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1、G是EF中点，连接点出lm/sCB向点到的函数一、相似三角形中的动点问题1 .如图，在RtAABC中,ZACB=90o,AC=3,BC=4,过点B作射线BBIIlAC.动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动.过点D作DHAB于H,过点E作EFAC交射线BBl于F,DG.设点D运动的时间为t秒.(1)当t为何值时，AD=AB,并求出此时DE的长度；当小DEG与AACB相似时，求t的值.2 .如图,在AABC中,ZABC=90o,AB=6m,BC=8m,动点P以2ms的速度从A发,沿AC向点C移C动.同时，动点Q以“N的速度从
2、C点出发，沿点B移动.当其中有一/尸)达终点时，它们都停止动设移动的时间为t秒.(1)当t=2.5s时，求ACPQ的面积；求ACPQ的面积S(平方米)关于时间t(秒)解析式;(2)在P,Q移动的过程中，当ACPQ为等腰三角形时,求出t的值.3 .如图1,在RtZiABC中，NACB=90。,AC=6,BC=8,点D在边AB上运动，分CDB交边BC于点EMBD,垂足为M,ENCD,垂足为N.当AD=CD时，求证：DEIIAC；探究：AD为何值时，BME与CNE相似？(1)当X为何值时，PQIIBC?(2)AAPQ与ACQB能否相似？假设能，求出AP的长；假设不能说明理由.5 .如图，在矩形ABC
3、D中，AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从A开始向点B以2cms的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以lcms的速度移动.如果P、Q同时出发，用t(三)表示移动的时间(0tjlI向A点运动，当P/加xd点到达B点时，QADM1.点随之停止运4气r动.设运动的时间为X.10.,如图，直线y=-2x与坐标轴交于A、B两点.以AB为短边在第一象一个矩形ABCD,使得矩形边之比为1:2oD两点的坐标。限做的两求C、三、构造相似辅助线一一A、X字型11 .如图：ABC中，上一点，AD=AC,BC中线AE交CD于F。ABCFACDF12 .四边形ABCD中,AB.AD的比例中项,AC为且ACD
4、是AB边上的求证：平分NDAB0的四个顶点分别在上。证：ITl1ABCDEF.19.,在ABC中作内形CDEF,设菱形的边接菱长为ABC求BE_BC2求证：DBCDa.求证：AC4Ca.五、相似之共线线段的比例问题13 .在梯形ABCD中，ABIICD,AB=b,CD=a,E为AD边上的任意一点，EFIIAB,且EF交BC于点F,某同学在研究这一问题时，发现如下事实：DE_I+DE,o一(1)当五r时，EF=2:当石=2时，EF=3；DE-2Q+36DB.当愈时，EF=4.当时，参照上述研究结论，请你猜测用a、b和k表示EF的般结论，并给出证明.14 .：如图，在AABC中，M是AC的中点，E
5、、F是BC上的两点，且BE=EF=FC。求BN：NQ：QM.20.(1)如图1,点尸在平行四边形ABCD的对角线BD上，一直线过点P分别交BA,BC的延长线于点Q,S交股8于点T.求证：,PFj(2)如图2,图3,/?C当点P在平行四边形上/ABCD的对角线6Q或/N%的延长线上时，/IVPQPRHpSPT是否仍然gAkr成立？假设成立，试给出证7Vf明；假设不成立，试说明理由(要求仅以图2为例进行证明或说明)；15 .证明：(1)重心定理：三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的之.(注：重心是三角形三条中线的交点)(2)角平分线定理：三角形个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两
6、邻边对应成比例.中,AB=AC,AD是中线,P是AD上一点,过C作CFIIAB,延长BP交AC于E,交CF于F.求证：BP2=PEPF.22.如图，ΔABC中,AD,BF分别为BC,AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于E,交BF于G,交AC延长线于H。求证：DE2=EGEH23.如图，P为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，过P的直线与AD,BC、CD的延长线、AB的延长线分四、相似类定值问题16 .如图，在等边AABC中，M、N分别是边AB,AC的中点，D为MN上任意一点，BD、CD的延长线分别交AC、AB于点E、F.1证：CEBFAB.17 .：如图，梯形ABCD中，AB/
7、DC,对角线AC、BD交于过0作EF/AB分别交AD、于E、Fo1.-1.-J-求证：ABCD-EO.18 .如图，在AABC中，CD为边AB上的高，正方形EFGH别相交于点E、F、G、H.求证:PEPHPFPG24.,如图，锐角AABCADBC于D,H为垂心形三条高线的交点)；在有一点P,且NBPC为直角.求证：PD2=ADDHo六、相似之等积式类型综合25.如图，CD是RtABC斜边AB上的高，E为BC的中点,ED的延长线交CA于F。求证：ACCF=BCDF26如图，在RtZkABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DHJ_BM且与AC的延长线交于点E.求证：(1)AEDCBM；(2
8、)AECMACCD27 .如图,ABC是直角三角形，NACB=90o,CDAB于D,E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F.(1)求证：cFN=FBFC.(2)假设G是/xBC的中点，连接,V5GD,GD与EF垂直f/吗？并说明理由.28 .如图，四边形ABCDDEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M,CG与AD相交于点N.求证：ANDN=CNMN.图131.如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四形，点R为DE的点，BR分别交AC、边中CD于点P、Q(1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1除外)；(2)求BP：PQ：QR.DG_1.BC于G,分别交CE及B
9、A的延长线于F、Ho求证：(1)DG2=BGCG；(2)BGCG=GFGH七、相似根本应用30.ABC和乙DEF是等腰直角三角形，ZA=ZD=90o,DEF点E位于边BC的中点(1)如图1,设DE模型两个的顶上.与ABDFAC于F。求证：AEACafab答案：1.答案：解：(1),/ZACB=90o,AC=3,BC=40/.AB=S0X,.AD=AB,AD=St0/.t=l,此时CE=3,0/.DE=3+3-5=lII交于点M,EF与AC交于点N,求证：BEM-CNE；(2)如图2,将ADEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M,EF与AC交于点N,于是，除(1)中的一对相似三角形外，能
10、否再找出一对相似三角形并证明你的结论.0(2)29.如图，BD、CE分别是AABC的两边上的高，过D作32.如图，在AABC中，AD_1.BC于D,DE_1.AB于E,3团如图当点D在点E左侧，即：0t2时，DE=3t+3-5t=3-2t.田假设DEG与AACB相似，有两种情况：DEEG团DEGSACB,此;时ACCB,3-N230BP：3-4,求得：t=4；DEEG团DEGSBCA,此时BCCA,3-二21BP：43,求得：t=6；团如图，当点D在点E右侧,即：t2l,DE=5t-(3t+3)=2t-3.何假设DEG与4ACB相似，有两种情况：DEEG团DEGSACB,此时ACCB,-329
11、团即：3一公，求得：t=4；DEEG0(4)DEGSBCA,此时BCCA,-3_2170BP：4-3,求得：t=6.212IZ团综上，t的值为4或6或4或6.3 .答案:解：证明：AD=CD0/.ZA=ZACD0.DE平分/CDB交边BC于点E0/.ZCDE=ZBDE0.ZCDB为CDB的一个外角0/.ZCDB=ZA+ZACD=2ZACD0,.ZCDB=ZCDE+ZBDE=2ZCDE0/.ZACD=ZCDE0/.DEIIAC0(2)NNCE=ZMBE0.EMBD,ENCD,.BMESCNE,如图0.,ZNCE=ZMBE0/.BD=CD团又ZNCE+ZACD=ZMBE+ZA=900/.ZACD=
12、ZA.AD=CD10.AD=BD=2AB团.在RtAABC中，ZACB=90%AC=6,BC=80/.AB=IO0/.AD=S团NNCE=ZMEB0*.EMBD,ENCD,0/.BMESENC,如图0.,ZNCE=ZMEB0/.EMIICD0/.CDAB团.在RtAABC中，JACB=90,AC=6,BC=80/.AB=IO0,.ZA=ZA,ZADC=ZACB0/.ACDSABCADAC团.ACAB0/.AB10518国练上：AD=SWc5时，ABME与ACNE相似.4 .答案:解11）由题意:AP=4,CQ=3x,AQ=3O-3x,05AP_AQ4x30-3XSI当PQllBC时，ABAC,
13、即：2010X=El解得：340团（2）能，AP=9Cm或AP=20cmAPAQAx30-3K=-=团APQsCBQ,那么CBCQ,即203x团解得：x=5或X=-IO（舍）团此时：AP=20cmAPAQ4彳30-3彳=团APQsCQB,那么CQCB,即3x10X=团解得：9（符合题意）40团此时：AP=9Cm40EI故AP=9Cm或20Cm时，APQ与CQB能相似.5.答案：解:设运动时间为t,那么DQ=t,AQ=6-t,AP=2t,BP=12-2t.0（1）假设AQAP为等腰直角三角形，那么AQ=AP,即:6-t=2t,t=2（符合题意）胤.t=2时，QAP为等腰直角三角形.0（2）ZB=
14、ZQAP=90oAQAP6ZI=-=团当QAP-ABC时，AB3C,即：126,6=一团解得：5（符合题意）；AP=AQ团当PAQSABC时，ABBC,即：26T126,团解得：1=3（符合题意）.6C=0.当5或=3时，以点Q、A、P为顶点的三角形与ABC相似.6.答案：解：分两种情况团第一种情况，图象经过第一、三象限团过点A作AB_1.OA,交待求直线于点B,过点A作平行于y轴的直线交X轴于点C,过点B作BD_1.AC国那么由上可知：NoaB=NOC/4=Nz）=90。团由双垂直模型知：OCASADBOCACOA0.ADBDAB0.A（2,1）,ZAOB=45团.OC=2,AC=I,Ao=
15、AB团.AD=0C=2,BD=AC=I回一.D点坐标为（2,3）0,B点坐标为（1,3）团此时正比例函数表达式为：y=3x团第二种情况，图象经过第二、四象限),0团过点A作AB_1.OA,交待求直线于点B,过点A作平行于X轴的直线交y轴于点C,过点B作BD_1.AC13那么由上可知：NalB=/0C4=ND=90。团由双垂直模型知：OCASADBOCACOA0.ADBDAB0.A(2,1),/-AOB=45MOC=I,AC=2,Ao=ABMAD=OC=I,BD=AC=2胤D点坐标为(3,1)B点坐标为(3,-1)1如图当NDXb=90。时：连接CD,过点D作AC边上的高线DE,交CA的延长线于
16、点员VJB=25,AC=4fBC=2，AC2-BC2=AB2,ZJCB=905又、DE1.CE,P.交CB的延长线于点尸，过点A作直线PD边上的高线AQ.交PD于点QVJB=25,AC=A,BC=2/.AC2BC2=AB2.ACB=90s又DE1.CE,BD为等喔直角三角形“*ADBDNP=N0=90,“QDA+QAD=90;,1.QDH+工BDP=90.*.NQAD=乙BDP-：.4QAD94PDB.：.AQ=DP.DQ=BP*A8.答案：证明：方法一：APB团连接PC,过点P作PDJ_AC于D,那么PDBC团根据折叠可知MNXCP0,/Z2+ZPCN=90o,ZPCN+ZCNM=90o0/
17、.Z2=ZCNM0,.ZCDP=ZNCM=90o0/.APDCSMCN0/.MC：CN=PD:DC.PD=DA0/.MC：CN=DA:DCErPD/BC.DA：DC=PA:PB0/.MC：CN=PA:PB国方法二：如图，ADPEB团过M作MD1.AB于D,过N作NEAB于E团由双垂直模型，可以推知PMDSNPE,那么MD二PD二PM丽拓丽，MD+PDPM团根据等比性质可知PE+NEPN,而md=da.NE=EB,PM=CM,PN=CN,三/.MC：CN=PA:PB过点D作AB的平行线交BC的延长线于点M,交X轴于点N,那么NM=ZDNA=90o,由于折叠，可以得到AABC合ADC,又由B(1,
18、3)BC=DC=I,AB=AD=MN=3,ZCDA=ZB=90o/.Z1+Z2=90,/ZDNA=90o7. Z3+Z2=90ZI=Z3DMCSAND,CMDMCD.而=/=诟=51+x设CM=x,那么DN=3x,AN=l+x,DM=31+x.3x+3=34X=5ZW=UZ)1.5,那么155九团答案为A10.答案：解:0/.MCFSADFCFCM0.DFAD0.CM=AB,AD=ACCFCM_AB国.而一茄一元0/.OA=I,OB=2,AB=5团过点C作X轴的平行线交y轴于G,过点D作y轴的平行线交X轴于F,交GC的延长线于E。团:直线y=2x+2与坐标轴交于A、B两点0/.A(lz0),B
19、(0,2)0,.AB：BC=1:20/.BC=AD=-,0,/ZABO+ZCBG=90o,ZABO+ZBAO=90o0/.ZCBG=ZBAO团又ZCGB=ZBOA=90o0/.OABSAGBCOAGB10/.OBGC20/.GB=2,GC=40/.GO=40/.C4,4）El同理可得AADFsBAO,得OA_DFOBAF2三.DF=2,AF=400.0F=5.D（5,2）11.答案：证明：（方法一）如图0/田延长AE到M使得EM=AE,连接CM.BE=CE,ZAEB=ZMEC0/.BEACEM胤=CM=AB,ZI=ZB0/.ABIICM0/.ZM=ZMAD,ZMCF=ZADF0（方法二）BEC
20、团过D作DGIlBC交AE于G团那么ABESADG,CEFSDGFABBECFCE/.ADDG,DFDG回:AD=AC,BE=CE国过点D作DFllAB交AC的延长线于点F,那么N2=Z30.AC平分NDAB0/.ZI=Z20/.ZI=Z30/.AD=DF0.ZDEF=ZBEA,Z2=Z3团二BEASDEFBE_AB0.DEDF0.AD=DFBE_AB0.DBADErAC为AB、AD的比例中项AC1ABADADAC三三三三三三SEI即ACAB田又.ZI=Z20.ACDSABCAD_ACCD0/.ACAB1CBCiABACAB0/.CDrACADADBCi_BE0/.CDEEF=e+bk13.答
21、案：解：左+1田过点E作PQIIBC分别交BA延长线和DC于点P和点Q0,/ABIICD,PQIIBC胤四边形PQCB和四边形EQCF是平行四边形团又丁AB=b,CD=a胤二AP=PB-AB=EF-b,DQ=DC-QC=H-EFa一EF.-=0.EF-b回连接MF团M是AC的中点，EF=FCIl.MFIIAE且MF=2AE三.BENSBFM团团.BN：BM=BE:BF=NE:MFSB=BE=EFSa=BN:BM=NE:MF=I:2团固二BN：Nm=1.IIZEHSNE=X,那么MF=2x,AE=4x00/.AN=3x0.MFIIAE三.NAQSMFQ歪.二NQ：QM=AN：MF=3:2幽；BN
22、：NM=1:1,NQ：QM=3:200/.BN：NQ：QM=5:3:215.答案：证明：（1）图1团如图1,AD、BE为AABC的中线，且AD、BE交于点O团过点C作CFIlBE,交AD的延长线于点F0.CFIIBE且E为AC中点.ZAEo=NACF,ZOBD=NFCD,AC=2AE0ZEAO=ZCAF0/.AEOSACF丝=理=J0/.CF1C20.D为BC的中点，ZODB=NFDC0/.BOD些ACFD0/.Bo=CFEF=a-bk*+1EO10/.BO2BO_20/.55=3团同理，可证另外两条中线三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长2的316.答案：证明：BP0。团如图，作DP
23、llAB,DQIIAC团那么四边形MDPB和四边形NDQC均为平行四边形且DPQ是等边三角形胤.BP+CQ=MN,DP=DQ=PQ0.,MN分别是边AB,AC的中点E0(2)图2团如图2,AD为aABC的角平分线团过点C作AB的平行线CE交AD的延长线于E团那么NBAD=ZEAD为AABC的角平分线0,.ZBAD=ZCAD0/.ZE=ZCAD0/.AC=CE0,/CEIIAB0/.BADSCEDABBD=0.CECDABBD0.ACCD工0/.MN=2BC=PQ0.DPIIAB,DQIIAC.CDPSCFB,BDQSBECDPCPDQ=BQ肌而一记，CBZ)P,Z)Q-CPJQ=BC+PQ=3
24、团.而,而=而+而=BC=50.DP=DQ=PQ=2BC=2AB1._1.+_1.10.2AB(CEBF)=21J_=J_0/.CEBFAB17 .答案：证明：EFAB,AB/DC0/.EF/DC.AOE-ACD,DOESADBAE0AE_B0=DB.CDAD.ABADEOEOAEDE.0.CDABADAD1 110.ABCDEO18 .答案：证明：.EFIICD,EHIIAB的.乙AF=乙ADC,乙CEH=乙A0,Zj4=Zj4,ECH=乙BCA0/.AFESADC,CEH-CABAEEF_CE_EH_0/.ACCDfAC7b0.EF=EHEHEFEFRF_CEAE.0/.茄+而=商丽=元+
25、元=PR二PT耻而二而0.PQPR=PSPT21.答案：证明：“团TAB=AC,AD是中线，0/.ADBCzBP=CP0/.ZI=Z2团又ZABC=ZACB.Z3=Z40,.CFIIAB0/.Z3=ZF,Z4=ZF团又ZEPC=ZCPF.AEPCSCPF理竺.PC尸尸函.BP2=PEPF配!即证所求22.答案：证明：DEJAB/.乙EAD乙EDA=90a,.BAD,DBA=90。团.4EDA=4DBA0.乙BED=乙DEA0/.ADESDBEAE=DEa/.DEBEa.,.D1.i=AEBE0.BFACa.-.ZZ/GF+ZW=90。0,BGE+AEBG=90。且BGR=HGF0/.EBG=H
26、J-+-1.=-1.0/.ABCDEF19 .答案：证明：.EFIIAC,DEIIBC3：,乙BFE=4BCA,AAED=ZABc团.乙4=ZB=Zfi0/.BFESBCA,AEDSABCBE_=EF_DE_AE_AB=AC,BCABEFDBBEAEAE+BE10/.ACBCABAB痴EF=DE=a1110.ACBCa20.答案：（1）证明：在平行四边形ABCD中，ADIIBC,0/.ZDRP=ZS,ZRDB=ZDBS0/.DRPSBSPPR=DP0/.百一而田同理由ABllCD可证PTDSAPQBPTJP胤.丽=而PR_PT胤.而二而处.PQPR=PSPT0（2）证明：成立，理由如下：团在平
27、行四边形ABCD中，ADIIBC,0/.ZPRD=ZS,ZRDP=ZDBS0/.DRPSBSPPRDP0/.PSBP田同理由ABllCD可证PTDSAPQBPTjP此而二而0.BBDDEA0/.BEGSHEABE=EG0.EHAE0/.AEBE=EGEHBE/.DE2=EG•EH23.答案：证明:.四边形ABCD为平行四边形.ABIICD,ADIIBCZI=Z2,ZG=ZHZ5=Z60/.PAH-PCG0/.ZDAC+ZBCA=90o0/.ZEBC=ZDAC团又NBDH=ZADC=90.BDHSADCBD_AD0/.DHDC,即BDDC=ADDH00.zbpc为直角，ADBC三.PD
28、2=BD·DC田回.PD2=AD·DH25.答案：证明：CD是RtZkABC斜边AB上的高，E为BC的中点0/.CE=EB=DEZB=ZBDE=ZFDA0,/ZB+ZCAB=90o,ZACD+ZCAB=90o囹ZB=ZACD团ZFDA=ZACD0,.ZF=ZF0/.FDASAFCDPHPAPGPC团又Z3=Z4.APESCPFPEPH24.答案：证明：如图，连接BH交AC于点E,0,.H为垂心0/.BEAC0/.ZEBC+ZBCA=90o团:AD_1.BC于DFD二AD0/.fc=c5.ZADC=ZCDB=90o,ZB=ZACD.ACDSCBD生二生团.丽二而FDA
29、C团即4CCF=BCDF26.答案：证明：(1),/ZACB=ZADC=90oZA+zACD=90ZBCMZACD=90囹.ZA=NBCM13同理可得：NMDH=NMBD0,/ZCMB=NCDB+ZMBD=90+NMBDZADE=NADC+ZMDH=90+/MDH囹.ZADE=NCMB0/.AEDSCBMAE_AD0(2)由上问可知：CB-CM,即AECM=ADCB团故只需证明/CCD=ADCB即可0,.ZA=NA,ZACD=NABC0/.ACDSABCAD_CD0/.ACBCt即/CC4DBC0/.AECMACCDF=27.答案：(1)将结论写成比例的形式，FC-FD,可以考虑证明FDBSF
30、CD(已经有一个公共角NF)RtACD,E是AC的中点0/.DE=AEZA=ZADE,.ZADE=ZFDB0/.ZA=ZFDB团而NA+ZACD=90o0ZFCD+ZACD=90o0/.ZA=ZFCD0/.ZFCD=ZFDB团而NF=ZF0/.FBDSFDCFDFB0/.FCFD0.FD=FB户C0(2)判断：GD与EF垂直l三RtaCDB中，G是BC的中点，.GD=GBSE/.ZGDB=ZGBD0而ZGBD+ZFCD=904W)又,/ZFCD=ZFDB(1的结论)00/.ZGDB+ZFDB=90W.GDEF28 .答案：证明：由四边形ABCD、DEFG都是正方形可知，ZADC=ZGDE=90
31、o,那么NCDG=ZADE=ZADG+90o田在AGZX7和AED4中AD=CD,GD=DE冏乙CDG=1ADEIlI0.MGDC拶1.EDA团为K么NDAM=ZDCN团又ZANM=ZCND0/.ANMSCNDANCN=“一团那么NMDN酎.ANDN=CNMN29 .答案：证明：找模型。0(1)BCD.BDG,CDG构成母子型相似。.BDGDCGDG_BG0.ca=Dd团DG2=BG·CG0(2)分析：将等积式转化为比例式。BG_5团BG·CG=GF·GH=OHc0.ZGFC=ZEFH而NEFH+ZH=90o,ZGFC+ZFCG=90o0/.ZH=ZF
32、CG团而NHGB=ZCGF=90o0/.HBGSCFGBGGF0/.GHCG团团.BG·CG=GF·GH.30 .答案：(1)证明：.NMEB+/NEC=I8045=135=ZMEB+ZEMB00.ZNEC=ZEMB题又NB=NC三.BEM-CNE亟(2)COE-EONS0证明：.NOEN=NC=45,ZCOE=ZEONB0/.CoESEQN31.答案：解：(1)BCPSBER,CQPSDQR,ABPSCQP,DQRSABP0,ACIIDE0/.BCPSBER把土生.BR.RR.BRBY四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形.AD=BC,AD=CE0.BC=CE,即点C为BE的中点把空变0/.蕨.冠近团又ACIIDE0/.CQPSADQRPQmPCH.,.QRDREr点R为DE的中点0/.DR=REPQPCPCMMM一0.QRDR咫2瓯综上：BP：PQ：QR=3：1：232.答案：证明：.AD1.BC,DEAB0/.AADBSAEDADAB0.AEAD0/.AD2=AEAB团同理可证：AD2=AFACMAEAB=AFAC
