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1、2006振动力学课程本科生考试试题标准答案1 .圆筒质量7。质量惯性矩（，在平面上在弹簧Z的限制下作纯滚动，如图所示，求其固有频率。（10分）解：令X=ASin,X=Acost=三2+(一)22 2r=：(加+4*3 r=(fn+-)i2A2tw2cos2tU=-k=-kcsin2t22 =u maxJmaX(wHj-)x2A692=-ArA-&=I7Vw+7r22.图示的弹簧质量系统，两个弹簧的连接处有一激振力P）二兄sin0的作用，求质量2稳态响应的幅值。（10分）Sijdx+S4J：PSMjdX=J：fxj)jdxZ=II=I利用正交性条件，可得：其中广义力为：y(O=f8jdx=J：F
2、tx-a)jdx=Ft)ja由式(6),可得：qj(t)=Qj()sinj(t-)d=j()J(F(r)sinj(t-)d利用式(3),梁的响应为：S81.MX,t)=EG(x)q)=gi(x)%()JF()sinj(t-)dI=I/=11.j5 .两个均匀刚性杆如图所示，具有相同长度但不同质量，使用影响系数法求系统运动方程。（20分）解：杆1、杆2绕其固定点的惯性矩分别为:nlZ2W2/227,2=11-tl482使用影响系数法计算系统刚度阵（1）如图（1）所示，令=1,对杆1和杆2分别需要施加弯矩M别为：339M11=k,-I-I=-U11144161a3O-k,-1-1=-U24416（
3、2）如图（2）所示，令4=0,%=1，对杆1和杆2分别需要施加弯矩MI2,知22分别为：33144k33IIQ1M22k,-l-l+kl-I-I=-U2+-U222441221642因此，系统刚度阵和质量阵分别为-kll2-U216116,如汕YkJ因此，系统运动方程为O=、，4仇一一一占1-4216l+-99-l_一2/+、，6 .如图所示量自由度系统。（1）求系统固有频率和模态矩阵，并画出各阶主振型图形；（2）当系统存在初始条件X1(0)/(0)_X1(O)土2(0)_时，试采用模态叠加法求解系统响应。（20分）7777)解答：运动微分方程为:MOp1IpZ:-kJX11.，山2_!A2山
4、2令主振动为sin(+0)，或直接采用（K口2知）0=0,有:2k-m1-k2k-m2z2-a-12-a22-a-12-a=0，得出:=1,a2=3因此，有:先将四=1代入，有:-=O-+02=0令我二1，则有必二1，因此第一阶模态为：“D=同样将%=3代入，令。2=1，有私=T，因此第二阶模态为:-1所以，模态矩阵为:-1令X=Xp,原微分方程变为:2mO模态空间的初始条件为：2tnxp22k0O6kj_xp2XP(O)=TX(O)=1/21/2O-1/21/2Ix0因此可解得:Xp(0)=-,X(0)=Xo/2XO/2=XPl(O)CoSG/=f=XP2()COSgr=所以，有:X=X7
5、.如图所示等截面梁，长度为/,弹性模量为E,横截面对中性轴的惯性矩为/,梁材料密度为/9。集中质量m,卷簧刚度%,直线弹簧刚度七。写出系统的动能和势能表达式，系统质量阵和刚度阵表达式。(10分)OJhXb解效.动鼠TfN旬全+“咋)=g(Mo+M)Mim(xa)(xa)eRniln质量阵：M=M0+M1M0=jpSreR,0t,1势能：YJH*+畀竽J+*(E)=#(/+笛+()0刚度阵:K=Ko+K+(=kT0)g)wRgK()=EIndxwRgK2=kWK)Qc)wRM2007年振动力学期末考试解答第一题(20分)1、物块M质量为如。滑轮A与滚子8的半径相等，可看作质量均为m2、半径均为，
6、的匀质圆盘。斜面和弹簧的轴线均与水平面夹角为从弹簧的刚度系数为匕又mgm2gsinb,滚子8作纯滚动。试用能量法求：(1)系统的微分方程；(2)系统的振动周期。2、在图示系统中，质量为如、半径为R的匀质圆盘，可沿水平面作纯滚动。质量不计的水平直杆43用钱链A、8分别与圆盘A、匀质直杆BC连接。杆BC长为1.质量为机2,在8连接一刚度系数为k的水平弹簧。在图示的系统平衡位置时，弹簧具有原长。试用能量法求：(1)系统的微振动的运动微分方程；(2)系统的微振动周期。解1：系统可以简化成单自由度振动系统，以滚子B的轮心位移工作为系统的广义坐标，在静平衡位置时x=0,此时系统的势能为零。系统动能和势能为
7、：T=-TW1X2+(-m2r2)(一)2+-Tn2X2+(-m2r2)(一)2=-(m1+Im2)x2222r222r2V=-kx12在理想约束的情况下，作用在系统上的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，则有：1,1(w1+Im2)x2+x2=E上式两边对/求导整理得动力学方程为：X+x=0W1+Itn1振动周期为：T=如=2%叵互%Nk解2：系统可以简化成单自由度振动系统，以匀质轮轮心A的位移X作为系统的广义坐标，在静平衡位置时X=0,此时系统的势能为零。系统动能和势能为：rr112/尤213D)文21/31,27=3.加2/(7)=(w+2)ZJ1.ZZK乙1.JV=-m2g1.-cos
8、()+kx2在理想约束的情况下，作用在系统上的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，则有:T+V=g(m1+w2)x2-m2gl-cos()+kxt=E上式两边对，求导，得：311X(m+w2)x-w2sin(-)+Arx=0xz,则系统的微分方程为:,1k_”gx+-JX=O31m.+-n02I3固有频率为：3fn2g-m,+m.2,32振动周期为:第二题(20分)在图示振动系统中，己知：物块的质量为m,两弹簧的刚度系数分别为公、心，有关尺寸1.、8已知，不计杆重。试求：(1)建立物块自由振动微分方程；(2)求初始条件/=、/=下系统的振动运动方解：系统可以简化成单自由度振动系统，以物块的位移
9、X作为系统的广义坐标，在静平衡位置时x=0,此时系统的势能为零。程。假定在质量m上作用有单位力1。则%产生的变形量为:通过对O点区力矩平衡，可得在单位力1作用下A点的变形量为:由。二为可得杆的微小角度h”自，因此可以得出由于当而引起的弹簧1位置上的变形量6；：因此质量m在单位力作用下的总的变形量为:1-1.A则由“，可得等效刚度为:系统的运动微分方程为:nx+ZeqX=O固有频率为：k网m(1.2cl+b2k2)当初值。=4,。=0时:X=ACoS(gf)第三题(20分)在图示振动系统中，己知：二物体的质量分别为叫和加2,弹簧的刚度系数分别为匕、&、“3、3、与，物块的运动阻力不计。试求:(I
10、)采用影响系数法写出系统的动力学方程;.=kd=kti=k(2)假设叫二加2=m，k=k?=k,3,求出振动系统的固有频率和x(0)相应的振型；(3)假定系统存在初始条件1./()x1(0)*2(0)62，采用模态叠加法求系统响应。解：(I)系统可以简化为二自由度系统，分别以二物体的位移内、M为系统的广义坐标。由影响系数法求广义刚度阵。M=1，/=,由力平衡关系可得:=kl+k2左21=一左2b.x=02=1,由力平衡关系可得:则系统自由振动方程为:IZ=o(2)代入参数可得:2k-k-kX12k系统振动的频率方程为:m24-4kn2+3k2=0解得系统得固有频率:2k2嗔k助=-CO2=3一
11、tnm将它们分别代入:2k-m2-k-kIk-mar分别得两阶模态:-1-1(3)模态矩阵写作:，则有:_2j_2计算主坐标，有:计算主质量,11/+产115%+产主刚度：Mp=M=02m2k06k转化为主坐标卜初始条件:1=0：13xp(0)=,X(O)=x0)=,X(O)=-2易知，主坐标解为:3cosy1r+-sin1z例2.=COSW+sint2所以，系统响应为:图1第四题(20分)在图示振动系统中，己知：匀质杆A8,质量m=3kg,长为1.=2m,弹簧的刚度系数M=2N/m,k2=1Nm,设杆AB铅垂时为系统的平衡位置，杆的线位移，角位移均极微小。在质心。点作用有一水平力/7=sin
12、w/。以质心水平位移X和转角夕为广义坐标。试求：（1）系统的动力学方程和固有频率；（2）问卬的值等于多少时，才能使系统的强迫振动为转动而无平动？并求该强迫振动方程。解：（1）系统可以简化为二自由度振动系统。首先由影响系数法求广义刚度阵。a.令x=l,e二,如图所示。由力平衡关系可知:Kl=K+后2题=（Z2-K）Tb.令=,=,如图所示。由力平衡关系可知:船=（Z2-陪222=（他+匕）二可得系统自由振动方程如下：mOOml21.12代入参数数值，可得：图2k、-k(左2-*x-2(%2+)-o明盘制3-3ty2-1八2=O频率方程：T3-即：34-122+8=06233图3（2）系统微分方程
13、30x3.O1-Sind强迫振动解：X=XSinW%Sin3,代入方程得:3-3-1-13-d?2解得：3(0x-3(l-2X3-t2)-l二七123-6y23(l-dx=-MES)Yx=Kpi(15)常数MW和KPi分别称为第j阶主质量和第，阶主刚度，由（9）可得:而=S1.MPi(16)如果主振型中的常数按下列归一化条件确定:pSdx=Mpi=/=12,Kz12则得到的主振型称为正则振型，这时相应的第，阶主刚度Pi等于灯。上式与（11）合写为：pSijdx=ij由（9）、（12）、（13）则得到：RESMjdX=,（oj（ESdJdX=-=4j其中：eJ1i=Jjlij2008年振动力学期
14、末考试试题第一题（20分）1、在图示振动系统中，已知：重物C的质量/川，匀质杆AB的质量mi，长为1.,匀质轮O的质量m3，弹簧的刚度系数匕当AB杆处于水平时为系统的静平衡位置。试采用能量法求系统微振时的固有频率。解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物C的位移y作为系统的广义坐标，在静平衡位置时y=0,此时系统的势能为零。AB转角：中=y1.系统动能：m2动能J=SM；=Q0=g,Q(少T/及WSR）*）?=；（；人）夕m3动能：222R22系统势能：V=一加话）+机2g（；y）+g-gy）2+v=l(w7l+在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，因而有:+；根3)
15、V-mlgy+m2gy-l-(y)2=E上式求导，得系统的微分方程为:.k口,尹ii-y=E4(w1+-w2+-W3)固有频率和周期为:k114(77i+-W2+-W3)2、质量为如的匀质圆盘置于粗糙水平面上，轮缘上绕有不可伸长的细绳并通过定滑轮A连在质量为m的物块B上；轮心C与刚度系数为太的水平弹簧相连；不计滑轮A,绳及弹簧的质量，系统自弹簧原长位置静止释放。试采用能量法求系统的固有频率。解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物4的位移X作为系统的广义坐标，在静平衡位置时x=0,此时系统的势能为零。物体B动能:TT=-tn2x221.1.Vc=-X(D=X轮子与地面接触点为速度瞬心，则轮心
16、速度为2,角速度为2R,转过的角度U=X为2RO轮子动能：1Olol1,1191913.T2+-J=-hi(-x-)+-(-i-)(-i)=-(w1x)系统势能：V=1k(R)2=-k(-xR)2=-x2222IR8在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，有:T+V=1(-+H)2+-X2=E2 828上式求导得系统的运动微分方程：3m1+8机2固有频率为:2k3 W1+Zm2第二题（20分）1、在图示振动系统中，重物质量为小，外壳质量为2m,每个弹簧的刚度系数均为瓦设外壳只能沿铅垂方向运动。采用影响系数方法：（1）以制和M为广义坐标，建立系统的微分方程;（2）求系统的固
17、有频率。解：系统为二自由度系统。当xl=l,x2=0时，有：kll=2k,k2l=-2k当x2=l,x2=l时，有：k22=4k,k12=-2k因此系统刚度矩阵为：-Ik-2k-2k4k系统质量矩阵为：m00Itn系统动力学方程为:频率方程为：一、lk-m2-2k八(2/因此有:当.x2W.=q,=3cos691r+6costy2r%“)4cos卯一4cos打第四题（20分）一匀质杆质量为m,长度为1.,两端用弹簧支承，弹簧的刚度系数为k和k2。杆质心C上沿X方向作用有简谐外部激励Sin3。图示水平位置为静平衡位置。（1）以X和夕为广义坐标，采用影响系数方法建立系统的振动微分方程；（2）取参数
18、值为m=12,1.=fki=,k2=3f求出系统固有频率；（2）系统参数仍取前值，试问当外部激励的频率。为多少时，能够使得杆件只有夕方向的角振动，而无X方向的振动？解：（1）系统可以简化为二自由度振动系统，选X、4为广义坐标，X为质心的纵向位移，q为刚杆的角位移，如图示。当工=1、e=时：%=G-%)当冗二、e=时:1.lkn=(k2-kl)-&2=化+&)了因此，刚度矩阵为:&+&(&2-占)41.1)(k2-1)-(|k1)-24质量矩阵为:m00mis12系统动力学方程:tn112(k2-)-Z2(Zlk2)1(2)当m=12,1.=,k=I,e=3时，系统动力学方程为:120频率方程为
19、:SinGf04-12就11一。0=O即:12iy16就+3=0求得:X(3)令1.q-sinof代入上述动力学方程，有:4-12y211l-1同一同由第二行方程，解得1一刃2,代入第一行的方程，有：_-13一(4-122)-l夕=-(4-122)-1要使得杆件只有夕方向的角振动，而无X方向的振动，则需元二,因此G=1。第五题(20分)如图所示等截面悬臂梁,梁长度为1.,弹性模量为E,横截面对中性轴的惯性矩为7,梁材料密度为0。在梁的“位置作用有集中载荷尸”)。已知梁的初始条件为：y(,0)=f(X),y(,0)=人(X)。()推导梁的正交性条件；(2)写出求解梁的响应义匹。的详细过程。(假定
20、已知第,阶固有频率为例，相应的模态函数为03),i=l8)梁的动力学方程为：OX2y(xj)x2F(I)f(x9t)=F(t)(x-a)f内为方函数。解：(1)梁的弯曲振动的动力学方程为：52y()2y(,t)t2=0y()可写为:y(x,t)=O(X)4)=(x)asrn(t+)代入梁的动力学方程，有:（Ely=1pS设与例、叼对应有R、,有:(EI=-pSi(1)(Elp=此pSjQ)式（1）两边乘以为并沿梁长对X积分，有：RE1憎dx=*鼠PSMjdX（3）利用分部积分，上式左边可写为：鼠j（El戕改=D1忒+1EI删dx由于在梁的简单边界上，总有挠度或剪力中的一个与转角或弯矩中的一个同
21、时为零，所以,上式右边第一、第二项等于零，成为：Sj（EI戕心=日蝌dx将上式代入（3）中，有：El-jdx=5（冰tjdx（$）式（2）乘并沿梁长对X积分，同样可得到:Eli,jdx=喇冰,jdx由式(5)、(6)得：(f-j)pSijdx=0如果W时，例i,则有：Wm=O当W（8）上式即梁的主振型关于质量的正交性。再由（3）及（6）可得:第地机dx=0（为（以娟公=O当./上两式即梁的主振型关于刚度的正交性。当时，式总能成立，令：kps牝CbI=MpjMM、K）即为第j阶主质量和第/阶主刚度。由式（6）知有：MPj如果主振型的Cr）中的常数按下列归一化条件来确定:IKO加=%=(9)则所得
22、的主振型称为正则振型，这时相应的第/阶主刚度KPj为j式（9）与（8）可合并写为：1）小四*热由式知有四汐X=哦j(El)ndx1jij(2)悬臂梁的运动微分方程为：E/答+於察=f(xj)OXOt(1)其中：f(x9l)=F(t)(x-a)(2)令：8y(x)=ZA(X)/F(3)代入运动微分方程，有：E(EIGYqi+pSiqi=f(x9t)f=/=I(4)上式两边乘四()，并沿梁长度对X进行积分，有.：(E0Yjdx+QipSiidx=Cf(x,t)jdx*=(5)利用正交性条件，可得：句+瓯.)=0)(6)其中广义力为：Qj(t)=J：ft)jdx=J：F(t)x-a)jdx=F(t)j（八）初始条件可写为:y(x,O)=1(R)=Zix)qi(O)=夕(x,O)=f2(x)=SxM(O)I(8)上式乘以於为(X),并沿梁长度对X积分，由正交性条件可得:qj(0)=J：pSJ(x)j(x)dx(9)qj(O)=rpSf,x)j(X)dx由式(6),可得：,(0)1f1.qj(Z)=/(O)COSGjf+sin”+jQj()sinj(t-)d,(0)1l(10)=qj()cosjt+-sinjt+-j（八）jF()sinj(t-)d利用式(3),梁的响应为：QOMKJ)=XAa)处I=I=ER(X)qj(O)cosjt+sinjt+-j()jF)snj(t-)d
