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1、专题22双变量含参不等式证明方法之消参减元法【例题选讲】例11已知函数兀t)=2-X层.若加)的图象在点(1,川)处的切线与直线y=2x+l平行，求危)的图象在点(1,川)处的切线方程;(2)若函数应)在定义域内有两个极值点即，42,求证：-Vi)+)21112-3.解析(l):y(x)=r2-xIn；=OX2-x+lnx,x(0,),f(x)=2ax1,.k=f()=2a.I段)的图象在点(1,/U)处的切线与直线y=2x+l平行，.2=2,即=1.JU)=O,故切点坐标为(Io).切线方程为y=2r-2.,120x2-x1(2) ,f(x)=2a-1=,Oa0,Xl+=工0,XIX2=五0
2、,(x)(x2)=rf-(xx2)lnxlnX2=(R+(x1x2)In(XIX2)=a(x+及)2-2TIX2S+x2)+ln(xi2)=ln-1,令r=古，g(f)=l11Tf则f三(4,+8),(O=7-=O.在(4,+8)上单调递减.g(02,令/(x)=0得,a-a2-4+d2-4X=2或X=2当X40,Wm)U0三，+)时，小)o.所以兀V)在(0,睡三)，g*三，+j上单调递减，在1.F,哼可上单调递增.(2)由(1)知，风r)存在两个极值点时，当且仅当2.由于AX)的两个极值点M，X2满足X20r+l=0,所以XlX2=,不妨设X1l.,j(xi)-2)11,Inx-nx2由=
3、7-1+aXX2XlX2XX2C.lnx-lnx22tzXl-X22+不吧X2X2所以Ks_4)q2等价于,一也+2InjqO.X-XlX2设函数gCr)=：x+21nx,由(1)知，g(x)在(0,+a)上单调递减，又g(l)=0,从而当Xe(1,+8)时，g(x)v.所以JX2+21n%2e+2-解析(1)由定义域为(0,i)u,+),r=7-7-2Xt112+1人(人1J1)设力(X)=f(+2)x+1,要使y=7(x)在(e,+)上有极值，则X2(+2)x+l=0有两个不同的实根Xi,2,zJ=(2)2-40,.0或4,且至少有一根在区间(e,+),又,孙及=1,，只有一根在区间(e,
4、+),不妨设12e,*0xjeX2,又A(O)=I,，只需0,即4一(。+2)；+1e+；-2,VfcvCeC联立可得e+!-2.即实数4的取值范围是(e+5-2,+).(2)由(1)知，当x(l,M)时，/(x)v,0,段)单调递增，加)在(1,+8)上有最小值/2),即ME(1,+),都有犬，闫3),又当K(0,即)时，/(x)0,r)单调递增，当XW(Xl,1)时，/(x)e),X211XlX2IXll121191设KI)=InX2+-q=21nx+-JvX),则Va)=嚏+1+7O(4e),，依0在(e,+s)上单调递增,.(x)A(e)=2+e3,财As)e+2.例4己知函数/(x)
5、=3+1)InX+x2+1.(1)讨论r)的单调性；(2)若-2,证明：对任意加，X2(O,oo),A)2)4xX2I.思维引导(2)所证不等式)-te)斗氏一刈含绝对值，所以考虑能否去掉绝对值，由(1)问可知兀0单调递减，故只需知道X,12的大小即可，观察所证不等式为轮换对称式，且X,K2任取，进而可定序为2,所证不等式/2)-)4xl4%2,即/2)+4x23)+4xi,发现不等式两侧为关于Xl,及的同构式，故可以将同构式构造一个函数，从而证明新函数的单调性即可.a-j.“，乙4”I上、J,a+1I2av2+l(2x2+l)+l解析(IV(X)的定乂域为(O,+oo),=-+2r=FJ-.
6、当白0时，八外0,故兀0在(0,+oo)上单调递增.当-l时，W0*在(0,一唉)上单调递增;当XWW-噂,+)时，/(x)V0,人处在卜一耳+j上单调递减.(2)不妨假设XT2,由于把一2,故在(0,+8)上单调递减.所以l(xi)一m)4X1-X2等价于J(x2)-J(x)4x4X2，即贝刈)+4X2/Xl)+4x.令g(x)=y(x)+4x,m1aI1则g(x)=2a+4x+l卜2+4=).1.单调递减，故g(Xl)g(X2),_PJ-4x24-1-2-1)2,_,于是g(x)-0.从而g(x)在(0,即於2)+4X2孝(XI)+4即，故当好一2时，对任意Xi,X2e(0,),Wl)-2
7、)4XX2.总结提升同构式以看作是将不同的变量放入了同一个表达式，从而可将这个表达式视为一个函数，表达式的大小与变量大小之间的关系靠函数的单调性进行联结.将不等式转化为函数单调性的问题.最后根据函数的单调性证明不等式.双变量的同构式在不等式中并不常遇到，且遇且珍惜.【对点训练】1.已知函数y()=2-x+lnx(a0).若=l,求兀0的图象在(1,U)处的切线方程;讨论7U)的单调性；321n2(3)若贝X)存在两个极值点X,及，求证：人内)+於2)-F1 .解析(l)=l时，x)=2.x2-x+lnx,/(x)=-1+p/(1)=1,川)=一(x)的图象在(1,7U)处的切线方程为y-(3=
8、x1,即2x2y3=0.(2)f(x)=-1+j=_：+%0).若,则fx+O恒成立，/(x)0,J(X)在(O,+8)上单调递增.若由fx+)得。4匕参9或Q比尹；由-+o0得1.尸4l.”)在RW巨，1*三可上单调递减，在(0,匕亨可和产，+J上单调递增.综上，当时，兀r)在(0,+刃)上单调递增；当(X舄时，加)在R三MW三)上单调递减，在(0,上二用豆)和用逅，+J上单调递增.(3)由(2)知0(时，xM=0.fi,x)2)=2xf-+HnXi+某一x2+ln,V2=2(xiX2)2-X2-(x+x2)+Hn(XI=2a1+Hna=anaa.令g(x)=xlnX-X一关0；),则g，(
9、x)=lnag(w尸一4.如)+.”2)4.2 .已知函数/a)=；-2x+lnx,其中0.(1)讨论/(幻的单调性；(2)若/(%)有两个极值点*,x2,证明：-3)+(2)0,XX考察g(x)=f-2x+,x0,其中对称轴为X=1,=4-4.若则A0,此时g(x)O,则/(x)0,所以/O)在(0,+8)上单调递增；若00,此时f-2+=o在R上有两个根X=I-FZ,2=1+FZ,且0%0,则r(X)0,/O)单调递增；当xw(不,巧)时,g(x)O,则f(x)O,则/(X)0,/(%)单调递增，综上，当时，/(x)在(0,+8)上单调递增；当0vl时，/Cr)在(0,1-J匚G)上单调递
10、增，在(I-JnI+三7)上单调递减，在(1+J匚,+8)上单调递增.(2)由(1)知，当OVaVI时，/(X)有两个极值点X,JC2,且X+2=2,xx2=a,所以/(x1)+(x2)=-vz+aln+g4-29+nx2=g(H+)-2(x1+x2)+a(lnx1+Inx2)g(x+x2)2-2x1x2+)+6zln(x1xi)=-(22-2aj-4+ana=ana-a-2.令(X)=XInX-x-2,Ovxvl,则只需证明一3vz(x)M)=-3.又当OVXVl时，lnx-l-l,x(ln-l)0,故(X)=XInX-x-2=MlnX-1)-2-2,所以，对任意的vxvl,-3i(x)-2
11、综上，可得一3/(占)+/。2)一2.3.已知函数f(x)=(2-a)/,qr.(1)若在区间(1,2)上存在不相等的实数?，使=/()成立，求。的取值范围；(2)若函数/(x)有两个不同的极值点%,王，求证：)(w)4e-2.3.解析依题意即求使函数)=(x2-a)在(1,2)上不为单调函数的4的取值范围，而/(H=*/+2x-),设g(x)=1+2犬-，则g=3-,g(2)=8-,因为g(x)在(1,2)上为增函数.当卜,)=3-0,即当3v0当Xe(I,瓦)时,g()O,即r(x)0,即/(力0,”力为增函数，满足在(1,2)上不为单调函数.当3时,g0,g(2)0,所以在(1,2)上g
12、(x)0成立(因g(力在(1,2)上为增函数)，所以在(1,2)上尸(力0成立，即F(X)在(1,2)上为增函数，不合题意.同理8时，可判断f(x)在(1,2)为减函数，不合题意.综上：38(2),(x)=ex(x2+2x-aj.因为函数/(x)有两个不同的零点，即/(X)有两个不同的零点，即方程f+2x=0的判别式A=4+40,解得：a-,由2+2-a=0,解得Xl=T-Ja+1,x2=-1+a+l.此时与+”?=2,xx2=-a1当x(-8,国)时,/(幻0,段)单调递增；当x(j11,时,/(x)0,Kr)单调递增.所以1是人力的极大值点，%是/G)的极小值点，所以/&)是极大值，/(W
13、)是极小值，；/(x)(苍)=e*(%；-)*(j-a=ev+x2x；考-a(a)+2J=e2Y-(4+2a)+2J=-ae2,因为T,所以Tae-2V4e,所以/(XJf(X2)4j2.4.已知函数(x)=InX+/一x(aR).求函数x)的单调区间；13(2)设函数F(X)存在两个极值点，XpX2,且凡电，若OVX-1112.4.解析(I)V/(x)=lnx+x2-r,f,(x)=-x-a=担,x0,当0时，,(x)0,则/(x)在(O,+oo)单调递增，当0时，2-80,三P0,则f(x)在(0,+8)上单调递增,f,(x)2时，f(力在0,+8递增，在(车，呼递减;(2)由(1)得：x
14、1+X2=,x,=-,则x,=J-,222x./(x1)-(x2)=Inxi+-ax-nx2-x1+ax2=n+xl+x2-2(xl+x2)(x1-x2)“2=In2+2Inx-XyH74X令g(xj=ln2+21nx-X；+白，则g,(x)=-2xl-=_；J-*Z()玉g(g)而=(一ln2,即g(xj-ln2,3/(N)-/(/)W-In2.5 .已知函数/(力=一y2+公_InMaR).(1)求函数x)的单调区间；(2)若函数F(X)有两个极值点%,“2(Xw)，求证：4(x1)-2()1+31112.6 .解析由/(x)=-g2+公一lnx,(x)=-x+-=-+1.令g(x)=x2
15、-r+l,则r(X)=-乳U,X当A=02-40,即-2O恒成立,则f(x)0,即2.当av-2时，g(x)=W-0r+l是开口向上且过点(0,1)的抛物线，对称轴方程为x=(v-1),则g(x)O恒成立,从而尸(X)V0,所以/(x)在(0,+oo)上是减函数.()当2时，g(x)是开口向上且过点(0,1)的抛物线，对称轴方程为X=Ie1,则函数g(x)有两个零点：为=区二4三用=空三(显然%)，当X(0,刘)时，)O,Rr)单调递减；当KWal,X2)时，/(4)乂),式外单调递增；当W(X2,+)时，/(x)2时,根据。7),当2时，/(x)有两个极值点4Z,(芭0,所以OVxlll),
16、(r)=-+31nr+2,(1),则/(r)=+,=-2).当10;当r2时，r()0,则Mf)在(1,2)上是增函数，在(2,+8)上是减函数,从而SmaX=(2)=31n2+l,于是”(%)-2)勺+31112.7 .已知函数/(x)=(ln-Al)x(AR).若曲线y=r)在(1,川)处的切线与直线-2y=0平行，求Z的值；22(2)若对于任意乃，%2e(03,且X1X2,都有y)+勺(x2)+丁恒成立，求实数攵的取值范围.X2Xl6.解析(1)由题意得了(x)=ln-匕又曲线y=y(x)在(1,贝1)处的切线与直线x2y=0平行，所以/=InIT=*解得%=今2222(2)因为)+(-2)+-,所以)-772)-,人2人1人1人222,记力(x)=x)又因为即，X2(0,3,且1X2,所以A(X)=/(X)；在(0,3上单调递增.22所以/(%)=InX-Z+?却在(0,3上恒成立，即任也工+M在(3上恒成立，记(X)=InX+臣，所以=：=z,令/(%)=0,解得x=2.当0x2时，m,(x)0,“(%)单调递增，所以当x=2时，“(X)取得最小值(2)=ln2+/,所以ln2+g.所以实数2的取值范围是(-8,In2+.
