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1、3.1.1 两角差的余弦公式一、教材分析两角差的余弦公式是人教A版中学数学必修4第三章三角恒等变换第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式第一节课的内容。本节主要给出了两角差的余弦公式的推导，要引导学生主动参加，独立思索，自己得出相应的结论。二、教学目标1 .引导学生建立两角差的余弦公式。通过公式的简洁应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打好基础。2 .通,过课题背景的设计，增加学生的应用意识，激发学生的学习主动性。3 .在探究公式的过程中，逐步培育学生学会分析问题、解决问题的实力，培育学生学会合作沟通的实力。三、教学重点难点重点两角差余弦公式的探究和简洁应用。难点探究过
2、程的组织和引导。四、学情分析之前学习了三角函数的性质，以及平面对量的运算和应用，在此基础上，要考虑如何利用随意角,的正弦余弦值来表示cos（-/7）,坚固的驾驭这个公式，并会敏捷运用公式进行下一节内容的学习。五、教学方法1.自主性学习法：通过自学驾驭两角差的余弦公式.2探究式学习法：通过分析、探究、驾驭两角差的余弦公式的过程.3.反馈练习法：以练习来检验学问的应用状况，找出未驾驭的内容及其存在的差距六、课前打算1 .学生打算：预习两角差的余弦公式，理解两种方法的推理过程。2 .老师打算：课前预习学案，课内探究学案，课后延长拓展学案。七、课时支配：1课时八、教学过程（一）创设情景，揭示课题以学校
3、教学楼为背景素材（见课件）引入问题。并针对问题中的CoSl5用计算器或不用计算器计算求值，以激趣激疑，导入课题。老师问：想一想：学校因某次活动的须要,需从楼顶的C点处往该点正对的地面上的A点处拉一条钢绳,为了在购买钢绳时不至于奢侈,你能算一算究竟须要多长钢绳吗？（要求在地面上测量,测量工具:皮尺,测角器）问题：（1）能不能不用计算器求值：cos450,cos30,cos15（2）cos（450-30）=cos45-cos30是否成立？设计意图：由给出的背景素材，使学生感受数学源于生活，又应用于生活，唤起学生解决问题的爱好，和抛出新学问引起学生的怀疑，在爱好和怀疑中，激发学生的求知欲，引导学习方
4、向。（二）、研探新知1 .三角的数线法：问:怎样作出角a、a一夕的终边。怎样作出角a-夕的余弦线OM怎样利用几何直观找寻OM的表示式。设计意图：尽量用动画课件把探究过程展示出来，使学生能从几何直观角度加强对公式结构形式的相识。(1)设角。终边与单位圆地交点为Pi,NP0=A则NpOX二。一。(2)过点P作PN1.1.X轴于点M,那么OM就是a/的余弦线。(3)过点P作PA_1.0P】FA,过点A作ABJ1.X轴于B,过点P作PC_1.AB.于C那么OA表示cos?,AP表示Sin夕，并且NPAC=N6。=a.于是OM=OB+BM=OB+XP=OAcosa+APsina最终要提示学生留意，公式推
5、导的前提条件：a、a-夕都是锐角，且a?2 .向量法：问：结合图形，明确应选哪几个向量，它们怎么表示？怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到结果。对探究的过程进一步严谨性的思索和处理，从而得到合理的科学结论。设计意图：让学生经验利用向量学问解决一个数学问题的过程，体会向量方法解决数学问题的简洁性。如图,建立单位圆0贝!OA=(cosa,sina),O8=(cos/,Sin/)由向量数量积的概念，有由向量数量积的坐标表示”有因为1、夕、都是任意角，所以。一夕也是随意角，但由诱导公式以总可找到一个0,211),使得cos=cos(a-)o于是对于随意角。、夕都有例1.利用差角余弦公式求COSl5的
6、值(求解过程让学生独立完成，留意引导学生多方向、多维度思索问题)解法1：解法2：变式训练：利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式：(1)COS)=sin；(2)cos(2-a)=cosa247rS例2.已知Sina=W,(,11),cos=-,第三象限角，求CoS(a-7)的值(让学生联系公式C(a”)和本题的条件，考虑清晰要计算cos(a-7),应作那些打算。)又由cosp=q,是第三象限角，得si“=一1一cos?0=一卜(总=-j3(5、4/12、33所以cos(a-77)=CoSaCOs+sinasin7=()+=-513y5、13,65让学生结合公式cos(a-夕)=cosacos+s
7、inasin,明确须要再求哪些三角函数值，可使问题得到解决。17变式训练：已知Sine=,。是第二象限角，求Cos（O-K）的值（三人质疑答辩，排难解惑，发展思维1.利用两角和（差）的余弦公式,求cos75,cosl05【点评】：把一个详细角构造成两个角的和、差形，式，有许多种构造方法，例如:cos1050=cos（1500-45）,要学会敏捷运用.2 .求值cos75cos300+sin750sin30（-）3 .化简cos（+力）cos尸+sin（+4）sin?（CoSa）提示：利用拆为思想cos7=cosKa+P）-的变换技巧（设计意图：通过变式训练，进一步加深学生对公式的理解和应用，体
8、验公式既可正用、逆用，还可变用.还可使学生驾驭“变角”和“拆角”的思想方法解决问题，培育了学生的敏捷思维品质，提高学生的数学沟通实力，促进思维的创新。）（四）发导学案、布置预习本节我们学习了两角和与差的余弦公式，要求同学们驾驭公式的推导，能娴熟运用公式Ga.0，留意公式的逆用。在解题过程中留意角。、力的象限，也就是符号问题，学会敏捷运用.课下完成本节的课后练习以及课后延展作业，课本P.习题（设计意图：布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高。老师课后刚好批阅本节的延长拓展训练。）九、板书设计两角差的余弦公式1.三角函数线法例1,变式训练当堂训练1.2.3.4.十、教学反思2.向量法例2变式训练
9、本节主要考察如何用随意角,夕的正弦余弦值来表示cos（-/）,回顾公式CQB）的推导过程，视察公式的特征，留意符号区分以及公式中角,A的随意性，特殊要留意公式既可正用、逆用，还可变用（即要活用）.还要留意驾驭“变角”和“拆角”的思想方法解决问题.设计意图：让学生通过自己小结，反思学习过程，加深对公式及其推导过程（包括发觉、猜想、论证的数学化的过程）的理解。十一、学案设计（见下页）两角差的余弦公式课前预习学案一、预习目标预习两角差的余弦公式，体会两角差的余弦公式的推导过程，尤其是向量法的运用。二、预习内容阅读课本相关内容，经验用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，进一步体会向量方法作用，并回答以
10、下问题：1 .加何用随意角,的正弦余弦值来表示cos(-尸)；2 .如何求出CoSl5的值；3 .会求sin75的值吗？三、提出怀疑怀疑点怀疑内容课内探究学案一、学习内.容通过公式的简洁应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打好基础。二、学习过程探究一：(1)能不能不用计算器求值：cos450,cos30,cos15(2) cos(450-30)=CoS45-COS30是否成立？探究二：两角差的余法公式的推导1 .三角E数线法：问：怎样作出角a、B、-的终边。怎样作出角a-的余弦线OM怎样利用几何直观找寻OM的表示式。2 .向量法：问：结合图形，明确应选哪几个向量，它们怎
11、么表示？怎样利用向量数量积的概念和计算公式,得到结果。对探究的过程进一步严谨性的思索和处理，从而得到合理的科学结论。例题整理例1.利用差角余弦公式求COS15的值变式训练：利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式：(1)CoSg-)=sin；(2)cos(2-a)=cosa变式训练：已知sin。=,，是第二象限角，求Cos(O-X)的值。173三、反思总结本节主要考察如何用随意角,的正弦余弦值来表示COS(-夕)，回顾公式ca-)的推导过程，视察公式的特征，留意符号区分以及公式中角。，A的随意性，特殊要留意公式既可正用、逆用，还可变用(即要活用).在求值的过程中，还要留意驾驭“变角”和“拆角”的思
12、想方法解决问题.四、当堂检测1 .利用两角和(差)的余弦公式，求cos75,cosl052 .求值cos75cos30+sin75sin303 .化简cos(+/)CoS4+sin(+J)sin?课后练习与提高一、选择题1.cos50cos200+sin50sin20的值为()2 .cos(-15)的值为(A6-瓜r瓜-五r44Cn%12r113 .已知CoSa=一,0,13I2)5217272AD.1一132626)R+近D瓜+立44JT则cos(-1)的值等于()72D.13二、填空题4.化简cos(+30)cosa+sin(+30)sina=5 .若=(cos60,sin600),/?=(CoSI5,Sin15),三、解答题、,口*.2(y73(6 .已知Sma=一(肛5Jcos夕=,则Q.=O,gj,求cos(-尸)的值.
