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1、周国标师生交流讲席010向量和矩阵的范数的假设干难点导引(二)一.矩阵范数的定义引入矩阵范数的原因与向量范数的理由是相似的，在许多场合需要“测量”矩阵的“大小”，比方矩阵序列的收敛，解线性方程组时的误差分析等，具体的情况在这里不再复述。最容易想到的矩阵范数，是把矩阵AC可以视为一个也维的向量(采用所谓“拉直”的变换)，所以，直观上可用Cm上的向量范数来作为ACm的矩阵范数。比方在4-范数意义下,IIAIlI=ZZ%=(tr(AA)p;一)r=l=linIi、2在4-范数意义下，IlAII尸=%F，(1.2)3=注意这里为了防止与以后的记号混淆，下标用“F”，这样一个矩阵范数，称为FrOberI
2、iUS范数，或F-范数。可以验证它们都满足向量范数的3个条件。那么是否矩阵范数就这样解决了？因为数学上的任一定义都要与其对象的运算联系起来，矩阵之间有乘法运算，它在定义范数时应予以表达，也即估计A3的“大小”相对于A与B的“大小”关系。定义1设AC心，对每一个A,如果对应着一个实函数N（八）,记为IlAl|,它满足以下条件:(1)非负性:A0;(Im正定性：A=OfnxnoIIAII=O(2)齐次性：IIaAlHaIllAII,C;(3)三角不等式：HAHA+51AH+HBH,VBeCwxrt那么称N（八）=IIAII为A的广义矩阵范数。进一步,假设对CE,CM,CT上的同类广义矩阵范数Il|
3、,有(4)(矩阵相乘的)相容性：IlAIlABIAllIlB|,BWCM,那么称N（八）=IIAll为A的矩阵范数。我们现在来验证前面(1.1)和(1.2)定义的矩阵范数是否合法？我们这里只考虑(1.2),把较容易的(1.1)的验证留给同学们，三角不等式的验证。按列分块，记A=(q,4,%)，B=1.,.,/对上式中第2个括号内的诸项，应用CaUChy不等式，那么有WA+BA.+2HAfBIlF+1B.=(AIlF+BIlJ(1.3)于是，两边开方，即得三角不等式。再验证矩阵乘法相容性。f2Y2(这一步用了Cauchy不等式)y三三)三i)(ntn、(=22=IMIl-IIa-()Ii=Ik=
4、Js=1可见，矩阵相容性满足。这样就完成了对矩阵F-范数的验证。是不是这样直接将向量范数运用到矩阵范数就可以了吗？No!运用乙-范数于矩阵范数时便出了问题。如果IlAll8=max%I,那么,这样的矩阵范数在下面一个1M，J1jn(A(22、例子上就行不通。设A=,A2=2AO因此，按上述矩阵8-范数的定义，UD(22)IlAl1.=1,IIAlIAIl1,A2x=2,于是但这是矛盾的。所以简单地将。-范数运用于矩阵范数，是不可行的。虽然这仅是一个反例，但是数学的定义是不可以有例外的。由此，我们必须认识到，不能随便套用向量范数的形式来构造矩阵范数。为此,我们仅给出矩阵范数的定义是不够的，还需要
5、研究如何构成具体的矩阵范数的方法。当然，你也可以不去考虑构成方法，一个函数一个函数去试，只要满足条件就行。不过这样做的工作量太大，也很盲目。第二，在实际计算时，往往矩阵与向量出现在同一个计算问题中，所以在考虑构造矩阵范数时，应该使它与向量范数相容。比方要考虑Ar的“大小”，AX是一个向量，但它由A与X相乘而得的，它与A的“大小”和X的“大小”的关系如何？这提出了两类范数相容的概念。定义2对于C*上的矩阵范数a7和C7C”上的同类向量范数y,如果成立IlAxHvAw.xv,VACmX二VxC,（1.5）那么称矩阵范数IlHw与向量范数IlHv是相容的。mn521例1.1可以证明Af=ZZl%F=
6、（tr（AA）尸是与向量范数2相容。1.=I7=1事实上，在（1。2）中，取8二xCwd,那么二.矩阵算子范数现在给出一种构造矩阵范数的一般方法，它可以使构造出的矩阵范数与向量范数相容，当然，它也满足定义1规定的4个条件。定义3设C7C”上的同类向量范数为y,AC,定义在Cm空间上的矩阵A的由向量范数IlIlv诱导给出的矩阵范数为IlAIly=max（2.1）Ilxllv可以验证，这样定义出的矩阵范数IlAIly满足定义1规定的4个条件，同时又满足矩阵范数与向量范数相容性要求（定义2）。由于有什么样的向量范数y,就有什么样的矩阵范数，所以，这样的矩阵范数称为由向量范数诱导出的，简称诱导范数；又
7、因为（2.1）实际上规定了一个函数（或算子），故又称为算子范数（2.（1） 的范数实际是寻求一个最优化问题的最优值，求目标函数必出的最大值，约束条件IlXIIy是XW0,也就在。空间中除原点外的点中，找一个维向量X,使华？1.取得最大值。如果直接考IIxIly虑这样一个优化问题,还是有困难的.可以证明，它可以以下等价方式定义,使问题的处理简单。IMIIv=max?=max=maxIlAXIIV（2.2）noHxv=HxvAxv,因此,矩阵范数与向量范数的相容性条件（1.5）成立。IIZIlV=I我们下面来验证（2.1）或（2.2）满足矩阵范数的4个条件。这4个条件中，前2个也容易验证，因此这里
8、只来考察第3,4个条件。三角不等式的验证：对于任一3Cmx矩阵相乘相容性的验证：由(1.5),不难有当XWO时，llllvAvgvIlxIly所以HABHv=maxUrT,乙-范数诱导得出的矩阵范数(*)HAIlx=maxIltnJJ=I证明：设X=,X2,xj,且IIXII8=1,由算子范数，IlAH30=maxHArjmaxZlaijIW1.=I=另一方面，选取，使得1,令y二(凹，y,其中yj=,必J(3.4)即maxIxi=1。i(*)/%=O矿。那么IlyIl00=maxIyj=1,从而有由算子范数IlAIlx=maxAv1.AylIJ|aki=maxaijo(*)Il叽=1j=1/
9、=|综合(*和(*),便得IlAIlx=maxyIa.Iolim-jJ=I除了上述3种常用的矩阵范数外，FrobeniUS范数虽然不是算子范数，但也经常所用，在讨论序列收敛等问题上是等价的。(1一2、例3.4设A=,求其各种矩阵范数。-34解：IlAIll=最大列和=6：IlAlloC=最大行和=7；IlAII产l2+2232+42=305.477；四.由矩阵范数推出的向量范数矩阵范数可由向量范数诱导，反过来，向量范数有时也可从矩阵范数推出。例4.1设1.是CM上的矩阵范数，任取C中的非零向量y,那么函数ley”.rC,(4oD是Cn上的向量范数，且矩阵范数IlIlw与向量范数IlIly相容。
10、证明：欲证IlXlly是一个向量范数，只须验证它满足向量范数得个条件。非负性：当x0时,由于y非零,故IlXlIV=Il孙”M0，VXWCZ当X=O时，Xyy=QX“，故IIXlly=II孙IIM=0。齐次性：对任一常数cC,有IRxWv=WcxytiIIm=IcIH盯IlM=ICIlIXvo三角不等式：对任意的X,zwC,有=IkIIv+112Ilwo因此由向量范数的定义知，Ilxllv是一个向量范数。下面再证两种范数的相容性。如果4C”,xC,那么WAxv=(Ax)yHIIjm=IIA(xyH)MAI1.ll孙IlJW=IIAIlMIIX。可见，矩阵范数IlI1.与向量范数IlIly相容。
11、五.范数的假设干应用范数的应用很广泛，这里只举2例。1 .矩阵奇异性的条件对于矩阵ACX,能否根据其范数的大小，来判别(/-A)的奇异性？判别一个矩阵的奇异性，并不方便(比方计算A的行列式的值是否非零，判断A的诸列是否线性无关等，均不大容易)，但矩阵的范数的计算，如l4l,l43还是方便的。定理5.1(Banach引理)设矩阵4C，且对矩阵C上的某种矩阵范数|,有IlAII1,那么矩阵(A)非奇异,且有II(Z-A)-11Il/11I-IIAII(5.1)证明：假设矩阵范数IIAIl与向量范数IIXlI相容。欲证矩阵(A)非奇异，可通过det(A)wO用反证法。假设det(A)=O,那么齐次线
12、性方程组(A)x=0有非零解方,即于是，X。Ax。o两边取范数IlX0IIv=IIAr0Ilvx0v0v其中最后一个不等号是由于41.但上式是矛盾的,假设det(4)=0不成立,从而矩阵(/4)非奇异，故有逆。再由(A)-(A)=可得(A)T=/壬(A)-A两边取范数,W(ZA)-H-(/A)-1AaZ+(ZAf11A再移项，有A,H(1-HAH)ZH从而Ar,IlZllI-IIAII这正是我们要想证明的。在推演分析AY=人的直接法的误差分析时起重要的作用。请同学们自行证明下面类似的结果。定理5.2设矩阵AGe,且对矩阵CM上的某种矩阵范数Il,有IlAll1,那么2,近似逆矩阵的误差逆矩阵的
13、摄动在数值计算中，误差无处不在，考虑由于这些误差存在而带来的后果，是一项重要的课题。设矩阵AC的元素传带有误差b%,(i=l,2,)，那么矩阵的真实的值应为A+S4,其中SA=(6他)称为误差矩阵，又叫摄动矩阵。假设A为非奇异，其逆阵为.问题是：(A+5A)”与AU的近似程度如何呢？或者说，(A+5A)-与A-I的“距离”大小为多少？下面是答复上述问题的摄动定理。定理5.3设矩阵AC5非奇异，BWC且对CgI上的某种矩阵范数,A-,B1,那么(1)4+6非奇异；记尸=/一(/+AT8尸，那么Fll-5l1-;ITlA8IlCllAT-(A+8)TII,IIA-1BIIIJJIIOIlATIlI
14、-IIA-1BII证明：由于IlATBII1,所以Il-ATBII1。由定理5。1,(/+4一七)非奇异,故A+B=A(+ATB)非奇异。在定理5。2中，将A换成一4一%，即得(2)。又因为A,-(A+B),=(7-(/+A1Bf1)A-1,两边取范数，并利用(2)的结论，可得IlA,-(A+B/A甲IlATII,即可得到(3)。3 .矩阵谙半径及其性质矩阵谱半径是一个重要的概念，在特征值估计，广义逆矩阵，数值计算(特别在数值线性代数)等理论中，都占有极其重要的地位。定义4设矩阵AG。”*”的n个特征值为4,4，(含重根)，称maxIqI为矩阵A的谱半径，/记为夕（八）。关于矩阵谱半径的最证明
15、也是最重要的结论是，矩阵A的谱半径不超过其任一种矩阵范数。这个结果已经在课堂上证明过了。(-i3、作为练习，请同学们对A=验证这个结论。I21J关于矩阵谱半径的第2个重要结论是，如果矩阵A为Hermite矩阵，那么IlAII?=P（八）。证明留给大家。虽然Hermite矩阵的谱半径与其谱范数相等，但是，一般矩阵的谱半径与其谱范数可能相差很大。下面关于矩阵谱半径的第3个重要结论，刻画了谱半径与矩阵范数之间的另一种定量关系,定理5。4设矩阵AG。“、，对任意正数,存在一种矩阵范数IlJ,使得证明：根据Jordan标准型，对AgC”*,存在非奇异的尸Cx，使如果记=Jz(1,2,n)和94O1O认I=,e=O或1O加OJ那么Jordan标准型J=A+/,其中乙乙，4为A的特征值。又记D=diagQ,与,Z),那么有4 xA22(PD)A(PD)=D1PiAPD=D1JD=+1=4喇记S=PD,那么S为非奇异，且有IlSTASlRlA+3lp（八）+o另一方面，容易验证，Ajw=S-,AS1是Cx上的矩阵范数，所以AU=S-,AS1p（八）+fo5.向量和矩阵范数在求解/U=b的直接法的误差分析中应用这一内容我在课堂上讲的比拟仔细，这里就略去了。
