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1、2024抛物线中焦点弦的有关问题抛物线中焦点弦的有关问题一直以来，焦点弦都是圆锥曲线中的重要知识点，也是高考中的热点问题，针对“抛物线的几何性质”这节课，笔者认为，教师在讲完之后，可适当延伸一些有关“焦点弦”的问题：知识点1：若AB是过抛物线y2=2px(p0)的焦点厂的弦。设A(x1,y),(x2,%)，则(1)xlx2=；(2)yiy2=-p证明：如图，(1)若AB的斜率不存在时，2依题意X1=X2=：.XiX2=一若48的斜率存在时，设为人,则A8:zX2.22公卜-夕=2px=k2x2-(k2+2)px+=0/.X%2=一4一,综上：XX2=屋.2,2(2)接上,.X=g-,X2=?,
2、yjy22=p4=yy2=p2,2p2p但%My2=-P2(2)另证：设=+与V=2px联立，得/-2pfny-p2=O,/.My2=P2则IA6=osina知识点2：若AB是过抛物线y2=2px(p0)的焦点厂的弦。设A(x,y),(x2,y2),则(1)A=x+x2+p;(2)设直线AB的倾斜角为证明：(1)由抛物线的定义知IAH=E+多忸耳=W+多.,.AB=AF+BF=x1+x2+p(2)若=90,则玉=x2=,由(1)知IABl=2=J2sina若。工90,设48:=%(工一),与2=2小:联立，得%2(1一=2px=k2x2-(Z:2+2)px+=OP(Y+2)1adlp(k2+*
3、7.x1+x2=HAB=x1+x2+p=-l,而左=tana,=血)=_tanaSirra知识点3：若AB是过抛物线y2=2px(p0)的焦点厂的弦，则以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.证明：过点4、3分别向抛物线的准线引垂线，垂足分别为4、四，过48中点M向准线引垂线，垂足为N,设以AB为直径的圆的半径为r,V2r=IAB=IAf+BF=AAl+BBl=4MM.MN=r.以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。知识点4：若A3是过抛物线产=2内(0)的焦点尸的弦。过点A、8分别向抛物线的准线引垂线，垂足分别为4、用，则44/e=90。证明略知识点5：若AB是过抛物线/=2px(p0)的焦点尸的
4、弦，抛物线的准线与X轴相交于点K,则ZAKF=NBKR证明：过点4、3分别作准线的垂线，垂足分别为A、Bi.AAJIKFIIBBy:.AIK=而Ar=A1ABF=BlBBlKFB,1A1KA1A.A1KBiKB1KBlBAABIB,而NAAlK=N88K=90证明：设A(X,必),5(%2，%)，则由知识点1知必必-PP1.-y.BC/OF.AA1KSBB1K.ZA1=NBlKB:.ZAKF=ZBKF知识点6：若AB是过抛物线产=2吊0)的焦点尸的弦，。为抛物线的顶点，连接A。并延长交该抛物线的准线于点C,则BC/OF.AB:y=-xt:._怔=_Hr=上2项系弘Z2与V=2p联立，得公=2p
5、x=k2x2-(k2+2)px+工。逆定理：若AB是过抛物线y2=2px(p0)的焦点厂的弦，过点B作BC。尸交抛物线准线于点C,则4、C、。三点共线。证明略知识点7：若AB是过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的弦，设IA耳=mBF=,则112I=一.innp证法一：(1)若ABJ_冗轴，则48为通径，而IABI=2p,112.tn=n=p+=.mnp(2)若AB与X轴不垂直，设A(x,y),凤/，%)，AB的斜率为攵，则p(k2+2)p2芭+SXlX2=-由抛物线的定义知M=IA曰=玉+多=忸尸I=X2+511,.+mnX1+X2+P_2加12f(12)4P方法二利用极坐标系下抛物线的方程
6、-=1-cos(-+)设ZAFx=,则m=O=-,鹿=夕2=l-cos6I-COSel+cos21=一知识点8：已知抛物线y2=2.Mp0）中，AB为其过焦点尸的弦，IA月=见忸月=,则设NA&=a则证明:=警Ein-9)+器sin=(m+)sin而相=-,=l-cosl+cos6P.Cmn=-sin=Sin2。sob=孑(根+”)jS逆定理：已知抛物线y2=2px（p0）中，48为其弦且与X轴相交于点M,若IAM=九忸M=，且SMo1.则弦AB过焦点。证明：设A（M,必）,5（，力），NAMX=aM（f,0），则SMOB=smom+SCW=；fmsin(r0)+gMsin=g(加+sinO而
7、Sine=国,sin6=,.*.sin2=mnmn.x=ay+t.又可设y1-Ipay-Ipt=O:.yxy2=-2pty=2pxJ由得(=K2.A8恒过焦点g,j可配套练习：1 .过抛物线丁=以2(。0)的焦点/作一直线交抛物线于2、Q两点,若PF与尸。的长度分别为、/则上+,=()mnC1,4A.24B.C.4。D.一2aa2 .直线/经过抛物线丁=2乂0)的焦点尸，且与抛物线交于/。两点，由尸、。分别向其准线引垂线PR、QS,垂足分别为R、S,如果IPM=,Q用=。,M为RS的中点,则IM月=()A.a+bB.g(+Z?)C.ahD.4ab3 .直线/经过抛物线y2=2px(p0)的焦点
8、尸，且与抛物线交于A、B两点,与其准线相交于点C,若B(=2BFAF=3,则此抛物线方程可能为()QrQvA.y2=B.y2=9xC.y2=D.y2=3x4 .经过抛物线y?=2px(p0)的焦点尸作一直线与抛物线交于A、3两点，M为其准线上任意一点，记ZAMF=a,NBMF=/3,/MFO=夕若AMJ.则力与。的大小关系为（）A.a-0B.a-0=C.a-00）的顶点，PQ为其过焦点F的弦，若Q耳=a9P（=b,求S&OPQ.6 .以抛物线V=2Mp0）的一条焦点弦AB为直径的圆与准线相切于点（一2,-3）,求此抛物线和圆的方程。当然，在高考中，直线与抛物线的位置关系不仅仅考查焦点弦问题,有
9、关抛物线的切线形成的几何问题最近几年也一直是高考的热点，在学习导数之后，教师不妨再和学生一起来集中归纳总结，仅供读者参考。魔术师的地毯一天，著名魔术大师秋先生拿了一块长和宽都是1.3米的地毯去找地毯匠敬师傅，要求把这块正方形地毯改成0.8米宽2.1米长的矩形.敬师傅对秋先生说：“你这位大名鼎鼎的魔术师，难道连小学算术都没有学过吗？边长1.3米的正方形面积为1.69平方米，而宽0.8米长2.1米的矩形面积只有1.68平方米，两者并不相等啊！除非裁去0.01平方米，不然没法做.”秋先生拿出他事先画好的两张设计图，对敬师傅说：“你先照这张图（图1.2）的尺寸把地毯裁成四块，然后照另一张图（图1.3）
10、的样子把这四块拼在一起缝好就行了.魔术大师是从来不会错的，你放心做吧！”敬师傅照着做了，缝好一量，果真是宽0.8米长2.1米.魔术师拿着改好的地毯满意地走了，而敬师傅却还在纳闷儿：这是怎么回事呢？那0.01平方米的地毯到什么地方去了？你能帮敬师傅解开这个谜吗？8过了几个月，魔术师秋先生又拿来一块地毯，长和宽都是1.2米,只是上面烧了一个烧饼大小（约0.01平方米）的窟窿.秋先生要求敬师傅将地毯剪剪拼拼把窟窿去掉，但长和宽仍旧是1.2米.敬师傅很为难,觉得这位魔术大师的要求不合理，根本无法做到.秋先生又拿出了自己的设计图纸，要敬师傅按图1.4的尺寸将地毯剪开,再按图1.5的样子拼在一起缝好.敬师
11、傅照着做了，结果真的得到了一块长和宽仍是1.2米的地毯，而原来的窟窿却消失了.魔术师拿着补好的地毯得意洋洋地走了，而敬师傅还在想，补那窟窿的0.01平方米的地毯是哪里来的呢？你能帮敬师傅解开这个谜吗？你准备如何着手去揭开魔术大秘密呢？通常的办法是根据他给的尺寸按某个比例（例如10：D缩小，自己动手剪一剪、拼一拼，也就是做一具小模型,实际量一量，看看秘密藏在什么地方.这种做模型（或做实验）的方法，是科技工作者和工程技术人员通常采用的方法.这种方法要求操作和测量都非常精确，否则你就发现不了秘密.例如，按缩小后的尺寸，剪拼前后面积差应为1比较图1.2和图1.3将图1.2中的四块图形分别记为I,11,
12、H1.W（图1.6）,而将图1.3中相应的四块分别记为匕IISnr,W（图1.7）.现在的问题是，图1.6中的四块能否拼得像图1.7那样“严丝合缝”、“不重不漏”？也就是说，图1.7中所标的各个尺寸是否全都准确无误？例如图1.7中的I为直角三角形EDB,如果DE=5时，点后是否恰好落在矩形工3个。的对角线OB上？同样，如果FO=5时，点G是否恰好落在OB上？让我们通过计算来回答这个问题.如图1.8建立直角坐标系，以OC所在直线为-,所在直线为方轴,单位长度表示0l米，于是有。(O,O),A(0,21),B(8,21),C(8,O),F(0,13),G(5,13),5(3,8),D(8,8).如
13、何判断E和G是否恰好落在直线上呢？一种办法是E9G的坐标代入直线OB的方程,看是否满足方程；另一种办法是分别计算0,OB98的斜率，比较它们是否相等.下面用后一种方法进行讨论.,82113设线段OE的斜率为k,则有091.”T,T.比较之，82113由3百5得k%G,即OE的斜角大于05的斜角，03的斜角又大于OG的斜角，可见后和G都不在对角线OB上，它们分别落在OB的两侧.21-8.13.2173.8(三1.8)：又由，.工TW得治广生外即EBOG,GBIIOE.可知将图1.6中的四块图形按照图1.7拼接时，在矩形对角线附近重叠了一个小平行四边形。GBE(图1.8),正是这一微小的重叠导致面
14、积减少，减少的正是这个重叠的CoGBE的面积.记(3,8)到对21y三.X角线。3(8)的距离为d,2103*(-8)080.1松、(-娟痴米,O5(0.8)2(21-505米,SGoGSJ%广2*，画d00冰2把面积仅为0.01平方米的地毯拉成对角线长为际米（约2247米）的极细长的平行四边形，在一个大矩形的对角线附近重叠了这么一点点，当然很难觉察出来，魔术大是由正是利用了这一点蒙混过去，然而这一障眼法却怎么也逃不过精细的数学计算这一“火眼金睛”.如果我们把上述分割正方形和构成矩形所涉及的四个数，从小到大排列起来，即5,8,13,21,这列数有什么规律呢？相邻两数之和，正好是紧跟着的第三个数
15、.按照这个规律，5前面应该是（85=）3,3前面应是（53=）2,2前面应是（32=）1.1前面应是（21=）1.21后面应为（13+21=）34,34后面应为（21+34=）55,等等，于是得到数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,这个数列的特点是，它的任意相邻三项中前两项之和即为第三项.我们称这个数列为斐波那契数列.魔术师的上述第一个地毯魔术中的四个数5,8,13,21只是斐波那契数列中的一段，从该数列中任意取出其他相邻的四个数，还能玩上述魔术吗？为了使计算简单一些，我们取出数字更小的一段3,5,8,13来试一试.把边长为8的正方形按图1.9分成四块，再拼成边长为5和13的矩
16、形（图1.l0）.这时图形的面积由图1.9的64变成了图1.10的65,凭空增加了1个单位面积.通过完全类似的计算，我们发现图1.10的尺寸是不合理的，实际上在矩形对角线附近，同样会出现一个小平行四边形.不过这次不是一个重叠的平行四边形，而一具平行四边形空隙（图1.ID这就是拼成的矩形比原来的下方形面积“增大”的秘密所在.我们可以使用斐波那契数列的任何相邻四项，来玩上述分割重拼的魔术，我们发现，正方形比重拼成的矩形，时而少一个单位面积，时而又多一个单位面积.这是因为重拼时，在矩形对角线附近，有时会重叠一个细长的平行四边形（因此失去一个单位面积），有时又会出现一个细长的平行四边形空隙（因此多出一
17、个单位面积）,面积何时变不，何时变大，有没有规律呢？我们把斐波那契数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,记为&玛，尸3,K,F5t.这里尸广1,尸F2,4,3,，且具有递推关系HF（1.1.2箫）考察以巴为边长的正方形面积与以4】及为两边长的矩形面积之间的关系.随着从小到大依次取2,3,4,5,，我们得到当=2时有Plx2-1.即封=R号-1；当月=3时有1乂37,即4号片7；当寿=4时有*2x5T,即U=用由7；当月=5时有5?-3*8+1,即母=%为-1；从中我们发现，随着力的奇偶变化，在上述关系式中，加1和减1交替出现.对于数列的第,?项招，当月是大于1的奇数时有尺=片”用
18、”T,此时正方形的面积比矩形小1.写成统一的表示式就是FzK.1+（7广（=2,）.将斐波那契数列前后相邻两项的比，作成一个新的数列1232,3,5,5138,13,21,该数列的极限IIJnA.-0618033-*eFO是一个定数（无理数），这个数有很重要的应用，而且还有一个非常好听的名字，叫“黄金分割比”.相早在欧几里得之前，古希腊数学家欧多克索斯（EUdoXus,约公元前400前347）提出并解决了下列按比例分线段的问题：“将线段分为不相等的两段，使长段为全线段和短段的比例中项.”欧几里得把它收入几何原本之中，并称它分线段为中外比.据说“黄金分割”这个华贵的名字是中世纪著名画家达芬奇取的
19、，从此就广为留传，直至今日.AM_MB对于长度为a的线段8,使方一而的分点M称为“黄金分割点”（图,iK1.12）.设on三、凑项去分母法例3设了1，彳2,，X”是正数，且为+彳2+X”=1，求证：（1990年第24届全苏数学奥林匹克十年级题X+X2X2+X3Xt-+XX+X|22）1a?,分析：由于当西=%2=X=时等号成立，于是i=（X；+X+1）On町+14XI证明：设X+=X,因为+-(X/+xi+l)xi片+苍+142nX；1nnnny.z1所以+-(X+xz+1)xi即1.:。i=li+Xm4/=1Z=I/=1i=xi+12例4设。,b,cwR+,Rabc=I,求证：!-+-(19
20、95年第36届a3(b+c)/(c+a)ci(a+b)2IMo题2)222222证明：原不等式等价于上一+工匚+上Naa(b+c)b(c+a)c(a+b)2当a=b=c=l时等号成立，此时一=-a(b+c),所以，+-a(b+c)bc,同理，a(b+c)4a(h+3,-+史!在之3上述三式相加并化简得证，证sin2A4sin2B4sin2C4明略。四、凑项平衡系数法例6设Z0,ZX+y,则M+)2+z?(yz+zr+y)。分析：当x=y=时等号成立。证明：因为1+(铲Z,y2+(-)2yzg(?+y23jy，将上述三式相加并化简得,%2+y2+iz2(xz+yz)+-xy(2),04O2626所以，X2+jz+z2-zz+(xz+yz)+,vyz(x+y)+(xz+z)+xy，6即X+y+z-(yz+zx+y)o注：只有式的系数凑成T，式中Xy的系数才能是(。上述各种凑项方法不是相对独立的，可以交替使用，但凑项的关键是在求和时能利用已知条件，并能取到等号。
