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1、第三章线性方程组的解法一、基本内容提要1 .高斯消元法高斯消去法（GaussEliminationMethod）是一种规则化的加减消元法。基本思想是通过逐次消元计算把须要求解的线性方程组转化为上三角形方程组，即把线性方程组的系数矩阵转化为上三角矩阵，从而使一般线性方程组的求解转化为等价（同解）的上三角形方程组的求解。2 .高斯消元法的消元过程求解元线性方程组的Gauss消元法的一般步骤，将方程组设为如下形式+,X=+ax2+q“X“一”Y工/,(2)丫,_(2)v一。2212+。2313+.+“2”2喟七+WH=娟点x=b?一般简记为AWX=6)回代过程按向量的逆序逐步回代得方程组的解Xk=S
2、f)-丑4?巧)/暇(A=l,-2,1).=+l3 .列主元GaUSS消去法对于线性方程组Ar=从可设一知2a),b;r.,b)A,h=-n勺2。列主元Gauss消去法的详细过程如下：第一步：首先在上增广矩阵中的第1列中选取肯定值最大的元，比如为/，则N/二哨|明。将第1列与第i列互换。为便利起见,记行互换后的增广矩阵为A,力,然后进行第一次消元，得矩阵。4.4b“11w12ulnUz,(2)z7(2)r(2)a,b=a22a2n”2z,(2)“(2)l,(2)an2annbn其次步：在矩阵b田21的其次列中选主元，比如喈，使I第=舞耳W将矩阵A,b的第2行与第4行互换，再进行其次次消元，得矩
3、阵A,。第上步：在矩阵A,*的第上列中选主元，如43使同)|=%潸限|。将4（八）,/（八）的第k行与第4行互换，进行第k次消元。如此经过-1步，增广矩阵被化成上三角形，最终由回代过程求解。4 .矩阵的杜利特尔(Doolittle)分解设A=1.U,其中1.为单位下三角矩阵，U为上三角矩阵。1此分解过程即被称为矩阵的杜利特尔（DOoEUe）分解，也被称为1.U分解。5 .干脆三角分解法假如线性方程组Ar=力的系数矩阵已进行三角分解，A=1.U,则解AX=力等价于求解两个三角形方程组U=AUX=y,即由1.y=1410100QO-01y2.=bh2A_可求出然=V4k1-v;1.目(D(=2,n
4、)再由Ux=wIIu20u22WI3/3wli2n=必一必000Unn_3_y.解得unn（女二）（M一mVumc伏=一1,1）M+16 .三对角方程组的追逐法设bxCla2b2c2A=.=1.U其中4,%”为待定系数，依据矩阵乘法规则，可得A=wri=cici=IMiT(i=2,3,Mbi=riJi+ui假如%0（i=l,2,可得%=Ali=aiuj（j=23M=-（-1OOOwG，21OOU2A=1.V=Ob1OOOO/1O方程组可化为求解方程组U=d和UX=y。解1.y=d得 .(&=2,3,MI=4-mt再解UX=y,得方程组的解=yJunz,Ion (=h-1,m-2,1)k=(yk
5、-cJk上述方法即被称为求解三对角方程组的追逐法。7,改进的平方根法对称正定矩阵4肯定有形如A=1.Dzr的分解，其中1.为单位下三角阵，。为对角阵，矩阵A作1.OAr分解后，解方程组Ar=)可分两步进行：先解方程组U=方，再由01工=丁求工。详细计算公式为y=Kk-X=%-/m伏=),)；=1n=ynldnn yk-EUkjXj=X，-=T，7)求解线性方程组的这一方法称为改进的平方根法，也叫1.o法。8.向量范数若IHl是向量空间r上的实值函数，且满意条件(1)非负性：对任何向量XWR，国0,且国=O当且仅当X=0；(2)齐次性：对任何实数和向量xRn,x=x；(3)三角不等式:对任何向量
6、x,ywK,x+M国+帆则称Ii为向量空间rh上的范数，IiN为向量X的范数。理论上存在多种多样的向量范数，最常用有如下三种：(1)2范数国2=JX；+*+片1一范数H1=k,=l(3) 8-范数x=maxxj111,001*11u9 .矩阵范数若IHl是以阶方阵为变量的实值函数，且满意条件：rMR，且闷=，当且仅当a=。：20对随意实数,都有IlaAlI=IaIlM|；3对随意两个阶方阵Al都有A+BA+B；4abab(相容性条件)。则称同为矩阵4的范数。设阶方阵A=Sg),常用的矩阵范数有：1一范数A1=rmx,jZ=I(2) OO-范数K=三x7=(3) 2范数IIAIl2=，l时，方程
7、组是病态的，否则，方程组是良态的。12 .雅可比(JaCObi)迭代法若方程组11x1+12x2+.C1.Xtt=ba2lxl+a22x2+.ahlxn=b2内+42工2+/”=2的系数矩阵A非奇异，且设%Hoa=I,2,)。可建立迭代公式(+l)1z(k)(k)(),Xl=(a2x2a3x3anxn+4)ax2=-(-a2lxl-a2ix3a2flx,l+b2)(Jt+1)1z(i)(*)(),r=一-anxan2x2an,-ixn-l+2)选取初始向量X后，反复迭代可得向量序列卜.，满意工X)=8fA)+g(Z=O,1,2,)此计算过程所给出的迭代法称为JaCObi迭代法,，6为迭代矩阵，
8、可把系数矩阵A分裂成A=D-1.-U其中D=市。g(q,2，。)，有X(AM=D-I(1.+u)x（八）+。-%,即B=D-l(1.+U)=D1(D-A)=Z-D,A,g=Db13 .Guass-Seidel迭代法若选取初始向量X，用迭代公式i)=(4。.,4)7(初始向量)，铲铲一次明力”=1j=i+(z=l,11=O,l0产生近似解序列x（八）,这种迭代方法称为Gauss-Seidel迭代法。14.松弛法(ReIaXatiOnMethod)若记按Gauss-Seidel迭代公式得到的第k+1次迭代结果为=_1.Sj_NaH)(i=1.2,川an=j=i+这里，W只作为一个中间值。引入实参数
9、。，将第2次迭代结果引幻与W的加权平均值作为XfT,即靖川=(I-)xky+超T)=靖)+(x-x)记x=(AX,AX2，A)=Wr一x，Ax,=戈尸)一X尸得到公式3AD=X+如即x=x+xl=0-MXF)+(，一勺疗川-Xaijx)(i=1,2,)aii=1=r+l按上式计算方程组的近似解序列的方法称为松弛法(RelaXaIiOnMethod)。由于三角分解过程非常规律，也可按紧凑格式干脆得到(1711其中折线右上部的元素（竖线左侧）为上三角阵的元素，最终一列为y的元素，故一4_ox4=5=2，x36-x422,=3-工4=1，为=52x3=1例3.5用平方根法（CholeSky分解）解方
10、程组3、0X2丁分析由于系数矩阵对称正定，故肯定有分解形式A=1.1.,其中1.为下三角阵,然后由矩阵乘法即可求出1.的元素。3012由矩阵乘法得21,22kt3l，22,32337=3,I22=y23,I32=-V6，33=V33233八解得M=爰，力11=飞%=耳。再由,22IV力U3,/n11得工3=，=2，X=10例3.6用平方根分解法解方程方程组0.01x+0.02%0.02xj=0.07k,33比较等号两边矩阵元素可得关系：ak.k=EIIkJk,r=ZlZ=r,k-l心=(,A-IJhr)k,kr=l计算公式为:fork=tonUk,k=Jak,k,rVr=fori=ktonk-
11、Iitk=(ai,k-ik,r)/IkJ(r=1A,=ya,J。=0IZ21=i,=0.02/0.1=0.2I31=a3l/bl=-0.02/0.1=-0.2k=2I22=Ja2.2-匕=0.13-0.22=0.3/3.2=(03.2-/3/2.1)/2,2=(11一(-2)0.2)/0.3=0.5k=34,3=Ja3.3-=Ja3,3-扇-V=l=0.65-0.M-0.25=0.6解方程1.y=）：1.=0.10.20.200.30.50、00.6；0.100、/、M(-0.07、0.2().30y2=-0.02-0.2().50.6,、1.06,丫=(%，%，%)=(-07()41.2)7
12、解方程x=y：r0.10.2-0.2/芭J0.7、00.30.5X2=0.4J2,X=(Xl,%2,*3)=(1,-2,2)7l例3.7用CrOIIl分解做追逐法求解三对角方程组:1Ox1+5x2=52x1+2x2+x3=3x2+10x35x4=272x3+x4=6解对三对角方程组AX=/做CrOUt分解，令A=1.U,即(%伉)/,对c2a2b2.=卬2*an-bn-%atl)”(1)分析：比较等号两边矩阵元素的关系G=(0-O吗00)；=Wi0I三)Wj=ciii=2,3,wZ0V；.ai=(00ci/00)=civj+uj0所以=q-弓匕Ta=I,2,秋取%=0)oV-bj=(Ocjm,
13、-OO)=uiviO所以vi=biui(i=1,2,w-l)o由1.y=/,解出.：yi=(fi-ciyi.l)ui(z=l,2,n)再由UX=y,解出再：Z=%=-(Z=-1,1)(2)计算公式：W1=1,V1=/,必=fl对/=2到n,ui=ai-civi.lvi=bi/uiM=(GqX)何Xn=yfl对A=M-I到1,=-v+(3)计算结果U=(Io,1,9,4)V=(p1.0,)y=(,2Ay,-4.0)X=(2,-3,5,4)例3.8用追逐法求解下列三对角方程组(23玉22解设有分解(1由公式1伊311P1ill-1P321JI2Pl=b=2解由向量范数定义得Wlrlxl=1+2+1
14、5=45K=I2K=l+4+2.25=725=2.69258因1.=燥乳x/沁例3.12计算矩阵A=（1.l的I范数、2范数、8范数和FrObeniUS范数。（2.53.5J解由矩阵范数定义：A=maxl.1+2.5,-2+3.5）=5.5A.=max1.1+-22.5+3.5)=6=4.86929IIaIIF=flv=Vl+222.52+3.52AA=7.46-10.95-10.9516.25特征值=23.6541,2=0.05591MIl2=4.86355用MaIhematiCa编写的程序:A=l.b-2,2,5,-3.5(;MatrixForm%l;Al=MaxSumAbsAlnJJ,n
15、,1,2JB=TransposeA;AI=MaxSumAbsBmJJJ,m,1,2)AF=SqrtSumAi,j2,i,b2,j,1.2NT=TransposeA.A;MatrixForm%;EigenvaluesfA;A2=NSqrtMaxEigenvaluesT,10运行结果为：5.56.4.869294.86354706例313设A为X矩阵，试验证M=几maxNJ是一种矩阵范数。证明(1)设40,网IM=酷闷2而当A=0,IM=则%卜。(2)任取实数4,有网M=1三jJl=即%同=I2IMw三ll)(3)任取X”阶矩阵A和3,成立M+卿M=则为+%|河蟒同+凿陋.卜H1.+叽(4)任取x
16、矩阵A和3,由Cauchy-Schwarz不等式f211M2kl三lkl/而HMw=理就q也11三(l)2fM2T，蹈晦除卜册晦瓦。雕院卜则九IMIm-Mm由以上验证知IIHIM是一种矩阵范数。例3.14设4是阶的对称正定矩阵，则IlX1.=JX，AX也是一种向量范数。证明(1)因为A对称正定，当X0时，XTAX0,即因A=NXTAX0,当X=O时，XTAX=O,IlX1.=0X1.具有非负性。(2) |心=J(ZV)ZUX)=IMX1.,IlXIlA具有齐次性。(3) A为正定，则A可分解为A=1.1.T,1.非奇异，且有IlX1.=XTAX=ZIJX)T(IJX)=1.rX2任取向量x9y
17、,则IIX+HIA=I1.T(X+y),=1.rx+ly2K4+IM2=W+IMIlXllA满意三角不等式.由上可得，IlXllA是一种向量范数。例3.15设A,B为阶矩阵，证明Cd(A3)Cod（八）Cod(3).证明Cod(Ab)=MM|(AS)?MNMlWTA-IlMIM忸TlMTIl=Hk1IlWk-lII=CMd（八）心僦例3.16用雅可比方法求解方程组x1+x23x3=34玉+/一%3=52x1+5x2+2x3-4方程的精确解为(2,-2,1)、解(1)由系数矩阵rI13、A=41-1、252,构造雅可比迭代矩阵：0-1-3、f3、B=-401g=5C-2.50,、一2,XgD=3
18、X+g,取X(=(1.-U)1.计算结果见下表:kXf)举举W)-1.)1.11.50.5-87.529.83333-9-4.759.53153056-39.083310.666730.0833413.5648-45.555680.402869.73615-55.174431.143598.324176.69916-144.488324.022-24.6844292.8787-178.648558.268-667.566642.8818363.37852.0271-1219.02551.45791444.93-2667.53-495.4452719.56可以看到迭代发散。5的特征值。4=-3.
19、55707,A2=1.77854+2.23374/,23=1.77854-2.23374i所以有P(B)1(2)将方程的次序调换可以得到4211-，5一4、5213,X2构造迭代格式：工(+l=:(O_工$+4)+5)X*+1,=(-2x+0-2x-4)：*)_+0+3)写成迭代矩阵形式：iv(+D42铲)(OJ_4O,1325O/(*)(*)+(54_541IJ迭代收敛，取X(S=(I1.1.I),结果见下表：k举举，(A)-Xu-l,I1.11.75-1.610.7521.9-1.90.950.231.9625-1.9410.062541.985-1.9850.99250.04551.99
20、438-1.99110.00937561.99775-1.997750.9988756.75x10771.99916-1.9986511.4062510-381.99966-1.999660.9998311.012510391.99987-1.999812.10938xlOY101.99995-1.999950.9999751.51875x10,111.99998-1.9999713.1640610-5121.99999-1.999990.9999962.27812IO-5例3.17用高斯一塞德尔方法求解方程组4x1x2-x3=52xl+5x2+2x3=-4x1+x2+3x3=3其中方程的精确
21、解为(2,-2,1)7。解高斯一塞德尔迭代格式：XF)=1.(O_力幻+球)+5)T)+D=1(_2Xr旬+0-2岩)一4)PTrf+fD+0+3)写成迭代矩阵形式：4靖+,54132(1.T1611260l411020Ooo因为Q(三)=O.182574”(三)V2(3),所以，高斯一塞德尔迭代格式收敛速度比雅可比迭代快。取X(O)=(1,1,Dr为初始值，下表列出迭代计算结果:kXXN,-1.11.25-1.71.152.721.9625-2.0451.02750.712532.01813-2.018251.000040.05562542.00457-2.001850.9990910.01
22、6404252.00023-1.999730.9998320.0043387261.99989-1.999890.9999993.43695IO471.99997-1.999991.000019.966IO582.-212.64189XlO6Mathematica程序：A=4,1,-1),2f5,2,bb3;MatixForm%;b=5,-4,3;Il=IdentityMatix3;DD=A1,lf0,0,O,A2,2tO,0,O,A3,3;1.=-O,O,O,A2,ID，O,O,A3,lvA3,2,O);DD1.N=InverseIDD-1.l;G=I1-DD1.N.A;MatrixForm
23、%;p=MaxAbsEigenvaluesNGR=p-1f=DD1.N.b;X(O=1,1,1);=G.xn-l+f;Tablex(n,n,b8;MatrixForm%NTableMaxbsxn-xn-l,n,1,8;MatrixForm%N1.inearSoIveb例3.18如何对方程组-x18x2+Ox3=7,/+OX2+9工3=89x1-x2-x3=1进行调整，使得用高斯-塞德尔方法求解时收敛？并取初始向量3)=(0,0,0)7,用该方法求近似解Xg1.使以(A+D_小)1.勺0-3。解将第三个方程调到第一行后有9x1-x2-3=7+8与+0Xj=7-X1+Ox2+9x3=8这是主对角线
24、严格占优方程组，故用高斯-塞德尔迭代法求解肯定收敛。迭代格式为Pq-7)+7)O+n=U08)由3)=(0,0,0)得x=(0.7778,0.9722,0.9753)工=(0.9942,0.9993,0.9994)X二(0.9999,0.9999,0.9999)x(4=(1.0000,1.0000,1.0000)因为卜-X=0.0001=1()7I-O12-1。-OO1-21-20OTl-2Pl/1明显，其特征值为4=0,4=4=-g,P(B)=Jv1.故高斯-塞德尔收敛。例3.20设A为正交矩阵，B=2I-A,求证：线性方程组Ar=用高斯-塞德尔方法求解必收敛。证明：因A为正交矩阵，故AA=
25、/,设是A的特征值，则有x0,使Ax=x两边与Ax作内积，有(Ax,Ax)=(Ax,x),(x,AAx)=2(x,x)从而有(x,x)=2(x,x),2-l)(x,x)=0,2=1,又B的特征值为2-,故5的特征值不为零，从而8非奇异。故正定，所以高斯-塞德尔方法收敛。例3.21对方程组x1+px1=bpx+2x2=b2(1)给出解方程组的雅可比迭代矩阵，并探讨迭代收敛条件；(2)给出解方程组的高斯-塞德尔迭代矩阵，并探讨迭代收敛条件。解(1)雅可比迭代矩阵：B=O_P_I2-p0其特征多项式为：PbW=p/2*=A222故A的谱半径：P(B)=M正即雅可比迭代收敛的充要条件为p2(2)高斯-
26、塞德尔迭代矩阵：S=I0、2,-p0卜rO0k-62)S的特征多项式为：八(2)二0-P2-)故S的谱半径：P(三)=即高斯-塞德尔迭代收敛的充要条件为IPlV也。例3.22AX=力为二阶方程组，证明解方程组的雅可比迭代与高斯-塞德尔迭代要么同时收敛，要么同时发散。/证明记A=2,由迭代可行性，设4M22O,对雅可比迭代，其a2la22)迭代矩阵：0B=67,10Ia22J8的特征多项式：m)=w-w篝故(三)Vl11a22126Z21即雅可比迭代收敛的充要条件为Ea22/02J.对高斯-塞德尔迭代，其迭代矩阵：f0%1S_KOYo_咐_一式a%人。0j0皿1.IaXXaIl)S的特征多项式：
27、GGl)=W-S=;l-氏&)ana22故P(三)VIo.2引。三、基于Mathematica的数值计算实例3x1+4x2-5x3+7x4=O例1求解线性方程组2x1-3x2+3x3-2x4=O4x1+1Ix2-13x3+16x4=O7x1-2x2x3+3x4=O解Mathematica程序：DetA=O,A=3,4,-5,7),(2,-3,3,-2,4,11,-13,16,7,-2,l);MatrixForm%DetfAlr=SumRowReduceAi,ill,i,l,4lNulISpacefA运行结果为：行列式等于0,系数矩阵的秩为2,有非零解，基础解系为-13,-20,0,17,3,1
28、9,17,0。可得方程组的通解为：Xkl-13,-20,0,17+k23,19,17,0=-131+3七,一20匕例2求解线性方程组-Ixl+3x2+2x3-x4=03x1-5x2-3x3+2x4=0xl+3x2+7x3+5x4=07x1-3x2-5x3-x4=0解MaIhematiCa程序:A=-13A-l,3,-5,-3,2,l7,5,7,-3,-5,-l);MatrixForm%lDetfANullSpacefA运行结果为：行列式的值为-36w0,方程组只有零解。2x1+x2-4x3-X4=8例3求解线性方程组6xl-2x22x3+2x4=45x2+14x3+3x4=-44x,-3x2-
29、1Ox3-X4=8解Mathematica程序:ClearfA,bA=2,l,-4,-l,6,-2,-2,2,0143,4,-3,-10,-l);MatrixForm%l;b=8,4,-4,8);DetfAr=SumRowReduceAi,i,l,4)NullSpacefA1.inearSolvefA,b个特解为运行结果为：行列式等于0,系数矩阵的秩为3,有非零解，基础解系为-l,l,-1,3),(l,2,-l,0o则原方程组的通解为特征值与特征例4方阵A由前36个相邻整数构成，求A的特征多项式、特征方程、向量。解MaIhematiCa程序：A=PartitionRange36,61;Matr
30、ixForm%lCharacteristicPolynomialA,CharacteristicPolynomialA,=0EigenvaluesNAChopEigenvectorsAN;MatrixForm%l特征多项式特征方程特征根运行结果：-63O24-11U5+6-6304-IlU5+26=0116.412,-5.41182,0,0,0,0)4-5000r3-400102-30100特征向量1-21000-1.12796-0.702366-0.2767740.1488170.5744091、0.1279570.3023660.4767740.6511830.8255912x+3y+z=6例5用高斯-若当(GaUSS-JOrdan)消元法解线性方程组卜+4)，-
