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1、微专题17指对运算及指对塞比较大小【方法技巧与总结】知识点一、指对蹇比较大小(1)单调性法(2)中间量法(3)分类讨论法(4)比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：若A-80oA8;A-BvOoAvb;A-B=OOA=8；当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断4,或40A.2B.-2C.3D.-39x4-2X0,解得。二一2.故选：B.例3.化简3味的结果为()AXb7cNd【答案】C【解析】3岫=3%=3即可=|4故选：C变式1.若XIOg23=1,则3+3T=()A.IBuCWD.32632【答案】A【解析】由题得X=IG=IOg?,Iog23所以3+3=3%2+3l8
2、i三=2+-=-.22故选：A.变式2.若板y=100,则Igxlgy的最大值是()A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】对暇y=100等号两边同时取对数，得lg(五y)=lgl00=2,即(lgx+lgy=2,令f=lgy(tR),则lgx=8-4,所以IgXigy=(8-4r)f=4+8=-l)2+44,即IgXigy的最大值是4(此时r=,对应y=uu=K)4).故选：D变式3.已知5=3,3=2,则log/。-=()A.1B.2C.5D.4【答案】A【解析】V5=33*=2.=log53,b=log,2,Iog5IO-ah=Iog5IO-Iog53Iog32=Iog5IO-Iog5
3、3-5=Iog5IO-Iog52=Iog55=1.故选：A变式4.若正数。满足湎2=4,则。=.【答案】100【解析】因为正数4满足怆2=4,所以Iga2=电4,即Ig2lga=21g2,所以lg=2,解得=l()2=wo故答案为：100.变式5.Iog5(log3(log2x)=0,则XT=.【答案】立4【解析】因Iog5(log3(bg2x)=,则1%(1%力=1，即1呜元=3,解得=23=8,所以XT=8=；=虫.84故答案为：立4题型二：换底公式的应用例4.化简(2Iog43+Iog83)(log32+Iog92)=【答案】2【解析】原式=(2XBIog23+Iog23)(log32+
4、gIog32)43=-log23x-log32=2.故答案为：2.1 2例5.已知18=2,1.5=2,则=;【答案】3【解析】由题设，AlOgiC=Iogd,2121234m=T一i_-=Iog218-21g2-=l0g2(18)=3W1JXyIogl82log3229故答案为：3例6已知6l,若唾/+108/=*。=力，则+2b=.【答案】8【解析】由log,力+log=,且log,eiogz,a=l所以logflog/是方程V-x+l=0的两根，解得log/,=2或Iogh。=g，又abl,所以IOgz,=2,即”=从,又a。=b从而b2b=ba=a=2b且=/，则b=2,/=4.所以a
5、+=8.故答案为：8.变式6.已知20=3=相且,+1=2,则相等于（）abA.6B.6C.12D.36【答案】A【解析】由2=3=m得。=1，2加，=log3m,-+7=Iogw2+Iogm3=logw6=2,m2=6?=#（负值舍去），ab故选：A.变式7.Iog23Iog36mIog96=1,则实数用的值为（）A.4B.6C.9D.12【答案】A【解析】Vlog23log36mlog96=gIg3IgmIg6IgmI11Ig221g621g34Ig242.*.Iog2m=2t：,m=4.故选：A.变式8.已知=lg2,b=lg3,p1jlog365=（）A2a+2bn-aA.B.-a2a
6、+b.2-2aCI一。C.D.a+b2a+2b【答案】D【解析】因为=lg2,b=lg3,所以Clg5l-lg2-alog%5=-=%Ig362（lg2+lg3）2a+2b,故选：D.变式9.已知人0,log,人=,lgb=c,5d=lO,则下列等式一定成立的是（）A.d=acB.a=cdC.c=abD.d=a+c【答案】B【解析】log,6=,lg0=c,两式相除得瞥成=31。氐10=巴，又5=10,.log,10=d,所以lg?cc,a,a=cd=a.c故选：B.变式10.已知1呜3=%则下列能化简为，的是（）1+2aA.Iogs3B.Iog183C.og186D.Iog123【答案】B【
7、解析】对于A,IoggB=Iogp3=glog23=go,A错误；1.T1嗔log，3log,3log,3a对于Bgl8=Iog218=Iog22+2Iog23=I+2Iog23=1+2,B正确：对于C喻6=1=j产书叫=黑，C错误；Iog218log22+21og23l+21og231+2。对于D,*3=1=嚏；=D错误.Iog212Zlog22+Iog232+Iog232+a故选：B.21变式U.已知30=5且+擀=1,则。的值为（）abA.IogJ5B.Iog515C.Iog345D.Iog545【答案】C【解析】令3=5=k0,11,o11121则=Iogd,/?=IogIi&,-=-
8、=lgt3t=-=lo5,又一+丁=1,aIogskbIog5A:ab.2Iogi3+Iogjt5=Iogjt45=1,即4=45,.a=Iog345.故选：C.变式12.已知2=24=3,则更三的值为（）A. 1【答案】CB. 0C.-1D.2【解析】因为7=24=3,所以x=logz3,y=IogzQ,由换底公式和对数的运算性质可得3y-x3I3Iz,1.11o1.8Il1=-=31og32-log324=Iog38-Iog324=Iog3=Iog3-=-1.xyXyIog23Iog243243故选：C题型三：利用指对塞函数的单调性比较例7.已知=2。|,=0.33/=0.3。,，则Ac的
9、大小关系为（）A.ahcB.cbaC.hcaD.ac0.10,所以(H?0.31,bc(-2,5)iB.(|)2(04产C.(J2x,2【答案】C【解析】A选项：(-2.5=(2.5(-2.5)：=(2.5342因为2.51,又因为指数函数y=2.5*在R上单调递增，所以(2.5,(2.5京即(-2.5)1(-2.5京故A正确;3B选项：(o.4)=(1)2,因为01,所以U故C错误;D选项：因为2.561,2220.8,B.O.7-2$A。/。C.1.9031.906D.2.7o923=1,O.8,0.8箱,故正确,对于B,由于y=0.7*为单调递减函数，所以0.7-”0.7-29,故错误，
10、对于C,由于y=l9，为单调递增函数，所以1.932.73,故错误，故选：A变式13己知=2*b=4tc=25td=6则（）A.badcB.bcadC.cdbaD.bacd【答案】D【解析】由题得。=2打161b=c=251d=6=361因为函数y=）在R上单调递增，所以acd.又因为指数函数y=16在R上单调递增，所以bcaB.acbC.abcD.bac【答案】C【解析】01=Iog33Iog35Iog39=2,即lv2,又：=log$有g，=kgs3logs5=l,即,b6c;故选：C例11.已知=1.63力=1.608,c=0.78,则（）A.cabB.abcaD.abc【答案】A【解析
11、】y=1.6*是增函数,故=1.631c=0.7oS故cabcB.acbC.cabD.cba【答案】C【解析】因为03log=l,即cl,33Q2所以cb故选：C变式14.已知=1.5%=Iog081.2,c=O.8o2,则()A.acbB.cbaC.abcD.cab【答案】A【解析】因为=1.52l,b=kJ.2c故选：A变式15,设4=3；，b=(|)，C=Iog3,则(A.abcB.acbC.bacD.cba【答案】A【解析】结合指数函数性质和对数函数性质可知2a=V30=l,0b=(IP1IO=1，2c=Iog3bc,故选：A.变式16.设4=3h=2tc=ng,则()A.cbaB.b
12、caC.cabD.acb【答案】A【解析】由题得=33=1，b=2。，C=In5acB.cbaC.bcaD.acb【答案】D【解析】因为4=3.2，所以l;因为b=lg2O3,所以b0；因为C=IOg、2,所以Occb故选：D.3变式18.已知=O.4e,=logj4,c=Iog4-,则,b,C的大小关系为（）A.acbB.cabC.cbaD.bca【答案】B【解析】由C=Iog4qgJ=04=04c0.4=l=log33b=k）g34,所以cb故选：B变式19.已知=（gj,=C=Iog2-,则。力,c的大小关系为（）A.abcB.cbaC.cabD.bac【答案】C【解析】=（界=1，H沪
13、Gj=I，c=l唱aOc.故选：C.题型五：利用换底公式转化后比较例13.已知正数,z,满足3=4=6）则下列说法不正确的是（）A.-+-=-B.3x4y6zX2yz31.C.x+y（-+2）zD.xy2z2【答案】B【解析】设3=4v=6二=加1，则X=Iog3m,y=log4m,z=log6m-=IOgm3,-=Iogw4,-=Iogw6xyz对A：-+=lg,n3+log,r4=Iogw3+Iogw2=Iogw6=-fA正确；X2y2z3-1=14_16_I对B：由题意可得：X3,同理可得：4,263x346.log,”3log”,4=41og”,3-31og,4=log”,81Tog,
14、”643412-12log,”4_k6=3k4-21og,6=k64-log”,3646-12-12.则3xv4yv6z,B错误；346对c.vZ三+2=+=6+=2+2+1x22+2ZZZIog6mIog6mIg3Ig42Ig32Ig22x+y(+2)z,C正确；对D：外二log./。，二怆6Jg6=(Ig2+lg3)-Irg3Jg2I222Iog6tnIog6mIg3Ig421g2lg32(lg2Ig3)xy2z2tD正确；故选：B.例14,若实数小人满足=log23+log32,3+4=5,则().A.aba2C.ab2D.ba0,lf=Iog23+Iog32=Iog23+2,Iog23
15、即42,故3+4“=5JP5h=3+4t,32+42=52,故方2,令g(x)=3，+4*-5;(x2),则g(x)=32.31+42.4-52.51,(%2),故g(x)=323v-2+424-2-525-2(32+42)4-2-525v-2=25(4-2-52)0，即有g(X)=3r+4t-5t2),所以3+4-5VO,即3+4b2,故选：C.例15.已知3=2,b=n2,c=20则。，b,C的大小关系为()A.abcB.cbaC.bcaD.cab【答案】B【解析】由3=2可得，Q=log=，In3因为ln3lln20,所以萼ln22=1,所以Cb4.故选：B.4变式20.已知。=,=lg
16、34,c=log45,则。、b、C的大小关系为()A.abcB.cbaC.hacD.ach【答案】A4-1【加析】a=Iog533=Iog38b=Iog34=Iog5643,III1S为8164所以81*64*,所以Iog3813Iog3643,即ab,I-IogdBlogQ1呜3由b=lg34,c=log45,-C=log34-lg45=;-Iog45=lg43因为Iog43OJog450,log43Iog45,则l0g43Iog45(Iog43+Iog451=(log415)20,即6-c0,所以bc,所以bc.故选：A.变式21.已知a=log$2,Z?=Iog72,c=(g),则叫b,
17、C的大小关系为()A.bacB.abcC.cbaD.cab【答案】A【解析】ci=Iog52=,b=Iog72=,.0ln2ln5ln7,.Oba1,则/?V4VC故选：A题型六：利用两图像交点转化后比较例16.已知函数/(x)=lnx,(x)=Igx,h(x)=Iog3,直线y=(0)与这三个函数的交点的横坐标分别是X，七，则X，&，七的大小关系是().A.X2x3xl【答案】AB.12C.xix20)在Xe(O,+00)上单调递增，所以Gr儒，即三%可故选：A.例17.设mb,C均为正数，且2=logJ,(；)()A.acbB.cahC.a【答案】C【解析】在同一坐标系中分别画出y=2,y
18、=(gjW,_I-2-10lf234XT-/Xj=IogiX-H、2与y=g了的交点的横坐标为y=(j与=心8！的图象的交点的横坐标为by=f-l与y=log2X的图象的交点的横坐标为C，=Iog*,（；）=Iog2c,则。，b,C的大小关系是hcD.hacy=Iog2X,y=lg;的图象，从图象可以看出人bcB.bcaC.cabD.bac【答案】B【解析】由(X)=X3+=0得X=0,.C=0,由方程2+2x=0得2=-2x的根为小由方程log2X+2x=0得10g2X=-2x的根为b.在同平面直角坐标系中画出y=2y=log2,y=-2x的图象，故选：B变式22.已知函数/(幻=2+4+2
19、,以外=1082工+1+2,。)=3+汇+2的零点分别是。涉,。，则,b,c的大小顺序为()A.bcaB.cabC.bacD.abc【答案】A【解析】函数/(x)=2+x+2的零点。为y=2*与y=-x-2的图像的交点的横坐标；函数g()=iog2x+r+2的零点b为y=1。82%与尸=-才一2的图像的交点的横坐标；函数/(x)=+x+2的零点C为y=V与y=-X-2的图像的交点的横坐标；在同一个直角坐标系中作出丁=2*,J=Iog2X,J=,y=-2的图像，如图示:.bca变式23.已知=Iog3皿3=Iog=Iog1k,则?,的大小关系是（）A.mnkB.mnkC.nmkD.nkrn【答案
20、】DX的图像，如图所示:变式24.(多选题)已知/(x)=lgj/,(x)=log2x,(x)=lgx,若/()=g(Z?)=MC),则,b,c的大2小关系可能是（）A.abac【答案】ABC【解析】分别作出三个函数的图象，如图:当/()=g(?)=Mc)=O时，有=h=c=l,故B有可能；当/()=&(。)=(。)0时，如图中X轴上方的虚线所表示，此时有0lbc,故A有可能；当/()=g(0)=Mc)0时，如图中X轴下方的虚线所表示，此时有Ovcblo,故C有可能；除此三种情况，/()=gS)=a(c)时，没有其它情况，故D不可能，故选：ABC题型七：含变量指对塞大小比较例19.已知Oab的
21、大小关系为()nbA.mnpB.ntnpC.pmnD.pntn【答案】A【解析】因01141,且InaVInbV0,即有曲凹1,因此，ln(皿)0,即0,aInZ?InZ?一,八八.111ZWbnabIn.1.ERC又m0,/:1,于是得iV,nanbaIn匕所以mnp.故选：A例20.已知三个实数小b=aa,C=/*,其中OVaVl,则这三个数的大小关系是()A.acbB.abcC.bacD.cab【答案】A【解析】0”l,由指数函数的性质，有.再由指数函数的性质得aat,aa即vcvb.故选：A例21.若OVaVbVI,=b,y=bhfz=aht则X,y,Z的大小关系为()A.yz【答案】
22、DB.yvxvzC.XVZVyD.zyx【解析】由OVaV指数函数/(X)=是R上的减函数，0f(b)f（八）/(0)=1,即OV廿Vb“V1，哥函数g(x)=d,在(o,y)上是增函数，0=g(0)g3)gS)g=1,Pwftbh，.0abbt,bai故zyc.故选：D.变式25.己知OVXV1,a=log2x,b=2x1c=x2t则。也。的大小关系为()A. abcB. acbC. cabD. cba【答案】B【解析】当OVXVI时，log2Xl,0l,故acJn2-1)则与g()的大小关系是()A.f(n)g(n)B.f(n)g(n)C.f()g()D.f(n)g(n)【答案】B【解析】
23、因为?_和一Tl不相等，所以/()工g().令=1,f(n)=ln(+l-n)=ln(2-1)In1=0g(n)=ln(n-yn2-1)=In1=0-所以5)0,则泉长的大小关系不可能是()xyzCXyZzyx_yxzA.-B.=-C.-D.0,则尤=2，y=3,z=5,.所以楙=2Tq=3-,=5,当t=l时，B正确；当时，A正确；当(XtVI时，C正确；故选D.23s变式28.已知l0g2X=IogJ=l0g5zl,则一，一，二的大小排序为()xyz235A.xyz325B.yXz523C.zXyD.【答案】D【解析】方法一:设Iog2X=Iog3)，=Iog5z=k.则Z=?,-=3,*
24、,AA_532又1一4315巴可得一一l.l-log2x=l-log3,y=l-log5z0,即121315Iog2-=Iog3-=Iog5-Igx1B2xIgxX，C2xIgxD.1gx2xxi【答案】A【解析】x(0,l),lgx)0D.2ablog,30,由换底公式，有OVIog3bvlog3,解得a0l,A选项错误；函数/(x)=(g)为减函数，(gjO,但q-l不一定成立，不能得到1%（。-切0,C选项错误;2f20=l,D选项错误.故选：B变式31.）非零实数小人满足，则下列结论正确的是（）A.-bc2D.ewz1abab【答案】D【解析】对于A,当=2,b=T,满足：非零实数小b
25、且b,而,=1-l=：,故A不正确;a2b对于B,当=2,b=T,满足：非零实数mb且ab,而2+;=_2=-葭2,故B不正确；ab22对于C,当C=O时，ac2=bc2，故C不止确；对于D,因为非零实数,b满足力，所以a-80,所以eiAl，故D正确，故选：D.【过关测试】一、单选题1 .三个数。=0.8巴=Iog21.41,c=2，之间的大小关系为（）A.hacB.abcC.acbD.bc08?=0.640.5,gj11,b=Iog21.412=,KP0b2=l,综上：cab故选：A2 .设a=logo45b=0.304,C=OSR则dc的大小关系是（）A.bcaB.cbaC.bacD.c
26、ab【答案】A【解析】因为y=IogoqX在（0,+）上单调递减，所以IoggIvlOgoJS0.5-1,所以（0.31”（0.5一,产，即0.3.0.531,故bc,所以bc0.故选：A.3 .已知4=2叫b=e-06tc=Iog20.6,则。，b,C的大小关系为()A.bacB.bcaC.abcD.acb【答案】C【解析】Ta=20620=l,0b=e-0-6e0=l,c=log20.6bc,故选：C4 .正实数,b,c满足a+2-0=2,b+3=3,c+k)g4C=4,则实数,b,c之间的大小关系为()A.bacB.abcC.acdD.bca【答案】A【解析】a+2-=2,即+2-2=0
27、,即2=2,y=2一，与y=2的图象在(0,也)只有一个交点，则x+2-2=0在(0,y)只有个根a,(x)=x+2-a-2,/(2)=2+2-2-2=0,/(l)=l+2-,-2=-0,/(l)(2)0,则lva0,=3-3=3-O,gg(g)O,故;。)只有一个根c,令力(X)=K+IogmT,j(4)=4+log44-4=l0,(3)=3+Iog43-4=log43-l0,(3)A(4)0,则3vcv%.bac故选：A.5 .已知函数/(x)=(gjl,设a=(log),力=(g),c=/(2；)，则。，b,C的大小关系为()A.acbB.abcC.cbaD.cab【答案】A【解析】可知
28、/(外在(f)上单调递增，(l,+)上单调递减，且图像关于x=l对称log5log5=-l,而22久3可得cbcB.acbC.cabD.cba【答案】D【解析】函数/(x)=2i+x-l为增函数，X(0)=2-l=-l0,：,(O,l),由g(x)=e*-1=O,得=1,即6=1,V力(X)=Iog2(-l)+-l在(1.”)单调递增，3331又以)=Iog2(5-1)+5_1=_耳0,cba.故选：D.7.已知x,y,z都是大于1的正数，且IOg亦X=IOgGy=IOg而z,令=d力=/1=z,则。，6C的大小关系为()A.abcB.bOaC.cabD.bac【答案】D【解析】由iog=Io
29、g小y=1gz，令10gx=10gy=log而Z=k.”,丁，Z均大于1；.0:*x=25,y=3,z=63;3kA=2,=3c=615Aa=(22)*,Z=3*,c=(6)t,3226,且y=f(20)是单调增函数，.bac,故选：D201920212021严2022),b=2019产2022)2019迎21加，则小b,C的大小关系是（）2022A.abcB.achD.hcaC.cab【答案】B【解析】因为y=能在（0,+8）上单调递增，y20192022在R匕单调递减2019所以2021)痂2022J20192019严二202220212019,.,故4c6.2022故选：B9.已知实数=
30、log35,b=28,c=53,则，b,C的大小关系为（）A.acbB.bacC.cbaD.cab【解析】解析：由题log.,正0，l2s2，0031,即有cv6.故选：A.10.若a2G222021I，6=2022募，C=Iog2022词，则。，b,C的大小关系为（）A.abcB.bcaC.cbaD.cab【答案】D【解析】vo120222021I12022=1,所以120222021(0,1),A.abcB.cbaC.achD.ca2022=1,所以2022砺1:20222021l0g20221=0*CClh.故选：D.,b,C的大小关系为（）11.己知a=16,人=0.5小5,c=Iog
31、43.9,c=log43.9235三=0.5但所以CVbC,故选:B.12 .已知a=3：，力=logg2,C=Iog26则a,b,C的大小关系为()A.abcB.cbaC.bdcD.acb【答案】D【解析】由题意可得：=3T3=Ub=log92lo99=1c=log23b,acA=IOg92=2bg,3c=g26=fg23i=-,又0力l,0vcl4c又J=log2&log26,可得：；cl则有：b-c=C=-O4c4c故有：bc综上可得：bcba【解析】因为6=lnn)=2InIna=21n(ln(),c=In2=2In,所以构造函数F(X)=21nx,由对数函数的性质知，“力在(o,y。
32、)上单调递增，所以只需比较Inlo1,Inp的大小，由于1.OlX3=3.031.01111所以lnl.01ln上1233所以=21n(lnl.01)%=21n(hq)21n23=ln2=c故答案为：abc14.已知/PN【解析】由2v,即0,可得o,所以0va2v0,故llogX2,所以N=IOg“(1OgaX)。，P-M=(logwx)2-logrtx2=logrtx(logx-2)l,综上，MPN.故答案为：MPN2II15 .的大小关系是.【答案】(gj；，知Gj卜(萨铲.故答案为:8咽716 .正实数,b,C满足+22=2,b+3b=3,c+log=%则实数,b,。之间的大小关系为【答案】ba0=0。2=；2-0=06O=Obl,当OVCVI时，log4c=4-cl时，log4c=4-c0=lc0log4c3c4:综上，bac.故答案为：bac三、解答题17 .比较。，b,C的大小：(1)己
