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1、相似三角形专题解答题试题精选六附答案一.解答题(共30小题)1. (2012攀枝花)如下图，在形状和大小不确定的AABC中，BC=6,E、F分别是AB、AC的中点，P在EF或EF的延长线上，BP交CE于D,Q在CE上且BQ平分NCBP,设BP=y,PE=X.(1)当X=工EF时，求SaDPE:SZkDBC的值；3(2)当CQ=ICE时，求y与X之间的函数关系式；2当CQJCE时，求y与X之间的函数关系式；3当CQjCEIn为不小于2的常数)时，直接写出y与X之间的函数关系式.n2. (2012娄底)如图，在AABC中，AB=AC,ZB=30o,BC=8,D在边BC上，E在线段DC上，DE=4,
2、DEF是等边三角形，边DF交边AB于点M,边EF交边AC于点N.(1)求证：BMDSCNE；(2)当BD为何值时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切？设BDk,五边形ANEDM的面积为y,求y与X之间的函数解析式(要求写出自变量X的取值范围)；当X为何值时，y有最大值？并求y的最大值.3. (2012茂南区校级一模)在RsABC中，ZC=90,AC=20cm,BC=15cm.现有动点P从点A出发,沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动.如果点P的速度是4cm秒，点Q的速度是2cm秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为t秒.求：
3、(1)用含t的代数式表示RtACPQ的面积S；(2)当t=3秒时，P、Q两点之间的距离是多少？(3)当t为多少秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与AABC相似？4. (2012洪山区校级模拟)RSABC中，直角边AC=3,BC=4,P、Q分别是AB、BC上的动点，且点P不与A、B重合.点Q不与B、C重合.(1)假设CP_1.AB于点P,如图1.ZkCPQ为等腰三角形，这时满足条件的点Q有几个？直接写出相等的腰和相应的CQ的长(不写解答过程)(2)当P是AB的中点时，如图2,假设CPQ与ABC相似，这时满足条件的点Q有几个？分别求出相应的CQ的长？(3)当CQ的长取不同的值时，除PQ垂直于BC的
4、CPQ外，其余的CPQ是否可能为直角三角形？假设可能，请说明所有情况？假设不可能，请说明理由.5. (2012如东县一模)在直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(2,2),点C是线段OA上的一个动点(不运动至O,A两点)，过点C作CDXx轴,垂足为D,以CD为边在右侧作正方形CDEF.连接AF并延长交X轴的正半轴于点B,连接OF,设OD=t.(1)求tan/FOB的值；(2)用含t的代数式表示AOAB的面积S：(3)是否存在点B,使以B,E,F为顶点的三角形与AOFE相似？假设存在，请求出所有满足要求的B点的坐标；假设不存在，请说明理由.6. (2012重庆模拟)如图，在ABC中，AB=A
5、C=5,BC=6,D、E分别是边AB、AC上的两个动点(D不与A、B重合)，且保持DEIlBC,以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG.(1)试求AABC的面积；(2)当边FG与BC重合时，求正方形DEFG的边长；(3)设AD=x,ZkABC与正方形DEFG重叠局部的面积为y,试求y关于X的函数关系式，并写出定义域；(4)当ABDG是等腰三角形时，请直接写出AD的长.7. (2012金牛区三模)如图，在AABC中，ZACB=90,BC=nAC,CD_1.AB于D,点P为AB边上一动点，PEAC,PFBC,垂足分别为E、F.(1)假设n=2,那么2二；BF(2)当n=3时，连EF、DF,求理的
6、值；DF(3)当n=时，旦匚(直接写出结果，不需证明).DF38. (2012安徽模拟)如图，在矩形ABCD中对角线AC、BD相交于点F,延长BC到点E,使得四边形ACED是一个平行四边形，平行四边形对角线AE交BD、CD分别为点G和点H.(1)证明：DG2=FGBG;(2)假设AB=5,BC=6,那么线段GH的长度.9. (2012平和县模拟)：把RtAABC和RSDEF按如图甲摆放(点C与点E重合)，点B、C(E)、F在同一一条直线上.ZBAC=ZDEF=90,ZABC=45,BC=9cm,DE=6cm,EF=8cm.如图乙，DEF从图甲的位置出发，以ICmzS的速度沿CB向ABC匀速移动
7、，在DEF移动的同时，点P从DEF的顶点F出发，以3cms的速度沿FD向点D匀速移动.当点P移动到点D时，P点停止移动，4DEF也随之停止移动.DE与AC相交于点Q,连接BQ、PQ,设移动时间为t(三).解答以下问题：(1)设三角形BQE的面积为y(cm2),求y与I之间的函数关系式，并写出自变量I的取值范围；(2)当t为何值时，三角形DPQ为等腰三角形？(3)是否存在某一时刻3使P、Q、B三点在同一条直线上？假设存在，求出此时t的值：假设不存在，说明理由.10. (2012卢湾区一模)在矩形ABCD中，AB=4,Bo3,E是AB边上一点，EF_1.CE交AD于点F,过点E作NAEH=NBEC
8、,交射线FD于点H,交射线CD于点N.(1)如图a,当点H与点F重合时，求BE的长；(2)如图b,当点H在线段FD上时，设BE=x,DN=y,求y与X之间的函数关系式，并写出它的定义域；(3)连接AC,当AFHE与ZkAEC相似时，求线段DN的长.11. (2012衡水一模)如图，直角梯形ABCD中，ZC=ZADC=90o,AD=10,CD=8,BC=16,E为BC上一点，且CE=6,过点E作EF_1.AD于点F,交对角线BD于点M.动点P从点D出发，沿折线DAB方向以2个单位长度/秒的速度向终点B匀速运动，运动时间为t秒.(1)求DE的长；(2)设PMA的面积为S,求S与t的函数关系式(写出
9、t的取值范围)；(3)当t为何值时，APMA为等腰三角形？12. (2012安徽模拟)如图：在AABC中，BC=2AB=4,AD为边BC上的中线，E、F分别为BC、AB上的动点，且CE=BF,EF与AD交于点G.FH_1.AG于H(1)如图1,当NB=90。时，FGEG；GH=.如图2,当B=60。时，FGEG；GH=.如图3,当NB=时，FGEG；GH=.请你先填上空，再从以上三个命题中任选择一个进行证明(2)如图4,假设中的点E、F分别在BC、AB的延长线上，试问中的结论是否仍然成立.假设成立，请证明你的结论；假设不成立，请说明理由.13. (2012普陀区二模)，ZACB=90o,CD是
10、NACB的平分线，点P在CD上，CP=2将三角板的直角顶点放置在点P处，绕着点P旋转，三角板的一条直角边与射线CB交于点E,另一条直角边与直线CA、直线CB分别交于点F、点G.(1)如图，当点F在射线CA上时，求证：PF=PE.设CF=x,EG=y,求y与X的函数解析式并写出函数的定义域.(2)连接EF,当ACEF与AEGP相似时，求EG的长.14. (2012曲阜市校级模拟)梯形ABCD中,ADIIBC,NABOa(0。VaV90。),AB=DC=3,BC=5.点P为射线BC上动点(不与点B、C重合)，点E在直线DC上，且NAPE=.记NPAB=Z1,ZEPC=Z2,BP=x,CE=y.(1
11、)当点P在线段BC上时，写出并证明Nl与N2的数量关系；(2)随着点P的运动，(1)中得到的关于N1与N2的数量关系，是否改变？假设认为不改变，请证明；假设认为会改变，请求出不同于(1)的数量关系，并指出相应的X的取值范围；(3)假设8s=:工，试用X的代数式表示y315. (2012松北区一模)点D为RtZkACB边BC延长线上一点，点E在边AC上，点M、N分别为线段AB、AE的中点，连接DE、DA,ZACB=90,ZB=ZCED.(1)假设NB=45。，如图1.求证：MN=IaD;2(2)在(1)的条件下，连接BE并延长BE交线段AD于点F,连接FC如图2,请你判断线段FE、FC与线段FD
12、之间的数量关系为；_(3)在(2)的条件下，如图3,连接DE交FC于点G,假设MN：DE=5:2,四边形MNEB的面积为E,求GE的长.216. (2012亭湖区一模)如图，在ZkABC中，ZACB=90,AC=BC=2,M是边AC的中点，CHBM于H.(1)试求SinNMCH的值；(2)求证：ZABM=ZCAH；(3)假设D是边AB上的点，且使AAHD为等腰三角形，请直接写出AD的长为.17. (2012奉贤区模拟)如图，在矩形ABCD中，AD=8cm,CD=4cm,点E从点D出发，沿线段DA以每秒ICm的速度向点A方向移动，同时点F从点C出发，沿射线CD方向以每秒2cm的速度移动，当B、E
13、、F三点共线时，两点同时停止运动.设点E移动的时间为t(秒)，(1)求证：BCFSCDE；(2)求t的取值范围；(3)连接BE,当t为何值时，ZBEC=ZBFC?18. (2012南关区校级模拟)如图，AABC中，NACB=90。，AC=3,CB=4,D是线段AB上的动点(点D运动过程中不与点A、点B重合)BD=x,过D作DE_1.ACDFBC.(1)当点D运动到AB中点M时，线段EF的长度是.(2)设四边形DECF的面积为S,求S与X的函数关系式.(3)当X为何值时，S有最大值，并求出这个最大值.19. (2012南通模拟)如图，四边形ABCD是直角梯形，ADIIBC,ABBC,四边形ADE
14、F是矩形，其面积为6.28Cm2,求阴影局部的面积.20. (2012长春模拟)如图，在平行四边形ABCD中，BC=6,点M在对角线AC上，AM=1aC,过点3M作EFIlAB,交AD于点E,交BC于点F,求ED的长.21. (2012开县校级模拟)如图，四边形ABCD是矩形，AP平分NBAD,CD=CP,APCP.求证：AD=AP;(2)假设AB=5,AD=12,求PBD的面积.22. (2011徐州)如图，在AABC中，AB=AC,BC=acm,ZB=30.动点P以ICm/s的速度从点B出发，沿折线B-A-C运动到点C时停止运动.设点P出发XS时，APBC的面积为ys?.y与X的函数图象如
15、图所示.请根据图中信息，解答以下问题：(1)试判断DOE的形状，并说明理由；(2)当a为何值时，ZkDOE与AABC相似？23. (2012宝安区校级模拟)“福龙丽景的居民筹集资金650元，方案在楼前一块上底5m、下底IOm的梯形(如图)空地上种植花草，美化环境.(1)试求AAED与ABEC的面积比；(2)他们在AAED和ABEC地带上种康乃馨，单价为10元11共花250元.假设其余地带QABE和ADCE)可种兰花或茉莉花，单价分别为20元/n?、15元11那么应选择种哪种花，刚好用完所筹集资金？(3)假设梯形ABCD为等腰梯形(如图)，请你设计一种花坛图案，即在梯形内找到一点P,使得APB合
16、ADPC,Sapd=Sbpc,并说明理由.24. 2011聊城)如图，在矩形ABCD中，AB=12cm,BO8cm.点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动.点E、G的速度均为2cms,点F的速度为4cms,当点F追上点G(即点F与点G重合)时，三个点随之停止移动.设移动开始后第t秒时，AEFG的面积为S(cm2)(1)当t=l秒时，S的值是多少？(2)写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；(3)假设点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由.25. (2011株洲)如图，矩形
17、ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q.(1)求证：OP=OQ;(2)假设AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动(不与D重合).设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形.26. (2011盐城)情境观察将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到ABC和AVD,如图1所示.将4A,C,D的顶点X与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A(A，)、B在同一条直线上，如图2所示.观察图2可知：与BC相等的线段是，ZCAC/=.问题探究如图3,ZkABC中，AG_1.BC于点G,以A为直角顶点，
18、分别以AB、AC为直角边，向AABC外作等腰RtABE和等腰RtACF,过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q.试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.拓展延伸如图4,ZkABC中，AG_1.BC于点G,分别以AB、AC为一边向ABC外作矩形ABME和矩形ACNF,射线GA交EF于点H.假设AB=kAE,AC=kAF,试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.27. (2011莆田)菱形ABCD的边长为1.ZADC=60o,等边AEF两边分别交边DC、CB于点E、F.(1)特殊发现：如图1,假设点E、F分别是边DC、CB的中点.求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边仆
19、AEF的外心；(2)假设点E、F始终分别在边DC、CB上移动.记等边AAEF的外心为点P.猜测验证：如图2.猜测AAEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；拓展运用：如图3,当AAEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M,交边DC的延长线于点N,试判断工二是否为定值？假设是，请求出该定值；假设不是，请说明理由.DMDN28. (2011南京)如图，P为AABC内一点，连接PA、PB、PC,在PAB、APBC和PAC中，如果存在一个三角形与ABC相似，那么就称P为公ABC的自相似点.(1)如图，RtZiABC中，ZACB=90o,ZABCZA,CD是AB上的中线，过点B作BE_1.CD
20、,垂足为E.试说明E是AABC的自相似点；(2)在ABC中，NAVNBVNC.如图，利用尺规作出ABC的自相似点P(写出作法并保存作图痕迹)；假设AABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数.29. (2011温州)如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是4,0),点B的坐标是(O,b)(b0).P是直线AB上的一个动点，作PC_1.x轴，垂足为C.记点P关于y轴的对称点为P(点P不在y轴上)，连接PP,PA,PC.设点P的横坐标为a.(1)当b=3时,求直线AB的解析式；假设点P的坐标是m),求m的值；(2)假设点P在第一象限，记直线AB与PC的交点为D.当PD
21、：DC=I:3时，求a的值；(3)是否同时存在a,b,使PCA为等腰直角三角形？假设存在，请求出所有满足要求的a,b的值;假设不存在，请说明理由.30. (2011安徽)在AABC中,NACB=90。，ZABC=30o,将ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为0o0)时，y与X满足的函数关系式为：y=6kx；然后将该关系式应用到第(2)(3)问中求解.在解题过程中，充分利用了相似三角形比例线段之间的关系.另外，利用角平分线上的点到角两边的距离相等的性质得出了一个重要结论(2)中式子)，该结论在解题过程中发挥了重要作用.【解答】解：(1).EF分别是AB、AC的中点，XJEF,3.EFllBC,且E
22、F=%C,2EDPSCDB,.EP_1BC6,SDPE：SDBC=I:36；(2)延长BQ交EF于K,.EKIIBC.ZEKB=ZKBC,又.BQ为NCBP的平分线，.ZPBK=ZKBC,/.ZEKB=ZPBK,.PB=PK.*/cq=1ce,.cq=eq,2易证CQB合EQK,那么BC=KE=6,.,.x+y=6,y=6-X；当CQCE时，k=2,由中式可知y=6k-,y与X之间的函数关系式为：y=12-;3当CQ=kE(n为不小于2的常数)时，k=n-1.由(2)中式可知，y与X之间的函数关系式为：ny=6(n-1)-X.【点评】此题综合考查了相似三角形线段之间的比例关系、三角形中位线定理
23、和角平分线性质等重要知识点，难度较大.在解题过程中，涉及到数目较多的线段和较为复杂的运算，注意不要出错.此题第(2)(3)问，采用了从一般到特殊的解题思想，简化了解答过程；同学们亦可尝试从特殊到一般的解题思路，即当CQ=工CE时，CQ=kE时分别探究y与X的函数关系式，然后推广到当CQ=2CEIn为不小23n于2的常数)时的般情况.2.(2012娄底)如图，在AABC中，AB=AC,ZB=30o,BC=8,D在边BC上，E在线段DC上，DE=4,DEF是等边三角形，边DF交边AB于点M,边EF交边AC于点N.(1)求证：BMDSCNE；(2)当BD为何值时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相
24、切？(3)设BD=x,五边形ANEDM的面积为y,求y与X之间的函数解析式(要求写出自变量X的取值范围)；当X为何值时，y有最大值？并求y的最大值.【考点】相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；等边三角形的性质；切线的性质；解直角三角形.【专题】代数几何综合题；压轴题.【分析】(1)由AB=AC,ZB=30,根据等边对等角，可求得NC=NB=30。，又由DEF是等边三角形，根据等边三角形的性质，易求得NMDB=NNEOI20。，NBMD=NB=NC=NCNE=30。，即可判定：BMDSCNE：首先过点M作MHBC,设BD=x,由以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切，可得MH=MF=4x,由
25、(1)可得MD=BD,然后在RtADMH中，利用正弦函数，即可求得答案；(3)首先求得AABC的面积，继而求得ABDM的面积，然后由相似三角形的性质，可求得ACNE的面积，再利用二次函数的最值问题，即可求得答案.【解答】证明：AB=AC,/.ZB=ZC=30,DEF是等边三角形，.ZFDE=ZFED=60o,.ZMDB=ZNEC=120,/.ZBMD=ZB=ZC=ZCNE=30o,.BMDSCNE；(2)解：过点M作MHJ_BC,以M为圆心，以MH为半径的圆，那么与BC相切，MH=MF,设BD=x,.ADEF是等边三角形，.ZFDE=60,.ZB=30,/.ZBMD=ZFDE-ZB=60-30
26、=30o=ZB,DM=BD=x,.MH=MF=DF-MD=4-x,在RtDMH中，sinzMDH=Sin60=A=立，_MDX2解得：x=16-83,当BD=16-8时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切；(3)解：过点M作MHJ_BC于H,过点A作AK_1.BC于K,/AB=AC,BK=C=18=4,22.ZB=30,/.AK=BKtanZ33_.,SABC=BCAK=I8包或吆巨2233由(2)得：MD=BD=x,MH=MDsinZMDH二立x,_2SBDM=1.X224.DEF是等边三角形且DE=4,BC=8,/.EC=BC-BD-DE=8-4=4-x,BMDSCNE,Sbdm：Sc
27、en=()2=-CE(4-x)2SCEN=(4-X)2,4_y=SABC-SCEN-SBDM=竺立-&-近14-x)2=一直2+2g+延=-3(x-2)2l33442323(Jx8),33当x=2时，y有最大值，最大值为应13【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、二次函数的性质以及三角函数等知识.此题综合性较强，难度较大，注意数形结合思想与方程思想的应用.3. (2012茂南区校级一模)在RSABC中，NC=90。，AC=20cm,BC=15cm.现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动.如果点P的速度是4
28、cm秒，点Q的速度是2cm秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为t秒.求：(1)用含t的代数式表示RtACPQ的面积S；(2)当t=3秒时，P、Q两点之间的距离是多少？(3)当t为多少秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与AABC相似？【考点】相似三角形的性质；三角形的面积；勾股定理.【专题】压轴题；动点型.【分析】(1)由点P,点Q的运动速度和运动时间，又知AC,Be的长，可将CP、CQ用含t的表达式求出，代入直角三角形面积公式Scpq=1cPCQ求解；2(2)在RSCPQ中，由(1)可知CP、CQ的长，运用勾股定理可将PQ的长求出；(3)应分两种情况，当R
29、tCPQSR(CAB时，根据SE=Cq可将时间t求出；当RtCPQSRtCBACACB时，根据SE=必，可求出时间t.CBCA【解答】解：由题意得AP=4t,CQ=2t,那么CP=20-4t,因此RIACPQ的面积为S=IX(20-4t)2t=20t-4t2cm2;(2)当t=3秒时，CP=20-4t=8cm,CQ=2t=6cm,由勾股定理得pQ=7cp2+CQ2=7s2+2=lOcin:(3)分两种情况：当RsCPQSRtZkCAB时，SE，即2一二2t,解得1=3秒；CA-CB2015当RtACPQsRiaCBA时，SE，即20赴/t,解得t=理秒.CB-CA152011因此=3秒或t二坐
30、秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与AABC相似.11【点评】此题主要考查相似三角形性质的运用，在解第三问时应分两种情况进行求解，在解题过程应防止漏解或错解.4. (2012洪山区校级模拟)RtAABC中，直角边Ao3,BC=4,P、Q分别是AB、Be上的动点，且点P不与A、B重合.点Q不与B、C重合.(1)假设CP_1.AB于点P,如图1,ZkCPQ为等腰三角形，这时满足条件的点Q有几个？直接写出相等的腰和相应的CQ的长(不写解答过程)(2)当P是AB的中点时，如图2,假设ACPQ与AABC相似，这时满足条件的点Q有几个？分别求出相应的CQ的长？(3)当CQ的长取不同的值时，除PQ垂直于BC
31、的CPQ外，其余的CPQ是否可能为直角三角形？假设可能，请说明所有情况？假设不可能，请说明理由.【考点】相似三角形的判定；等腰三角形的判定；勾股定理；勾股定理的逆定理.【专题】几何综合题；压轴题.【分析】(1)当CP为等腰三角形的底边时作CP的垂直平分线，交BC于Q,那么ACPQ为等腰三角形；当CP为腰时，在BC上截取CQ=CP即可，所以这样的点有两个，分别求出即可；(2)根据题意画出符合条件的三角形即可求出Q的位置，进而求出出相应的CQ的长；(3)过Q作QP_1.BC,交AB于P点，连接CP,那么CPQ为直角三角形，作NCAB的平分线AO,交BC于O点.作OPJAB于Pl点.设CO=I,那么
32、OPE,CD=2t,0B=4-t.先根据相似三角形ABOOBPi的性质求得I值，即得到线段CD的长度，再分情况讨论.Q与点D重合时，以CQ为直径的圆与AB相切，Q点在线段CD上时(不与C、D重合)，0CQ3,以CQ为直径的圆与AB相离，Q点在DB上时(不与D、B重合)，3CQ4,以CQ为直径的圆与AB有两个交点P2、P3【解答】解：(1)当CP为等腰三角形的底边时作CP的垂直平分线，交BC于Q,那么腰是CQ=PQ：此时CQ=C=2;2当CP为腰时，在BC上截取CQ=CP,那么腰是CP=CQ，此时CQ=CP=ACBC=2.4;AB(2)当P是AB的中点时，如图2,假设ACPQ与AABC相似，这时
33、满足条件的点Q有2个，PQCSACB时，.PC=CQ=I,ABBC2.CQ=C=2,2ACPQABCA时，.CQCPAB=BC.CQ”2.5二54.CQw=-;8(3)可能.过Q作QPJ_BC,交AB于P点，连接CP,那么CPQ为直角三角形，作NCAB的平分线AO,交BC于O点.作OPl_1.AB于Pl点.CO=OPi以O为圆心，OC为半径作OO,。与AB相切，切点为Pi,与CB的交点为D.设Co=t,那么OP=t,CD=2t,OB=4-t.由乙ABCSOBPi,得OPI=OBACAB,.t_4-t35解得：t=1.5,.CD=3,.当Q与点D重合时，以CQ为直径的圆与AB相切，切点为Pi,连
34、CPi、PiQ,CPiQ为直角三角形，此时共有两个直角三角形，当Q点在线段CD上时（不与C、D重合），0CQ3,CQ为直径的圆与AB相离，此时只有一个直角三角形CQP.（9分）当Q点在DB上时（不与D、B重合），3CQ4,以CQ为直径的圆与AB有两个交点P2、P3.分别连接P2、P3与点C和Q,得直角三角形CQP2和CQP3,此时有三个直角三角形.【点评】此题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质以及相似三角形的性质和判定，此类题目还是相似与圆的知识的综合运用，难点在第（3）题，解决的根据是三角形相似的性质和直线和圆的三种位置关系.5.（2012如东县一模）在直角坐标系中，O为坐标原点
35、，点A的坐标为（2,2）,点C是线段OA上的一个动点（不运动至O,A两点），过点C作CDx轴,垂足为D,以CD为边在右侧作正方形CDEF.连接AF并延长交X轴的正半轴于点B,连接OF,设OD=t.（1）求tanNFOB的值；（2）用含t的代数式表示AOAB的面积S；（3）是否存在点B,使以B,E,F为顶点的三角形与AOFE相似？假设存在，请求出所有满足要求的B点的坐标；假设不存在，请说明理由.【考点】相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质；正方形的性质.【专题】压轴题；动点型；开放型.【分析】点A的坐标，可推出CD=OD=DE=EF=t,可求出tanZFOB.(2)证明ACFSAOB推出得.2
36、2然后求出OB关于t的等量关系式,继而求出SOABOB的值.依题意要使BEF-OFE,那么要还月或述，即分BE=2l或EB二t两种情况解答.当EBEFEFEBdd2BE=2l时，BO=4t,根据上述的线段比求出t值；当EB=1.时也要细分两种情况：当B在E的右侧以及2当B在E的左侧时OB的取值，利用线段比求出t值.【解答】解：.A2）,.ZAoB=45,.CD=OD=DE=EF=I,tan/FOB二戏（3分）（2）,/CFllOB,/.ACFSAOB,.22V2t_t22-同。哈Saoab*（02）.分）要使BEF与OFE相似,.ZFEO=ZFEB=90o,.只要述受或还用.EB-EFEF-E
37、B即：BE=2l或EBt，当BE=2t时，BOMt,2t4k4t.H=O（舍去）或12=乜，2.B6,0）.（2分）当EB=It时，（i）当B在E的左侧时,OB=OE-EB=v.,.H=O（舍去）或12=2.3.B（1,0）.（2分）（ii）当B在E的右侧时，OB=OE+EB二V.t1=0(舍去)或12二国，5.B(3,0).(2分)综上，B(1,0)(3,0)(6,0).【点评】此题考查的是正方形的性质，坐标与图形的性质以及相似三角形的判定等有关知识.6. (2012重庆模拟)如图，在AABC中，AB=AC=5,BC=6,D、E分别是边AB、AC上的两个动点(D不与A、B重合)，且保持DEl
38、lBC,以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG.(1)试求AABC的面积；(2)当边FG与BC重合时，求正方形DEFG的边长；(3)设ADr,ABC与正方形DEFG重叠局部的面积为y,试求y关于X的函数关系式，并写出定义域；(4)当ABDG是等腰三角形时，请直接写出AD的长.【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质.【专题】压轴题；动点型.【分析】(1)作底边上的高，利用勾股定理求出高就可以求出面积.(2)根据DEIlBC,得到AADE-AABC,再根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求出边DE的长度.(3)可以分为正方形在三角形内部和不全在内部两种情况求解
39、，全在内部时，利用三角形相似得岂=辿,56求出DE,再求重叠局部正方形的面积，不全在内部时先求出长DE,再利用DGllAH,求出宽.(4)当BDG是等腰三角形时，分BD=DG,BD=BG,DG=BG三种情况写出AD的长.【解答】解：(1)过A作AHJ_BC于H,/AB=AC=5,BC=6,/.BH=-IBC=3,2二ah=AB2-BH2=Vb2-32=4,Sabc=CAH=-64=12.22(2)令此时正方形的边长为a,/DEIIBC,当DE=ISI寸，由ADE-ABC得以=辿，解得AD=2,5ABBC当0V2时，正方形全部在三角形内部，由迪亚得：2=典，DE=x,ABBC565当2VV5时,
40、y=-x-(5-x)=-？c-x2.55525(4)当BDG是等腰三角形时，设AD=x,当BD=DG,此时正方形不全部在三角形内部，.BD=5-X,由可知DG=DE=&X,5由此即可求出ad=25.11当DB=BG时，求出AD=理;7当DG=BG,求出AD=将；73【点评】此题考查了正方形、等腰三角形的性质，相似比等相关知识，解题时，注意形数结合，分类讨论.7. (2012金牛区三模)如图，在AABC中，NACB=90。，BC=nAC,CD_1.AB于D,点P为AB边上一动点，PEAC,PFBC,垂足分别为E、F.(1)假设n=2,那么2二工；BF2(2)当n=3时，连EF、DF,求理的值；D
41、F(3)当n=5时，EF=2(直接写出结果，不需证明).DF3【考点】相似三角形的判定与性质.【专题】压轴题；动点型.【分析】根据NACB=90。，PEAC,PFBC,那么CEPF就是个矩形.得到CE=PF从而不难求得CE：BF的值；(2)可通过构建相似三角形来求解；(3)可根据(2)的思路进行反向求解，即先通过EF,DF的比例关系，求出DE：DF的值.也就求出了CE：BF的值即tanB=AC:BC的值.【解答】解：(1)NACB=90,PEAC,PFBC,四边形CEPF是矩形.CE=PF./.CE：BF=PF:BF=tanB=AC:BC=I.2(2)连DE,.ZACB=90o,PECA,PF
42、BC,四边形CEPF是矩形./.CE=PF.旦旦小nB.BFBDBF/ZACB=90o,CDAB,.ZB+ZA=90%ZECD+ZA=90o,/.ZECD=ZB,.CEDSBFD.ZEDC=ZFDB.ZFDB+ZCDF=90o,.ZCDE+ZCDF=90o.ZEDF=90o.5=tanB=l,DF3设DE=a,DF=3a,在直角三角形EDF中，根据勾股定理可得：EF=10a.EF=TajT.丽二3a=3.3【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，通过相似三角形将所求线段之间的比例关系同的线段间的比例关系联系在一起是解题的关键.8. (2012安徽模拟)如图，在矩形ABCD中对角线AC、B
43、D相交于点F,延长BC到点E,使得四边形ACED是一个平行四边形，平行四边形对角线AE交BD、CD分别为点G和点H.(1)证明：DG2=FGBG;(2)假设AB=5,BC=6,那么线段GH的长度.【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；矩形的性质.【专题】几何综合题；压轴题.【分析】(1)由可证得ADG-EBG,2AGFsaEGD,根据相似三角形的对应边成比例即可得到DG2=FGBG:(2)由可得到DH,AH的长，又因为ADG-EBG,从而求得AG的长，那么根据GH=AH-AG就得到了线段GH的长度.【解答】解：(1)证明：ABCD是矩形，且ADIlBC,ADGSEBG.Dg=AG,BG-GE,又.AGFSDGE,.Ag=FG,gdg,.DGzrFG,BG-DG,.dg2=fgbg.ACED为平行四边形,AE,CD相交点H,.DHJDC=2aB=&.222.在直角三角形ADH中
