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1、 全国大学生数学建模竞赛第二次预选赛试题题目A题 自动倒车策略自动倒车策略摘要本文针对自动泊车系统的研究，参考生活中人工入库的实际情况，对整个倒车过程车辆运动规律进展深入分析之后，运用了几何学相关知识求出了车辆在各段泊车的位置，列出了相关不等式并采用数形结合的方法，求解出了泊车起始点围，并根据车辆在泊车点附近安全行驶的区域围与泊车最终停靠位置的合理性，列出约束条件，通过构建多目标非线性规划模型，很好的解决了安全倒车入库的起始点位置问题和最正确泊车策略问题，最后运用了Matlab软件对模型进展求解。问题一中，题目要求寻找能够安全倒车入库的起始点位置所在的区域围，首先我们要明确的是影响汽车安全入库
2、的因素就是车库周围物体的阻碍，然后我们将汽车倒车入库的过程划分为三个阶段，仔细分析汽车倒车入库的过程之后我们考虑这三段过程中可能会发生的接触车库警戒线，列出约束条件，建立数学模型，并采用数形结合的方法对模型进展求解，最终求出汽车能够安全入库的起始点位置围为以下曲线所包络的不规那么区域。问题二中，题目要求设计出从任意倒车入库起始点开始的最正确泊车策略，并求出采用最正确策略时的前轮转角和后轮行驶距离。我们应该在汽车能够安全倒车入库并停在最恰当位置的前提下寻求满足前轮转角之和最小和后轮行驶距离最短的最正确泊车策略，先针对设任意起始点分析，对问题一中所构建的模型稍加改动，增加了对最终停车位置的约束条件
3、，并针对前轮转角和后轮行驶距离构建双目标函数，由几何问题转化为多目标非线性规划问题，因为非具体值，无法通过软件直接求解，通过任意选取多个具体的值，运用Matlab软件的fgoalattain函数对该双目标非线性规划问题求解，得到多个起始点的最正确泊车策略，并进展了比拟分析。关键词：数形结合，Matlab，多目标函数非线性规划一、问题提出假设考虑系统控制容易性，参考人工倒车入库，当车辆位于与车位垂直的任意位置时，先通过前行或后退到达倒车入库起始点后，再确定前进转角或后退转角，使车身与车位在同一直线上后，直接倒车完成入库，即“一进二退。这种两段式倒车模式提高了泊车过程中车辆行驶的紧凑性，同时减少了
4、泊车行驶空间。考虑某型汽车，假定其长3550mm，宽1495mm，轴距2340mm，前轮距1280mm，后轮距1280mm，目标车库为小型汽车库标准大小长6m，宽2.8m，车库周围情况如图，图中a=400mm，b=8000mm，c=300mm。建立模型给出泊车策略，最终实现汽车自动、安全的停车入库。1假定汽车转弯时固定按照36度的转向角前进和后退，建立数学模型，寻找能够安全倒车入库的起始点位置所在的区域围。2建立模型，给出从任意倒车入库起始点开始的最正确泊车策略，包括前轮转角、后轮行驶距离。二、根本假设1、假设汽车在自动泊车过程中不存在车轮打滑的情况。2、假设汽车在自动泊车入库的过程中没有其他
5、正在行驶的汽车与行人干扰其倒车入库。3、假设在汽车自动泊车入库的过程中每一段泊车车车轮转角都为定值。4、假设汽车在自动泊车过程中车的行驶速度都为7km/h以下的自动泊车安全速度。三、符号说明符号意义单位备注与之间的夹角rad汽车后轮轴中点到车头顶点连线与汽车中心轴之间的夹角rad汽车在第一段倒车过程中的前轮转角rad汽车在第二段倒车过程中的前轮转角rad汽车车身的宽度mt汽车的后轮距m汽车的长度m汽车的轴距m车位的长度m车位的宽度m已经停放好的汽车车身左侧与车位左侧边界限之间的距离m表示与之间的距离m已经停放好的汽车车身前沿与车位上边界限之间的距离md车身与车位在同一条直线上之后，车直线行驶到
6、最终泊车点的距离m汽车第一段行驶轨迹的半径m汽车第二段行驶轨迹的半径m四、问题分析4.1 问题背景随着人们生活水平的逐步提高以与汽车产业与科技的高速开展，很多人都拥有自己的汽车，停车问题成为了很多新司机的困扰，而自动泊车系统就可以解决停车这一难题。自动泊车是一项非常具有挑战性和实用性的技术。自动泊车系统可通过各类传感器获取车位相对汽车的距离，通过控制汽车前轮转角和瞬时速度控制车辆行驶。 分析影响最正确泊车策略的因素对倒车入库过程的分析4.2 问题分析 停车位置的优化 车库周围障碍物的限制前轮转角与后轮行驶距离的限制 建立问题一数学模型建立问题二的非线性规划模型从日常经验可知，以自行车为例，如果
7、前轮有一定转角，在维持转角不变状态和无轴向移动前提下自行车走过的路径将会以某个圆点为中心旋转，同样的状态也会出现在汽车上。其走过路径如以下图。 根据阿曼克数学模型，从几何关系与运动学公式可知，在如上图后轮轴心的运动轨迹可以描述为以半径的圆周运动。两个后轮的轨迹分别为和的圆,为该车前轮转角，推导详见参考文献5。在问题一中，首先明确问题，题目要求寻找汽车能够安全入库的起始点位置的区域围；然后，我们结合题目信息以与实际生活中的倒车过程，分析了制约汽车安全入库的影响因素，主要是受到车库周围事物的影响；我们将汽车倒车入库的过程分为三段，前两段轨迹为圆弧，其中第一段圆弧与第二段圆弧相切，第三段轨迹为直线运
8、动；最后根据车库周围障碍物的制约构建不等式，并采用数形结合的方法得到区域围，求出区域边界方程，最后得出满足汽车安全入库的起始点位置的区域。在问题二中，题目要求根据前轮转角和后轮行驶距离设计出从任意入库起始点开始的最正确泊车策略，即在问题一汽车安全入库的根底上寻求倒车优化方案，从而建立优化模型。为了使得汽车出库和入库时行驶方便，参考上图中车位旁边的两辆汽车的停放位置，要使停车位置最正确，那么需要在满足问题一中约束条件的的前提下增加对停车位置的约束，并构建有关汽车行驶距离和两段泊车转角的多目标函数非线性规划，将任意点看做取多个具体点，最后运用Matlab软件进展求解，得到每个具体起始点的最优泊车策
9、略。五、模型的建立与求解5.1 问题一模型建立与求解5.1.1 问题一的分析问题一中，我们参考了生活中倒车实际情况的同时，结合题目信息，将倒车的过程分为三段。如下图，从汽车位于与车位垂直的任意位置时起，至汽车按照题目的转向角36度前进到某一适宜的地点止，为第一段，第一段路程的轨迹是一段半径为圆心角为的圆弧；汽车从第一段行程的终点按照一样的转向角36度后退到车身与车位在同一条直线上止为第二段，由如图1几何关系知第二段路程的轨迹是一段半径为圆心角为的圆弧；最后汽车沿直线行驶距离后直接后退到车位的适宜位置停车，为第三段。那么，为保证汽车能够安全倒车入库，影响其倒车起始点位置所在区域围的约束条件有四个
10、：第一，汽车位于第一段路程的起始点与车位垂直时，车身不能越过和；第二，汽车在第一段路程的终点处不能越过上边界限；第三，汽车在倒车的第二段过程中，车身轮廓线在地面的投影不能越过D点；第四，汽车在倒车的第三段过程终点停车时，车身左侧不能越过FG，右侧不能越过DE。5.1.2 问题一模型的建立通过对原问题的分析，我们以汽车两后轮连线中心点的轨迹代替汽车的运行轨迹，可以建立如下的数学模型. 首先明确变量：如图，以车位的左下角顶点F为坐标原点，设汽车位于初始点位置时，两后轮连线中心点坐标为,汽车位于第一段路程的 终点处时，两后轮连线中心点坐标为，汽车位于第二段路程的终点处时，两后轮连线中心点坐标为，汽车
11、在第三段路程的终点处停车时，两后轮中心点坐标为，汽车在第一段和第二段过程中两后轮连线中心点轨迹为圆弧，设第一段轨迹圆心为，半径为,第二段轨迹圆心为，半径为，。 图1Step1：取F点坐标为0,0用不等式表示出约束条件1，即汽车位于第一段路程的起始点与车位垂直时，车身不能越过。 1-1式中：n表示车位的长度 b表示之间的距离 W表示汽车的宽度Step2:用不等式表示出约束条件2，即汽车在第一段路程的终点处不能越过上边界限。汽车从运动到过程中，轨迹为以为圆心，为半径的圆弧，为汽车沿圆弧前进时的前轮转角，那么的坐标用表示为 ， ，由勾股定理得 ，那么A点的纵坐标为，由图像易得由此可得 1-2式中：W
12、表示汽车的宽度 S表示汽车的长度 L表示汽车的轴距Step3:用不等式表示出约束条件3，即汽车在倒车的第二段过程中，车身轮廓线在地面的投影不能越过D点。在第二段过程中，当汽车运行到车身与线段垂直时，汽车两后轮连线中点为，此时汽车刚好以全部的车身长度侧对,车身离车位边角点的距离最小，所以需满足。在直角三角形中,点横坐标为,点的纵坐标为，D点坐标为m，n,那么由两点间的距离公式得。当且时需满足,即当且 时， 1-3 式中：m表示车位的宽度Step4: 用不等式表示出约束条件4，即汽车在倒车的第三段过程终点停车时，车身左侧不能越过FG，右侧不能越过DE。如下图，两后轮连线中点点的横坐标为,那么，由此
13、可得 1-4 1-5另外两后轮连线中心点的纵坐标为，那么， 在问题一中，题目假定汽车转弯时固定按照36度的转向角前进和后退，即，综上所述，由1-1到1-5知问题一的模型为5.1.3 问题一模型的求解算法步骤与结果。如果模型求解比拟困难，可以采取简化方法或者启发式算法或者暴力索或者计算机模拟等方法求解搜。对于问题一，我们采用了数形结合的方法求解，求解结果为以下曲线 所包络的不规那么区域。 Step1:分析模型的解法首先我们先将题目的数据代入模型立的不等式中，得由模型知必须满足且当时，必须有,设，其中由 化简得先将看作常量，在坐标系画满足上述不等式的可行域注意到圆心的横纵坐标由上述圆的参数方程得点
14、的轨迹为以为圆心，6.44为半径的1/4圆，设，为与y轴的夹角。因为，所以。那么如以下图所示每一个角都可以对应一个如上图所示的一个围，在该围的起始点坐标均满足约束条件，那么当在变化时，只要落在每个对应的围扫过的区域之那么表示对于该点至少存在一个使满足以上不等式所有约束条件。那么上述黑粗实线包络区域那么为满足上述不等式的的区域围，而又因为，所以必须要满足不等式，那么由数形结合方法进一步缩小包络区域。Step2：求区域边界的方程对于最上边界，由图知最顶端边界为。对于左上边界，由模型式2：知左上端的的曲线方程为，而, ，带入得曲线轨迹方程为。对于左边界，由图知左边界垂线为。对于最下端边界，由图知对于
15、右下中部边界。某个对应区域围距离圆心的距离最短时的点即为下部边界上一点，设当时，对应区域最低点P离N点的距离为该区域距离N的最短距离，那么连线刚好与区域最下端点相交，此时，所以当时，那么每个对应围最低点P为该围距离N最短的点，那么右下中部边界为P点扫过的轨迹，P点相对于M点的坐标为带入M点轨迹方程得P点的轨迹方程即为右下中部边界轨迹方程。当。对于右下边界，右下端为以为圆心2.47为半径的轨迹圆，轨迹方程为。对于右边界满足。综上所述，求得问题一的结果为以下曲线方程所包络的不规那么区域。用几何画板在相应围作出上述各边界的轨迹曲线，并同时作出车库各边界，得到满足汽车安全倒车入库的起始点围如以下图。
16、图a5.1.4 问题一结果的分析与验证由模型一求解得知求解出区域为七条曲线所包络的围，由该区域知假设行驶的车辆在到达起始点过程中假设太靠近停车场左端，曲线所包络起始点区域较少，那么以36车轮转角自动泊车很难实现，假设希望车辆自动泊车更顺利，有更多起始点，那么应在停车场行驶到泊车起始点过程中应尽量靠右端行驶。在图a网格图中在包络区域左下角任取起始点，带入问题一模型式1,2,3,4,5得取，带入不等式成立，即满足模型成立。同理，在图a网格图中在包络区域中上局部任取起始点，带入问题一模型式1,2,3,4,5，取成立，满足模型成立。右下局部取一点，带入模型，取成立，此点也满足模型。现在图a网格图中取区
17、域外一点，带入模型中得不等式解为空集，所以不成立。继续取区域边界外靠近边界一点5，5，带入模型得不等式解集也为空集。由大致取点验证知，模型一模型求解正确。5.2 问题二模型建立与求解5.2.1 问题二的分析 在问题二中，题目要求根据前轮转角和后轮行驶距离设计出从任意入库起始点开始的最正确泊车策略，即在问题一汽车安全入库的根底上寻求停车位置的优化方案。为了使得汽车出库和入库时行驶方便，参考上图中车位旁边的两辆汽车的停放位置，要使停车位置最正确，那么需要在满足问题一中约束条件的的前提下满足如下约束条件：第一，汽车停车过程完毕时，车身左侧与车位左侧边界限之间的距离应大于a，车身右侧与车位右侧边界限之
18、间的距离也应大于a；第二，汽车停车过程完毕时，车身前沿与车位上边界限之间的距离应大于c，车身后沿与车位下边界限之间的距离也应大于c。根据互联网相关资料，因为汽车自动泊车借助传感器雷达等电子设备感应周围障碍物，通过计算机来控制方向盘转角，转角越大，计算机那么需要通过控制汽车动力系统提供更多动能以供更大的转矩，不便于计算机控制，以与长时间会损耗动力系统。所以为了使得泊车策略最正确，停车更方便快捷，那么需满足汽车在第一段倒车过程中的前轮转角与第二段倒车过程中的前轮转角之和较小前轮转角即汽车转向角，经查阅资料知，一般汽车的转向角在30度到40度之间，并且，汽车在整个倒车入库过程中后轮的行驶距离也应尽可
19、能的小使得汽车能耗小。那么有约束条件建立了一个多目标非线性规划模型因为起始点为任意点，无法编程运行，那么可取多个满足模型条件的具体分别求每个点最优泊车策略，用matlab求解完成5.2.2 问题二模型的建立Step1:用不等式表示出约束条件一，即汽车停车过程完毕时，车身左侧与车位左侧边界限之间的距离应大于a，车身右侧与车位右侧边界限之间的距离也应大于a； 设任意一起始点坐标为因为汽车在停车终点处时，两后轮连线中心点横坐标为，那么，即 2-1 2-2 式中：表示汽车车身的宽度表示车位的宽度表示图中已经停放好的汽车车身左侧与车位左侧边界限之间的距离Step2:用不等式表示出约束条件二，即汽车停车过
20、程完毕时，车身前沿与车位上边界限之间的距离应大于c，车身后沿与车位下边界限之间的距离也应大于c。 因为汽车在停车终点处时，两后轮连线中心点的纵坐标为，那么，即 2-3 2-4 式中：表示汽车在第三段停车过程中直线行驶的距离表示汽车的长度表示汽车的轴距表示车位的长度表示图中已经停放好的汽车车身前沿与车位上边界限之间的距离Step3:建立目标函数。因为在第一段倒车过程中后轮行驶距离，第二段倒车过程中后轮行驶距离为,第三段倒车过程中后轮行驶距离为d。那么 式中：表示汽车在第一段倒车过程中的前轮转角表示汽车在第二段倒车过程中的前轮转角表示汽车在第三段倒车过程中后轮行驶的直线距离 综上所述： 目标函数为
21、5.2.3 问题二模型的求解该模型为多目标非线性规划模型，求解该优化问题程序主要应用了matlab的fgoalattain函数来实现对多目标规划的求解，在求解程序中分别另，由于是求解任意下的最优解，假设不设为具体数值的话无法用程序运行出结果，那么此题解法主要采用将取为假设干具体值，分别求解在假设干下的最优解程序见附录。程序的功能为一运行那么弹出可自行输入的值的框,实现此功能局部程序为prompt=输入x0的取值：,输入y0的取值：;name=参数设定;numlines=1;answer=inputdlg(prompt,name,numlines);x0=str2double(answer(1)
22、;y0=str2double(answer(2);自行输入具体满足模型的的数值后，在命令窗口中输入x那么运行出在输入的值下该多目标规划模型尽可能满足行驶路程最小和两次转角之和最小的最优解的值，输入fval那么得到俩目标函数的值。以下为输入的7组的值，与满足约束条件目标目标函数最优的x:附录中由上到下的值与目标函数fval:附录中由上到下的值完整程序数据结果见附录(-2,10)(-1,9)(0,7)(1,8)(2,9)-1,101,70.74290.71820.52360.5236 0.52360.70220.52360.47880.50360.58000.69810.69810.5195 0.
23、6981 0.68100.78301.07130.93310.59150.91881.00579.75435.57633.61784.11703.6016 4.96343.33371.15981.28661.65131.63121.28961.43841.703813.68809.05295.97976.87138.18837.94125.82605.2.4 问题二结果的分析与验证 任意取了五组起始点坐标，根据最优解数据情况可知，当。与起始点未越过车库口时，要满足最正确泊车策略普遍需要满足泊车前进转角大于后退转角，当起始点越过车库口时，要满足最正确泊车策略普遍需要满足泊车前进转角小于后退转角，
24、该规律满足自动泊车转角的普遍规律，结论正确。六、模型的评价与推广6.1 模型的评价对于我们所建立的模型，是从生活中垂直倒车入库的实际情况出发研究的，能够较好的反映实际情况，客观合理。在问题一所建立的模型中，尽管约束条件很多，不等式较为复杂，但是我们克制了数据冗杂不易求解的缺点，采用数形结合的方法，把变动的角度扫过的围的轨迹方程求出，并根据列出的不等式约束条件确立了区域的围，处理方法较为精细，所求出的区域边界方程和所绘制的曲线能够直观清晰的反映出倒车入库起始点围，简洁明了，一目了然。最后针对问题一的结果做出了科学合理的分析与验证。但在求解过程中由于数值表达式中无限不循环小数较多，为了作图方便，通
25、常仅保存了两位小数，所求解出围与实际情况可能有微小偏差。在问题二中模型建立较为复杂，为多目标非线性规划，matlab编程求解过程中又并未涉与智能算法，可能准确度会受到影响，起始点位置为任意点，我们在求解过程中，仅选取选取了局部点以程序求出了在这些点的最优解与对应各个未知参数，这种以点代面的处理方法较为粗糙，并且选取的数据组数不多，不易比拟，但该模型建立上与第一问相似，通过程序完成了全部求解过程，并且程序易于操作，简洁明了，便于理解，具有很强的实用性。6.2 模型的推广本文在第二问中所建立的多目标函数非线性规划模型，很清晰的反映了现在自动垂直泊车在现实生活中的真实最正确策略，所用的求解程序易于操
26、作理解，可一定程度在实际生活中利用借鉴，在车辆工程的科技研究，轨迹分析等方面具有一定的实效性。但是模型的结果存在一定的误差，不够全面。在时间充裕的条件下，应该综合多项指标，探求多方因素影响下、更具实际意义的模型，寻找更为简单准确的求解方法。7、 参考文献1高航.自动垂直泊车方法研究.中国科学技术大学.2011年5月2启源等.数学模型第四版.：高等教育，2003年8月3 司守奎，玺箐.数学建模算法与应用.：国防工业，2012.4 数学建模-侧位泊车问题5 何峰.自动泊车系统的研究与实现,2009八、附录8.1 附录清单附录1：求解问题二的matlab程序附录2：问题二的完整数据结果8.2 附录正
27、文附录1：求解问题二的matlab程序适应性M定义初始数据文件begin_dataclear,clcn=6;W=1.495;L=2.34;b=8;S=3.55;a=0.4;m=2.8;c=0.3;bt=atan(W/(S+L);save(information.mat);适应性M文件fun.mfunction f=fun(x)load information.mat;f=x(2)+x(3);x(1)*L*cos(x(2)+(pi/2-x(1)*L*cot(x(3)+x(4);End适应性M文件mycon2.mload information.mat;g= y0+L*cot(x(2)*(1-co
28、s(x(1)+sqrt(S+L)/2)2+(W/2)2)*sin(x(1)+bt)-n-b;. sqrt(m-x0-(L*cot(x(2)+L*cot(x(3)*sin(x(1)2+(n-y0+(L*cot(x(2)+L*cot(x(3)*cos(x(1)-L*cot(x(2)2)-L*cot(x(3)+W/2;. -x0-L*cot(x(2)*sin(x(1)+L*cot(x(3)*(1-sin(x(1)+W/2+a;. x0+L*cot(x(2)*sin(x(1)-L*cot(x(3)*(1-sin(x(1)+W/2+a-m;. y0+L*cot(x(2)*(1-cos(x(1)-x(4)
29、-L*cot(x(3)*cos(x(1)+(S+L)/2-n+c;. -y0-L*cot(x(2)*(1-cos(x(1)+x(4)+L*cot(x(3)*cos(x(1)+(S-L)/2+c;ceq=;end主程序clear,clc%x=aef st1 st2 d x0 y0load information.mat;prompt=输入x0的取值：,输入y0的取值：;name=参数设定;numlines=1;answer=inputdlg(prompt,name,numlines);x0=str2double(answer(1);y0=str2double(answer(2);save(inf
30、ormation.mat,x0,-append);save(information.mat,y0,-append);x_begin=pi/1000;pi/1000;pi/1000;-9; lb=pi/6 pi/6 0 0 ; ub=2*pi/9 2*pi/9 pi/2 n+b ;x,fval,attain_factor=fgoalattain(fun,x_begin,0 0,1 1,lb,ub,mycon2);附录4：问题二的完整数据结果 xx = 0.7429 0.4788 0.6810 9.7543 fvalfval = 1.1598 13.6880 xx = 0.7182 0.5036
31、0.7830 5.5763 fvalfval = 1.2866 9.0529 xx = 0.5236 0.5800 1.0713 3.6178 fvalfval = 1.6513 5.9797 xx = 0.5236 0.6981 0.9331 4.1170 fvalfval = 1.6312 6.8713 xx = 0.5236 0.6981 0.5915 3.6016 fvalfval = 1.28968.1883 xx = 0.7022 0.5195 0.9188 4.9634 fvalfval = 1.4384 7.9412 xx = 0.5236 0.6981 1.0057 3.3337 fvalfval = 1.7038 5.826030 / 31
