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1、微专题08函数解析式的求解策略【方法技巧与总结】函数解析式的求解策略有：(1)直接法：已知/*)的解析式，求/(g(x)的解析式类型，直接将g(幻整体代入f中的X；(2)待定系数法：即由已知函数类型设出函数解析式(通常是一次函数和二次函数类型)，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(或方程组)求出待定系数，进而得出函数的解析式；(3)换元法(或者叫配凑法)：已知抽象函数/(g(x)的解析式求f(x)的解析式，这个方法可以看成代入法的逆向思维，即令g(x)=z,反解出X,然后代入/(g(x)中得到了，进而得到/(x)的解析式；(4)解方程组法：该方法是针对含有关于两个不同变量的函数，而这两种
2、变量存在某种特定的关系，在中学阶段这种关系通常是互为相反数或者互为倒数，然后“互换”两个变量建立一个新的关于这两个变量的关系，通过解方程组消去一个变量，从而得到只含一个/的解析式，最后可以得到/(幻的解析式；(5)赋值法：赋值法是很常用的处理抽象函数之间的一种方法，对涉及任意量词(含X,y)题目，要特别注意可以通过赋特殊的值，求出特殊的值对应函数值，进而求出函数的解析式.【题型归纳目录】题型一：已知函数类型求解析式题型二：已知/(g(x)求解析式题型三：求抽象函数的解析式题型四：求解析式中的参数值题型五：函数方程组法求解析式【典型例题】题型一：已知函数类型求解析式例1.已知/(X)是一次函数，
3、2/(2)-3/(1)=5,2/(0)-/(-1)=-1,则/3=()A.3x+2B.3x-2C.2x+3D.2x-3【答案】D2攵+与-戈攵+力=5【解析】依题意，设f(x)=云+42/0,则有二,二1，解得2=2消=一3,2b-(-+b)=-所以f(x)=2-3.故选：D例2.设为一次函数，且/(/(M=4x-1.若3)=-5,则/(x)的解析式为()A.f(x)=2x-ll或/(x)=-2x+lB.f(x)=-2x+C.f(x)=2x-ID.f(x)=2x+【答案】B【解析】设f(x)=履+方，其中女工0,则f(f(x)=R(H+b)+=Z2x+(炒+)=4工一1,所以，=4kb+b=-
4、，解得=1b=3当左二一2时，/(x)=-2x+l,此时3)=-5,合乎题意；当1=2时,/(x)=2x-,此时/=*不合乎题意.综上所述，W=-2+1.故选：B.例3.如图，一次函数y=依+匕(女工0)的图象与反比例函数y=吐网(m0且，7)的图象在第一象限交X于点A、B,且该一次函数的图象与轴正半轴交于点C,过A、B分别作丁轴的垂线，垂足分别为七、(1)求加的值和反比例函数的解析式；(2)若点M为一次函数图象上的动点，求O历长度的最小值.【解析】(1)由已知点A(4,l)为函数y=贮网上的点，X解得：/H=4或m=T,4所以反比例函数的解析式为J=;X(2)因为A(4,l),所以AE=4由
5、已知ACDECEA相似，CE=4CD,所以E4=4Q8,所以08=1,故点8的横坐标为1,4又点5在函数y=；的图象上，所以3的坐标为。,4),因为点A5都在函数y=H+。的图象上，所以&+h=4,4k+b=l,所以2=1,b=5,所以O/=5,OC=5,IiuCOF为直角三角形，设点O到直线C尸的距离为d,则dx5*V=5x5,故d=：立,2又当OM_1.CF时，OW的长度最小，所以OM长度的最小值为逑.2例4.在“x+l)=(x)+2x-1,/(x+l)=l-力，且/(0)=3,x)2恒成立，且/()=3这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.问题：己知二次函数f(x)的图像经过
6、点(1,2),(1)求/(力的解析式；求/(x)在T”)上的值域.【解析】(I)选条件.设f(jv)=02+bx+c(aO),则f(x+)=a(x+)1+b(x+i)+c=ax2+(2a+b)x+a+b+c.因为/(x+l)=/(x)+2-1,所以Or*+(2a+h)x+8+c=02+zx+c+2xI,(2a=2a=所以解得7.因为函数小)的图像经过点(1.2)，所以/(l)=+b+c=l-2+c=2,得c=3.故F(X)=X2-2x+3.选条件.设F(X)=*+bx+c(aO),则函数外力图像的对称轴为直线X=-9.2a-A=2a由题意可得(0)=c=3f()=a+b+c=2a=1,解得卜=
7、一2.故f()=f-2x+3c=3选条件设Fa)=OV?+加+Haw。)因为/(0)=3,所以c=3./=+8+3=2rfl=1因为x)2=/恒成立，所以h,解得/0,=1O=T2aI故Fa)=X2-2x+3.(2)由(1)可知/(x)=x2-2x+3=(x-l)2+2.因为x-l,所以(x-l)20,所以(A：-l)2+22.所以/(x)在To)上的值域为2,+oo).例5设/(x)是一次函数，且/f(x)=4x+3,求/(x)的解析式.【解析】设f(x)=0r+6(0),则ff(x)=af(x)+b=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=4x+3i所以a2=4ah+h=3所以函数/(x)的
8、解析式为/(x)=2x+l或/(x)=-2x-3.例6.(1)已知/()是一次函数，且/V(x)=4x-1,求力；(2)已知/是二次函数，且满足f(O)=lJ(X+l)-f(x)=2x,求/*).【解析】(1)设f(析=+b(O),则f(fM)=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b因为f(%)=4x-l,所以办+力=4K-I所以2=4ab+b=-a=-2b=所以/(x)=2x-g或/(x)=-2x+l(2)设f(x)=ax1+hx+c(a0)由F(O)=I,得C=I由f(x+1)-f(X)=2x得(x+l)2+b(x+)+-ax2-bx-=2x整理，得20x+%=2x(2a=2
9、a=所以/n所以1.a+Z2=Ob=-例7.若二次函数3满足f(O)=l,f(x+l)-f(x)=2xf求/3.【解析】因为二次函数f(x)满足/(0)=1；所以设/(x)=2+加+1,则：f(x+)=a(x+)2+b(x+)+l=ax2+bx+l+2ax+a+b；因为F(x+D-/(X)=2x,所以0r2Zzr+1+2ax+a+b-ax2-bx-=2x侬=22ax+a+b=2x,.*.,八：.*.a=1,Z=-l；+b=0.f(x)=x2-X+.故答案为：x2-x+l.例8.(1)已知/(x)是一次函数，且满足/(x+l)2f(x1)=2r+3,求/(x)的解析式.(2)若二次函数g(X)满
10、足g(I)=1,g(-1)=5,且图象过原点，求g(X)的解析式.【解析】(I)设/(x)=kx+b(k0)f则/(x+l)2f(.-1)=k-k+b-2k-2k-2b=-kx+3kb,即一匕+3左一力=2x+3不论X为何值都成立，fk=2伙=2,k.,a解得oV(X)=-2-9.3-b=3,b=-9,(2)设g(X)=Or2+bx+c(00),Yg(1)=1,g(-a+h+c=,=3,：。-6+。=5,解得b=-2,c=0,c=0,，g(X)=3/-2x.题型二：已知/(g(x)求解析式例9.(多选题)若函数2x)=!(XW0),则()A呜)=15B./(2)=-C./Wzl2l(x)D./
11、f-(XT)xj【答案】AD1-,1-e【解析】令1-2=/工1),则X=,所以/2(-1)=5,口图象过原点,34r2t-1(x011)1)14Hl=-1,则/*Y-i)-故C错误;f-1=fl-1/(j)=15,故A正确；/(2)=3,故B错误;(X-I)2(XWo且XW1),故D正确.故选：AD.例10.已知/（FIT+1,则/（力的值域为.【答案】（1,共）【解析】令四，则1.i+/,所以J.=”,XXX所以)=(ff+,故/(X)的解析式为/(x)=(xT)2+l(xxl),其值域为(1,)故答案为：(l,+).例I1.已知/(x-)=f+*,求/(X)的解析式.【解析】(X-BJ=
12、X2+9-2,因为/卜-J=X2+摄=一B+2所以F(X)=X2+2,故答案为：X2+2.例12.已知f(77+l)=x+2,则/*)的解析式为()A.f(x)=x2-B./(x)=2-1(x1)C./(x)=x2-l(xl)D./(x)=x2-l(x0)【答案】C【解析】因为/(7+1)=x+2=(6+1J-1令=7+l(fl),所以/(z)=(f)所以力=3T(X1)故选：C.例13.已知函数f（x+2）=Y+6+8,则函数“力的解析式为（）A. /(x)=x2+2xB. f(x)=x2+6x8C./(x)=x2+4xD./(x)=x2+8x+6【答案】A【解析】方法一(配凑法)(x+2)
13、=2+6+8=(x+2)2+2(x+2),.*./(x)=X2+2x.方法二(换元法)令2=X+2,则X=2,/(r)=(r-2)26(r-2)+8=r2r,：.f(x)=X2+2x.故选：A例14.若函数/1+|=/+，且/(间=4,则实数机的值为()A.6B.瓜或-瓜C.-6D.3【答案】B【解析】令x+1=(92或f-2),2+-1.=fx+lY-2=r2-2,.()=f2-2,/(zn)=w2-2=4,XXX)：.m=y.故选；B例15.(x)=2x+3,(x+2)=(x-l),则g()=()A.21x1B.2x-3C.2x1D2x+3【答案】B【解析】因为x)=2x+3,所以XT=2
14、(l)+3=2x+l又因为g(x+2)=(x-l),所以g(x+2)=2x+l,令x+2=f,则X=，一2,g(r)=22)+l=2T所以g(x)=27故选：B.题型三：求抽象函数的解析式例16.已知/(。)=1,对于任意实数工，上等式/-y)=()r(2r+),求/()的解析式.【解析】对于任意实数m”等式f(-y)=3-y(2-y+l)恒成立，不妨令X=O,则有/(-y)=(0)-y(-y+l)=l+y(y-l)=y2-yl再令-y=x,得函数解析式为：f()=2+l.例17.定义在实数集上的函数/(x)的图象是一条连绵不断的曲线，xR,/(x)3+x6=(x)2+x7(x),且力的最大值
15、为1,最小值为0.求”1)与f(T)的值；(2)求/(x)的解析式.【解析】令X=1,则r()+=r+/，得尸(/=/-(/(1)+1)(/(1)-1)2=o,o(1)=1令K=T,则3()+=2(f+(),同理T)=1；(2) _f(x)+-V6=/()2-X6f(x)得f2()-6r()=o,gp(x)()(x)-l=O这说明DXWR“X)至少与1.X3,3其中之一相等力的最大值为1,最小值为0，在区间(Yo,1和1.+oo)上，定有/(x)=lx)=0只能在X=O处取得，因此0)=0又Y函数/(力的图象是一条连绵不断的曲线l,x(-,ll,+)“力的解析式为/(X)=3,Xe(TO)3,
16、0,1)例18.已知函数y=f(x)满足：对一切实数。、b,均有/(+Zo-/。)=。(。+1)成立，且1)=0.求函数y=()的表达式；解不等式/(x-3)v4.【解析】由已知等式f(+b)-0)=(+2b+l),令=l,b=0,得f(l)/(0)=2.又/(1)=0,所以/(0)=-2.再令6=0,可得f()-f(0)=(+l),即)=(+l)-2.因此，函数y=(x)的表达式为/(x)=x(x+l)-2.因为f(x)=x(x+l)-2v4的解集为(一3,2),所以令-3vx-3v2,解得IVXV5,即原不等式的解集为。,5).例19.已知函数人外对一切的实数X,九2f(x+y)-f(x-
17、y)=x2+y2+6xy+x+3y-2,且/(0)=-2.(1)求人2)的值；(2)求/()的解析式:(3)求幻在卜3,1)上的值域.【解析】(I)令x=y=l,贝J2f(2)-/(O)=I+1+6+1+3-2=10,f(0)=-2,./(2)=4;(2)令y=0则2(x)-(x)=2+-2,.()=2+-2:(3) /CO对称轴为=-不w,9二f(X)min=，/(X)max=4,9f()e一:，4.4例20.函数/(可对一切实数x，y都有f(x+y)-f(y)=(x+2y+l)x成立，且/=0.求/()的解析式;【解析】令X=1,y=0,则/(1+0)_/(O)=(I+0+l)l,即0-/
18、(0)=2,.f(0)=-2.令y=0,则/(x)-/=(x+l)x=x2+x,(x)=x2+x-2.例21.已知函数/在定义域R上单调，且X(0,”)时均有“f(x)+2x)=l,则/(-2)的值为()A.3B.1C.0D.-1【答案】A【解析】根据题意，函数/V)在定义域R上单调，旦XW(O,+co)时均有/(f(x)+2x)=1,贝J(x)+2x为常数，设f(x)+2x=r,则/(x)=-2x+f,则有，=-2r+r=l,解可得一一1,则f(x)=-2x-l,i(-2)=4-l=3:故选：A.例22.已知函数/(可在R上是单调函数，且满足对任意xgR,都有/f(x)-3x=4,则/的值是
19、()A.2B.4C.7D.10【答案】C【解析】/(x)在R上是单调函数，.可令/(x)-3x=/,.J(x)=3x+f,.(z)=4r=4,解得：/=1,(x)=3x+1,.(2)=32+l=7.故选：C./、/、/(0.5)C/(1)Cf(0.5n)C例23.已知函数)，=)，且八。)=2,瑞二2,瑞f2,，7(=2,eN则满足条件的函数/(x)的一个解析式为.【削析】由己知得3=3m=4殁=323回上生=42I/(0)/(0)/(0.5)/(0)/(0)/(0.5)/(1)/(1.5)/(3)=)(0.5)/(1.5)/(2.5)/:3/(0)/(0)/(0.5)*/(1)7(1.5)/
20、(2)7(2.5)-儒二4,又/(0)=2,./(X)=2x4”故答案为：/(x)=24x例24.若函数人幻满足VX,ytRJ(w)=()(y),写出一个符合要求的解析式/(X)=【答案】W答案不唯一)【解析】因为函数/(X)满足,yRJ(Xy)=/()(y),所以f()=,故答案为：X,答案不唯一题型四：求解析式中的参数值例25,已知函数f(x)=PX+里(p,9为常数)，且满足f=2)=工X24求函数/(X)的解析式；(2)若x0,关于X的不等式/(x)3-m恒成立，求实数?的取值范围./(1)=-P+q=-【解析】127,3解得(,c17AqI72)=W2H=T=2，函数/(X)的解析式
21、为KX)=2x7u).(2).x0,，由基本不等式可得/(x)=2x+2当且仅当2x=1-,即X=1时取等号，Ix2，当x0,函数/(x)=2x+4的最小值是2,2x要使心0,关于的不等式/(x)3-m恒成立，只需/(x)mh3-根,所以23-m,解得利实数机的取值范围是U,M)例26.已知函数f(x)=d+v2+加+c,且0(T)=(-2)=(-3)3,则()A.c3B.3c6C.69【答案】C【解析】由已知得/(-1)=/(-2)/(-1)=/(-3)-l6r-b+c=-84-2b+c-1+a-b+c=-27+9a-3b+cb=llX0(-l)=c-63,所以6(2r)=2,得/(2)+(
22、2)/(X)=2,将/(X)和/(2-x)看成两个未知数，可解得/(x)=3(xl),1-X当X=I时,/(2-l)(2-l)(l)=2,解得/=1,-2,x,综上，/(x)=(l*l,x=l.Ir1故答案为：-11.x=I例31.已知函数“力满足/(力一2/(1T)=X,RiJ/(1)=【答案】T【解析】令则X=IT,所以/(l)-2(f)=l因为f)-2(l)=f由2+得一3f(f)=2,所以/“)=与，即/()=,-33所以I)=T故答案为：例32.已知函数/(可对XHo的一切实数都有/(x)+3j=2x,则/(2021)=1009【答案】-2例33.已知2/*)+/(5)=x(xwO)
23、,求f()的解析式.【解析】,f()+3(竿)=2x信(力呼8(x)=64-X,X“、320211“(加了丁1.”(2021)=-等,故答案为：-粤.【解析】利用方程组法求解即可：因为2f(x)+/(B)=x(xh)，所以2/(|+/(x)=TaH0)，消去U解得小)二与一(，xg(f,0)5。收)9r1故答案为：-,X(-00,0)5。,+).例34.若对任意实数X,均有/)-2/(T)=9/+2,求/(%).【解析】利用方程组法求解即可；V/(x)-2(-x)=9x+2(1)(-x)-2(x)=9(-x)+2(2)由(1)+2X(2)得一3/(X)=-9+6,.*.f(x)=3x-2(xe
24、R).故答案为：3x-2.【过关测试】一、单选题1 .已知函数为一次函数，且3)=7,/(5)=T,则/=()A.15B.-15C.9D.-【答案】A3k+b=7k=-4k1.解得1.“、，5k+b=-b=9.J(x)=4+19,()=+19=15.故选：A2 .已知函数/(2x+l)=5x-6,且/(f)=9,则Z=()A.7B.5C.3D.4【答案】A【解析】/(2x+l)=5x-6=(2x+l)-y,W=-yS17.JS=5=9,解得f=7.故选：A.3.某学校对教室采用药靠消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（亳克）与时间工（分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与X成反比例（
25、如图），现测得药物10分钟燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为8亳克.研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于4毫克才有效，那么此次消毒的有效时间是（）D.20分钟A.11分钟B.12分钟C.15分钟【答案】C【解析】当0x10时，设4将点（10,8）代入y=Ax得：102=8,解得&4则此时y=-当x10时，设y=3,X将点(10,8)代入y=色得：a=l08=80,X则此时y=X4-x(0x10)综上，y=o.,吗x10)X4当0x10时，-x=4,解得=5,QQ当x10时，=4,解得X=20,X则当y4时，5x2O,所以此次消毒的有效时间是20-5=15(分钟)，故选：C.4.已知定义域
26、为R的函数满足x+l)=3(x),且当x(0,l时，/(x)=4x(x-l),则当x-2,T)时,/(K)的最小值是()A.-B.-C.-D.-812793【答案】C【解析】由题意得，/(1)=0,又/(0+l)=340),(0)=0,/(-2)=(-2+l)=(-l)=(-l+l)=(0)=0.VX(-2,-1),x+2(0,1),()=y+)=+2)=(+2)+)=拉+)J，Q1故当=-时，“X)取得最小值一综上，当x-2,T)时，“X)的最小值是一，故选:C.5.若/(4+I)=X+1,则/J)的解析式为()A.f(x)=X2B.f(x)=x2-2x+2(x0)C.f(x)=x2-2x+
27、2(xl)D.f(x)=x2+【答案】C【解析】令J7+l=I,f1,则X=(1.l)2,则f(Q=d)2+l=-2f+2,rl,函数f(x)的解析式为/(x)=x2-2x+2(x1).故选：C.6.已知/(x)满足2x)+d)=3x,则/(x)等于()A.-2x-B.-2+-xxC.2xhD.2xxx【答案】DIIlq【解析】把2f(x)+g)=3x中的X换成得2出)+/(X)=善71由x2-得3f(x)=6x-=f()=2x-.故选：D7.设y=(x)在定义域(0,+8)上是单调函数，当X(,e)时，都有/(x)-g=2,则/(3)的为34A.2B.3C.-D.-23【答案】D【解析】设/
28、(X)T=Z,则F(f)=2J(x)=g+y=()在定义域(0,+)上是单调函数方程f(，)=2只有一解,即t为定值.又f)=*=2.*./=114gj(3)=-/=-故选：D.8 .已知函数y满足r)+“(3X)=/,则y的解析式为()A. /(x)=x2-I2x18B. /(x)=x2-4x+6C. r)=6x+9D. /(x)=23【答案】B【解析】用3-x代替原方程中的X得：3-)2I3-(3-)=(3-)+2()=(3-x)2=-6-+9,./(x)+2(3-x)=tf(3-x)+2(x)=x2-6x+9*消去/(3-x)得：一凯X)=一。+12-18,./(x)=gf-4+6故选：
29、B二、多选题9 .已知函数/(4-l)=2x+I-3,则()A. /(1)=7B. /(x)=2x2+5xC.”力的最小值为-FOD./(力的图象与X轴只有1个交点【答案】AD【解析】令i=GlT,得y=t+l,贝心=(/+1)2,得/(五一1)=/。)=2+5/,故/(x)=2x2+5x,xT,+8),/(1)=7,A正确,B错误./(x)=2x2+5x=2x+-y,所以/(x)在T,)上单调递增，/(x)mjn=/(-1)=-3力的图象与X轴只有1个交点，C错误,D正确.故选：AD10.下列说法正确的是()A.若y=x)是一次函数，则y=(m)为一次函数B.若y=U)是二次函数，则)，=用
30、5)为二次函数C.若y=U)是二次函数，r)=x有解，则然X)=X有解D.若y=7(x)是二次函数，段)=X无解，则人Za)=X无解【答案】AC【解析】A.因为y=U)是一次函数，设/(x)=+伙攵=0),则f(H+b)=)(京+b)+b=%2+祐+b(20),即=欢力)为次函数，故正确;B.因为y=yU)是二次函数，设/(力=加+历:+c(H),则f(ax2+bx+c)=aax2+bx+Cy+bax2+bx+c)+c,=03x4+ab2x2+2abcx+ac2+2cbxi+2a2cx1+abx2+b2x+bc+c=ciix4+1crbx,+(cb+atr+22c)x2+(加+2abc)x+a
31、c2+bc+c(0)所以y=U)不是二次函数，故错误；C.因为U)=X有解，设/，则/(%)=1),所以f(f(%)=/(Xt)=XO,则4*)=X有解，故正确;D.若y(x)=x无解，即or2+(Z?-l)x+c=O无解，则A=(b-1)?-4c(+取+c)+c-x,得3x4+2a2bxi+cb+air+2a2cx2+(2ahc-x+aC+he+c=0(0),此方程不是一元二次方程，故根据A=(AT)2-4c0,0,则下列各式正确的是(),4111A.b=B.tn+3n=2C.mnD.-F233m3n【答案】BCD【解析】/(/(0)=f(b)=-U+b=b2t312j=-+-,故A不正确；
32、由。(阿)在函数图象上可得w+2=3%即m+3z=2,故B正确:由均值不等式可得刀+3=2,即11g,故C正确；,111.(11A13/2/、I(CC/3MC因为一+丁=彳(6+3)+=-(2+-+)-2+2J=2,m32m3nJ2m3n2(Vm3I所以D正确.故选：BCD三、填空题13 .已知/(x)=r2+2x+15,则/()的值域为.【答案】（YUS【解析】设f=,r0,/(r)=-r22+15=-(r-l)2+1616,所以值域是(YO6.故答案为：(YO,16.14 .已知函数/(x+l)=V-+3,那么/(x-l)的表达式是.【答案】x2-5x+9【解析】/(x+1)=x2-x+3
33、,令+l=f,则=f-l,故/()=(-I)2-(r-l)3=/2-2/+1-/+1+3=2-3/+5,(x)=x2-3x+5,/(x-l)=(x-l)2-3(x-1)+5=x2-2x+1-3x+3+5=x2-5x+9故答案为：x2-5x+915 .若3x)+2(j)=4x,则/(%)=.12r【答案】T-85x【解析】由3f(x)+2-)=4x,将“用千代替得3(J+2(x)=:,由得X)=号-5故答案为：号-55x四、解答题16 .(1)已知f(4+2)=x+4,求函数/(x)的解析式；(2)已知“同是二次函数，且满足0)=1,/(x+l)=(x)+2x,求函数力的解析式;(3)已知/(x
34、)+2/(T)=:T,求函数/(x)的解析式；(4)已知/(的定义在R上的函数，/(0)=1,且对任意的实数X,y都有f(-y)=f()-y(2x-y+l),求函数/(力的解析式.【解析】(1)方法一设f=7+2,则f2,7=-2,即X=(-2)2,所以/(r)=(-2)2+4(r-2)=r2-4,所以/(x)=x2-432).方法二因为/(+2)=(+2一4,所以“x)=f-4(x2).(2)因为/(x)是一次函数，所以设f(x)=+反+c(0).由/(0)=1,得c=1.由f(x+l)=/(x)+2x,ft(x+l)2+bx+)+=ax1+bx+2x,整理得(方-2)x+(+h)=0,2a
35、-2=0a+b=O=l,b=T所以/(x)=f-+l(3)因为/(x)+2(T)=X2,所以f()+2(X)=X2-，得3(x)=x2+3x,2所以/(x)=?+x.(4)方法一令尸况则f(x-y)=f(O)=(X)-M2x-x+l)=l,所以f(x)=x2+x+l.方法二令x=0,则/(0-y)=0)-y(-y+i),即/(一)，)二9一1,令=-y,则/=/+/+117 .(1)已知/(x)=f,求/(2x+l)的解析式；(2)已知f(+2)=x+4,求函数/(x)的解析式；(3)已知/(x)是二次函数，且满足/(0)=l,/(x+l)=(x)+2x,求函数/(x)的解析式；(4)已知/(
36、)+2/(T)=丁一不，求函数/(x)的解析式；(5)已知/(x)是R上的函数,/(0)=1,并且对任意的实数X,yf(x-y)=f(x)-y(2x-y+l)f求函数/(刈的解析式.【解析】(1)V(x)=,J/(2x+1)=(2x+1)2=4+4x+1.(2) tr=y/x+2则f2,Jx=t-2fWx=(z-2),/(r)=(r-2)2+4(r-2)=r-4,f(x)=2-4(x2).(3) ,/(力是二次函数，设/(1)=奴2+法+。(0).由0)=1，得C=1.由/(x+l)=/(x)+2x,得4(x+1)2+/?(x+l)+1=ax2+bx+2x,整理得(2-2)x+(+b)=0,.2a-2=0.(a=(+6=0*=：./(x)=x2-x+l.(4) V(x)+2(-x)=-x,/(-x)+2(x)=x2+x,(2)x2-，得3/(X)=X2+3x,/()=+(5)令y=,则/(/一5)=/(0)=/(耳_(2/_1+1).,./()=x2+x+l.
