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1、第三章第三章 矩阵的标准形与若干分解形式矩阵的标准形与若干分解形式1 矩阵的相似对角形矩阵的相似对角形一、知识回顾1线性变换在两组基下的矩阵相似,相似变换矩阵是两组基下的过渡矩阵。2特征值与特征向量,特征子空间及其维数,特征值的代数重数与几何重数。V3矩阵与对角形相似的充要条件：有 n 个线性无关的特征向量。4矩阵与对角形相似的充分条件：有 n 个不同的特征值。若为阶矩阵,矩阵An称为的特征矩阵。又多项式A称为的特征多项式,这里,是的所有 阶主子式AAaaniii11tr|) 1(AanniaAi的和与的乘积。叫的迹。i) 1(AtrA属于矩阵的同一个特征值的所有特征向量连同零向量一起,构成一
2、个线性空间,A00V称为的特征子空间。特征子空间的维数不超过特征根的重数。A0V0二、寻找矩阵的相似对角形的方法例 3-1 研究下列矩阵是否能与对角形相似 , , 。121101365A122212221A284014013A提示： ；31, 31, 2321；3213,3213,011321xxx,。32320111332P633321332163332133210311P ；5, 13213213,3213,011321xxx；。111110101P111121112311P3 ；的特征子空间是一维的；不存在三个线性无关的特征向量。2, 13211例 3-2 设,求的相似对角形及。1630
3、53064AA100A2 矩阵的约当标准形矩阵的约当标准形当矩阵不能和对角形矩阵相似时,能否找到一个构造比较简单的分块nnijCaA)(对角矩阵和它相似呢？当我们在复数域内考虑这个问题时,这样的矩阵确实是存在的,这就C是约当Jordan 形矩阵,称之为矩阵的约当标准形。A定义定义 若数域上多项式满足,则称整除P)(),(),(xgqf)()()(gqf)(g,记为。)(f)(| )(fg定义定义 31 设是上多项式,如果存在上多项式满足)(),(gfPP)(d1,即可以整除；)(| )(fd)(| )(gd)(d)(),(gf2 若有上多项式,则有,则称P)(1xd)(| )(1fd)(| )
4、(1gd)(| )(1dd是的一个最大公因式,记表示首项系数为 1 的最大公因式。)(d)(),(gf)(),(gf三个多项式的最大公因式可定义为)(),(),(hgf)(),(),(hgf)(),(),(hgf1行列式因子设,是的特征矩阵,记为。nnijCaA)(AE A)(A定义定义 32中所有非零的阶子式的首项最高次项系数为 1 的最大公因式)(Ak称为的一个阶行列式因子。)(kD)(Aknk, 2 , 1,并且。|)(AEDn)(| )(1kkDDnk, 3 , 2例 33 求下列矩阵的特征矩阵的行列式因子：1；2211AaaA112不变因子,初等因子定义定义 33 下列个多项式n,)
5、()(11Dd)()()(122DDd)()()(233DDd)()()(1nnnDDd称为的不变因子。把每个次数大于零的不变因子分解为互不相同的一次因式的方幂的)(A乘积,所有这些一次因式的方幂相同的必须按出现次数计算,称为的初等因子。)(A由于这里的完全由决定,所以这里的不变因子及初等因子也常AEA)(A)(A称为矩阵的不变因子及初等因子。A例 34 求下列矩阵的不变因子及初等因子1；22121A122020021A例 35 设各个,求的初等因子。ababa0ibA3约当标准形设矩阵 A 的全部初等因子为：。相对于每个初等因子 skskk,2121构造一个 ki 阶的 Jordan 矩阵块
6、：iki。siJiiii, 1,11由所有这些 Jordan 块构成的对角矩阵称为矩阵 A 的 Jordan 形矩阵,或 A 的约当标准形。定理定理 34 每个阶复数矩阵都与一个约当形矩阵相似nAJ；JAPP1除去约当块的排列次序外,约当形矩阵是被矩阵唯一决定的。JA这个定理用线性变换的语言来说就是：设是复数域上维线性空间的线性变换,则在中必定存在一个基,使在这个基TnVVT下的矩阵是约当形矩阵；除去约当块的排列次序外,这个约当块矩阵是被唯一决定的。T推论 复数矩阵与对角形矩阵相似的充要条件是的初等因子全为一次因式。AA注意：由于所以约当形矩阵的主对角线上的元素全为的特征值,并且。但Js,21
7、Anksii1ji 时可能有ji,故不一定是的重特征根,故一般由矩阵的特征多项式不能写iAik出矩阵的约当形矩阵。例 36 求矩阵的 Jordan 标准形及所用的矩阵 P。211212112A解： 1341022100012112121122AE所以 A 的初等因子为,故 A 的 Jordan 标准形为。21, 11111J2 设。由,得, 即321,xxxPJAPP1 JA321321,xxxxxx。于是有 3321321,xxxxxxxAAA 11xAE 232xx AE 33xAE方程组1、 3 的基础解系为：。TT1 , 0 , 1,0 , 1 , 121ee取,而。为使2 有解,选择
8、 c1, c2 的值T0 , 1 , 11xTcccccc212122113,eex是下面两矩阵的秩相同：,2121111222111,111222111ccccAE的 c1=2, c2=-1。所以。将所求的代入方程2 并解之得：。T1, 2 , 13x3xT1 , 1 , 12x易证线性无关。321,xxx110121111P例 37 求矩阵特征多项式、初等因子及约当标准形。163053064A解 易得的特征多项式为A并且可以求得不变因子为,1)(1d1)(2d)2)(1()(3d故初等因子为,112因此约当标准形为对角形矩阵例 38 求线性微分方程组的通解。313212211234xxdt
9、dxxxdtdxxxdtdx解：方程组可以写成。其中,。xxAdtd201034011ATxxx321,x1 求 A 的初等因子及 Jordan 标准形。1112J2 求相似变换矩阵。111210100P3 作满秩线性变换,其中,则有。即yxPTyyy321,yyyAPPdtd1 *32322112yydtdyydtdyydtdy上述过程实际上是将系统解藕的过程。4 求*的通解,进而求原方程组得通解。tttektkekekP32221111210100yx例 39 利用约当标准形证明：若 n 阶矩阵 A 的特征值为,则的特征值n,1mA为。mnm,1证明：设的约当形矩阵为A其中因,故APPJ1
10、PAPJmm1但是有,msmmmJJJJ21mimimimiJ*显然的特征值就是的特征值的次幂,而相似矩阵有相同的特征值,故的特征值就mJJmmA是的特征值,即或的特征值的次幂。证毕。mJAJm3 哈密顿哈密顿凯莱定理及矩阵的最小多项式凯莱定理及矩阵的最小多项式一、哈密顿凯莱Hamilton-Cayley 定理定理 1 每个矩阵都是它的特征多项式的根。即若矩阵 A 的特征多项式是,则有 nnnnaaaAEf111。 3-6 0111EaAaAaAAfnnnn证明：设是的伴随矩阵,则 BAE 。 3-7 EfEAEAEB)(由于的元素都是次数不超过的的多项式,所以 B1n。 11201nnnBB
11、BB其中为阶数字矩阵。于是有iBn。 3-8 ABABBABBBAEBnnnnn1210110)(注意到, 3-9 EaEaEaEEfnnnn111由等式 3-7,38,39 即得：以一次右乘上面的第一式、第二式,第式,并将它们加起来,左边EAAAnn,11n为零,右边即为。 Af例 38 设,试计算。010110201AEAAAAA432)(2458定义：方阵的零化多项式：使的多项式。A 0A 注：如果多项式的次数比的高,则在计算时,存在一个次数比低的 A 多项式,使得。事实上,用去除,得：。)(r ArA rp将 A 代入即可。二、矩阵的最小多项式定义 34 设 A 是阶矩阵,则 A 的首
12、项系数为 1 的次数最小的零化多项式,称为n mA 的最小多项式。2最小多项式的性质1 矩阵的任一零化多项式都能被最小多项式所整除。A证明：。则。由于是最小多项式,只能有 rmq 0Ar m是零多项式。 r2 矩阵 A 的最小多项式是唯一的。证明：用结论1。若有两个最小多项式,则它们互相整除,且都是首一多项式,只能相等。3 相似矩阵的最小多项式相同。证明：设 B=P-1AP,则对于任一多项式,有,从而 A 和 B 的零化 p PApPBp1多项式是相同的。4 矩阵 A 的最小多项式的根必定是 A 的特征根；反之,A 的特征根也一定是 A 的最小多项式的根。证明：由1,特征多项式能被最小多项式所
13、整除。所以矩阵 A 的最小多项 f m式的根必定是 A 的特征根。反之,若,则。00 xxxA 0000mmAmxx注：求最小多项式的方法之一：若矩阵 A 的特征多项式是,则的最小多项式具有形式： skskf11A, snsnm11其中。siknii, 1,例 3-9 求矩阵的最小多项式,其中。A031251233A解：A 的特征多项式是,于是 A 的最小多项式只能是 422f或。 42m f直接验证得。 042EAEAAm例 约当块的最小多项式的是。iniiiiJ11 inim证明：的特征多项式为,而, iJini)(01010EJii,所以的最小多项式为。001000000)(1iniiE
14、JiJini)(5 设是一个分块矩阵,的最小多项多等于的最小多AsAAAA21AiA项式的最小公倍式,。si, 2 , 1 证明：设的最小多项式为,的最小多项式为,的最小公倍式是,由iA)(xfiA)(xf)(xfi)(xg整除知,。)(xfi)(xg0)(iAgsi, 2 , 1故 ,因此整除。0)()()()(21sAgAgAgAg)(xf)(xg又因为 ,因此对于每一个 有,0)()()()(21sAfAfAfAfi0)(iAf即整除。而是的最小公倍式。故整除 ,综上所得)(xfi)(xf)(xg)(xfi)(xg)(xf。)()(xgxf 因为每一个复数域上的方阵,都可以相似于一个分块
15、矩阵,即 Jordan 标准型,所以利用Jordan 标准型求最小多项式也是证明中常用的方法。6的最小多项式即为的不变因子。AA 1nnnDDd事实上,将矩阵化为 Jordan 标准形后,各 Jordan 块的最小多项式的最小公倍式,即初等因子的最小公倍式,即是的最小多项式。 ndA例 3-7 中,矩阵的初等因子为：,的最小多项式即为A2, 1, 1A。 21m4 多项式矩阵与多项式矩阵与 Smith 标准形标准形一、多项式矩阵的概念1多项式矩阵的定义若矩阵的元素都是的多项式系数属于某一数域,则 nmijaA)(ijaP称为矩阵,或多项式矩阵。如。作为多项式矩阵的一种推广就)(A AEA是有理
16、分式矩阵。2多项式矩阵的秩至少有一个阶子式不是零多项式,而所有的阶子式都是零多项式,则称 Ar1r的秩是。零矩阵的秩定义为零。)(rAr3是满秩的或非奇异的 A秩为,不是零多项式。n A4是可逆的或称为单模矩阵 A存在多项式矩阵,使得。 311 B EABBA注：1的逆矩阵是唯一的。 2 满秩矩阵不一定可逆。如。 A 21B定理 39是可逆的充分必要条件是。 A 0 cA证明 设可逆,则有多项式矩阵,使得式 311 成立,从而有)(A)(B故与只能是零次多项式,且不等于零数,所以当可逆时,必定| )(|A| )(|B)(A| )(|A等于某个非零常数。c反过来,若,则易知可逆,且其逆矩阵为0|
17、 )(| cA)(A这里是的伴随矩阵。)(*A)(A例 310 多项式矩阵,45331)(22A652331)(22B中,是可逆的,而是不可逆的,因为)(A)(B,4| )(|A0| )(|B5 多项式矩阵的初等变换定义 35 下列变换称为多项式矩阵的初等变换)(A1 互换的任意两行列；2 以非零的数乘的某一行或列；3 A)(Pk A以多项式乘的某一行或某一列并加到另一行或列。 A由单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵。初等矩阵都是可逆的,即它们都是单模矩阵。对一个多项式矩阵进行一次初等行列变换,相当于用一个相应的初等矩阵左右乘该矩阵。6等价定义 ,是指经过有限次初等变换能把化为。
18、 BA A B1 多项式矩阵的等价是一种等价关系。2的充分必要条件是存在初等矩阵,使得 BAtsQQPP,11, QAPQQAPPBts11与都是单模矩阵。)(P Q二、多项式矩阵的 Smith 标准形引理引理中,并且至少有一个元素不能被所整除,则比 nmijaA 011a A 11a可以找到一个与等价的多项式矩阵,使得,且的次 A nmijbB 011b 11b数低于的次数。 11a证明：分为三种情况。1不能被所整除,则,且的次数低于 1 ia 11a raqai111 r的次数。用的第 行减去乘以第一行,再把第 行和第一行互换即可。 11a Ai qi2 若在的第一行中存在不能被整除的元素
19、,可类似处理。 A 11a3 若的第一行列中的元素都能被整除,而不能被 A 11a 1, 1jiaij整除。设。将第 行减去第一行乘上,再将新的第 行加到 11a 111aaii i第一行上,即成为情形 。定理定理 3-10 任意非零的多项式矩阵都等价于下形式的 Simith 标准形： nmijaA, 000000000000000000000021rdddJ这里是的秩,是首项系数为 1 的多项式,且r A ridi, 1。 1, 1,|1riddii称为的史密斯Smith 标准型。)(J)(A证明：经过有限次初等变换后,总可以使矩阵等价于一个多项式矩阵,使得 A 1B该矩阵的第元素可以整除其
20、他所有的元素。再通过初等变换把第一行列的其) 1 , 1 ( 1B它所有元素都变成零。对于去掉第一行和第一列后所剩下的矩阵做类似的处理。依次进行下去,即得定理的证明。例 311 求多项式矩阵的 Simith 标准形。 200100) 1(0A例 312 化多项式矩阵 为 Simith 标准形。 222211121A答案：,。21000000130000001三、多项式矩阵的行列式因子、不变因子与初等因子定义定义 37 设多项式矩阵的秩,则中所有 k 阶子式的首项系数为 1 的最大 A1r A公因式,称为的 k 阶行列式因子。 kD A定理定理 311 若,则必有相同的秩及相同的各阶行列式因子。
21、 BA BA,证明思路：证明经过初等变换不改变矩阵的秩,并具有相同的行列式因子即可。定义定义 38 在的 Simith 标准形中,多项式称为的不变因子。 A J rdd,1 A注 1：因为,所以具有相同的行列式因子,故有： JA, rrddDddDdD121211,从而有：。 112211,rrrDDdDDdDd注 2：的不变因子由其行列式因子完全确定,所以 Simith 标准形式唯一的。 A注 3：高阶行列式因子能被低阶行列式因子整除。注 4：可逆矩阵的 Simith 标准形是单位矩阵因为；与单位矩阵等价的多项 1nD式矩阵必可逆。为可逆矩阵的充分必要条件,是可以表示成有限个初等矩阵的乘积。
22、 A A定义定义 39 把的每个次数大于或等于 1 的不变因子分解为互不相同的方幂的乘积, A所有这些一次因子的方幂相同的按出现的次数计算,称为的初等因子。 A例 313 求矩阵的特征矩阵的行列式因子、不变因子及初等因子。411301621A不变因子为。21, 1, 1四、几个重要结论1定理定理 312 若的充分必要条件,是有相同的行列式因子, BA BA,或相同的不变因子。证明思路：必要性由定理 311 即得；充分性源于有相同的行列式因子,或相同的不变因子的多项式矩阵具有相同的 Simith 标准形。2两个 n 阶矩阵相似的充分必要条件是它们的特征矩阵等价。3的行列式因子、不变因子与初等因子亦称为矩阵的行列式因子、不变因子 AA与初等因子。1有相同的不变因子。BABA,2 在复数域内有相同的初等因子。BABA,
