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1、课题4.9三角函数的最值1 .基础知识(1) 配方法求最值主要是利用三角函数理论及三角函数的有界性,转化为二次函数在闭区间上的最值问题，如求函数y=sin2x+sinx+l的最值，可转化为求函数y=+lj-l,l上的最值问题。(2)化为一个角的三角函数，再利用有界性求最值：asinx+bcox=c2+b1sin(x+)如函数y=5的最大值是()2+smx+coxA.-1B.+1C.1-D.-1-应选B(2) 222(3) 数形结合SinY常用到直线斜率的几何意义，例如求函数y=的最大值和最小值。函数cox+2Qiny=-一一的几何意义为两点尸(一2,0),。90$X,5巾外连线的斜率2,而Q点
2、的cox+2轨迹为单位圆，由图可知ma=*,yniM二一日(4) 换元法求最值利用换元法将三角函数问题转化为代数函数，此时常用万能公式和判别式求最值。利用三角代换将代数问题转化为三角函数，然而利用三角函数的有界性等求最值。例如：设实数,y满足/+y2=,则3+4y的最大值为一.解：由+2=,可设X=COSe,y=sin夕则3x+4y=3cos6+4sine=5sin(0+e),则其最大值为5。2 .重点难点：通过三角变换结合代数变换求三角函数的最值。3 .思维方式(1)认真观察函数式，分析其结构特征，确定类型。(2) 根据类型，适当地进行三角恒等变形或转化，这是关键的步骤。(3) 在有关几何图
3、形的最值中，应侧重于将其化为三角函数问题来解决。4 .特别说明注意变换前后函数的等价性，正弦、余弦的有界性及函数定义域对最值确定的影响，含参数函数的最值，解题要注意参数的作用和影响。二、题型剖析1、化为一个角的三角函数，再利用有界性求最值。例1：P(66)函数Y=acosx+b(a.b为常数),若一7y1,求bsinx+acosx的最大值.练习：求函数y=six+石SinX8sx-l的最值，并求取得最值时的X值。解：yQ- cos 2x) + sin 2x -1sin2x-cos2x-=sin(2x-)-22262当2x-g=2%+g,即X=Zr+f(ZZ)时，y取得最大值，ymax=-623
4、2当2工一乡二2左万一工，即X=Z万一乡(ZeZ)时，y取得最小值，ym,-x=-o6262思维点拨：三角函数的定义域对三角函数有界性的影响02、转化为闭区间上二次函数的最值问题。,X例2P(66)求函数y=81：sinX+81Xsin2x的最值.解：y=1 +cosx.cos%cIY7SinxH2sinXCOSX=2COSX+sinxsinx14J87VsinX0.,.sxl当8Sx=一一时，y有最小值一，无最大值.48练习：是否存在实数a,使得函数y=sin2+48sx+“。-3在闭区间0,上的最大值821.2_是1?若存在，求出对应的a值？若不存在，试说明理由。M(1Y51解：y=-Co
5、sxaH+a-I2J482当0x工时，O8SX1,令Z=COSX则0f1,2(1Y6T25八/I2J482l00ql,即02时,则当z=q即COSR=时,yw=4+2一二1222482=1或Q=-4(舍)2-0,即a=(舍)282531,即2时,则当f=唧8sX=1时,ynia=c+-a-=l=a=(舍)282133综上知，存在。二二符合题意。2思维点拨：闭区间上的二次函数的最值问题字母分类讨论思路。3、换元法解决SinXcosx,sinxcosx同时出现的题型。例3：求函数y=(4-35由竹(4-3以)$工)的最小值。解：y=16-12(sinx+Cosx)+9sinXCOSx令f=sinX
6、+cosx=Vsinx1.r-V2.V2,则SinXCOSX=-I4J2.y=16-12r+9=(g)+,r72.247所以当=时，ymin=-思维点拨：遇到SinX+cosx与SinX8S/相关的问题，常采用换元法，但要注意sinx+COSY的取值范围是四,血,以保证函数间的等价转化。4、图象法，解决形如y=:SlnX+c型的函数。bcosx+a2-sm%例4、P(66)求函数y=的最大值和最小值.2一cosX思维点拨：此题为基本题型解决的方法很多，可用三角函数的有界性或万能公式，判别式法。这里以图象法的主求解。TTTt例5、设x0,-,若方程3sin(2x+)=有两解，求。的取值范围。23
7、解:设y=3sin(2x+y),y=at要使两函数图象有交点(如图),思维点拨:在用数形结合法解题时，作图一定要准确。本题若改为方程有一解，则。的范围又该怎样呢？5、利用不等式单调性求最值。思维点拨：利用基本不等式求最值时，等号不能取得时，可利用单调性。三、课堂小结(1)求三角函数最值的方法有：配方法，化为一个角的三角函数，数形结合法换元法，基本不等式法。(2) 三角函数最值都是在给定区间上取得的，因而要特别注意题设所给出的区间。(3) 求三角函数的最值时，一般要进行一些三角变换以及代数换元，须注意函数有意义的条件和弦函数的有界性。(4) 含参数函数的最值，解题要注意参数的作用和影响。四、作业：
