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1、专题21立体几何初步章末重点题型复习(6知识点+10题型)知识点一：几何体结构特征1.空间几何体的有关概念(1)空间几何体的定义对于空间中的物体，如果只考虑其形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.例如，我们日常接触到的足球、篮球等，吐过只考了他们的形状和大小，他们都是球体，还有其他几何体如长方体、正方体等(2)多面体及其相关概念多面体：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.多面体的面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如图中面Cozr等.多面体的棱：两个面的公共边叫做多面体的棱，如图中棱A，棱3万等.多面体的顶点：棱与棱的公共点叫做多面
2、体的顶点，如图中顶点A,B94等.旋转体及其相关概念旋转体：一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体.图为一个旋转体，它可以看成由平面曲线or=-a-h=h224在直观图中,知识点三：几何体的侧面积、表面积和体积1、多面体的表面积、侧面积(1)多面体的表面积、侧面积定义：因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和.(2)棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图棱柱的侧面展开图是平行四边形，一边为棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长；棱锥的侧面展开图由若干个三角形组成；棱台的侧面张
3、开图由若干个梯形组成.棱柱的表面积，S极柱=Stx-g7-j*Ax；27侧面积公式S枝=2兀HSaWr=江(r+r2)/(2)圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤；解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下：得到空间几何体的平面展开图.依次求出各个平面图形的面积.将各平面图形的面积相加.4、圆柱、圆锥、圆台的体积(1)圆柱、圆锥、圆台的体积公式：圆柱的体积公式：/柱=S底Xh圆锥的体积公式：嗡郎=；S底X/Z圆台的体积公式：V=(Sjt+SfS)(2)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V=Sh5、球的
4、表面积和体积(1)球表面积S=2-11R(2)球体积公式V=3知识点四：点、线、面的位置关系(I)点与线、面的位置关系的表示A是点，I9是直线，a,是平面.文字语言符号语言图形语言A在/上A0/i-/A在，外AilAIA在内Aa%A/A在外AiaA(2)直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面内直线在平面”外直线。与平面相交直线与平面”平行公共点无数个公共点一个公共点没有公共点符号表示ac,aaca=A成Ia图形表示Z三7a口(3)两个平面的位置关系位置关系两平面平行两平面相交公共点没有公共点有无数个公共点(在一条直线上)符号表示耶a11=l图形表示(4)异面直线概念：不同在任何一个平面内的两
5、条直线叫做异面直线.异面直线的画法：如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托.(5)空间两条直线的位置关系相交直线一一同一平面内，有且只有一个公共点.Y行直线一一同一平面内，没有公共点.异面直线一一不同在任何一个平面内，没有公共点.(3)两条异面直线所成的角(夹角)定义：已知两条异面直线。、b9经过空间任一点O作直线。他、助，我们把与所成的锐角(或直角)叫做异面直线。与。所成的角(或夹角).知识点五：直线、平面的平行判定与性质(1)基本事实4文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行.这一性质叫做空间平行线的传递性.符号表述：=o0c.bc作用：证明
6、两条直线平行(2)直线与直线的平行方法利用三角形中位线证明线线平行构造平行四边形证明线线平行利用平行线的传递性证明线线平行利用相似三角对应线段成比例证明线线平行利用线面平行的性质定理证明线线平行2、直线与平面平行的判定与性质(1)定义直线与平面没有公共点，则称此直线/与平面平行，记作/Q（2）判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言线/线n线面如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行一线面平行/,lUaIaa面面=线面如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面aClUa=a/性质定理（文字语言、图形
7、语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言线/面二线线如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行ZyI/aIUB=1ll,3、平面与平面平行的判定与性质（1）定义没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面和若a=,则。尸（2）判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言判定定理线面二面面如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（简记为“线面平行一面面平行CIUa,bua,ab=Pa1ba线J面=面面（后面会学）如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行/1/llaC0aBll（3）性质
8、定理（文字语言、图形语言、符号语言）面面=线面如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面ayaua=CInB性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行=线面平行”）NZa!Ia=c三a/b.面面=线_1.面如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线aHI1.a=lt文字语言图形语言符号语言知识点六：直线、平面垂直的判定与性质1、直线与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言判断定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂宜1ya,bUaaA.Ib1.lacb=P，=/_1.0面J_面回线
9、_1.面两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直Z：a1.acB=abuBbVa=bla平行与垂直的关系一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直./_/aJR平行与垂直的关系两平行直线中有一条与平面垂直，则另一条直线与该平面也垂直gbab=blaa1.a2、直线与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一平面的两条直线平行J7baliaauBac=b、=aMb文字语言图形语言符号语言垂直与平行的关系垂直于同一直线的两个平面平行a=aar线垂直于面的性质如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直/-1.aMUa=/.1
10、.a3、平面与平面垂直的判定文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直bYafl4、平面与平面垂直的性质文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直g7a1.ac0=abub!.abYa题型.考点剖析题型一：常见几何体的几何特征解题思路：熟悉常见的多面体和旋转体的几何特征。例1.下列命题中正确的是（）A.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B.棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面C.棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形D.棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形例2.下列关于棱锥、棱台的说法正确的是
11、（）A.有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥B.有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台C.用一个平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台D.棱台的各侧棱延长后必交于一点变式训练3 .（多选）下面关于空间几何体叙述正确的是（）A.正四棱柱都是长方体B.以直角三角形的一条边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥C.两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱D.平行于同一直线的两直线平行4 .（多选）下列说法正确的是（）A.圆柱的底面是圆面B.经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面C.圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交D.夹在圆柱的两个截面
12、间的几何体还是一个旋转体5 .下面说法不正确的是（）A.多面体至少有四个面B.平行六面体六个面都是平行四边形C.棱台的侧面都是梯形D.长方体、正方体都是正四棱柱题型二：空间几何体表面路径最值问题解题思路：学会几何体展开图，再利用几何关系（两点之间线段最短等方法）求最值。例1.如图，这是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，山脚呈圆形，半径为3km,山高为3洞m,8是山坡SA上一点，且AB=7km.现要建设一条从A到B的环山观光公路，这条公路从A出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，公路上坡路段长为（）A.10.2kmB.12kmC,交km131441D.km13例2.如图，在直角梯形A5CO中，A
13、BIICD,AB=2CD=tAD=3,以BC边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体.(1)求该几何体的表面积；一只蚂蚁在形成的几何体上从点A绕着几何体的侧面爬行一周回到点4,求蚂蚁爬行的最短距离.变式训练3 .如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为3,一只小虫从圆锥的底面圆上的点产出发，绕圆锥爬行一周后回到点尸处，若该小虫爬行的最短路程为31.则这个圆锥的高为，体积为.4 .如图，在长方体ABC46GA中，A8=4,4O=2,=3,一小虫从顶点A出发沿长方体的表面爬到顶点G,则小虫走过的最短路线的长为.5 .如图，已知正方体ABCD-ABC棱长为2,其内壁是十分光滑
14、的镜面.一束光线从A点射出，在正方体内壁经平面6CGM反射，又经平面4。RA反射后，到达GA的中点M,则该光线所经过的路径长为.题型三：立体几何直观图解题思路：（1）空间几何体直观图的画法与平面图形的直观图相比，多画一个与X轴、），轴都垂直的7轴，直观图中与之对应的是1轴；平面VOy表示水平平面，平面y0/和v。/表示竖直平面；已知图形中平行于Z轴（或在Z轴上）的线段，在其直观图中平行性和长度都不变.成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.（2）若一个多边形的面积为S原，它的直观图的面积为良，则有S在=乎SJ以，S原=2JS直例1.如图所示，梯形A9C77是平面图形ABC。用斜二测画法得到的
15、直观图，ATy=2,ATT=9C=1,则平面图形ABC。中对角线Ae的长度为（）A.2B.3C.5D.5例2.图，四边形ABCD的斜二测画法直观图为等腰梯形A5CZ.已知H?=4,CTy=2,则下列说法正确的是B.AD=2C.四边形ABCD的周长为4+2立+26D.四边形A8C。的面积为60变式训练3.如图，二ABC是水平放置的JmC在斜二测画法下的直观图.若BZC=2,A9=2,A8U=30,则二ABC的面积为（）BCX-O,A.2B.22C.4D.424.如图是水平放置的IBC的直观图，屏是.AEC中Be边的中点，NATye=45。,A*,AT/,AC三条线段对应原图形中的线段人民AD,A
16、C,那么（）C.最短的是A。B.最短的是AeD.无法确定谁最短5 .水平放置的平面四边形owc,用斜二测画法画出它的直观图8c如图，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC的周长为.6 .如图，正方形ABC77是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形ABCD的直观图，若OTy=,则四边形ABCO周长与面积的数值之比为.题型四：几何体的表面积和体积解题思路：（D多面体的表面积是各面积之和；旋转体要掌握展开图计算表面积；（2）体积关键是找几何体的高；在利用公式求解。例1.在三棱锥尸-48C中，ABC是边长为1的等边三角形，PA=PB=,PC=显,则该棱锥的体积为（）2A.BB
17、.-C.-D.-8848例2.九章算术中关于刍童（上、下底面均为矩形的棱台）体积计算的注释：将上底面的长乘以二与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘以二与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘，把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一.现有如图所示的刍童A8CDEFG”,其上、下底面均为正方形，若EF=2AB=4,且每条侧棱与底面所成角的正切值均为3拒，则该“刍童的体积为（）力A.56B.112C.336D.448变式训练3 .已知圆锥的母线长为2右，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面面积是（）A.11B.211C.311D.4114 .已知圆锥Po的母线长为2,。为底面的圆心
18、，其侧面积等于26，则该圆锥的体积为（）A.311B.y211C.11D.2115 .已知圆台的体积为14兀，其上底面圆。半径为1,下底面圆。2半径为4,则该圆台的母线长为.6 .已知正四棱锥底面边长为2J,高与斜高夹角为30。，则它的体积为.7 .若一个圆锥的体积为也，用通过该圆锥的轴的平面截此圆锥，得到的截面三角形的顶角为W，则该圆锥的侧32面积为（）A.211B.211C.2技D.42118 .攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式,宋代称为撮尖,清代称为攒尖.通常有圆形攒尖,三角攒尖,四角攒尖，八角攒尖,也有单檐和重檐之分,多见于亭阁式建筑,园林建筑.如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖,可近
19、似看作一个圆锥，已知其轴截面是底边长为6m,顶角为g的等腰三角形,则该屋顶的面积约为（）.A.3311m2B.611m2C.6311m2D.12y311m29 .如图，已知正四棱柱ABCD-ASCR的底面边长为2,侧棱长为0,切割这个正四棱柱，得到四棱锥A-BBRD,则这个四棱锥的表面积为.题型五:几何体的外接球和内切球问题I解题思路：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题I求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可
20、能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.例1.在三棱锥P-ABC中，ZfiAC=90,PA=PB=PC=BC=2,则三棱锥尸一ABC外接球的表面积为（）4811A.一tB.-7CC.11D.33316一113例2.已知三棱柱ABC-AqG的侧棱垂直于底面，且钻=3,AC=5,BC=7,AA1=2不,若该三棱柱的各顶点都在同一球面上，则此球的表面积等于（）.256q128r1283nA.TrB.兀C.TrD.333256y3113变式训练_6411A.3211B.3C25611
21、25611C.D.15494.已知S,A8,C是球。表面上不同的点，4%SAl.平面ABC,ABBC,Ae=1,BC=及,若球。的体积为彳，3.在母线长为4的圆锥Po中，其侧面展开图的面积为411,则该圆锥的外接球的表面积为（）则SA=()afb1C.2D.35.已知四面体A3。的各顶点均在球。的球面上，平面48C上平面BCRAB=BC=AC=CD=2,8C_1.8,则球。的表面积为（）6.已知某正四棱台上底面的边长为20，下底面的边长为40，外接球的表面积为8011,则该正四棱台的体积为.7.已知三棱锥A-8CQ,AB=AC=AO=ZBC=BO=Co=3,则三棱锥A-BCQ的外接球表面积为.
22、题型六：点、线、面的位置关系判断解题思路：（1）熟悉点线面位置关系符号表示；（2）掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质（3）掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质；例1.已知。，夕，7是三个不同的平面，?，是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是（FA.若小,tn!,则RB.若z_1.a,nm,则/C.若m_1.a,nA-at则6D.若J,01.y,则R例2.已知夕是两个不同的平面，?，是两条不同的直线，能使加_1.成立的一组条件是（）A.a,mIa,n工B.a3,mua,n10C.a1,mIa,nD.ana,n/变式训练3 .已知。，b,。是空间中不同的直线，a,4是不同的平面，则
23、下列命题正确的是（）A.若力力，blcf则B,若。与b异面，则至多有一条C与,方都垂直C.若/,b1,c1.h,则。一定平行于。和夕D.若CU,bu,aV,则存在。同时垂直c,b4 .设机是两条不同的直线，。,夕是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若a0,ma,则机B.若a_1.户,mua,则机_1_4C.若机a,na,则w_1_D.若/wJ_,相a,则J1.a5 .（多选）已知,b是不同的直线，是平面，下列命题错误的是（）A.alIb,baliaB.alia,bua=ailbC.allayalIb=blIaD.z,a!lb,buanaHa6 .（多选）己知切，是异面直线，mu,u/
24、,那么（）A.当zw_1.尸，或l.时，a1.B.当，/?,且/时，a!IC.当a_1./?时，inA.t或_1.aD.当。，夕不平行时，加与夕不平行，且与。不平行题型七：直线与平面、平面与平面的判定与性质解题思路：1.证明直线与平面平行的常用方法:利用定义，证明直线。与平面。没有公共点，一般结合反证法证明；利用线面平行的判定定理，即线线平行=线面平行.辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面,同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；2 .证明面面平行的常用方法：利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；利用面
25、面平行的判定定理；利用两个平面垂直于同一条直线；证明两个平面同时平行于第三个平面.3 .证明线线平行的常用方法：利用直线和平面平行的判定定理；利用平行公理；例1.如图，点A,B,C,M,N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线MN平面48C的是（）W例2.在边长为1的正方体ABC。-A5GA中，点M是该正方体表面上一个动点，且BW平面AAe,则动点M的轨迹的长度是.例3.（多选）如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABC力为正方形，E,F,G,“分别为雨，PD,PC,PB的中点，在此几何体中，给出下面四个结论，其中正确的有（）PA.平面EFGM3平面ABCOB. 86平面以。C
26、. A碗平面PCDD.平面B4D0平面PAB变式训练4.如图，四棱锥尸-ABCQ为正四棱锥，底面ABC。是边长为2的正方形，四棱锥的高为1,点E在棱AB上，且2AE=EB.P若点尸在棱PC上，是否存在实数4满足PF=4AC,使得BF平面PDE?若存在，请求出实数/1的值；若不存在，请说明理由.(2)在第(1)问的条件下，当8尸平面PDE时，求三棱锥尸-OEE的体积.PE=-PAfBC=-ADf4力/平面P8C.33(2)点尸在线段A。上，设Af=1.4O,是否存在点尸，使得平面BEF平面PCO?若不存在，请说明理由；若存在，求出义的值，并给出证明.6 .如图所示正四棱锥S-ABCD,SA=SB
27、=SC=SD=2,AB=,P为侧棱SD上的点，且SP=3PD,求:正四棱锥S-ABCO的表面积;(2)若M为8的中点，求证：Se平面5MD；侧棱SC上是否存在一点E,使得BE平面PAC.若存在，求若的值；若不存在，试说明理由.EC7 .如图，在几何体ABCDFE中，四边形ABCQ为直角梯形，DC=2AB,GC=2FG,平面ABE尸C平面CDEF=M(1)证明：AF/平面皿X7(2)证明：AB/EF题型八：直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质解题思路：(1)直线与平面垂直的方法:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平
28、面垂直一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直两平行直线中有一条与平面垂直，则另一条直线与该平面也垂直(2)平面与平面垂直的方法一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直例1.如图，直三棱柱A8CA1qG中，AB=BC,点M在线段AC上，且点M为,的重心，AiC1.AM.(1)证明:AiC1.ABti(2)若CA=A=6,求三棱锥用-ABM的体积.例2.如图，已知在四棱锥P-ABCZ)中，底面ABCD为矩形，Ao=平面ABCZ).若直线Ao与30的夹角为60,求PC的长;(2)若PD=#,四棱锥P-ABCD的体
29、积为#,求证：平面PAC团平面WO.变式训练3 .平面上两个等腰直角AHAC和二BC,AC既是尸Ae的斜边又是ABC的直角边，沿AC边折叠使得平面PACJ平面ABC,M为斜边AB的中点.求证：AC.1.PM；PN在线段依上是否存在点N,使得平面CN何，平面RW?若存在，求出诟的值；若不存在，说明理由.4 .如图，在三棱柱ABC-A必G中，所有棱长均为1.CB1BG=O,NABB1=6U,CB上BB1.(1)证明：AO_1.平面88C0.求三棱柱ABC-AiBlCl的体积.5 .如图，在三棱锥P-ABC中，AC_1.平面Q4B,E、产分别为8C、PC的中点，且AA=AC=2,AB=1.EF=且2
30、(1)证明：ABj1.平面PAC.(2)求C到平面AM的距离.6 .如图，P为圆锥顶点，。为底面中心，AB,C均在底面圆周上，且ABC为等边三角形.求证：平面尸OA_1.平面PBC；(2)若圆锥底面半径为2,高为2,求点A到平面PBC的距离.题型九：异面直线所成的角解题思路：（1）通过平行平移构成三角形，解三角形；（2）补形平移例1.在三棱柱ABC-A4G中，底面边长和侧棱长都相等，NBAA=NCAA=60。，则异面直线A片与BG所成角的正弦值为（）2r3r611306666例2.在正四面体S-ABC中，M是SC的中点，N是S8的中点，则异面直线BW与AN夹角的余弦值为（）1r1r311263
31、22变式训练3 .如图，矩形A8C。是圆柱QQ的轴截面，点E在圆Oz上，若AD=2五,AB=23,NBAE=60,则异面直线8。2422242234 .在长方体48C。-CR中，A41=AD=3B=3,过顶点Cl作平面V,使得/平面4/。，若八平面ABCD=I,则直线/和直线AB所成角的余弦值为（）AYBYYD.竽5 .如图，在正三棱柱ABC-A4G中，e=AB,点。是线段AA上靠近A的三等分点，则直线Go与80所成角的余弦值为（）AY三fTDf题型十：直线与平面和平面与平面所成角解题思路：通过定义做出直线与平面的角或平面与平面所成的角；通过解三角求解;例1.已知在正四面体OWC中，04=1,
32、则直线QA与平面OBC所成角的正弦值为（A.也B.iC心D.如4233例2.在正方体ABCD-A/B/GD中，二面角3AC3的正切值为（）A.渔B.&C.3D.333变式训练3 .三棱锥产一ABC中，PC_1.平面A8C,尸C=手，AC=2fBC=4,AB=2,则二面角。AH-C的大小为.4 .（多选）如图，某圆柱的轴截面ACEQ是一个边长为4的正方形，点脱尸分别为A。，DE的中点，则（）BA.多面体ABCFDE的体积为WB.平面BZ）E平面AbC.直线8。与直线AF所成的角为60。D.点C到平面8。E的距离为拽55 .（多选）如图，在四棱锥P-48CD中，底面A8C。为菱形，NDABEAB=2,PB=卡,侧面PAo为正三角形,C.二面角2-BC-A的大小为45D.三棱锥尸-ABO的体积为16 .如图，在四棱锥S-ABCD中，底面A5CO是边长为1的正方形，SA=SB=2,E、尸分别是SC、8。的中点.求证：EF平面SAB；若二面角S-A
