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1、用数形结合的方法求解导数问题的探讨大港区油田第一中学杨玉萍内容摘要数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用这种方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷.所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法.数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合.从2000年新课程改革开始，导数的考查重点已经由原来的考查函数的单调区间、极值、最值，跃升为考查导数的综合应用，特别是近几年的高考题目更是将导数与函数、三角、不等式、向量等问题综合，导数作为数
2、学工具的作用越来越明显。本文通过对近几年高考导数问题的研究，结合具体实例提出了用数形结合求解导数问题的新思路。容易看出通过对导函数的研究可以得出原函数的大致图形，再利用图形去帮助我们分析和解决相关导数问题，这正是表达了我们数学解题的重要方法-数形结合法，本文对此进行了详细的阐述。关键词导数、应用、图象、数形结合。正文数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用这种方法，很多问题能迎刃而解，旦解法简捷.所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法.数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有
3、助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合.分析近几年26个省市的高考试题不难发现，导数与概率等新增内容在高考试题中所占的比重越来越大而且综合程度也越来越高。尤其是导数的应用已经由单纯的求导数、极值、最值问题演变为导数与函数、三角、不等式、向量等问题的综合。导数作为解题工具的作用也越来越明显。以往我们谈导数的应用往往局限于运用导数求函数的单调性、极值和最值。但随着导数问题研究的深入，导数除了研究单调区间，求极值，求最值，还涉及了函数恒成立问题，研究方程的根的情况等，越来越多的情况说明导数在函数图形问题方面的应用非常重要，出现的比例也相当的高，所以导数作为求解函数问题的图形工具，
4、即导数的图形应用也就成了我们研究的一个重点。一.运用导数知识可以作出函数的大致图象，进而求解相关问题。学生在学习了导数以后，作为教师，首先要引导学生学会利用函数的单调区间，极值,最值等来绘制出函数的大致图象。例如2005年全国高考题：设a为实数，函数f(x)=X3-X2-x+ao(1)求/*)的极值。(2)当a在什么范围内取值时曲线y=(x)与X轴仅有一个交点。解(1)f,(x)=3x2-2x-lf令r(x)=0得工=一；或X=Io当X变化时，z(x)(x)的变化情况如下表:X(-T)3(-；)1(1,8),()+00+/3)5一+a27a-l/所以/(X)的极大值是/(-5=，+，极小值是/
5、(1)=-l三(2)有了第一问的解作为铺垫，我们很容易由单调性与极值作出函数的大致图象如下:所以，欲使函数y=(x)与X轴仅有一个公共点，那么函数的图象需向上或向下作一个平移使得极大值点对应图象在X轴下方或极小值点对应图象在X轴上方。如下图：由图可知要使函数图象和X轴只有一个交点只需27或-0,于是轻松可得。的取值范围为(-,-)u(l,+)o27本小题主要考察了导数的概念与运算并应用导数研究函数的性质的方法。其中运用数形结合的方法为我们解决问题提供了方便。类似的问题出现在06年四川的高考题中：函数/(x)=d+3公-l,g(x)=(x)-5,其中/(可是/(x)的导函数(I)对满足-ll的一
6、切。的值，都有g(x)，当实数2在什么范围内变化时，函数y=x)的图象与直线y=3只有一个公共点。解：(I)略。(II)/(x)=3x2-3m2当m=0时，/(x)=X3-I的图象与直线y=3只有一个公共点当相0时，列表:X(ooJzwl)-H(TWMI)I时(hb00)+OO+/()极大极小/(=Z（三）=-2w2H-1利用上表可作出函数大致图形如下：由图可知要使/(力=9-1的图象与直线y=3只有一个公共点只需：-2n21-1-3或2，同-13=加的取值范围是卜次,吩)本小题主要考察函数的单调性、导数的应用、解不等式等根底知识，以及推理能力、运算能力和数形结合的解题能力。很显然利用导数作出
7、函数图形可以很快的帮助我们解决问题，而且也可以加深学生对问题的理解。二.运用导数的图象应用可以在解题中起到化繁为简，以易驭难的目的。如04年高考浙江试题：。为实数，/(x)=(x2-4)(x-)o(1)求导数广(外(2)假设/+oo,所以函数图形大致可为：欲使/(x)在(-co,-2和2,向上都递增，那么有成立即2M=伫牛上-2同时X=fl+122o易解得-22显然经过这样一处理，此题就显得易于理解和掌握了。此外对于一些较难的导数问题，我们也可以通过数形结合的方法到达分组转化帮助解题的目的。例如：设函数/(%)=加+以+以+3-。(q,8,cR,且0),当X=T时/(%)取得极大值2。用关于a
8、的代数式分别表示b,c./(-1)=21八-D=O求a的取值范围舟军：/(X)=30r?+2+c,由可得:u11(一4+8-c+3=2b=a+即4=V3。一2/?+C=Oc=2-a由可知/(x)=x3(4Z+1)X2+(2-6)x+3-4Zof(x)=3r22(a+)x+(2-),令/(x)=O的得冗=1或X=匕。要使F(X)有极3a大值/(-1)=2,那么原函数图形可有如下两种情形：0于是有a-2.3。或-2轻松可推得。,。、3a三.利用数形结合思想方法研究方程解的问题利用数形结合思想方法研究方程解的问题是数形结合中比拟常见的题型，也是近几年高考中常考的一种题型.在利用数形结合思想方法研究方
9、程解的问题时,常用数形结合法，等价转化法，导数法来研究函数法。函数/*)=-2+8,g()=61nx+m.(I)求/(x)在区间上+1上的最大值力；(II)是否存在实数八使得y=F(X)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？假设存在，求出机的取值范围；假设不存在，说明理由。解：(I)f(x)=-X2+Sx=-(x-4)216.当f+14时，/(%)在上,，+1上单调递减，T-+6r+7,f4(II)函数y=(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数O(X)=g()-()的图象与X轴的正半轴有且只有三个不同的交点。当X(0,1)时,x)OMX)是增函数；当x(0,
10、3)时，(X)VO,破幻是减函数；当x(3,+oo)时，(x)0,U(x)是增函数；当X=I,或x=3时，x)=0.当X充分接近0时，。(X)VO,当X充分大时，O(X)0.要使0(%)的图象与X轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须4(x)大值=加-70,7c2J7n15-61n3.W(X)母小值=+61n3-150,所以存在实数使得函数y=(x)与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，机的取值范围为(7,15-61n3).注：结合函数的性质画出草图，可使问题获得直观解决。最后对于近两年的高考试题中出现的导函数的图形来分析函数的单调性和极值的问题，如05年江西：函数y=f(x)的图象如右图
11、所示,那么y=f()的图象如左图所示，那么导函数y=f()可能为()这些都是典型的利用导函数或原函数图象性质来求函数的单调性和极值的问题。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。利用数形结合求解导数问题也正好表达了这一点。近年来导数问题正成为高考的热点，导数和三角、立体、函数、不等式、向量等的综合程度也越来越高，利用导数方法作出原函数的图形再利用数形结合的思路求解导数问题也将导数的应用推上了一个新的台阶，我相信多做一些这样的尝试必将为导数问题的解决带来更多方便。2011年3月用数形结合的方法求解导数问题的探讨滨海新区大港油田第一中学杨玉萍2011年3月
