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1、案例二精析精练课堂合作探究重点难点突破知识点一空间向量的直角坐标运算（1）单位正交基底：在空间直角坐标系。孙Z中，分别沿X轴，y轴，Z轴的正方向引单位向量,这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底，i,A,这个基底叫做单位正交基底。单位向量i,/,A都叫做坐标向量。（2）设。=,%,%）=（也也），那么有+b=（+伪,4+如%+）；a-b=（ax-bva2-b2,a3-b3）;Aa=（al,Aa29Aa3）；ab=axbl+a2b2+a3b30（3）设A（XI,凹，4）,3（,，22）,那么AB=QB-QA=（X2%,%一Y,Z2-zJ,可简记作：终点坐标减去起点坐标。知识点二平行与垂直
2、的条件1.设4=（4M2M3）b=（A也也），由向量共线定理知80）u=劝，用坐标表示，得4=bvaHb（b声O）Oa2=徵,。3=J3当b与三个坐标平面都不平行时,aiibo包=丛,可简记作对应坐标成比例。瓦匕2A2.设=（。,。2，。3），6=01也也），那么由J匕。0=0,得两向量垂直的坐标形式为：4_1.bO01Z+a2b2+a3b3=Oo知识点三长度与夹角（I）设。=（。1，。2，。3普二（4也也）,那么时=J+/+a；,Ml=J厅+区。（2）设A（Xl，M，Z），Mx2，y2，Z2）,那么没8=1（工2一内）2+（）2一）2+（22-21）2。（3）设。=（4,21=（4也，）,那
3、么CoS（a,。）=fHg=I6tg好土z丽曲易君正透逶注意根据CoSsM=ab,求由伍的余弦值后,应根据3少o,T来确定。,力)的值，如假设求出cos(M=g,那么CoS(M=2,而不是2QrqkZ)典型例题分析题型1空间直角坐标的概念【例1】在正四棱锥P-ABC。中，。为底面中心，底面边长和高都是2,E,F分别是侧棱PAP3的中点，分别按照以下要求建立空间直角坐标系，写出点A,5,C,D,P,E,厂的坐标。(1)如甲图，以。为坐标原点，分别以射线DAoCO尸的指向为/轴、y轴、Z轴的正方向，建立空间直角坐标系；(2)如乙图，以。为坐标原点，分别以射线OAO区。尸的指向为X轴、y轴、Z轴的正
4、方向，建立空间直角坐标系。解析要求空间某一点M的坐标，只要求出以原点。为起点、”为终点的向量质的坐标即可，设，i,Z分别是与X轴、y轴、Z轴的正方向方向相同的单位坐标向量。答案U)因为点3在坐标平面Xoy内，且底面正方形的中心为。、边长为2,所以OB=i+j,所以丽的坐标为(1.1,0),即点3的坐标为3(1,1,0)。同理可得A(1.TO),C(-1,1,O),D(-l-l,0)o又点尸在Z轴上，所以丽=2人,所以丽的坐标为(0,0,2),即点P的坐标为尸(0,0,2)。因为尸为侧棱尸8的中点，所以而=g(而+5*)=g(i+/+2Z)=$+g/+A:,所以点尸的坐标为尸(g,g,l)同理点
5、E的坐标为Ej1.,工,1(22故所求各点的坐标分别为2,2A(1.TO),8(1,1,0),C(-1J,O),O(TTO),P(0,0,2)Wg,1(2)因为底面正方形ABCo的中心为0、边长为2,所以04=J5。由于点A在X轴的正半轴上，所以诙=JIi,即点A的坐标为(,0,0)。同理可得B(0,2,o)c(-2,O,o)d(o-2,o)P(,2)0因为E为侧棱尸A的中点，所以无=躯+词=g(+2%)=争+Z,所以点上的坐标为/00,112。同理点尸的坐标为o,也,】。故所求各点的坐标分别为12JI2)(2,0,0)B()-2,0)C(-2,0,0),D(0-2,0)P(0,0,2),E0
6、)/。规律方法总结同一几何图形中，由于空间直角坐标系建立的不同，从而各点的坐标在不同的坐标系中也不一定相同，但其实质是一样的。建立空间直角坐标系的关键是根据几何图形的特征，尽量先找到三条互相垂直且交于一点的线段，如假设找不到，就要想方法构造。【变式训练1】如以下图，在棱长为2的正方体A8CO-A4G。中，以底面正方形向量。由于点5在XABCD的中心为坐标原点。，分别以射线O3,OC,AA的指向为X轴、y轴、Z轴的正方向，建立空间直角坐标系。试写出正方体八个顶点的坐标。答案设i,/次分别是与X轴、y轴、Z轴的正方向方向相同的单位坐标因为底面正方形的中心为0、边长为2,所以OB=60轴的正半轴上，
7、所以为=JT,即点5的坐标为MJ5,o,o).同理可得C(O,o)o(-,o,o)a(o,-J,o),又函=无+函=+2Z,所以函=(及,0,2),即点用的坐标为用/5,0,2)。同理可得G(0,&，2)D1(-2,0,2),A(0-2,2)o题型2空间向量的坐标运算【例2】A,3,C三点的坐标分别为4（2,1,2）,8（4,5,-1）,。（一2,2,3）。分别求点。的坐标，使:（1） 5B=（ab-ac）;（2） AD=（B-Ac）o解析因为一个向量的坐标等于表示这个向量的终点坐标减去起点坐标，所以此可先求出向量丽,而1的坐标，然后由历,而的坐标表示式求出点。的坐标。答案由A,民C三点的坐标
8、可得Q=（2,6,-3）衣=（一4,3,1）。（1）因为历=；倔一衣）=g（6,3,-4）=（3,|,-2）,所以点O的坐标为0（3,|,-2）；（2）因为历=苏+而，又5B=1.（衣），27所以丽=（2,-1,2）+卜,|,-2）=（5,3,0）,所以点Q的坐标为Q（5,g,o）规律点拨而以坐标原点为起点，所以丽的坐标就是点。的坐标；而以A点为起点，此时而的坐标不是点力的坐标，点。的坐标应该是诟的坐标加上起点A的坐标。另外第（2）题也可以设出点O的坐标，然后用方程的思想求解。【变式训练2】苏=（2,5,3）,为=（3,2,5）,假设在线段48上存在一点。，使而i=35,求点C的坐标。答案因为
9、元=3无，所以无一次=3（而一5己），化简，整理得灰=；炽+3丽）。又苏二（2,5-3）,OB=（3-2,5）,所以灰=；（2,53）+3（3,-2,5）二（，,一；,3）。（111、所以点C的坐标为C,一一,3OU4J题型3共线【例3】A（1.o,0）,8（0,1,0）,C（0,0,2）,求满足08AC,0C7AB的点。的坐标。解析由条件OBAC,OCA8,得丽元,友7/M,这样可用向量共线的充要条件得到关系式，求解可得结论。答案设点。（x,y,z）,那么元=（一1。2）,布=（-1,1,0）,方=（-x,l-y,-z）,DC=（-x-y,2-z）o因为DBIlAC,DCHAB,所以DB=A
10、C,DC=AB,由此可得(-x,l-z)=(-,0,2-y,2-z)=(-4,4,0),所以X=ZI=,y=l,z=2,24=-z,解之，得/=4=一1,从而所求点。的坐标为。(一1,1,2)。规律总结设4=(4,。2，。3)，二01也也)，那么MaWO)U仿=刊，仇=也=而3(%氏)。设出所求点的坐标，根据向量共线的充要条件得出关系式，然后再用方程的思想进行求解。此题采用的方法是用向量坐标处理空间向量共线问题的常用方法。【变式训练3。二(1,一1,2),匕=1,盘3卜二。+。,=而+3,试求实数；I的值，使“d答案c=f2-,51J=(2+2-A+1,22+6)o由cd,得=彳=,解题4=2
11、。I2J252题型4数量积与垂直的坐标表示【例4】向量=(1,2,-2),力=(-2,-4,4),c=(2,x,-4),(1)判断与b的位置关系；(2)假设。C,求c;(3)假设。_1.C,求C在方向上的投影。解析运用共线向量定理解决共线问题，运用数量积的结果可判定两个向量是否垂直。答案(1)因为=(l,2,-2)乃二(-2,-4,4),所以人=(-2,-4,4)=-2(1,2,-2)=-2。,所以ab；(2)因为。C,所以-=-=,解之，得x=4,所以c=(2,4-4),从而12-2=2242(-4)2=6;(3)因为力_1.c,所以hc=0,所以(-2,-4,4)(2,x,-4)=-4-4
12、x-16=0,解之得工=一5,所以c=(2-5,-4),所以C在。方向上的投影为IdCOS凡c)=MX*jd(心-2)(2,-5,-4)_2-10+8.0#+22+(-2)23规律总结要解决与向量有关的问题，必须牢固掌握相关的知识点和常规的方法。特别是在第小题中，要知道。在b方向上的投影公式为：网cos(，而b在。方向上的投影公式为“cos(,少。两个公式是不一样的，要注意体会。【变式训练4】OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),OP=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,(1)当而的横坐标为X时，用X表示而；(2)求当Q4QB取最小值时，OQ支的坐标。答案(1)因为点。在直线OP上运动
13、，所以而而。又而=(1,1,2)丽，的横坐标为X,所以而=X而=(x,x,2x)0(2)因为(24=0-2-x,3-2x)(2x,l-x,2-2x)=6x216x+104242*,448、%一一一一，所以当且仅当x=时，QAQ3取最小值一一，此时OQ=3,3331333，题型5夹角与模【例5】ij2是一个空间向量单位正交基底，向量4=i+j4,力=i-2+2Z,求向量。与b的夹角。；(2)求向量。与。分别所在直线的夹角。解析求向量。与人的夹角，可以先确定它们的坐标，然后用两个向量的夹角公式求解。答案(1)因为ij%是一个空间向量单位正交基底，向量Q=i+-4Zs=i-2+2Z,所以n=(l,l
14、,-4),=(1-2,2),所以CoSe=COSb=abll+l(-2)+(-4)2-2介+产+.+SS一亍3TT所以6=。4TTJT(2)由于向量。与b所在直线的夹角为0,-,所以向量。与所在直线的夹角。=上。_2j4规律总结单位正交基底的表示与向量的坐标表示实质上是一样的，只在于形式上的区别。两个向量之间的夹角范围是0,乃,而两条直线之间的夹角范围为0,y。用向量方法求两条直线的夹角时，要注意上述两者之间的区别。第(1)小题中，cos。二一二，说明向量。与b之间的角。是一个钝角，而这两个向量所在的直线2之间的角即为九6。【变式训练5】ij2是一个空间向量单位正交基底，向量a=2i3/力=加
15、+3%,假设向量。与人所在直线的夹角为60,试求机的值。答案由题意知，=(2,-3,),Z?=(w,0,3),cos600=等_5=宿。I明13n2+9题型6综合应用【例61ABC的三个顶点A(I,-1,7)3(3,-2,5),。(2,-3,9)。(1)求AABC的各边之长；(2)求AABC的三个内角的大小；(3)写出AABC的重心G的坐标及外心用的坐标。解析应用空间两点间距离公式可求出三角形的三边长；根据三角形的三边长确定其形状，然后再根据其形状及向量夹角公式确定三角形三个内角的大小；根据三角形重心坐标公式确定其重心坐标，再根据三角形形状确定其外心坐标。答案(1)Q=(3,2,5)(1,1,
16、7)=(2,1,2),元=(2,3,9)(1,-7)=(1,2,2),BC=(2-3-9)-(3,-2,5)=(-1-1,4)。:.AB=AB=22+(-l)2+(-2)2=3,AC=AC=12+(-2)2+22=3,2 2)VBAC=(2-1,-2)(1-2,2)=2l+(-l)(-2)(-2)2=2+2-4=0,.ABAC9.ZBAC=90oO3 =CM&幽=瑞尚二(2,*2)(l,l)=2-1+8二行332922从而N8=45。，所以NC=45。所以ZA=900,ZB=ZC=45oo(3)设AABC的重心G(x,y,z),那么得：GCW)=用产。Za+Zb+Zc=(2-2,7)1+3+2
17、-1-2-37+5+9-3-，-3-，-3-)由第(2)小题知，AABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形，所以其斜边BC之中(55、点即为AABC之外心，故外心坐标为一,一一,722)规弹总结(1)求三角形内角的大小，可用向量的夹角公式求解，但是方向不能搞错，比方COSNB=COS(A8,8C)=号，那么/8=135。，这就错了。当然求出来的是锐角还是钝角，也可以根据三角形形状来确定。比方，此题由三角形边长确定其形状，从而确定其三内角的大小。(2)三角形的重心坐标公式是三个角顶点坐标的平均数。(3)直角三角形的外心是直角三角形斜边的中点。【变式训练6】在空间直角坐标系中，43,0,0),凤0,
18、4,0),。(0,0,2),尸(工,2)是平面川?。内任意一点，试求羽y,z满足的方程。答案据共面向量定理知，点P在平面48C内的充要条件是存在有序实数对(根,)使Q=机Q+而，即(3-3,XZ)=M-3,4,0)+(-3,0,2),x-3=-3m-3，由此得y=4，消去，几得方程4x+3y+6z12=0。Z=2n.规律方法总结(1)利用空间向量的坐标运算证明线线垂直(或平行)的方法：在空间的两直线4,4上，分别取对应向量Q=(q,4,c).b=(a2,h2,c2)o要证/J2,只需证1.b,即证b=0,也就是证明生+”鱼+。2=O；要证44,只需证。匕，且无公共点，即证明=而2，4=也，4=
19、%2(4尺)。(2)利用空间向量的坐标运算求两异面直线夹角的方法：可以分别在两条异面直线上取对应的向量(方向向量)，那么这两个向量的夹角(或夹角的补角)就是这两条异面直线所成的角，而两个向量的夹角,我们可以通过建立坐标系，利用空间两向量的夹角公式求得。假设两异面直线的方向向量分别为a=(4，A，cJtb(a2,b2,c2),应利用COSa=ICoSeI=JE2+%一!,以防止在问题的答案中出现两异面直线所成角为钝角或余弦值J4：+C12yE+6+为负值的错误。(3)利用空间向量的坐标运算求两点间距离的方法：两点AB,可设法确定这两点的坐标：A(x1,ypz1),B(x2,y2,z2),转化为求
20、向量鼐的模。即dAB=J(%2-XJ2+(为一yJ2+同一ZJo定时稳固检测第1课时空间向量的直角坐标运算根底训练1.点A(l,2,-UMOJ,2),那么向量AB的坐标为()A. (1,1,-3)C.(-1,1,-1)B. (-1,-1,3)D.(O,1,0)【答案】B1点拨：A=(-1-12,2-(-1)=(-1-1,3)o)2 .向量。的横坐标为0,那么向量。()A.与Xoy平面平行B.与Xoy平面垂直C.与XOy轴平行D.与R轴垂直【答案】A3 .下面各组向量共面的是(向量以。为起点)A.a=(l,2,3),b=(3,0,2)C=(4,2,5)B. a=(1,0,0),=(0,1,0),
21、c=(0,0,1)C. =(l,l,0),b=(1,0,1),c=(0,1,1)D. a=(1,1,1)二(IJ,0),C=(1.O,1)【答案】A点拨：c=a+bo)4 .向量=(2,-3,5)与向量匕=卜,45)平行，那么/1=。9【答案】-二(点拨：平行向量的坐标对应成比例。)25 .=(2-1,3),=(-4,2,x),c=(l,-x,2),假设(a+b)_1.c,那么X等于。【答案】一4(点拨：fl+/?=(-2,l,x+3),(tz+Z?)c=-2-x+2x+6=0,解得x=4。)能力提升6 .点M(-3,5,-7)关于平面Xoy对称的点的坐标是()A. (-3,0,-7)B. (
22、-3,5,7)C. (3,-5,7)D. (-3,-5,-7)【答案】B(点拨：点关于Xo)，面对称，x坐标变为相反数。)7.假设ABCo为平行四边形，且A(4,l,3),8(2,-5,l),C(3,7,-5),那么顶点。的坐标为(C. (一3,1,5)D. (5,13,-3)【答案】D（点拨：结合图形可得AB=反，故（一2,-6,2）=（3乐7y,5z）,.x=5,y=13,z=-3,）8 .f=i+2+3N玛=-2i+3j-k招=3i-4+5左，假设、F2,居共同作用在一个物体上，使物体从点Ml(I,-2,1)移到点M2(3,1,2),那么合力所作的功为O【答案】14(点拨：M1M2=(2
23、,3,1),Fl+F2-I-F3=F=(2,1,7),/.FM1M2=4+3+7=14o)9 .与向量。=(2,1,2)共线且满足。力=-18的向量Z?=。【答案】(-4,2,-4)1点拨：,.。.可设=(2%一%,2戈)，由匕=4x+x+4x=-18知，X=-2,/.b=(-4,2,-4)o)10 .正三棱柱A3C-A4G的各棱长都为11如右图)，“是底面上BC边的中点，N是侧棱CG上的点，且CN=1.CG。求证：ABlMN。【答案】设4AB=a9AC=b,AAl=c,那么由条件和正三棱柱的性质，得IN_14=W=Id=IMc=C=OOABi=a+c9AM=-(a+h),JAN=h+-c,=
24、-+-cos60+-=0o224AAB11.MNo笫2课时空间向量的直角坐标运算的应用根底训练1.到定点(1,0,0)的距离小于或等于1的点的集合为()A.x,y,zx-l)2+z2lBx,y,z)(x-l)2+z2=lC. 1(x,y,z)x2+y2+z21D. (x,y,z)(x-l)+y+zl【答案】A(点拨：设动点尸(x,y,z),那么由尸到定点Q距离IPq1得(xl)2+V+z2l)2.设A(3,3,l),8(l,0,5),C(0,l,0),那么AB的中点到C的距离ICMl为()5353.5313.B.C.D.4222【答案】B（点拨：设AB中点,那么ICDI=口4=J22+（g）+
25、32=孚。）3 .假设两点的坐标是A（3cos,3sindl）,5（2cosO,2sin6U）,那么的取值范围是（A.0,5B.1,5C.0,2D.1,4【答案】B（点拨：卜,=（2CoS，-3cosa）2+（2sin。-3Sina）*=4+9-12COS（夕一a）,.1研25,故.1W5）4 .4（1,0,0）,B（O,1,1）57+4丽与丽的夹角为120,那么；I的值为（）A.逅B.逅c-逅D.6666【答案】C（点拨：OAB=（y-,=-S）,A+OBOB=+=2,=2X+=i+22,1 （A+）22Cosl20o=-=J=1./,2 PA+；Ioq惘21+2262=10,故九=一直。）
26、6O5 .假设向量二（1,九2）/=（2,1,2）。/夹角的余弦值为,那么4等于。【答案】-2或2（点拨：d=J7,网=3,力=6-ZCOS（力）=0=噌=559间回/I,.4=-2或2。）577355能力提升6 .=（l般f）=（2）,那么M的最小值是【答案】W（点拨：-a=（lr,2z-l,0）,.a2=（1r）2+（2r-l）2=5r2-2r+2,1*29-*35BC=2,原点。是BC的中点，点A的坐标,点。在平7.如下图，面yz上，且A.当，=1.时,AB=-,.AB=o）5min55ZBDC=9(f,NOCB=30o.(1)求而的坐标；(2)求而与前的夹角6的大小。【答案】由Mo,o
27、),c(o,o).(1)过D作DE1.BC,VZDCB=30o,BC=2,G1.BD=1,那么DE=J,BE=-22(2)BC=(0,2,0),AD=.团KXOS画。58.RA5C中，AC=BC=I,ZBC4=90o,现将A48C沿着平面ABC的法向量平移到A48G位置，AA=2,分别取AI片,AA之中点P,Q。求（两瓦）之大小。【答案】以。为原点（1）求BQ的长。CoS（的,西）、cos（两,西），并比拟（旗,西）与（3）求证：AB1IC1PoO,建立如下图的空间直角坐标系。一孙Z,那么由得c(o,o,o),A(1,O,O),b(o,i,o),C1(0,0,2),p(,2f(1,0,1),4(0,1,2),4(102)。(1) =l2+(-l)2+l2=30(2) =0-1+2=l,B=3,又明函=0-1+4=3,又0阿,同。(3)又函不=(-1,1,2)(O0,.ABi-1.ClP,即A31.CP
