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1、微专题24绝对值函数问题【题型归纳目录】题型一：含一个绝对值的函数与不等式问题题型二：含两个绝对值的和的问题题型三：含两个绝对值的差的问题题型四：含多个绝对值的问题【典型例题】题型一：含一个绝对值的函数与不等式问题B.(-co,1)54，+oo)D.(-l,+oo)B.(-2,4)D.(-oo,1)54,+oo)例1,不等式2x-35的解集为(A.(-1,4)C.(o,4)【解析】解：.2x-35,一.5V2x3V5,解得：-IVXV4，故选：A.例2.不等式|x-1|3的解集是(A.(-co,-2)54,+oo)C.(1,4)【解析】解：IJt-I3.,.-3x-l3/.-2xv4,故不等式
2、的解集是(-2,4),故选：B.例3.若不等式-2x,x+3对任意x0,2恒成立，则实数的取值范围是()A.(-1,3)B.-1,3C.(1,3)D.1,3【解析】解：由不等式-2x,x+3时任意x0,2上恒成.，可得了(制=|。一2四的图象在10,2上恒位于直线y=x+3的下方或在直线y=x+3上,如图所示：02.2，或J(2)=-4,5.2)=14-,5/(0)=|3由可得-1.,O,由可得鼠就3,故实数4的取值范围是T,-，-4=10,或z+4=10,求得，=2,或r=6,故答案为：2或6.变式2.己知不等式3x-ox-l对任意x(0,2)恒成立，则实数”的取值范围是_(-,3)J72-
3、+)【解析】解：1等价于3i1或3勺或x等，当伫1丝1,即。3时，不等式解集为K,显然符合题意.24当a.3时，(0,2)u(-,U(-+),42所以限2或三。，解得“或“.综上，实数。的取值范围是.7或.2变式4.若函数y=f+3-在区间1,4上的最小值是4,实数的取值范围是_4.5+00)X【解析】解：由y=x+2在1,2)递减，2,4递增，X4可得y=x+?的最小值为4,最大值为5,X函数y=a-|x+3-a的最值在顶点或区间的端点处取得，X若/(1)取得最小值4,即a15=4,可得=4.5,4即有/(x)=4.5-x+-4.51.且此时/(1)=f(2)=f(4)取得最小值，成立；X若
4、f(2)取得最小值4,即-4-=4,即有a.4;此时/(1)=a-a-5,f(4)=-5,f(2)=4,由/(2)/(1),解得a.4.5；当/(4)取得最小值4,即-5-=4,解得=4.5,成立.综上可得。的范围是4.5,+oo).故答案为：4.5,+oo)题型二：含两个绝对值的和的问题例4.不等式IX-Il+x+2,4的解集是()535335A.B.C.-2,-D.-,1)222222【解析】解：令/(x)=x-l+x+2,2xl,x,2则/(幻二、3,-2xl,2x+l,x.l.当工,2时，x+2+x-lM-2x-l4,-2：2当-2vxvl时，有3,4恒成立，当X/时，x+2+x-l三
5、6的解集为_(oo-I)U(3-+oc)_.3-3x,x6,解得XVT.当-1.,x6,解得%无解.当x.2时，不等式即3x-36,解得x3练上可得，不等式的解集为(-8,T)D(3,+oo),故答案为(一8,T)U(3,+00).变式7.关于X的不等式x-2+x-8.在R上恒成立，则。的最大值为6.【解析】解：由绝对值的性质得f()=U-2+x-8.JCv-2)-(x-8)=6,所以/(x)最小值为6,从而6.，解得q,6,因此。的最大值为6.故答案为：6.变式8已知函数/(幻是定义在R上的奇函数，当x.0时，f(x)=(x-a+x-2a-3a).若集合x/(x-l)-(x)0,xR=0,则
6、实数的取值范围为_(f_.6【解析】解：xIf(x-1)-f(x)0xgR=0,则等价为F(X-I)-/(戏,0恒成立，即f(x-lJ(x)恒成立，当x.0时，f(x)=(x-a+x-2a-3a).若4,0,则当X.0时，f(x)=(x-a+x-2a+3a)=x.-/(x)是奇函数，若XV0,则一X0,则f(-x)=-x=-f(x),则/CO=%，x0,若噫.时，/(x)=lx+c-x-2a)-3d=-x：当,2时，f(x)=x-a-(x-2a)-3-a；当2时，f(x)=-a+X-2a-3a)=X-3.即当x.0时，函数的最小值为-。，由于函数/Cr)是定义在R上的奇函数，当XVo时，/(幻
7、的最大值为。，作出函数的图象如图：由于VXR,f(x-l),(x),故函数/(x-l)的图象不能在函数/(x)的图象的上方，结合图可得l-3.3,即&z,1,求得0%,，6综上4,一,例7.若存在实数X使得不等式|x+l|-|x-1|,/一3成立，则实数的取值范围为()A.(-00,+00)B.(-00,-21(J1,+00)C.1,2D.(-00,HJ2,+00)-2,x,1【解析】解：令f(x)=+l-x-l=2x,Tx2+2有实数解，则实数4的取值范围为()A.(-3,1)B.(-1,3)C.(-oo,-3)51，+)D.(-00,-1)53，+00)【解析】解：x+l-x-2,(x+l
8、)-(x-2)=3,.-3U+l-r-23,由不等式x+l-x-2+2有实数解,知3+2o,解得-3vvl故选：A.例9.若关于X的不等式|x+l|-|x-2|-3,a2-4+30.3,或vl,故实数的取值范围为(Yo,1)./或4,1,的取值范围为(-co，1J4,+oo).故答案为：(-00,1J4,+oo).题型四：含多个绝对值的问题例10.设函数/(x)=x+l+x+2+x+2018+%-l+x-2+x-2018(XWR),下列四个命题中真命题的序号是()(1)/(力是偶函数：(2)当且仅当X=O时，/(x)有最小值；(3) f在(0,3)上是增函数;(4)方程/(/-5+5)=/32
9、)有无数个实根A.(1)(4)B.(1)(2)C.(1)(2)(3)D.(2)(3)(4)【解析】解：/(x)=x+l+x+2+.+x+2018+x-l+x-2+.+x-2018,.*.f(-x)Wx11+1x21+1X+20181+1-x11+1-x21+1x20181=I1X+2-x+.+2018-xxlx2.x+20181=/(x)，.(X)为偶函数,故(1)正确.根据绝对值的儿何意义可得/(x)=(x+l+x-l)+(x+2+x-2)+(x3+x-3)+.+(x+2018+x-2018).2+4+6+.+4036=2018(2+4036=20820i9,2当且仅当-掇/1时，取等号.故
10、(2)错误；由于/(；)=/(I)，显然函数/(幻在(0,”)上不是增函数，故(3)不正确；由于d-5+5)=(-2),且函数f(x)为偶函数，.a2-5a+5=a-2,ta2-5a+5=-(a-2),或号5+5-三h-21解得=l,或=3,或4=30或1S3故方程/(1.-5a+5)=(-2)有无数个实根，故(4)正确.故答案为：(1)(4)故选：A.24-4x,(,1)22-2x,(l用,2)18,(210)例11.若IXTl+x-2+Ar-Iol+x-ll.m对一切XWR恒成立，则实数m的取值范围为_(。18【解析】解：x-l+x-2+x-10+x-ll=2x-2,(10ll)可得x-l
11、+x-2+x-10+x-ll.18,若IX-II+x-2+X-K)I+|1一11|./对一切%1?恒成立,则实数切的取值范围为(-,18.故答案为：(-co,18,例12.已知函数f(x)=x-l+2x-l+3x-l+100x-l,则当x=_-!-时，/(幻取得最小值.1【解析】解：/(x)Hx-l+2x-l3x-l+.+lx-l=IX-11+21x-QI+3x-+.+100x-共有(1+100)x100x5=5050项(注X-I为X到a的距离.Ix-+X-加即为4到。的距离加上工到人的距离，当X在,/?之间时，x-4+x-b最小且值为。到6的距离)所以f(x)的5050项前后对应每两项相加，
12、使用公式x-4+x-勿.Ja-/(x).(l)+(-1.)+当”在每对,b之间时，等号成立1002100由于70x(l+70)g=248571(71+1)=2556所以/(x)最中间的两项(第2525,2526项)是IX-Al所以/(x).(l-)+(-一一-)+.(-)10021007171当X=-1.时等号成立71则当X=A时/*)取得最小值变式11已知函数/(x)=|x-l|+|2xl|+|3x1|.则/(2)=9,/(x)的最小值为【解析】解：(1)f(2)=2-1+22-1+32-1=9C/136x,j,-3111(2)f(x)=1.C，.114%I,I由/(%)单调性知，最小值为1
13、.变式12已知函数/(x)=x-l+x-2+x-3%.+x-20,箕且啜20.(1)分别计算/(I),f(5),/(20)的值;(2)当K为何值时，/3)取得最小值？最小值是多少？【解析】解：(1)由/(x)=x-l+x-2|+|x3|+|x20|,得f(I)=0+l+2+.+19=l9x+l9)=l90：f(5)=4+3+2+1+0+1+2+.+15=10+-=10+120=130;2/(20)=191817+.+3+2+l+0=19x(19+1)2=190.(2)设X是l20中的某一整数,则f(X)=(X-l)(x-2)+.32+l+0l2.(20x)(X-1)1+(1)(20-x)l+(
14、20-X)=1221 21loo=-(2x2-42x+420)=x2-21x+210=(x一一-)2+.2 24因为XeN+，所以当X=IO或11时，f(x)取最小值，/(10)=(l1)=100,即最小值是100.【过关测试】一、单选题1 .已知集合A=Mx-21,B=1,2,3,4,则AB=()A.4B.3,4C.2,3,4D.1,2,3【答案】D【解析】因为A=M.21=x-10时，可得4-2x-了十一，由绝对值三角不等式可得x-+x+-+=2x+-2.2-=8XXX,V%当且仅当户2时，等号成立，所以，4-2-8,解得V6综上所述，-2a3.xeRt且A,8,则Ia-M的取值范围为()
15、A.0,2B.0,4C.2,-o)D.4,+)【答案】D【解析集合A=Hk-Hl,xR=x-lxv+l,=xx-3,x/?|=xxZ+3又AuB,所以+lb-3或-l6+3即-b-4或-b4,KPa-b4所以的取值范围为4,枚)故选：D4.已知函数/(x)=k+l+k+2+k+2021+k-l+k-2+k-2021(xR),且实数。满足/(-2)=(t+l),则实数。的取值范围为()A,=3或=1或!B.=3或=l22C.=3或。=一1D.。=3或。=1或。=一1【答案】A【解析】因为函数/(力的定义域为R,三H)=(x),所以函数/(x)为偶函数，Xx+l+x-l2,当且仅当Txl时取等号,
16、x2+x-24,当旦仅当一2x2时取等号，x2021+x-20214042,当且仅当-2021x2021时取等号，所以/(x)=x+l+x+2+x+2021+x-l+x-2+x-202I2(1+2+2021),当且仅当Txl时取等号，当lx2时，/(x)=r+l+x+2+x+2021+x-l+-2+r-2021=2x+2(2+2021),当23时，/(x)=x+l+x+2+x+2021+x-l+x-2+x-2021=4x+2(3+2021),当2020x2021时，/(x)=x+1+x+2+x+2021+-1x-2+x-2021=4040x+22021,当x202时，/(x)=x+l+r2+x
17、+2021+x-l+-2+.+x-2021=4042x,故函数/(x)在l,+)上递增，再根据函数”可为偶函数，所以/(x)在(-I上递增，因此/aa23B.al时，y=(x+2)-(工-1)二3；当X-2时，y=-(x+2)+(x-l)=-3,故y=k+2-k-l有最大值3.卜+2|-卜一1归对一切xR恒成立，则必大于等于y=+2卜卜一1|的最大值3.故取值范围为3,+).故选：C.6 .已知函数/(x)=r+1+,(acR),当XGg,2时，设/(x)的最大值为“(,)，则(,b)的最小值为()A.B.-C.D.1842【答案】B【解析】函数/(%)=x+g+力(。口eR)，当Xeg,2时
18、，/(*)的最大值为“(。功)，可得M(力)f(2)=2+Hj,M(0为)(g)=/+b+2,M(ajb)f(i)=a+b+,可得1.M(a,b)+M(a,b)M(a、/?)a+b+1c+b+6+133336333+lz,+l+l.4-.-,-336333即2M(a,b)g,即有Mmb)5则M(a向的最小值为故选：B7.当x-1.U时，不等式Iar2+b+cMi恒成立,则IaI+c的最大值为()A.18B.17C.16D.15【答案】B【解析】因为xeT,l,所以国0,l,当W=O时，可得dl，当M=g时，可得(+g+cl，当W=I时，可得+cl，由可得=4(：+2+c)-；(a+b+c)-g
19、c8,Ml=4(-+-+c)-(a+b+c)-c8,114244所以同+W+M8+8+l=17,故选：B8 .设A=xx-22,B=xx-a,若ACB=0,则的取值范围为()A.a1B.0olC.aD.OVa3【答案】C【解析】由卜一22得x-2-2或x-22,解得x0或x4,所以A=(-8,0d4,oo),由上一1|0时，由于ACB=0,所以解得00),若关于X的不等式f(x)O的解集中的整数恰有3个，则实数，的取值范围为()4333A.0zlB.znC.m-D.-m23222【答案】B【解析】/()o可化为PmkkTI,作函数y=词与函数y=的图象如下，故选：B.二、多选题10.定义min
20、=若函数/(x)=min-3+3,-x-3+3,且/(x)在区间见网上的值域为37,则区间孙网长度可以是()_44_7711A.B.C.D.1424【答案】AD【解析】令x2-3x+3-x-3+3，当工23时，不等式可整理为V2x30,解得一lx3,故x=3符合要求，当尢-x-3+3的解为3,所以X)=17+3Hl即3，437X2-3x+3=-,解得=,令2-3+3=-,424QQ71令卜_3|+3=工，解得X=W或子，令一卜一3卜3解得X=T或g，=r解得-5亘故选：AD.11 .若五cR,使得2x+l-13-2XKm成立是假命题，则实数“可能取值是()A.5B.4C.-4D.-5【答案】C
21、D【解析】因为3xeR,使得2x+l-3-2x加成立是假命题，所以KXeR,都有2x+l-3-2x“记/(x)=12x+lT3-2x,只需z(x)mi.I3/(x)=2r+l-3-2x=Mx-2,-x3的解集为RB.不等式x+l+%-23的解集为RC.不等式x+l+x-25的解集为xw(-2,3)D.不等式%+1+%-25的解集为c(-oo,-2)53,+oo)【答案】BD【解析】对于A,当X=O时，x+l+x-2=3,故选项A错误；对于8,因为x+l+x-2闫(X-I)-(X-2)=3,即不等式l4+ll+x-23恒成立,所以不等式x+l+x-2色3的解集为R,故选项8正确；对于C不等式x+
22、l+x-25,当XV-I时，则一X-I+2-x5,解得xv-2；当一lx2时，则x+1+2x5,解得x0:当%2时,，则x+l+x-25,解得x3综上所述，不等式x+l+E-25的解集为Xe(YO,-2)53,内)，故选项C错误Q正确.故选：BD.三、填空题13 .关于X的不等式-2+x+l区10的解集为.911【答案】卜天了【解析】当x2时，原不等式可化为：-2)+x+lS0,解得2V於；当一182时，原不等式可化为：一(-2)+x+l10,即310,所以一1E2;当XV一1时，原不等式可化为：-a2)-+i)o,即一比9,解得-%v-.9111综上所述，原不等式的解集是.故答案为：一5，?
23、.14 .不等式k-l|+|xvx+2的解集为.【答案】ky2【解析】x-l+x-2=hjx2,/,x-lx-2x+21t:-2x+3,X2lx2xl2x-3x+2j,lx+2i-2x+3x+2解得：2xv5或lx2或;l.不等式lx-l+x-2KA:+2的解集为：jxx5故答案为：xgx515.设T=k-l|+|x-2|+|x-3|+|x-4|,如果X可取任意实数值，那么T的最小值是.【答案】4【解析】根据绝对值的几何意义可知，可转化为在数轴上有ABC,O四点，其对应的值分别为1234,求一点使得MA+M3+MC+MD最小，123441A41AOABMCD当M在线段Ao上时，M4+MD的最小
24、值为3,当M在线段BC上时，MH+MC的最小值为1,故当M在线段BC上时，MA+MH+MC+MD的最小值是4故答案为：4.16,不等式kT+x+2根恒成立，则6的取值范围是.【答案】z3【解析】y=x-l+k+2k-l-x_2=3,即函数的最小值是3,若不等式IX-II+x+2z恒成立，则z3.故答案为：机3四、解答题17.已知集合A=xx-l+x-23,3=x*+4竭，AC8=0,求的取值范围.【解析】卜-1|+卜-2|3表示数轴上的点X到I与2的距离之和小于3,0x3,=(0,3),8=xx2+4r,ArB=0f4f+4v在(0,3)上无解，即x+在(0,3)上无解，4：.x(0,3),x
25、+恒成立，X后=4,当且仅当x=2时，等号成立，4,4的取值范围为(，4)18.已知函数/()=-2+x+l.(1)求不等式f(x)4的解集；(2)当XWR时，若/(x)-利恒成立，求实数加的取值范围.2x+1,at1/(x)=x-2+x+l=3,-1x2则或I或3(l-a)-(2-a)l3(-l)-(2-)3(a-l)-(-2)l解得：0或52或2.综上，的范围是：(f|，T.20 .已知。，b,cR,i8y=OX2+hx+c.(1)若=l,关于X的不等式版2+Z+d2f-4x-30|对任意R恒成立，求b,C的值；若“，Z?eNC=I,关于的方程a+bx+c=。有两个不相等的实根，且均大于T
26、小于0,求。+人的最小值.【解析】(1)由2/一4x-3=,解得x=5或x=-3,则当X=5或K=一3时,25+5Hc09-3b+c025+5b+c=09a-3b+c=0h=-2c=-15,.*.b=-2fC=-15；=2-44cOa-（2）由题意得a-b+cOcOa+b由44得h3,9Qa3a24,则3422525若b=5,5i7则4v5显然=5时，+Z?更小，为10,若b6,由+lZ,得+方2Z-l11,4+。的最小值为10,当。=5,人=5时取得.21. （1）求不等式f2+x+42x-l的解集；（2）若不等式x2+x+3-2k-l,mx的解集包含（0，求实数由的取值范围;（3）已知卜-。2卜x-2+l24在R时恒成立，求。的取值范围.【解析】（1）当工之1时不等式为一/+42x-2解得：lx2当xl时，不等式为一/+42-2X解得xl3-而综上得：不等式的解集为：x2,（2） x2+x+3-2x-1m的解集包含（0,1,故原不等式转化为：x2+3x+l比在（0恒成立，即+g+3/在（0,1恒成立，而对勾函数y=x+g+3在区间（0,l.单调递减，.当=l时，y=x+3W最小值5,.m5.（3） v|x2+-2n+l(x-a2J-(x-2a+l)=-2a+1,，,一+x-24+l4恒成立化为:2-2+14,解得3或o-l.
