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1、专题：一元二次方程的八种解法方法1形如X(5)3(x+1)2=1;=P或(InX+n)2=p(p妾0)时，用直接开平方法求解用直接开平方法解一元二次方程的三个步骤：(1)看：看是否符合2=p或(mx+n)2=p(p20)的形式；(2)化：对于不符合=p或(mxn)2=p(pO)形式的方程先化为符合的形式；求：应用平方根的意义，将一元二次方程化为两个一元一次方程求解.1 .用直接开平方法解下列方程：(1) x2-25=0;(2)4x2=1;(3)81x2-25=0;(2y3)2-64=0；(6)(3x+2)2=25;(x+1)2-4=0;(8)(2-x)2-9=0.方法2当二次项系数为1,且一次
2、项系数为偶数时，用配方法求解用配方法解一元二次方程的“五步法”移项：使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项.(2)化1：当方程的二次项系数不为1时，在方程的两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1.配方：在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，把原方程化成(x+n)2=p的形式.(4)开方：若p20,则两边直接开平方得到一元一次方程；若pV0,则原方程无解.求解：解所得到的一元一次方程，求出原方程的解.2 .用配方法解下列方程：(1)x2-2x-2=0;(2)x2-10x+29=0；(3)x2+2x=2;(4)X26x+1=2-15；3 .用配方法解下列方程:(1)3x2+6x-5=0;
3、1(2) x2-6x7=0.211(3) x2H-X=0；63(4) 2x23-6=0;方法3能化成形如(x+a)(x+b)=0时，用因式分解法求解用因式分解法解一元二次方程的“四步法”(“右化零，左分解，两因式，各求解”)4.用因式分解法解下列方程：(1)x2-8x=0;(2)5x2+20x+20=0;(3)(2+x)2-9=0;(5) x(x3)5(3x)=0;(6) 3(-2)+x2-2x=0;(7)x2-4=3(x-2).(8)(x+3)2=(1-2x)2.(4)(x+1)(x2)=x+1;方法4易化成一般形式(二次项系数不为1)时，用公式法求解用公式法解一元二次方程的四个步骤(1)化
4、：若方程不是一般形式，先把一元二次方程化为一般形式ax?+bxc=O(a0).(2)定：确定a,b,C的值.(3)算：计算b-4ac的值.(4)求：若b2-4acN0,则利用求根公式求出方程的根；若b-4ac0,则原方程没有实数根.5.用公式法解下列方程:(1)3x2-4x-2=0;(2)3x2-43x+4=0;x2+10=25x;(4) 2x(x+2)=3x；(5) (x+1)(2-6)=1;(6) x2+5x+18=3(x4).x2-4x+2=0;6.用合适的方法解下列方程:(1)(2x-1)2=16;(3)4x2+3x-2=0;(4)5(x-3)2=x2-9:(5)2x2-4x=4.(6
5、)x2-6x-16-0.一元二次方程主要有四种解法，它们的理论依据和适用方程的形式如下表:方法名称理论依据适用方程的形式直接开平方法平方根的定义x2=p(p0)或(mx+n)2=p(m0,p0)配方法完全平方公式与平方根的定义所有的一元二次方程，当化简后，一次项系数为偶数时，更便于运算公式法配方法所有的一元二次方程因式分解法如果两个因式的积等于0,那么这两个因式至少有一个等于0一边是0,另一边易于分解成两个一次因式的乘积的一元二次方程方法5用换元法解方程7 .【阅读材料】解方程：x4-3x2+2=0.解：设2=m,则原方程变为m2-3m+2=0,解得叫=1,m2=2.当m=1时，x2=1,解得
6、x=1.当m=2时，x2=2,解得=啦.所以原方程的解为XI=1,X2=-1,x3=J2,X4=-2.以上方法就叫做换元法，通过换元达到了降次的目的，体现了转化的思想.【问题解决】利用上述方法解方程(x2-2x)2-5x2+10x+6=0.8 .阅读例题，解答问题：例：解方程/一x|2=0.解：原方程化为x2-x-2=0.令y=IXI,原方程化成y?y2=0.解得y=2,y?=1(不合题意，舍去).|X|=2.*X=2.,原方程的解是=2,x2=-2.请模仿上面的方法解方程：(x1)251X1|-6=0.方法6用构造法解方程9 .若实数m,n,P满足m-n=8,mn+p2+16=0,求m+n+
7、p的值方法7用特殊值法解方程10 .解方程：(-2019)(-2020)=20212022方法8用特殊方法解一元二次方程11 .【注重阅读理解】阅读下列材料：将x?+2x35分解因式，我们可以按下面的方法解答：解：竖分二次项与常数项：X2=XX,-35=(-5)(+7).X-5乂爻叉相乘，验中项：X+7=7x5x=2x.横向写出两因式：x2+2x-35=(x+7)(x-5).我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法.试利用十字相乘法解下列方程：(1)x2+4x+3=0;(2) x25-6=0.参考答案：1.用直接开平方法解下列方程:解:x2=25,X=5,2=5.2555(3) V
8、81x2-25=0,.81x2=25,则x?=-,.*.x1=-,x2=一一.8199(4)方程整理，得(2y3)2=64,开方得2y-3=8或2y-3=-8,解得=5.5,Va=-2.5.11?4(5)解：(x+1)2=-,x1=-,X1=,X2=.9333(6)解：3x+2=5或3x+2=5,x1=1,x2=-1.解：(x+1)2=4,x+1=2或x+1=2,X=1,X2=3.解：(2-)2=9,(8)2x=3或2X=-3,Xl=1,x2=5.2.解：原方程变形为2-2x=2,x2-2x+1=3,(X1)2=3,.-1=S,*i=13,x2=1-3.移项，得2-1OX=-29.配方，得x2
9、-10x+25=-29+25,(x-5)2=-4.,原方程没有实数根.(3)配方，得x2+2x+1=2+1,(x+1)2=3.x+1=3.x1=V3-1,x2=-V3-1.(4)(x4)2=0,.x1=x2=4.53.原方程变形为3x+6x=5,x2+2x=-,32+2x+1=,.(x+1)2=5,.x+1=2,33326x=1+入x=133原方程变形为l2-6x=7,xVa=3,b=-43fc=4,=b2-4ac=(43)2-434=0,x1=X2(3)解：X22x+10=0,a=1,b=-2y5fc=10,-12x=14,2x2-12x36=50,(x-6)2=50,-6=5,x1=65,
10、2,x2=6-5/2.(3)原方程变形为x2+-=-,63x2+l+()2=l+(K63+K,14423,210._2+10一，.X一3317.1.xd=,.*.X1=-,12122(4) (x芋=竺淮416444.解：(1)Vx2-8x=0,.x(-8)=0,4x=0或x8=0,x1=0,x2=8.(2)解：(x+2)2=0,x1=x2=-2.(3)解：(x+5)(X1)=0,x1=-5,X2=1.(4)移项得(x+1)(x2)(x+1)=0,(x+1)(-21)=0,.*.X1=1,x2=3.(5) VX(x3)5(3x)=0,；X(x3)+5(x3)=0,(X3)(x5)=0,，x3=0
11、或x+5=0,x1=3,X2=5.(6)原方程变形得3(x-2)+x(x-2)=0,即(X2)(x+3)=0,，x2=0或X+3=0,x1=2,x2=-3.原方程变形得(X2)(x+2)3(-2)=0,(-2)(x+23)=0,.-2=0或x1=0,x1=2,x2=1.(8)移项，得(x+3)2(1-2x)2=0,(x+3+12x)(x+31+2x)=0,.(-+4)(3x+2)=0,-+4=0或3x2=0,2x1=4,X2=.35.解：(1).a=3,b=-4,c=-2,=b2-4ac=1624=40,x=6一45=232X33V=(-25)2-4110=-200,工此方程无实数根.(4)V
12、2x(x+2)=3-,2x2+5x-3=0,a=2,b=5,c=-3,=b2-.1=-,x2=-3.24ac=25+423=49,.-549-57.X=44(5)整理得2x?4x7=0,Va=2,b=4,C=-7,：.=b2-4ac=(-4)2-42(-7)=72,.,472-232._2+3也232X,Xi,(6)整理得2+2x+6=0,Va=1,b=2,c=6,=b2-4ac=22-416=-200,.-341.-3+41-3-41X,Xi,X?(4)解：5(x-3)2=(x+3)(x-3),移项，得5(x3)2(x+3)(x3)=0.(x3)5(x3)(x+3)=0,即(X3)(4x18
13、)=0.9，x3=0或4x18=0.X=3,x2=-2(5)解：原方程可化为2-23x=4,即2-2-4=0.b2-4ac=(2)2-41(-4)=8+16=24,；.x=2啦;2加.9.y=2+f2=2-y6.(6)解：方法一：因式分解法.原方程可变形为(-8)(x+2)R,.-8R或x+2=0,解得x1=8,x2=-2.方法二：配方法.原方程可变形为：x2-6x+9=16+9,即(X-3)2=25.-3=5,解得x1=8,x2=-2.方法三：公式法.b2-4ac=(-6)2-4X1X(-16)=100,x=二10.解得x1=8,2=-2.7 .解：a?2x)252+10x+6=0,整理,得
14、(x?2x)25(x?-2x)+6=0.设22x=m,则原方程变为布-5由+6=0,解得岫=3,m2=2.当m=3时，X22x=3,解得x=3或x=-1;当m=2时，x2-2x=2,解得x=13所以原方程的解为X=3,x2=-1,x3=1+3fx4=1y.8 .解：原方程化为-1r-5-l-6=0.令y=|x1|,原方程化成5y6=0.解得y=6,yz=-1(不合题意，舍去).-1=6.-1=6.解得X=7,X2=-5.，原方程的解是X=7,x2=-59.解：m=n+8：nz+8n+16+pJ。n+4=0,p=0.*.n(n+8)+p2=-16(n+4)2+p2=0解得n=-4,p=0,m=n+8=4mn+p=010 .解：=一的解一定是原方程的解，解得x=4041%-2020=2021x-2019=-2021X-2020=-2022的解一定是原方程的解，解得产-2Y原方程最多有两个实数根；原方程的根为Xi=4041,x2=-2.11 .解：(1)x2+4x+3=0,分解因式，得(x+1)(x+3)=0,.x+1=0或x3=0,解得Xi=-1,x2=-3.(2)x2+5x-6=0,分解因式，得(x+6)(X-I)=0,x+6=0或X1=0,解得Xi=-6,x2=1.
