《专题22 锐角三角函数（讲义）（解析版）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题22 锐角三角函数（讲义）（解析版）.docx（51页珍藏版）》请在课桌文档上搜索。
1、专题22锐角三角函数核心知识点精讲1 .理解掌握锐角三角函数的概念：2 .理解掌握茶洎用的特殊用的三角函数值，能够进行常规的计算:3 .埋解节握各馍角三知函数之间的关系：4 .理解掌握说用三角函数的增M性并能进行运用；5 .掌握锐角三角曲数的实际应用：6 .能弗熟练地进行耕口角三角形。考点I锐角三角函数的概念锐知A的正弦、余弦、正切、余切都叫做NA的锐知三角M数.如图,在AABC中，NC=90饯角A的对边与斜边的比叫做/A的正弦,.itm.a4的对边aId为SmA.WJsmA=-斜边c锐角A的翎边与斜边的比叫做NA的余弦,记为CoSA,即CoSA=NA黑中边=B斜边C悦角A的对边与邻边的比叫做
2、NA的正切.口士H11.A/4的对边aId为ta11A.UPtan=,二七元：丁-ZA的邻边b考点2一些特殊角的三角的数值三角函数O030456090sin011222,321ncosI0222镜角A的邻边与时边的比叫做NA的余切，记为C3A,即83=NA的邻边N4的对边tanaO1y3不存在3cota不存在百IO3考点3各锐角三角函数之间的关JK（1）互余关系sinA=cas（9O0A）.CoSA=Sin（90A）tanA=cX（90oA）.caiA=Jan90oA）（2）平方关系sin2A+cos:A=I（3）倒数关系tanAtan（900A）=1.（4）弦切关系SinAIanA=COSA
3、考点4悦角三角函数的增减性当角度在（r90。之间变化时. 1）正弦值的岩珀度的增大（或减小）而增大（或减小） 2）余花俏附着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 3）正切值随新角度的增大（或域小）而墙大（或减小） 4）余切值随着光度的增大（或减小）而减小（或增大）考点5锐角三角函数的应用（1）仰角和倚角,在视线与水平线所成的模角中，视线在水平找上方的角叫仰角，视我在水平线卜方的角叫俯角：（2）坡度、坡角：坡度等于坡用的正切伯：（3）方向角：正北或正南方向线与目标畿所成的小于90度的角,叫做方向角.考点6解亶角三角彩1 .解宜角三角彩的桂念，在直角三角形中.除直比外.一共有五个元索，即三条边和两
4、个蜕角,山直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元.我的过程叫做解直角三角形.2 .解直角三角形的理论依据；在RsABC中，ZC=90o,ZA,ZB,NC所对的边分别为a,b.C（I）三边之间的美系：a2+b2=C2（勾股定理）2）锐角之间的关系：ZA+ZB=900AB2-BC2=(2ffC)2-BC2=3fiC.AC-J1.BC3cos=Sff=1.c=T-故选：A.3.(2O23惠东县二模)已知在Rt八BC中，ZC=900.AR=5.BC=4,那么UmB的值为(4343AgB-；CgDg【答案】B【分析】根据勾股定理求出AC根楙正弦的定义计小即可.【解答】解：VZC=9(r.AB=5.
5、Bc=4.,.C=JAB2-BCi=3.an11=故选：B.3-4=C-C八K*：麓例引领rsa2特殊角的三角函数】【典例2】（2023佛山一模）在RtAA8（：中,ZC=OO0.若CoSA=今则NA的大小是（A.30【答窠】CB.450C.600D.75【分析】根据6（尸的余弦值是；解答.【解答】解：YitRsAbdWNC=90。，.,.ZA为检角，:CmA=1.A=60f故选：C.f即时检测1. （2023黄埔区校级二模）在AABC中,若ISin4-3+（日一84）2=0,则NC的度数是（）A.45oB.75C.105D.120【答案】C【分析】根据非负数的件质列出关系式,根据特殊用的.用
6、函数值求出NA、/8的度数.根捌二角形内角和定理计算即可.【解咨】解：由题.旗得，sinA=0，-csB-0.1 2即sinA=2=COS3.耨得.NA=30t./8=45.二ZC=1800-ZA-Zf1.=105.故选：C.2. （2023宝安区校级三模）8s60的使等于（A.-B.-C.I222【答案】A【分析】根据特殊角的JfI函数值斛题即可.【解答】解：COs60。=%.故选：A.3. （2023兴宁市二模）已知实数。=皿130。,b=si1145c.c=cos600.则下网说法正确的是（）A.bacB.abcC.bcaD.acb【答案】A【分析】分别求出各三角画数的值,然后比较他们的
7、大小即可.【解答】解：=tan30三b=sn45=华，C=cosbOe=/故选：A.照例引领【型3:致轴】【典例3】（2022河源模拟）R1.BC,NC=90。，sin=则UUVI的值是【答案】【分析】根楙特殊角的三角函数值,进行计算即可解答.【孵咨】解：INC=90.Sina=；,Z4=3（F.：,taM=1.an30n=丁故答案为：y.曲加时的测1. （2021热湾区校级三模）在R1.八8C中，ZC=900.IaiV1.=今，则CoSA等于512-5e12A.-B.-C.-D.1251313【答案】D【分析】根枇1.an4=W求出第汕长的衣达式，求出COs人即可.【解答】解：如图：故选：D
8、.2. （2020南海区模）6：RAHC.ZC=9（,sin8=则SinA的值是0.:sinA-3-5sn4=5故选：B.曲例引领94：解直角三角形】【典例4】（2023惠城区校级模）在边长相等的小正方形组成的网格中，点A,8.C都在格点上，加么CoSN8AC的值为（51C251A.-B.-C.D.-5253【答案】A【分析】先求出三处形A8C的三边长，发现三角形是等股三角形,再根据外腋:角形的性质求出角的余弦值.【解答】解：,.B=TT9=T.AC=%4+4=2,BC=TT9=I.ABC为等展三角，如图所示，过点8作81.八G垂足为。，.AD=C=*22=2.zo.z,AD&5.COSWC=
9、而=而=y故选：A.*f.即时的刘1. (2023曲海区模拟)如图,在平面直为坐标系中，点A,8分别在X轴负半轴和y轴正半轴k,点C在OB上，OC；08=1：3,连接AC,过点O作OP/AB交C的延长线于点P.若P(1,I),则tanZACQ的就是()【答案】B【分析】根据OP八以证明出AOCPSASCA,结合OC；OB=I;3CAAC=OC1BC=I:2.过点。作尸O1.r轮干点0.根据NAeC=NA0。=90。.mCO/PQ.根据平行线分线段或比例定理得到。Q：AO=CPtXC=I:2.根据P(I,I),PQ=OQ=.褥到AO=2,则可求得AQ=3,根据正切的定义即可得到WnNAPQ的伯，
10、从而可求tanZMCO的伯.【解答】解：,.OPB.XICPsNiCA.OCCPJc=AC：0C：OB=I:3,OC1.BC2,.CP1.=AC2过点P作PoU轴F点。，如图.，/八OC=NAQP=900,：.CO/PQ.：.OQtAO=CPtAC=z2.ZACO=ZAPQ.V(I.I).JPQ=OQ=1AO=2OQ-2.J4Q=3,.IanNAPQ=器=3.tanZACO=tanZ,(-3.故选：B.2. (2023台山市校级一模)如图，点A、B、C在正方形网格的格点上，sin/MC=(【答案】C【分析】如图，取格点兀连接Br交人C于H,JBH1.AC.iStBH=a.RAH=Sa.利用勾股
11、定理求出AB.可得结论.【解答】解：如图.取格点T.连接87交AC于从则UHIAC.i殳RH=a,则BH=TH=GH=CG=a，CG=2a,AG=4a,可得八=50,在RihAHB1.AR=H2+AH2=112+(5)2=26w/BH26.SinZfiAC=-2-.故选：C.【答案】A3. （2023中山巾模拟）W.48C的顶点是正方形网格的格点.则IanA的值是（D.3：.ADC=90【分析】r先构造以A为锐角的直角角形.然后利用正切函数的定义即可求解.12+I2=2.AD=22+22=22.1.CD建1u*nAFFp故选：A.典例引领KJSS5解宣角三角形的应用】一个轴【典例5】（2023
12、深圳模拟）图1是-地铁站入1的双深间机,双翼展开时示意图如图2所示,时称图形，AC=4（k711,则双乳边缘端点C与C之间的距离为（C.(6()-8(kros)cmD.(60-SOsina)cm【答案】D【分析】作辅助战如图，由版也可得CE=OEEF=GkM解11角三角形ACE求出CE=40sinam,然后根据a=-2CE即可得出答案.【耨答】解：如图.作直线Cd交双翼闸机干点从F.则ChAE.DF_BF.图I图2由题可得C=DEF=fcm.在直角：角形ACE中，CE=AOsina=40Sina,：.CD=EF-2CE=(60-80sina)cm.故选：I).I.（2023佛山模拟）如图，一辆
13、自行车竖直接放在水平地面上，右边於它的部分示意图,现测褥/4=88。.ZC=42%.4=60.则点A到BC的距曲为）60A.60sin50oB.C.60COS5伊1D.M）tan500Sfn50。【答案】A【分析】先求出N8=I8（-88-42=50,再用三角为数定义,求出AO=八8x*in8=60sin50即可得出答案.【解答】解：过点A作AO1.8C干点。.如图所示：VZtfAC=88.ZC=420.Z=ISOa-880-42o=5(Ft在R1.“8D中,AD=BsinB=6Osin5Oq,二点A到HC的距离为60sin500.故A正确.故选:A.2 .（2023杏洲区校娘一模）某路灯示意
14、图如图所示,它是轴对称图形.若乙6=130。，AC=8C=12n,CD与地面垂直且CD=3m,则灯顶A到地面的高度为（）【答案】B【分析】连接A8,延长C。交A8点,由题量可知：ZCE=ZC=65%然后利用钱角：角的数的定义可求出CE的长度.【解答】解：连接A8,延长/X：交AB于点后由麴底可知：Z4CE=ZCB=65在R1.4CD中,cosZCE=cos650=信，CE=1.2cos65o(用)，点4到地面的高度为:CE8=(I.2cos65113)m.cos65o=sin25.Ct+CD=(1.2si1125+3m.3 .（2023龙岗区校级四模）如图,用三角支架固定空调外机,已知C）A.
15、A8.AO8=,80=0.4米，则点。到墙面距禹OA为A.0.4sin米B.0.4cosa米C. 5米SinaD. 4米cosa【答案】B1分析】先判断A4O5是面角：.角形，再利用白角三角形的边角间关系得结论.【解答】解：.QIUW,：.Z(M=9()0.在RIAAOB中，:CwiNAoB=器.OA=cosZAOBBO=COSUX0.4=0.4cos(米).故选：B.典例引领【题型6,解直角三角落一坡度角问曷】【典例6】（2023越秀区校级二模）如图是个山坡的纵向剖面图，坡面DE的延长线交地面AC于点B.点E恰好在8。的中戊处，NCE）=60,坡面AE的坡角为45。，山坡顶点。马水平战AC的
16、距岗，即C。的长为100O5i.1求8的长度:2求A8的长度.（结果保留根号）【答案】见试跑解答内容=5003w.RBEF*,SinZEf1.F=tanZEBF=tan600=盖=V3.分析I)过点E作EAC于点匕由的速可用EF=JC1.SinWr=露=写好=字.解方程求出BE即可.2)在RtAAz,中.可得A=5(Mh公孙在R1./，/,中.求出8尸的长.根据八A=A尸-8F可得答案.【解答】解：(1)过点作Ek1.AC干点F.:点E为历”的中点，：EF=CD=5003m.在RtAfiEF中，smZEA=sin6On=磊=洋解褥BE=100O.经检验,SE=100O是以方程的解口符合题意，；
17、.BE的长收为I(X)Om.(2)在RtAt|i.ZEAk=AS0.AF=i,F=5(K)3M.在R1.AbEF中.1.an/=1.an60。=栋=5,解褥BF=5()0.羟检验，8F=500是原方程的解且符合胭意，：.AB=AF-BF=5003-500)m.二八8的长段为【答案】（1）20c，”：34.6=28Cr4W,n.然后利用勾股定挥求解即可.【解答】解；（IVMC=XB=IOrm.NAGW=63,.AM=MC1.dnZCM=Ctan630102.0=20cm.答，连接水管AM的长为20”.2）如图.连接HC.：AR/MC.AH-MC.：.四边形RCM为平行四边形.V/AMC=90,.
18、四边形ABCW为矫形.二8。二AM=2fkw.NBCI)=90.：.BD=ZBC=AQcm,：.CD=BD2-RC2=203N34.6cm.答：水前两边缘C。之间的距离为34&3. （2023越秀区校出二模）如图是一座人行天桥的示意图，已知天梆的高度C0=6米，坡面8C的忸料角NCBD=45。距B点8米处有一建筑物NM.为了方便行人推自行车过天桥,市政府决定降低坡面BC的坡度，把领料角由45。减至30。,即使得新坡面AC的俯斜角为/CAO=30。.若新坡面底却A处与建策物NM之间需要留下至少3米宽的人行道，那么该建筑物是否需要拆除？请说明理由.（结果精确到0.1米：参考数据：21.41.31.
19、73）MCNABD【答案】该建筑勒不需签拆除，理由见解答.【分析】根据钱角三角雨数.可以求得CO、B1.）.AO的长.然后根楙题选可知8N=8米,即可计算出AN的长.再与3比较大小即可.【解答】解：该建筑物不液要拆除，I,1.3.二该建筑物不需要拆除.典例引领tea7,解宣角三角涔一仰角俯角问】【典例7】（2023三水区模掾）如图，西安某中学依山而建，校门4处有一坡度j=5:12的鹿坡A8,长度为13米,在坡顶B处行教学楼CF的松项C的仰由NCBF=45,离8点4米远的E处有一个花台，在处仰型C的如角是NC=60%C/的延长线交校门处的水平面于点0.求楼顶C的窝度C。.（结果保留根号【答案】（
20、1.1.+25冰.分析过点B作BM1.AD,过点作EN1.AD.i1.1.AB的坡度和长即可求8M,再市BF=EF+BE,根WiZCZJF=45o.ZC-F=6r.8石=4米解:角形求出（T.即可解答.【解答】解：过点B作BM，AD,过点E作EN1.AD./=5：12.BM5AM=12A8=I3米.：.BN=5米,AM=I2米.BM=DF=S米，产为X米.则册=米，ZCEF=60o.CQn60o=容=竽，蝌得x=23+2.：.CF=(6+23)X.：.CD=CF+FD=(11+25)米.答：。C的长度为(U+25)米.即时检测1.（2023花都区一模）如图,一枚运载火前从地面。处发射,雷达站K
21、与发射点A拒禹6公”.当火前到达八点时，雷达站测汨仰角为43。，则这枚火箭此时的高厦41.为（）kn1.6A.6sin43oB.6cos43oC.D.6.：.AE=EC.二此刑像的高A8约为：A+3=48+10=58（米）.故答案为：58.3.（2023升平市二模）如图所示,建筑物MN一俯有一斜坡八G在斜坡坡脚八处测得建筑物顶部N的仰角为6俨.当太阳光线与水平线央角成45。时,建筑物MN的影子的一部分在水平地面上MA处.另一部分影子落在斜坡上AP处，己知点P的距水平地面AB的高境PD=S米，斜坡AC的坡度为:（WanZWD=I）,且M，A，D.8在同条直戊上.（测烦器的高度忽略不计，结果保留根
22、号）51）求此时建筑物AAV落在斜坡上的影子AP的长：求建筑物MN的商度./AD【答案】北试时解答内容【分析】（1）如图作/TMMN于.则四边形PDJ矩形.史角三触形求出用即可.（2）设NH=PII=X米.在RtW,根据1.an60o用,可得MN=3,由此构建方程即可解决问题.AAD=15,52=511（米）,.此时组演初.MV落在斜坡上的影子AP的长为5TU米.VZNPH=45a.NPHN=：./PNH=/NPH=45。,XNH=PH,设NH=PH=X米,W1.MN=(.r+5)米，AM=(-15)米.在R1.ZUMV中，Vtan6On=.IMN=3A.W.,.x+5=3(-15)解得X=(
23、O5+25),M.V=x+5=(1O3+3O)米.典例引领ca解直角三角港一方向角向题】【典例X】（2023瞅德区校级三模）如图,为了测出河对岸48两点间的距国.数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C,WA,8均在C的北偏东37。方向上，沿正东方向行走90米至观测点。测得A在。的正北方向上,。在。的北偏西53。方向上.参考数据：sin37%O.60.cos37o0.80.tan37,O.75.求证：RD1.Afii求A，8两点间的跳离.北【答案】（1）见解析:cos370900.80=72（米）.RtABD./4=37.87）=72米.tan=器，赢盥=96（米）.答：小8两点间的足离约96米.北
24、Dy即时检测I.(2023惠州梭)如图，为了测量河对岸A,8两点间的距离,数学兴趣小组在河岸南施选定观测点C测汨48均在C的北偏东30方向上，沿正东方向行走60米至观测点。，测得A在。的正北方向，B在。的北偏西60。方向上.A.8两点间的距国为9()米.【答案】90.【分析】HHK懑意可得：7)=60米,AD1.CD.EC/AD,从而可得/4=/ACf=30.进而可得/.48。=90%然后在RsAC。中，和用蜕角三角函数的定义求出AO的长,再在R1.MM中,利用琥用三角函数的定义求出Ae的长,即可解答.【解答】解：山虺虫得：CD=60米,AD1.CD.EC/AD.二/4=/ACE=30。.：/
25、804=60”,ZBD=18(P-Z-Zf1.D=90c.在RSAC7)中，八P=编=焉萨=6O5(米)，=90（米）,RtMBD,4B=4Zsin60o603yA.B两点间的柜离约为90米，故答案为：90.2.（2023湖南区模拟）为维护我国海洋权力海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理如图,海警附A在C岛的正西方向,当岛主发现有海盗船时，测得海盗船在C岛的西北方向上的B处，已知海警测得海盗船在海警船八北偕东60。的位置8上，海警铅若以60海电网寸的速度航行到海盗船处需要1小时.向此时海盗船国C岛的跖离BC是多少海里？若海盗船以34）海里/时的速度向C岛出发,海警船在接到岛主报警后以60海里
26、间的速度向。岛出发，向海警船能否赶在海盗船之前到达C岛进行拦皴（a.41,3=1.73）?【答案】（D此时海盗船离C岛的距或8C约是423海f!: 2）海警船能赶在海盗船之前到达C岛进行步业.【分析】（1）过8作Bd1.AC于。.解百角三角形即可得到结论：It1.（I）知/）=30（海里），/胁!C=30p./BCA=45,求得A/）=5b）=3O5海里,CD=RD=30海里，得到C=D+CD=3O3+3O（海里），求出海警船在接到岛主报警后到达C岛防要把WN1.37（小时）,海盗船到达C岛儒要甯w1.41（小时）.进行比较.即可得到结论.【解答】解：（1由遨立得.48=60海里,ZR4C=3
27、0o.过B作RD1.AC于。：.ZADB=ZCDB=90n,：.BD=4=3O（海电.C=1.8O=30*423（M）,答：此时海盗仍需C岛的即国8C的是42.3海里：（2）由（I）知8/）=30（海里）.ZtAC=30o./8CA=45.,.AD=38f=3O3沏里.CD=BD=30海明.,.AC=ICD=303+30）（SJff1.）.303+30302二海警婚在接到岛主报警后到达C品需要一句.37（小时）,海盗船到达C岛旃要F-=1.41（小6030时），V1.,37：BE-CE-BC.：.2x-0.7x=26.解得x=20.V2015.洵船不改变航线维续向东航行，没有触沙的危险.，Sf
28、ii一.选IM(共7小Ji)1 .如图.已知八8C的三个顶点均在正方形格点上.则下列结论悟误的为（）A.cosC=-g-B.（an（anC=IC.tanB=2D.sinB=5【答案】D（分析】先设小正方形的边长为1.利用勾股定理分别求出AC=V2.AB=22.HC=10,进而可得A8C为直角：角形.然后根W：.用函数的定义分别求出CoSGtan从umC,sinB.SinG进而可对题目中的四个选项进行判断，从而可褥出答案.【解答】解：设小正方形的边长为1.由勾股定理得：AC=1.z+I2=2.AR=22+22=2夜.BC=12+32=10.VACa=2,AB2=S,Bd=IO,AC2+Afi2=
29、BC2.八8C为F1.用三角形，1.Z=900.csC=近=而=丁放选项AjE确，不符合效意：.dAC421AB2Z-MB=Bc=2,anC=AC=TT=21.a111.anC=2=1.故选项8、C正确，不符合题急：.bAC找、疗-sm=Sc=Tio=T-故选项。错误，不符合期建.故选：D.2.在Rt8C中.NB=90。.已知4B=6.AC=10.则SinA的值为()【答案】八【分析】根据成意通出图形，进而利用锐角:用函数定义求解即可.【解答】解：如图所示：.YB=6AC=IO.8C=aC-82=8,33A.一B.-544C.-3Dg【答案】D【分析】根据锐角的余弦等邻边比斜边求解即可.【解答
30、】解：.M8=S,八C=4.4-5=故选：D.4. 1.an45。的值是（A.-2B.3C.ID.5【答案】C【分析】直珀利用特殊角的三角由粒值求解.【解答】解：tan450=1.故选:C.5.在RSA8C中，ZC=90o,如果SiM=需加么co3的伯是（）【答案】C【分析】由锐角的正弦定义得刎SinA=fIBi-BCi=4,即可得到CosA=第=2【解冬】解：如图，3-5;BC=3x.AH-5x.因勾股定理求出AC=ZC=9011,sn=AB3-5令8C=3xAB=5x,AC=yAH2-RC2=4x.AC4而=引故选：C.6.为洲楼房BC的居，在距楼房30米的八处，涮过楼顶B的仰角为如则楼贸
31、BC的居为（30sin米D.米Sina【答案】A分析利用所给角的正切函数即可求解.【解答】解：在RsABC中,有NBAC=a.AC=30.BC=30tana.故选：A.1 .已知cos4=g,则NA=()A.30B.45oC.60D.90【答案】C【分析】根据特殊向三向函数值.可得答案.【解答】解：由题意,WZA=60%故选：C.fSM(共5小Ji)8.若在平面直角坐标系.rQy中，已知点A2,1)和点B(4,0)，则SinNA80的值为_g_.【答案】【分析】根据题意而出直角坐标系.标出点4和点3坐标.作AD_1.r轴于。再根据三角南教解直角三角形即可求出.【解答】解：根据题激可同出口角型标
32、系，作A。J_4轴。，如图所示：-,.BD=2.在RI&W8中，由勾JS定理可得:；.AB=-Jad2+BD2=12+22=5,.r,z,D15sg80=前=秀=于故答案为：9. y4tfC.ZA,N8都是蜕角,cos=p.sin8=A8=8.则BC长为6.5.【答案】6.5.【分析】首先根据胭意画出示童图，作（T）IA8-I）.先在RtABe”中曲SinE=在RtAC/M小.设AQ=45Ta.C=41x.进而存8。-12同-HC-1.34Tr.求出X的值即可得出8C的长.【解答】解：过点C作（7）ABf点/）,如图:f1.:RtCD中，SinB=.tiuIj在R1.ACO人中，c(M=i.4
33、1设八。=4标即AC=4x,中勾股定理价：CD=Vac2-AD2=541.*.BD=i241x.BC=1341x,.Y8=8,.4TTX+1211x=8,.Ria=-82-C=1.341.r=6.5.4-S则IaM=故答案为：6.5.10. 在Rt八8C中，ZC=900.SinA=【答案】见试他解答内容【分析】根恻己知条件设出直角：.角形-直角边与斜边的匕.再界现勾段定理求出另咱角边的长.运用三角函数的定义解答.【解答】解：由SiM=g知.可设“=4M则c=5,b=3.a4x4.1.an4=5=-=-故答案为：511. r0o45o,J1.sin2=y.则=30度.【答案】30【分析】先根用60。的正弦值得到2=60,则=3（.然后利用30度的正切位求好.【解答】解：1.in2a=WOOv（X45。，2a=6On,a=30o.故答案为：30.2.1-Z【答案】600.【分析】直接利用特殊角的：角函数值得出答案.【解答】解：YcoS=二模角/A=60。.故答案为：60三.解答JK（共3小JS）13.计算:sin450cos45
