y轴做振幅为8cm的简谐振动，在t0.25s时，绳上形成如图所示的波形，则该波的波速为_cm/s，t_时，位于x245cm的质点N恰好第一次沿y轴正向通过平衡位置。答案：20，2.75解析：由图可知，这列简谐波的波长为20cm，周期T=0.25s4=1s，所以该波的波速；从t=0时刻开始到N质点开始振动需要时间,在振动到沿y轴正向通过平衡位置需要再经过，所以当t=（2.25+0.5）s=2.75s，质点N恰好第一次沿y轴正向通过平衡位置。9 / 9
