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1、29函数的应用举例2.9函数的应用举例教学目标1.能够运用函数的性质，指数函数，对数函数的性质解决某些简洁的实际问题.（1）能通过阅读理解读懂题目中文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学本，弄清题中出现的量及其数学含义.（2）能依据实际问题的详细背景，进行数学化设计，将实际问题转化为数学问题，并调动函数的相关性质解决问题.（3）能处理有关几何问题，增长率的问题，和物理方面的实际问题.2.通过联系实际的引入问题和解决带有实际意义的某些问题，培育学生分析问题，解决问题的实力和运用数学的意识，也体现了函数学问的应用价值，也渗透了训练的价值.3.通过对实际问题的探讨解决，渗透了数学建模的思想.提高了
2、学生学习数学的爱好，使学生对函数思想等有了进一步的了解.教学建议教材分析（1）本小节内容是全章学问的综合应用.这一节的出现体现了强化应用意识的要求，让学生能把数学学问应用到生产，生活的实际中去，形成应用数学的意识.所以培育学生分析解决问题的实力和运用数学的意识是本小节的重点，依据实际问题建立数学模型是本小节的难点.（2）在解决实际问题过程中常用到函数的学问有：函数的概念，函数解析式的确定，指数函数的概念及其性质，对数概念及其性质，和二次函数的概念和性质.在方法上涉及到换元法，配方法，方程的思想，数形结合等重要的思方法.事业本节的学习，既是对学问的复习，也是对方法和思想的再相识.教法建议（1）本
3、节中处理的均为应用问题，在题目的叙述表达上均较长，其中要分析把握的信息量较多.事业处理这种大信息量的阅读题首先要在阅读上下功夫，找出关键语言，关键数据，特殊是对实际问题中数学变量的隐含限制条件的提取尤为重要.（2）对于应用问题的处理，其次步应依据各个量的关系，进行数学化设计建立目标函数，将实际问题通过分析概括，抽象为数学问题，最终是用数学方法将其化为常规的函数问题（或其它数学问题）解决.此类题目一般都是分为这样三步进行.（3）在现阶段能处理的应用问题一般多为几何问题，利润最大，费用最省问题，增长率的问题及物理方面的问题.在选题时应以以上几方面问题为主.教学设计示例函数初步应用教学目标1.能够运
4、用常见函数的性质及平面几何有关学问解决某些简洁的实际问题.2.通过对实际问题的探讨，培育学生分析问题，解决问题的实力3.通过把实际问题向数学问题的转化，渗透数学建模的思想，提高学生用数学的意识，及学习数学的爱好.教学重点,难点重点是应用问题的阅读分析和解决.难点是依据实际问题建立相应的数学模型教学方法师生互动式教学用具投影仪教学过程一.提出问题数学来自生活，又应用于生活和生产实践.而实际问题中又蕴涵着丰富的数学学问，数学思想与方法.如刚刚学过的函数内容在实际生活中就有着广泛的应用.今日我们就一起来探讨几个应用问题.问题一：如图，是边长为2的正三角形，这个三角形在直线的左方被截得图形的面积为，求
5、函数的解析式及定义域.（板书）（作为应用问题由于学生是初次探讨，所以可先选择以数学学问为背景的应用题，让学生探讨）首先由学生自己阅读题目，老师可利用计算机让直线运动起来，视察三角形的变更，由学生提出探讨方法.由学生说出由于图形的不同计算方法也不同，应分类探讨.分界点应在算方法.，再由另一个学生说出面积的计当时，（采纳干脆计算的方法）当时，.（板书）（计算其次段时，可以再画一个相应的图形，如图）综上，有，此时可以问学生这是什么函数？定义域应怎样计算？让学生明确是分段函数的前提条件下，求出定义域为.（板书）问题解决后可由老师简洁小结一下探讨过程中的主要步骤（1）阅读理解；（2）建立目标函数；（3）
6、按要求解决数学问题.下面我们一起看其次个问题问题二：某工厂制定了从1999年底起先到2005年底期间的生产总值持续增长的两个三年安排，预料生产总值年平均增长率为，则其次个三年安排生产总值与第一个三年安排生产总值相比，增长率为多少？（投影仪打出）首先让学生搞清增长率的含义是两个三年总产值之间的关系问题，所以问题转化为已知年增长率为，分别求两个三年安排的总产值.设1999年总产值为，第一步让学生依次说出2000年到2005年的年总产值，它们分别为：2000年2003年2001年2004年2002年2005年（板书）其次步再让学生分别算出第一个三年总产值和其次个三年总产值二.（板书）第三步计算增长率
7、（板书）计算后老师可以让学生总结一下关于增长率问题的探讨应留意的问题.最终老师再指出关于增长率的问题常常构建的数学模型为增长率，其中为基数，为为时间.所以常常会用到指数函数有关学问加以解决.总结后再提出最终一个问题问题三：一商场批发某种商品的进价为每个80元，零售价为每个100元，为了促进销售，拟采纳买一个这种商品赠送一个小礼品的方法，试验表明，礼品价格为1元时，销售量可增加10%,且在肯定范围内礼品价格每增加1元销售量就可增加10%.设未赠送礼品时的销售量为件.（1）写出礼品价值为元时，所获利润（元）关于的函数关系式；（2）请你设计礼品价值，以使商场获得最大利润.（为节约时间，应用题都可以用
8、投影仪打出）题目出来后要求学生仔细读题，找出关键量.再引导学生找出与利润相关的量.包括销售量，每件的利润及礼品价值等.让学生思索后，列出销售量的式子.再找学生说出每件商品的利润的表达式，完成第一问的列式计算.解：.（板书）完成第一问后让学生视察解析式的特点，提出如何求这个函数的最大值（此出最值问题是学生比较生疏的，方法也是学生不熟识的）所以学生遇到思维障碍，老师可适当提示，如可以先详细计算几个值看一看能否发觉规律，若看不出规律，能否把详细计算改进一下，再计算中能体现它是最大?也就是让学生意识到应用最大值的概念来解决问题.最终将问题概括为两个不等式的求解即（2）若使利润最大应满意同时成马上解得当
9、或时，有最大值.由于这是实际应用问题，在答案的选择上应考虑价值为9元的礼品赠送，可获的最大利润.三.小结通过以上三个应用问题的探讨，要学生了解解决应用问题的详细步骤及相应的留意事项.四.作业略五.板书设计2.9函数初步应用问题一：解：问题二分析问题三分析小结：典型例题例1.如图，一动点自边长为1的正方形的顶点动身，沿正方形的边界运动一周，再回到点.若点的路程为，点式.到顶点的距离为，求两点间的距离与点的路程之间的函数关系分析：由于点故需分类探讨,分别在上移动时，相应距离计算方法是不同的，解：（1）当点在边上即时，也就是；（2）当点由勾股定理得在边上时，即时，.（3）当点在边上即时，由勾股定理得
10、.（4）当点在边上即时，有.说明：几何应用问题要留意实际问题对定义域的限制条件.对分界点的探讨应做到不重不漏.例2.将进货单价为20元的商品按30元一件销售时，一个月可卖400件.若这种商品的销售单价每变更1元，月销售量变更20件（降价时销售量增加，提价时销售量削减）为了获得最大利润，此商品的销售单价应定为多少元？分析：首先可以依据题意自己选择自变量（可以取提高的钱数也可选取销售单价）然后再把利润的计算搞清.利润二（原销售单价+提价-进货价）（原销售量-滞销量）.解：设销售单价提高元，则月滞销量为20件.由题意得即，当时，此时元.当每件商品售价提高5元即销售价定为35元时，月利润最大，最大利润
11、为4500说明：此题是商品销售的最典型问题.弄清各术语的意义及它们之间的关系是解决问题的关键.在正常状况下，上式中定义域的负值含义为降低，为零时，为不升不降.例3.某渔场养鱼，第一年：鱼的重量增长200%,以后每年的重量增长率是前一年增长率的一半.（1）当饲养4年后，鱼的重量是原来的多少倍?（2）假如由于某种缘由，每年损失预料重量的10%,那么经过多少年后鱼的总重量起先削减？分析：在实际问题中有关增长率的问题是较常见的.要解决这类增长率问题通常都会用到与指数函数相关的函数式率，其中是原来的基数，为增长为时间.解：设鱼原来的重量为，年后鱼的重量为则：.故四年后的重量是原来重量的倍.（2）由，得，
12、.故经过五年后鱼的重量起先削减.说明：对于增长率问题，可以先从一年一年的增长计算起先，在详细计算中再找出相应的规律列式计算.例4.汽车在行驶中,由于惯性作用，刹车后还要接着向前滑行一段距离才能停住，我们把这段距离称为刹车距离.刹车距离是分析事故的一个重要因素，在一个限速40千米/小时以内的弯道上，甲乙两辆汽车相向而行，发觉状况不对同时刹车，但还是相碰了.事发后现场测得甲车得刹车距离超过12米，乙车刹车距离略超过10米，又知甲乙两种车型的刹车距离（米）与车速（千米/小时）之间分别有如下关系：,问超速行驶应负主要责任的是谁？分析：此题关键在于题意的理解及向数学问题的转化.负主要责任即车速的比较应尽
13、量列出关于车速的不等式即可.解：据题意得和（2）由得或，由（2）得或.分别舍去负值可知千米/小时千米/小时.两车相比，乙车超过限速应负主要责任.例5.用汽船拖载重量都是且满载货物得小船若干只，在两港之间来回运输货物.若每次拖4只小船，则一天可来回16次，若每次拖7只小船，则一天可来回10次，且每天来回次数是每次所拖小船只数的一次函数，若每天每次所拖小船数不变，每天来回多少次，每次拖几只小船，才能使运货总重量达到最大，每天最大运货总重量是多少？分析：运货总重量与每天小船来回次数，每次所拖小船只数以及小船载重量有关.由于小船载重量为定值，所以详细求出每天来回次数与每次所拖小船只数的关系式是解决问题
14、的关键.解：设汽船每次拖只小船，每天来回次，每天的运货量为.由题意设，则有解得.于是.当时，此时.因此每天来回12次，每次拖6只小船，使运货重量最大，最大为72.说明：此题中所探讨的函数与多个自变量有关，可以通过寻求这些变量间的关系代入后达到削减变量个数的目的，最终形成与元函数求最大（小）值的问题.例6.工厂的质量检验车间积压着部分产品待检，与此同时，流水线传送带按定速度来待检产品.假如打开一部质检机，需半小时可使待检产品全部通过质量检验，同时打开两部质检机，只需10分钟便可将待检产品全部通过质量检验.现因生产须要在5分钟内将待检产品全部通过质量检验，此时最少要同时打开几部质检机？分析：每部质
15、检机每分钟质检产品件数，传送带每分钟送来的产品数是列式计算的关键.解：依题意，设积压的待检产品为件，每部质检机每分钟质检件，传来的待检产品每分钟增加件，则解得.若同时打开3部质检机，质检时间，将代入得，若同时打开4部质检机，质检时间，将代入得.故最少要同时打开4部质检机才能在5分钟内将待检产品全部通过检验.说明：对所列方程组，应将种处理策略.看作未知数求解，这也是处理多个变量问题的一扩展资料本节内容可以说是全章内容的综合应用.同时也是借此机会强化用数学的意识.为此在这里又为大家供应一些实际问题，虽然不肯定用函数学问解决，但都是依靠简洁的数学学问来加以解决的.（一）数学符号的妙用甲，乙，丙，丁与
16、小强五位同学一起竞赛象棋，每两人都要赛一盘，到目前为止，甲已经赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘，问小强赛了几盘？提示：将题意翻译成图形，用五个点代表五个人，竞赛过的两人之间用连线表示，如图：由图可知小强赛了两盘，是与甲和乙赛的.在此题中活用数学符号将能收到事半功倍的实效.（二）分类探讨的妙用把一张一角人民币换成分币，现有足够的1,2,5分币，问有多少种不同的换法？提示：可先按含5分币个数分类（分三类），再按2分币个数分类,可知共有10种换法.在此题中精确合理运用分类探讨思想是思索的关键，所以说数学无处不在.习题精选（1）某种商品1997年提价25%,1999年要复原成原价，则应降价
17、（）.（八）30%（B）25%（C）20%（D）15%（2）是实系数的的方程两个实根，记，那么函数是（）（八）（B）（C）（D）（3）某学生清早离家去学校上学，为熬炼身体,他先跑步，再步行，直到学校.在下列直角坐标系各图中比较符合该学生走法的是（）.中，表示该学生从家动身的时间，表示离学校的距离，那么下列（4）某物体一天中的温度是时间的函数：,时间单位是小时，温度单位是表示12：00,其后取值为正，则上午8时的温度为.（5）等腰直角三角形的周长为（定值），它的斜边为，写出这个等腰直角三角形的面积与间的函数关系式及定义域.（6）某不法商人将彩电先按原价提高40%,然后在广告中写上大酬宾八折实惠，结果是每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电原价是元.（7）在圆心为，半径为的半圆内有一内接矩形，它的一边在半圆的直径上，如图，让矩形一边长义域.，面积为，写出与间的函数关系式及定（8）凭火车票（从甲地到乙地）托运行李有以下规定（1）行李重量不超过50公斤，每公斤按0.1元收费；（2）行李重量超过50公斤，超过部分每公斤按0.2元收费.假如某乘客托运公斤行李，托运费为元，试求并说明的实际意义.参考答案（1）C（2）D（3）D（4）8（5）（6）2250（7）（8）=，=65,即65公斤行李需8元费用.
