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1、微专题20分段函数问题【题型归纳目录】题型一：函数三要素的应用题型二：函数性质与零点的应用题型三：分段函数的复合题型四：特殊分段函数的表示与应用【典型例题】题型一：函数三要素的应用例1.已知函数/(X)=卜：+3乂0,若/S)TCf(1),则的取值范围是()x-2x,x0时，a2+3a-(-ay)2+2ai,-6,整理得：8,.(0,80时，。2一2。-(-)2-3矶,8,整理得：出8,.(-,0)综上可得：(o,8故选：C.例2,已知函数/(X)=F+V广”,若/(a)+/（八）2/(1),则的取值范围是()e+x,x0A.(-oo,1J1,+)B.0,1C.-1,0D.-1,1ex+X2Y
2、0【解析】解：.幻=；，e+xix0.(x)为偶函数，.f(-a)+f（八）,2/(1),a2/（八）2f(1),T【解析】解：y=(x)的图象如图所示,/(/（八）),2,:.f（八）.-2,由函数图象可知&J故选：CVm,1)D.26-6变式1.当函数f(X)=6取得最小值时，%=(X46,x1【解析】解：当工,1时，f(x)=x2.O：当41时，/(x)=x+-6.2.1.-6=26-6,XVX当且仅当x=9,即x=时等号成工XVx,12#-6v0,.函数f(x)=6取得最小值为2#-6,x+-6,x1X对应的X值为卡.故选：A.变式2.己知函数/(x)=T+1,XVO,f(x)=x-x
3、.0则不等式x+(x+l)(x+l,1的解集()A.(x,2-lB.xx.J+2C.xxl+2【解析】解：当x+1Vo即xT时，不等式x+(x+l)(x+l),l同解于X(x+l)(x1)+1,1即d-1止匕时XV-I当x+1.0即X一1时，不等式x+(x+l)(x+l,1同解于X*2x-1.。解得-52-此时-啜k2-l总之，不等式的解集为(幻工,0-1故选：A.变式3.已知/(X)=卜为奇函数，则/(g(T)=g(x)fx为奇函数,g(x),x0则g(f=/(T)T=-(1-3)=2,则/(g(T)=/(2)=4-3=-1,故答案为：1.变式4.若函数M愕:“：小E则i=g=，/(1)=【
4、解析】解：篇(M,:.f(9)=log39=2,gf(3)=g(log33)=g(1)=I2=I,/=/(lg3=/(-2)=f(1)=Iog3I=O.故答案为：2：1：0XI1,Vc-X2&,XV-IX2+2x&,x.-1八，则不等式+i)(+1,1的解集是X-Ix.0【解析】解：由题意x+(x+1)(+1)=当XVO时，有-邕,1恒成立，故得XVO当x.0时，X2+2x,1解得-啜k2-l,故得喷Ik0-1练上得不等式+(x+l)(x+l,I的解集是(-8,-1故答案为(-8,2-I.变式6设/(x)=V,g(x)是二次函数，若/g(x)的值域是0,+),则g(x)的值域是x,x7)A，G
5、fB(；，C.1|)D.(1A【解析】解：若/(X)是定义域(TO,M)上的单调递减函数，0t71则满足l-3v,7(1-3。)+Ioa.a?-=1OajC.,1)D.(；旨oJoJ311【解析】解：函数幻=二3。：10g，6,x6/(x)是定义域(yo,K)上的单调递减函数,1-30则满足Ol,68i7.1解得J4,2,38故选：B.例6.函数/(x)=r+l)在R上单调，则”的取值范围为()(-x,0)【解析】解：/(x)在&上单调：若/)在R上单调递增，则：a0。1；.O2+1.(a-l)eo.1l/.0；的取值范围为(1,2.故选：B.变式7.已知/(幻=二一2+l,则),=()-的零
6、点有()/(x-l),x.0A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】解：.当X.O时，/(x)=(x-l),.(x)在X.0的图象相当于在T,0)的图象重复出现是周期函数,Xel-1,0)时，f(x)-X2-2x+=-(x+1)2+2对称轴为=-1，顶点坐标为(T,2).画出函数y=(x)与y=x的图象如图:则y=(x)r的零点有2个.故选：B.0工,339l-3r变式8.已知定义在/T上的函数f(%)=ogT4-x（八）=f(b)=f(c),则历的取值范围为【解析】解：作出/(x)的图象如图：当x9时，由/(x)=4-7=0,得x=16,若,bC互不相等，不妨设av匕vc,因为/（八）=f(
7、b)=f(c),所以由图象可知0vv3b9,9c16,由/（八）=f(b)得I-IOgG=Iogab-1，BPIog3a+Iog3h=2,KPIog3(Z?)=2,则必=9,所以ObC=9c因为9vcvl6,所以81v9cvl44,即81VaV144,所以而C的取值范围是(81,144).故答案为：(81,144).【解析】解：作出函数/)=是三个互不相同的实数，满足/（八）=f(b)=f|/%|,03/.log3(0h)=0,则a。=1,a=Iog3b,.c的取值范围为(3,4+23).故答案为：(3,4+2J).变式10.己知/)在R上是奇函数，且当x0时，-XV0,.%0时，f(x)=-
8、X2+X,又/(0)=0符合上式,综上得，F(X)=x2-xix0时，心)=丁不&%若fjQ)h(2),求实数1的4-2x,x4取值范围.【解析】解：函数(X)(X0)为偶函数，且当x0时，川X)=卜?4当工4时，力*)=4-2x递减，且(X)-4,当00,力(X)连续，且为减函数，hth(2),可得加“)/?(2),即为f0则正实数机的最小值是()13A.-B.1C.-D.222【解析】解：由已知条件知：/+20,.若4,0,则/(x)=F0,:.f(f(x)=Inex=x0,这种情况不存在，若OV用，1,则/(x)=/U),0,./(/(x)=e,nx=;,1xl时，/(x)=Inx0,/
9、(/(x)=In(Inx)R,只有/(/(x)l，即，M2+2/1时，对任意给定的(l,E),都存在唯一的X/?，满足f(fM)=+2n-xO解得机，2.正实数机的最小值是2故选：A.2-xYJ例8.己知函数/(X)=%一，g(x)=x2-2x,若关于X的方程/g(x)=%有四个不相等的实根，则实242-x【解析】解：对于函数/O)=丁2t,xl当x.时，/co单调递减且TVJfaK1.当xl时，/(冷单调递增且00：即左1.4综上所述，实数AGd/)；4故选：B.例9.己知函数1.则方程/(/(幻)一2(X)+当=0的实根个数为()2x,+l,x,14A.3B.4C.5D.6【解析】解：设/
10、(X)=F，可得3/(r)-2(r+-)=0.4q分别作出y=f(x)和y=2x+-的图象，可得它们有两个交点，即方程/(0-2。+)=0有两根，4根为4=0,另一个根为G。，由/(K)=。，可得X=2；由/(X)=I可得”有3个解，综上可得方程/(/(幻)-2(x)+4=0的实根个数为4.故选：B.1.4-1vO1八下列是关于函数y=(x)+l的零点的判断，其中正Iog2x,xO确的是()A.在(-1,0)内一定有零点B.在(0,1)内一定有零点C.当人0时，有4个零点D.当0时，作出函数/(X)的草图如卜，由图象可知，此时f(f)=T的解满足0fl,Z20,由/()i可知，此时有两个解，由
11、/(X)=G可知，此时有两个解，共4个解，即y=(x)+l有4个零点;当女0得x+20,即一2VXV0，此时f(x)为增函数，即当K=-2时，/(x)取得极小值f(-2)=-4,e作出f(x)的图象如图：要使f(x)=6有三个根，则02下列叙述正确的是(x2-2x+2,0,2A.存在实数使关于X的方程/(X)=有7个不相等的实数根B.当Tvx2/()C.若当x(O,时，/(x)的最小值为1,则al,岂D.E.若关于X的方程/(x)=和f(x)=m的所有实数根之和为零，则机=-g对任意实数3方程/(幻-履=2都有解【解析】解：因为该函数为奇函数,所以，/(x)=-,(x-2)2x+3-X22x2
12、,(2,X0)0,(x=0)X2-2x+2,(02)2x-3对于A；如图所示直线与该函数图象有7个交点，故A正确;对于3：当TVxVz2变式15.(多选题)己知定义域为R的奇函数/(X),满足/(x)=2x-3，下列叙述正确的是X则fW=，x-2.2x+3若一2,x0,则0兀,2,则/(一X)=X2+2x+2=-(x),即fM=-X2-2x-2,-2,xv()，当Ar=0,则/(0)=0.作出函数/(幻的图象如图：对于4,联立=与，得f-+2)x+2=0,y=x-2x+2=伏+2)28=公+软一4,存在女(),.存在实数人使关于”的方程/1)=有7个不相等的实数根，故A正确；对于B,当-lw(
13、w)不成立，故8不正确;对于C,当X=。时，/(1)=一I=1,222x-32-2x+2,0(G)C.若当x(0,时，/(幻的最小值为1,则l,D.若关于尤的方程f(x)=和/(x)=a的所有实数根之和为零，则帆=-|【解析】解：函数f(x)是奇函数，2.若xv-2,则一x2,则/(-X)=/(幻，-2x-3则当一。，加，小)的最小值为1.则向，|1，故C正确,对于O,.函数是奇函数，若关于X的两个方程/(X)=!与/(X)=W所有根的和为0,.函数f(x)=I的根与/(X)=m根关于原点对称，则m=2但x0时，方程f(x)=5有3个根，设分别为斗，x2,x3K0jx22x3,11.-z-23
14、z11130ll13则右二一，得x=一,即不=一2x-326勺6%+巧=2,则三个根之和为2+=”，,66若关于X的两个方程/()=Q与/(X)=AW所有根的和为0,则/*)=?的根为-竺，此时6w=(-=1-62(-)34=4故小错误，168变式16.已知函数幻=一x+k,xO,-l,x,0,其中A。若A=2,则/(x)的最小值为.关于X的函数y=f(f(x)有两个不同零点，则实数k的取值范围是.【解析】解：若2=2,则/(X)=-x+2,x0x2-l,x.0作函数/*)的图象如卜图所示,显然，当X=O时，函数取得最小值，且最小值为/(O)=-1.令7=/(X),显然/(M=O有唯一解机=1
15、,由题意，/(X)=I有两个不同的零点，由图观察可知，k1).题型四：特殊分段函数的表示与应用例10.对，beR,maxa,=?,则函数/(x)=ma(x+lI,x2(xR)的最小值是()bab)【解析】解：当x+l.d,即x+1.2或x+1.,解得匕叵效k2芋时,A/(x)=mrx+l,x2=x+l=x+l,函数/(x)单调递减，/(%),而=/(f)=三心，当x柠叵时，/(x)=f,函数f()单调递增，/(力=/(与叵)=柠叵综上所述：f=甘,故选：A.1,0例I1.已知符号函数$g(x)=0,x=0,/(x)=(一)v,g(x)=(区)一/(不)，其中41,则下列结果正确的TXVO3是(
16、)A.sgn(g(x)=sgn(x)B.sgn(g(x)=-sgn(x)c.sgn(g(x)=sgn(f(x)D.sgn(g(x)=-sgn(f(x)l,xO【解析】解：符号函数sg(x)=O,x=O,f(x)=(一)r-l,x1,.sg”(g()=sgw(g)”一(g)7当xO时，kxx(；产-(g)”O,sg”(g(x)=sgK；)一(g)*=-lSgMX)=1；当X=O时，kx=x=0,()tt-(-r=0,sgn(g(x)=O,sg(x)=O：当0时，kx0，sg”(g(x)=Sg壮(：产一(9=1，Sgn(X)=-1.sg(g(x)=g(x).故选：B.1yg4；A对于任意的集合A、
17、BuU,下列说法错误的是(0,X任A)A.若Aq8,则/(x(x),对于任意的xU成立Bfl(x)=y(x)+i(x),对于任意的xU成立C.fA-b(x)=fAWfR(x)对于任意的XeU成立D.若A=。1,则人(X)+%(x)=l,对于任意的XeU成立【解析】解：对于A,因为AqB,若XeA,则xeB,mC,xeAl,xA因为右=n=1.0,-史A(0,x.Afl,xB/(x)=nr,0,x%而aA中可能有B中的元素，但48中不可能有A中的元素，所以力(x),(x),即对于任意的XWU,都有人(理,%*)成立，故选项A正确；对于5,因为九网=上智：|现，当某个元素-X在A中旦在8中，由于它
18、在A(J5中，故人/)=1，而43=1且力(力=1,可得力)+A*故选项8对于C,l,xABl,xA,门小储覆哨B)=j0,XO)UG8)(-v)(x)=l,xA1,XeB0,x瘠4,xUB1,XWArB,x(郑A)U(UB)故选项。正确;对于。,因为4a(x)=结合1.(X)=1.XAO,X纪AJl,XeAO,x.所以%=1一人(幻，即力3+/3=1，故选项。正确.故选：B.变式17.定义全集U的子集A的特征函数为Aa)1,XWAO,xeCuA,这里qA表示集合A在全集U中的补集,己A=U,BqU,给出以下结论中不正确的是()A.若Aq8,则对于任意xU,都有(x(x)B.对于任意xU,都有
19、几A(X)=I一力(”)C.对于任意xU,都有4u(x)=Z4(x)4(x)D.对于任意Xeu，都有/A=【解析】解：由题意，可得对于A,因为A=8,可得XGA则XG3,xyeCuAfhO,xCu,而zA中可能有B的元素，但4,B中不可能有A的元素(),()，即对于任意XU,都有fA(x,f(x)故AIE确；1,XeGTA0,XeA结合力(%)的表达式，可得几A=I-(x),故8正确；为:Cf*)114限81”明8Tl0,Q(AB)O,x(QA)J(Q)l,xAfl,xB。=Inr*1cR=MbMO,xeCuA0,%CuB故C正确；,l,xeAlBD，ES)=G(AjB)当某个元素X在A中但不
20、在B中，由于它在AUB中，故/川(X)=1，而小(X)=I且(X)=0,可得%Kx)人(分/。)由此可得。不正确.故选：。.变式18.对,bwR,记gr(,b)=,函数/(x)=?a|x+l|,x-2)(xR)的最小值是b,ab【解析】解：由题意得，/(x)=mr(x+l,x-2)x+l,x.2=1,2-xfx-2故当=g时，/(X)有最小值/(g)=T,故答案为：2变式19.对口,beR,umaxa,函数/(x)=,orx+l,x-2(xwR)的最小值是,h,ah2则实数，的值是【解析】解:函数f(x)=gx+l,Ix-川x+l,x+l.x-znx-n,x+lx-w由/(力的解析式可得，/(
21、+X)=/(-%),即有/(x)的对称轴为X=F则心m=*=,解得n=2或Y,故答案为：2或T.变式20.设函数/(X)：署二。,其中表示不超过X的最大整数，如,吧,若直线X-0+1=0(左0)与函数y=(x)的图象恰好有两个不同的交点，则女的取值范围是,【解析】解：画出函数f(x)=x-x,x.0/(x+l),x0)与函数y=fW的图象恰有两个不同的交点,结合图象可得：即八”一kpck,11f11kp4=i=一,kp=2-(-1)3C1-(-1)2故求得223【过关测试】一、单选题工2+2X-lA.3BTC.ZD.22 345【答案】B【解析】当xT时，/(X)=F:?+2,为增函数，所以当
22、xT时，/(x)=+4也为增函数，所以f/055I。/J解得0;故，的最大值为彳，-l+2r-+433故选：B.2.己知函数八力=K八l若关于X的不等式仆)o的解集为R,当4=0时，()2-0+0恒成立，符合题意；a0当0时，则有1.，.Z=cr-4t70解不等式组，得0v0的解集为R故选：D.3 .已知函数/(X)=卜:3)x+2A.(0,3)B.加C.|,3)D.停3)【答案】C【解析】因为函数1.在(YO*)上单调递减，-axxyx-3OB.(0,3)C.(0,32a-a+12解得t0时，由基本不等式可得/(x)=x+1.+42jx+4=+6,当且仅当户1时，等号成立；当x0时，由于/(
23、x)(0),则O,由题意可得/(Mmin=/(O)=/+6,即j-60,解得-2o3,故03因此，实数。的取值范围是0,3.故选：A.【答案】C/(x)(x)g(x)g(x)(X)Vg(X)6.已知函数/(x)=2+2,g(6=x,令MX)=则不等式MX)的解集是()B.中V-I或IVXVqD.何-Iavi或Qq可知，MX)的图像是f()4ig()在同个区间函数值大的那部分图像，由此作出MX)的图像，联立Pi.解得;或；，故，一二1,Iy=XIy=-2Iy=Ixc-2所以MX)=T2+2,_21又由MX)可知，其解集为(力的函数值比(大的那部图像的所在区间，结合图像易得，MX)的解集为HA令K
24、或QXs联立联立y=-x2+2y=x7，解得1X=277X=47产W1X=27珀11故3=一耳，”4=耳，所以MX)的解集为卜I故选：C.VX21O7 .设函数/GAOK=O,则方程Yf(X-I)=_4的解为()-IKo【解析】因为析I=o=o,由炉FaT)=-4知,-IKVox-lOJx-l=OX-KOx21=-4,x20=-4*2-1)=-4,解得”=2.故选：A.8 .已知函数/(x)=,若对任意xh+l,不等式/(f+r)4)恒成立，则实数/的取值范围是()II-小1Rr-1+75,r-1-75-1+75Dr-1+V511A.-一,0B.0,-Jc.I-一,一-JD.-,1【解析】/(
25、=XkI=一八，-X,x0因为y=f在XNo上单调递增，y=-炉在O上单调递增，所以f(X)=XW在R上单调递增，因为(X)=4中=2x2-=f(2x),且f(x2+f)4(x),所以f(Y+r)-C.1.2I2)1.22【答案】A解析当x=2时，/(2)=4-2=2,(x)=/一X=(X-T)-f(x)值域为一,2,当,=大的图象，如图：由2-f=,解得司=-2,2=1,2-x?,X2所以f(x)=M-21当X=I时,/(x)取得最大值，且/()max=i,由图象可知/(X)无最小值，故选：AD.11 .定义min4%=：,若函数/0)=01指/一3%+3,-|%-3|+3,且/3在区间加,
26、上的值域为3 7,则区间见网长度可以是()4 4711A.-B.C.D.1424【答案】AD【解析】令x2-3x+3-x-3+3，当x23时，不等式可整理为丁2-30,解得Tx3,故工=3符合要求，当xv3时，不等式可整理为f-4x+30,解得lx3,故lx,一3|+3的解为X3,所以力=4或r3三r1时，/(x)=2-,令/(x)=%,得|2M=x,即2-x=x,解得尸1(舍去)；综上：/(-g)=-g和f(l)=l,所以/(x)为“不动点”函数，故C说法正确；对于D,不妨设该不动点为f,则f(t)=%则由/(/(%)-炉+)=f(%)-+得/(f(r)-产+。=)0/+，,即/(，一/+/
27、)=+,整理得/(2+2r)=2+2r,所以-产+为也是/()的不动点，故-*+2=，,解得M)或r=T,即0,1都是/(力的不动点，与题设矛盾，故D说法错误.故选：ABC三、填空题14 .已知函数/。)=?一?：1是定义在R上的增函数，则。的取值范围是.(X,xl【答案】1,2)(2cxX0所以,0,解得lW2,2-al所以。的取值范围是：1,2).故答案为：1,2).2/axrO15 .若函数/(X)=,为奇函数，则+方=.bx+x,xO,所以f(-x)=22-r=-f*)=-Sf+X)=-笈2-x,所以2=-。，=l,即b=-2,=l故+b=T.故答案为：-1.16 .若函数外力=J满足对V,%wR，且工产W，都有/&)-C(W)Yo成立,则实数(-3a)x-a,xx1-x2。的取值范围是.21-【答案】?!【解析】根据题意，任意实数百w都有内一天VO成立，所以函数/(X)是R上的减函数，则分段0函数的每一段单调递减口在分界点处-l勿-，所以,解得g,所以实数-三il2a1-3a0a-il-3a-a
