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1、泰勒定理的应用浅析摘要泰勒定理是拉格朗日中值定理的推广，相应地泰勒公式也是拉格朗日中值公式的推广。泰勒定理建立了函数/(x)在一个区间上的增量与这个函数在区间内某点处的高阶导数之间的联系。拉格朗日中值定理为它的特例。基本上，一般教科书都着重介绍将满足条件的函数如何展开成单位泰勒级数，但对在微积分中起着举足轻重作用的泰勒级数的应用讲得甚少。泰勒公式在数学以及其他学科当中有着广泛的应用，本文从纯数学的方面说明了泰勒公式的应用。包括近似计算，求极限，求导数，判断级数以及广义积分的敛散性，证明一些等式和不等式。泰勒定理是把函数用多项式近似表示的重要依据，是数学分析课程的重要内容。给出了泰勒定理的不同证
2、明，讨论带不同余项的泰勒公式之间的关系，以及在积分计算、级数收敛性判断等方面的应用。关键词：泰勒定理；定积分；VaR目录1弓I曰22J22. 1泰勒与泰勒定理22. 2柯西与复变函数论33形式不一的泰勒定理43. 1带1.agrange余项的泰勒定理43. 2带Peano余项的泰勒定理43. 3带积分型余项的泰勒定理53. 4带柯西型余项的泰勒定理54泰勒定理的应用64.1泰勒公式在判断级数敛散性方面的应用64. 2利用带积分型余项的泰勒公式计算定积分74. 3利用带Peano余项的泰勒公式在无穷小问题中的应用74. 5在金融数学中的应用84. 5.1在VaR计算中的应用85. 5.2在债券定
3、价中的应用859少111引言函数是分析学的研究对象，简单而又基本的函数就是多项式函数，它具有形式简单的表达式和很好的分析性质，比如无穷可微性等。泰勒定理就是把函数用多项式近似表示的重要依据，利用该定理可以把对复杂函数的研究转化为一个多项式来处理。因此，泰勒定理是函数近似计算和理论探讨常用的重要工具，在分析学中具有重要地位，利用其展开式以及各种余项类型可以简单的解决一些复杂的问题。所以对泰勒公式的综合性研究对数学分析的教学有重要意义。各种分析教材都强调函数展开的方法和技巧，泰勒公式的应用谈及很少，而且零星散布于分析教材的不同章节，对泰勒公式的应用进行了一些探讨。本文主要考虑对带各种余项的泰勒公式
4、的证明，以及它们之间相互递推关系，最后通过实例说明在运用过程中的一些技巧和方法。2泰勒公式的发展2.1泰勒与泰勒定理英国数学家泰勒以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世。无穷级数几乎是和微积分同时产生的，早在17世纪微积分初创时期，无穷级数就是牛顿研究问题的一个重要辅助手段，他把较为复杂的代数函数和超越函数展开为无穷级数，再进行逐项微分或积分，实际情况表明，用级数来研究这些函数是卓有成效的。17世纪后期和18世纪，摆在数学家面前的问题之一是函数表的插值。1712年，在研究函数表的插值问题过程中，泰勒在牛顿一格里哥利内插公式的基础上，提出了函数展开为无穷级数的一般方法，于1715年将该展
5、开式（泰勒展式）发表在增量法及其逆一书中，泰勒展式中的级数就是泰勒级数，泰勒的这一发现就是著名的泰勒定理。这条定理大致可以叙述为：函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的值及各阶导数值组成的无穷级数表示出来。然而，在半个世纪里，数学家们并没有认识到泰勒定理的重大价值。这一重大价值是后来由拉格朗日发现的，18世纪末，他在研究泰勒级数时给出了所谓的(实函数)泰勒定理，即/()=fs)+r(项X-。)+/-+/叱;+&2!n其中：M=/+(J)手二(vjv,称为拉格朗日余项.在此之前，1742年，马克劳林得到了上述展开式在x=0时的特殊情况，即马克劳林定理，但其中的展式都是带余项的，不是无穷级数的
6、形式.泰勒当时证明他的结论即泰勒定理时并没有考虑级数的收敛性，因而使证明不严谨，泰勒定理的严格证明是在定理诞生一个世纪之后，直至19世纪20年代才由柯西给出的.2.2柯西与复变函数论复变函数论是实数函数论的推广和发展，产生于18世纪，瑞士数学家欧拉于1777年系统地建立了复数理论，创立了复变函数论的一些基本定理，并开始应用于水力学和地图制图上，首创虚数单位“广，此后复数才被广泛承认和使用。19世纪，经过法国数学家柯西、德国数学家黎曼和维尔斯特拉斯的努力，复变函数形成了非常系统的理论，不仅渗透到其他数学分支，同时在热力学、流体力学和电学方面有很多的应用。法国数学家柯西(CaUChyAUgUSti
7、n1.oUiS)最重要和最有首创性的工作是关于单复变函数论。18世纪的数学家们采用过上、下限是虚数的定积分。但没有给出明确的定义，柯西首先阐明了有关概念，并且用这种积分来研究多种多样的问题，如实定积分的计算，这是复变函数论中柯西积分定理的出发点。自1821年起的25年左右的时间里，几乎是柯西独自一人在开发复变函数理论，为复变函数论的发展奠定了基础。他研究复平面上的积分及留数计算，并应用有关结果研究数学物理中的偏微分方程等。他还研究了复变函数的级数展开，指出一个复变函数/可以按照马克劳林公式展开为一个察级数，且塞级数对所有能展开为马克劳林公式的点Z都收敛，同时推出了著名的柯西积分公式，从而在复数
8、范围内使用柯西积分公式证明得到了相应的(复变函数)泰勒定理。3形式不一的泰勒定理3.1 带1.agrange余项的泰勒定理定理1：若函数f(x)在a,b上有直到阶的连续导数，在(,6)内有+1阶导数，则对任意给定的X,xo,b,至少存在一点J(,b),使得：Xx)=(xo)+(X-Xo)+.+乙粤(-oy+Rn(x)(1)1!nl式(1)称为泰勒公式，其中式尸室华(XT。产(f在x。与X之间)为5+1)!1.agrange余项。运用柯西微分中值定理证明该结果。为此，引入辅助函数PrI(X)=f(x)+,(x)(x-Xo)+(x-Xo)m(2)nRMX)=f(x)-Pn(x),11(x)=(x-
9、xo)(w+l)显然，加和Qn(x)在(,6)内具有直到+1阶的导数，且火(M=S)(XO尸0,(XO尸SIS)(XO)=0.不防设XOVX,则火(X)和Q?(x)在(X0,X)内重复次，使用柯西微分中值定理，得=Rn(X)-Rn(Xo)=R(。)二一(。)-(M)二二RJ飞)QM=x)-xo)=。”(8=QM切-。”(词=0(%)其中4gX).注意到RaH)=/】),0(|)=(+1)!,于是得到2*(ZJ+I)/K(n+l)/KRn(X)=/(X)-Pfl(X)=4Qlt(X)=Z(x-Xo)rt+,3.2 带Peano余项的泰勒定理定理2：若函数兀V)在点封存在直至阶导数，有：/(x)=
10、y(xo)+,，)(XX0)+.(Xxo)11x)1!nl其中K(x尸O(Xxo)为PeanO(皮亚诺)余项。证明该问题就是要证明R(x)yx)P(x)当XfO时，火(x)是比(xxo)高阶的无穷小，其中P(x)如式Q).注意到RMX)在包含x的小邻域内(一1)阶连续可微，n阶可导，且在点Xo处R”(M=.=&(XO尸0,于是运用罗比达法则n次,得1. Rn(x)vR1.(X)1.Rnx)Rj(词八Iim=Iim=Iim=OXTX(x-A)aon(n-1)2(x-x()XfXonlnl3.3 带积分型余项的泰勒定理定理3：若函数f(x)在点x的领域U(XO)内有连续的n+1阶导数，则VxU(x
11、O),有fix)=x)+(对(x-xo)+.+xo)(xX)11+zj(x)(3)1!！其中Rtl(x)=-尸钊(XT)为积分型余项，并且n.Rn(x)=(x-Xo)n1f5T(m+e(x-*)(l)4(4)证明运用牛顿-莱布尼兹公式以及多次使用分部积分法，得/(x)=(x0)+7,(/=/(X。)一1J(R(KT)=/*。)+f(x。)(X_/。)+,(r)(-t)dt=/(x。)+(Xo)(X-X。)一;J(f)d(xT)2=f(xo)+f(xo)(x-Xo)+*(x()(x-x()2fm(t)(x-t)2dt=/*0)+(XD)(XXO)+(Xo)(xX0)2+f(，)(0)(-Xo)1
12、1+2n-Xftx-ty,dtnljo最后，如果做变量代换S=W+f(xX0),则得到式(4)o3. 4带柯西型余项的泰勒定理定理4：若函数心)在点xo的领域Uao)内有连续的+1阶导数,则xU(xO),有y(x)=y(xo)+(Xxo)+.+xo)(xxo)11+w(x)(5)1!！其中Rll(x)=-0,+n(xo+0(x-0)(l-)n(x-xo),+1(0l),特别当X片0,！则又有简单形式H(X尸上广钊)(1-。)/M(0)-一fl,n(Xo)(X-Xo)n)(7)tv.因此，可以用公式(7)计算一些比较复杂的定积分，特别是以n为参变量的含参量积分。例2计算Fg-X)6COSXdxO
13、解设危)=sinx,则6+)()=Sinx+(6+l)y=-cosx,由公式(7)有116ItFCOSX(I-X)公=-ESinx(6+l)y(j-x)6dr=-6!”短()4. 3利用带Peano余项的泰勒公式在无穷小问题中的应用例3确定(X的值，使得函数在此处键入公式。xx2+r-3sinx+2sinxcosx与Xa为同阶无穷小。23解=3,因X-x2+x2ex-3sinx+sin2x=x-x2+x2(l+x+o(x3)-3(%26+o(x3)+(2x-%+o(3)尸上3+o(x3)664.4利用泰勒公式求极限利用常见函数的泰勒公式,可以大大简化函数的形式,在求极限时方便快捷,解答完美流畅
14、，不失为求复杂极限时可尝试的好方法。例4计算:解：先做变量代换，令P=1.,利用d和(I+f)的带PCarIO余项泰勒公式，可X1-严(l-r+-)-1-r6=(1+r+)-1+o(t3)=+7(r3)226Iim(l-r+-)-l-61=Iim2=1,t64.5在金融数学中的应用4.5.1在VaR计算中的应用VaR模型，自20世纪90年代被引入到风险管理中，已经成为金融机构和监管当局所广泛采用的风险度量和管理工具。VaR模型的常见计算方法有参数法、历史模拟法和蒙特卡罗模拟法，其中的参数法就是由资产价值函数的泰勒展开来计算，并且依据函数展开阶数的不同，分为delta类方法和gamma类方法。考
15、虑一个投资组合X=的，X2,，Xn)t其中A7,i=1,2.t表示第，种资产的投资权重0t时刻所有资产的价值向量V=何/2,y,组合X的价值为y=f,i=l在下一个时段X内，组合价值变动为=之M假设每种资产价值都由Ki三l个市场因子确定，且这K个市场因子服从联合正态分布，F=U1，他，耐，则AP按照一阶泰勒展开得力M鳖也,十.七包qO由此得出r-18*1r-lMdelta参数法;若将投资组合的价值变动函数按照二阶泰勒公式展开，则得gamma参数法。4.5.2在债券定价中的应用在债券的定价及投资组合风险值的计算中，平均期限是一个重要的概念，它衡量基础产品价格相对于基础利率变化的幅度。一个20年期
16、的债券也许只有17年的平均期限.这意味着，如果利率上升2%,该债券价格将下跌34%；而利率下跌1%时，债券价格则上升17%。若每次用VaR模型来进行计算，工作是十分烦琐的。举例来说，现有一个5年期的票面金额为100美元的债券，年利息为10美元。计算当利率从10%变化到11%或15%时，债券的价格变化。如下表：利率(r)10%11%15%利息(三)10美元10美元10美元期限5年5年5年贴现因子Dfnl(l+r)5=0.6209l(l+r)5=0.5988l(lr)5=0.4972年金因子(I-Dfn)r3.7913.64733.3520零息票部分62.09美元59.88美元49.72美元年金(
17、I-Dfh)rs37.91美元36.47美元33.52美兀债券价格100美元96.35美兀83.24美元麦考雷(MaCaUlay)利用泰勒展开式的第一项求出该债券平均期限为3.791。用平均期限法预计：利率从10%上升到11%,债券价格下跌3.791%,即新价格为96.21美元；而利率从10%上升到15%,价格下跌18.96%,债券价格变为81.05美元。因此当利率变化不大时，平均期限法的预计相对准确；但当利率变化较大时误差较大。麦考雷用凸性及凸性的修正值重新估计，得到了非常满意的结果.凸性(用表示)表示的是泰勒展开式的第二项，再用12(4)2进行调整(为利率变化)，如下表：(该债券的凸性用泰
18、勒公式易算为19.37)。利率变化1%5%平均期限-3.791-3.791平均期限估计值-3.791%-18.95%凸性19.3719.37凸性调整值0.097%2.421%平均期限和凸性-3.79I%+0.097%-18.95%2.421%债券新价格96.31美元83.47美元我们发现与债券的实际价格非常接近；但极大地减少了工作量。麦考雷正是通过泰勒展开式求出了修正的平均期限和凸性值；而布莱克(BlaCk)和斯科尔斯(SChOIeS)利用它建立了著名的期权定价模型。5结论泰勒最早(1715年)提出了将函数展开为无穷级数的一般方法，得到了泰勒定理，但其证明不够严谨，后来(18世纪末)经过拉格朗
19、日的另一等价阐述及证明，给出我们常说的泰勒定理，这些都是在实数范围内的研究成果，随着复变函数论的产生与发展（19世纪），柯西在复数范围内也就推广出了相应的（复变函数）泰勒定理.复变函数论中的泰勒定理不是泰勒本人得到的直接结果，是后人在复数领域中推广了的泰勒定理，其证明依据也就相应在复变函数论中选取，即柯西积分公式，因此不存在“用后人的结果去证明前人的结论”的逻辑矛盾。泰勒定理从发现至今已经300多年了，该定理不仅具有重大的理论意义，更重要的是在应用上的重大价值，但在几百年前发现该定理时并没有认识到的它的重要性,经过一代又一代数学研究者的不懈努力，泰勒定理有了它的勃勃生机,其中给我们的重要启示是
20、：作为研究者，只要潜心研究，不计功名利禄，自己的发现即使生前得不到承认，也必将为后代谋福利；作为工作者，只有不断地汲取前人的研究成果，勇于开拓新领域，才能创造更大的价值。参考文献1张建军,王玉琢,杨美妮.泰勒定理论证函数性态的教学研究J.科技创新导报，2016,11(26):148-149.毛俊超，张会，戴修亮.对泰勒定理证明的讨论J.高师理科学刊，2015,32(04):43-45.3周中成,李金富.谈大学生创新能力的培养一一以泰勒定理的教学为例J.西南师范大学学报(自然科学版)，2012,37(04):209-212.梁自温.形同而实异于泰勒定理的定理J,数理医药学杂志，2012,25(01):123-125.陈希.泰勒定理的推广J.宁德师专学报(自然科学版)，2015,22(04):345-346.6徐凤生.泰勒定理的新证明及其推广J.德州师专学报,2014,(02):4-5.7王五生.泰勒定理的推广J.河池师专学报(自然科学版)，2013,(02):1-2.
